2.2 一元二次方程的解法(6)—公式法2（课时作业） 2026--2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，聚焦一元二次方程公式法，通过基础与拓展分层设计，实现从判别式概念理解到几何综合应用的递进，培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础练习|根的判别式应用、参数取值范围、方程解验证|14题，选择/填空/解答结合，如判别式判断根的情况（第1-2题）、参数与判别式综合（第3-10题），强化运算与推理| |拓展提升|几何与代数综合应用|3题，结合等腰三角形（第16题）、菱形（第17题）等情境，需构建方程模型解决问题，发展应用意识与几何直观|

盐城市北蒋实验学校九年级数学导学活动单 九年级数学•上册•第2章•一元二次方程 2.2一元二次方程的解法(6)—公式法2（课时作业） 班级 姓名 作业时间 【基础练习】 1．（2026•广州校级二模）一元二次方程x2－3x+4＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根； B．有两个相等的实数根； C．有一个实数根； D．没有实数根 2．（2026•上海）下列方程无实数根的是（　　） A．x2－2x＝0 B．x2－2＝0 C．x2+2x＝0 D．x2+2＝0 3．（2026•天山区校级模拟）若关于x的方程x2+2x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值是（　　） A．－3 B．－2 C．－1 D．0 4．（2026•江阳区校级二模）已知关于x的方程ax2+4x﹣2＝0有两个实数根，则a的取值范围是（　　） A．a≥﹣2 B．a＞﹣2 C．a≥﹣2且a≠0 D．a≤2且a≠0 5．（2026春•市中区校级期末）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法中正确的是（　　） ①若a+c＝b，则方程ax2+bx+c＝0有一根为x＝－1； ②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实数根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实数根； ③若x＝c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立； ④若b＝2a+3c，则方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根． A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③ 6．（2026•天心区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2+ax+1＝0有两个相等的实数根，则a的值是　 　 ． 7．（2026•南山区校级三模）关于x的方程x2+4x+c＝0有两个不相等的实数根，则正整数c的值可以是　 　 ．（写出一个即可） 8．（2026春•静安区校级期末）若一元二次方程x2－5x+a＝0无实数根，则一次函数y＝(a－5)x+a的图象不经过第　 象限． 9．（2026•太和县模拟）已知关于x的一元二次方程2x2－3x+m＝0有两个实数根，则实数m的取值范围是 　 　 ． 10．（2026•灌云县模拟）对于实数m，n定义新运算：m※n＝mn+m2．例如：3※5＝3×5+32＝24，若关于x的方程（2x）※1＝a有两个