2.2一元二次方程的解法（第5课时 公式法）同步练习 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程公式法，分层设计基础巩固、灵活应用、综合拓展三阶练习，强化从概念识别到实际应用的知识进阶，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|公式法三要素（a,b,c识别）、直接求解|选择1（a,b,c识别）、填空8（直接解方程），夯实运算基础| |中档|公式逆用、新定义运算|选择3（已知根反推方程）、填空14（相反数关系建模），提升推理意识| |提升|几何与代数综合、含参问题|选择7（矩形中方程根的几何意义）、解答21（参数方程应用），发展应用意识|

2.2一元二次方程的解法（第5课时公式法）同步练习 一．选择题（共7小题） 1．用公式法解方程x2﹣3＝5x时，a，b，c的值依次是（　　） A．0，﹣3，5 B．1，﹣3，5 C．1，5，﹣3 D．1，﹣5，﹣3 2．方程x2+x﹣1＝0的根是（　　） A．1 B． C．﹣1 D． 3．若关于x的一元二次方程的根为，则这个方程是（　　） A．3x2+x﹣5＝0 B．3x2﹣x﹣5＝0 C．x2﹣3x﹣5＝0 D．x2+3x﹣5＝0 4．已知a是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的较小的根，则下面对a的估值正确的是（　　） A．﹣1.5＜a＜﹣1 B．2＜a＜3 C．﹣4＜a＜﹣3 D．4＜a＜5 5．我们规定一种新运算“★”，其意义为a★b＝a2﹣ab，若（x﹣2）★（1﹣x）＝28，则x的值为（　　） A．x＝﹣26 B．x1＝﹣4，x2＝11 C．x1＝2，x2 D．x1＝﹣2，x2 6．已知关于x的一元二次方程ax2﹣2（a﹣2）x+a﹣4＝0（a＞0），设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＞x2），若y是关于a的函数，且y＝x1﹣ax2，若y＞0，则（　　） A．0＜a＜3 B．0＜a＜5 C．a＞3 D．a＞5 7．如图，在矩形ABCD中，AB＝a，AD＝b，先以顶点B为圆心，以边AB为半径作弧交对角线BD于点E，再以顶点D为圆心，以边AD为半径作弧交对角线BD于点F，则方程x2+2ax＝b2的一个正根是（　　） A．线段BD的长 B．线段BF的长 C．线段DE的长 D．线段EF的长 二．填空题（共8小题） 8．一元二次方程2x2﹣3x＝1的根为　 　 ． 9．用公式法解一元二次方程，得：x，则该一元二次方程是 　 　 ． 10．方程2x2﹣6x﹣1＝0的负数根为　 　 ． 11．求方程x2+3x+2＝0的根时，根据求根公式，列式为，则m的值为 　 　 ． 12．用求根公式解方程3x2﹣x＝1，求得Δ＝　 　 ． 13．一元二次方程2x2﹣3x＝1，用求根公式求解时c的值是 　 　 ． 14．当x2和﹣x﹣4互为相反数时，x＝　 　 ． 15．下面是小明同学解方程x2﹣5x＝﹣4的过程： ∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣4（第一步）， ∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣4）＝41（第二步）． ∴x，（第三步）． ∴x1，x2（第四步）． 小明是从第 　 　 步开始出错． 三．解答题（共7小题） 16．解方程： （1）x2﹣4x+2＝0； （2）2x2+2x﹣3＝0． 17．解方程： （1）； （2）2（x2+x）2﹣（x2+x）﹣3＝0． 18．解下列方程： （1）x2+4x+2＝0（配方法）； （2）3x2+2x﹣1＝0（公式法）． 19．解方程：2y2﹣9y+5＝0（用公式法）． 20．当x取何值时，代数式x2﹣x的值与3x+1的值相等？ 21．已知实数a，b，c，且abc≠0． （1）若a，b，c分别是关于x的一元二次方程二次项系数，一次项系数和常数项，由求根公式法解得方程的根为，求a+b+c的值．（一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0，求根公式为：） （2）若c＞0，且a+2b+c＝0，abc＝1，求c的最小值． 22．解方程x2＝3x+2时，小海同学解答如下： 解：原方程中，a＝1，b＝3，c＝2．第一步 b2﹣4ac＝32﹣4×1×2＝1．第二步 ，第三步 即x1＝﹣1或x2＝﹣2．第四步 所以，原方程的根是x1＝﹣1，x2＝﹣2．第五步 （1）上述解题过程从第　 　 步开始出现错误？ （2）请写出完整的正确解题过程． 参考答案 一．选择题（共7小题） 1．【解答】解：整理成一般式得：x2﹣5x﹣3＝0， ∴a＝1，b＝﹣5，c＝﹣3， 故选：D． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 2．【解答】解：x2+x﹣1＝0， ∵a＝1，b＝1，c＝﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0， 故x， 故选：D． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，能熟记公式是解此题的关键． 3．【解答】解：∵关于x的一元二次方程的根为， ∴， ∴﹣b＝1，2a＝6， 解得b＝﹣1，a＝3， ∵b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×3×（﹣5）， ∴c＝﹣5， ∴原方程为3x2﹣x﹣5＝0， 故选：B． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的公式法是解题的关键． 4．【解答】解：一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0， ∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣5， ∴Δ＝9+20＝29， ∴x， 则较小的根a，即﹣1.5＜a＜﹣1， 故选：A． 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，以及估算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5．【解答】解：∵（x﹣2）★（1﹣x）＝28， ∴（x﹣2）2﹣（x﹣2）（1﹣x）＝28， x2﹣4x+4﹣（x﹣x2﹣2+2x）＝28， x2﹣4x+4﹣x+x2+2﹣2x＝28， 2x2﹣7x+6＝28， 2x2﹣7x﹣22＝0， ∵Δ＝（﹣7）2﹣4×2×（﹣22）＝49+176＝225＞0， ∴x， ∴x1，x22， 故选：D． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，有理数的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键． 6．【解答】解：ax2﹣2（a﹣2）x+a﹣4＝0（a＞0）是关于x的一元二次方程， Δ＝[﹣2（a﹣2）]2﹣4a（a﹣4）＝16＞0， 由求根公式，得x， ∴x＝1或， ∵a＞0，x1＞x2， ∴x1＝1，， ∴， 解得a＜5， ∴0＜a＜5； 故选：B． 【点评】本题主要考查了公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握求根公式． 7．【解答】解：由条件可知CD＝AB＝a，BC＝AD＝b， 在Rt△BCD中，由勾股定理得，， ∴， 解方程x2+2ax＝b2得， ∴线段DE的长是方程x2+2ax＝b2的一个根． 故选：C． 【点评】本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键． 二．填空题（共8小题） 8．【解答】解：2x2﹣3x＝1， 2x2﹣3x﹣1＝0， ∵a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1， ∴Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝9+8＝17＞0， ∴， ∴，． 【点评】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的公式法是解题的关键． 9．【解答】解：根据题意得：a＝3，b＝5，c＝1， 则该一元二次方程是3x2+5x+1＝0， 故答案为：3x2+5x+1＝0 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，以及一元二次方程的定义，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 10．【解答】解：Δ＝（﹣6）2﹣4×2×（﹣1）＝44， x， 所以x10，x20． 即方程的负数根为x． 故答案为x． 【点评】本题考查了公式法解一元二次方程：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． 11．【解答】解：根据题意可得：， 故m＝﹣3， 故答案为：﹣3． 【点评】本题主要考查了求根公式，解题的关键是掌握求根公式． 12．【解答】解：由题意得，3x2﹣x﹣1＝0， ∴a＝3，b＝﹣1，c＝﹣1， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4×3×（﹣1）＝13． 故答案为：13． 【点评】本题考查了公式法解一元二次方程，根的判别式，化为一般式，求出a，b，c的值是解答本题的关键． 13．【解答】解：方程化为一般式为2x2﹣3x﹣1＝0， 所以c的值为﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：正确理解一元二次方程的定义和根的判别式的定义是解决问题的关键． 14．【解答】解：根据题意得：x2﹣x﹣4＝0， 这里a＝1，b＝﹣1，c＝﹣4， ∵Δ＝1+16＝17， ∴x． 故答案为：． 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键． 15．【解答】解：原方程化为：x2﹣5x+4＝0， ∴a＝1，b＝﹣5，c＝4． 故答案为：一． 【点评】本题主要考查用公式法解一元二次方程，将一元二次方程化成一般式是运用公式法解一元二次方程的关键． 三．解答题（共7小题） 16．【解答】解：（1）x2﹣4x+2＝0， x2﹣4x＝﹣2， x2﹣4x+4＝﹣2+4， （x﹣2）2＝2， x﹣2＝±， x1＝2，x2＝2； （2）2x2+2x﹣3＝0， ∵Δ＝22﹣4×2×（﹣3）＝4+24＝28＞0， ∴x， ∴x1，x2． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，配方法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 17．【解答】解：（1）∵a，b＝﹣1，c＝1， ∴Δ＝（﹣1）2﹣41＝﹣1＜0， ∴方程没有实数解； （2）[2（x2+x）﹣3][（x2+x）+1]＝0， 2（x2+x）﹣3＝0或（x2+x）+1＝0， 对于方程2（x2+x）﹣3＝0， 整理得2x2+2x﹣3＝0， ∵a＝2，b＝2，c＝﹣3， ∴Δ＝22﹣4×2×（﹣3）＝28， ∴x， ∴x1，x2； 对于方程x2+x+1＝0， ∵a＝1，b＝1，c＝1， ∴Δ＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0， ∴此方程没有实数根， ∴原方程的解为x1，x2． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键． 18．【解答】解：（1）原方程移项可得： x2+4x＝﹣2， x2+4x+4＝2， （x+2）2＝2， ∴， ∴，； （2）∵a＝3，b＝2，c＝﹣1， ∴Δ＝22﹣4×3×（﹣1）＝16＞0， ∴， ∴x1＝﹣1，． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键． 19．【解答】解：根据公式法求解可得： Δ＝（﹣9）2﹣4×2×5＝41＞0， ∴， ∴． 【点评】该题考查了解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键． 20．【解答】解：根据题意得x2﹣x＝3x+1， 方程化为一般式为x2﹣4x﹣1＝0， ∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣1， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣1）＝20， ∴x2±， ∴x1＝2，x2＝2， 即x为2或2时，代数式x2﹣x的值与3x+1的值相等． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握用求根公式解一元二次方程的方法是公式法是解决问题的关键． 21．【解答】（1）解： ∵用公式法解得方程的根为， ∵ax2+bx+c＝0的求根公式 ∴2a＝2，b＝2，∵﹣4ac＝8， a＝1，c＝﹣2 ∴a＝1，b＝2，c＝﹣2， ∴a+b+c＝1+2﹣2＝1； （2）证明：∵a+2b+c＝0，abc＝1， ∴a＝﹣2b﹣c， ∴（﹣2b﹣c）bc＝1， 整理得2cb2+bc2+1＝0， ∵关于b的一元二次方程有实数解， ∴Δ＝c4﹣4×2c≥0， 而c＞0， ∴c3≥8， ∴c≥2， ∴c的最小值为2． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：熟练掌握一元二次方程的求根公式和根与系数的关系是解决问题的关键． 22．【解答】解：（1）∵原方程没有变形为一般形式就进行求解， ∴解题过程从第一步开始出现错误； 故答案为：一； （2）x2＝3x+2， 原方程可变形为：x2﹣3x﹣2＝0， ∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝17， ∴， ∴，． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法解方程的步骤和方法是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/7/9 11:26:39；用户：阮燕；邮箱：yqsl66@xyh.com；学号：28230077 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $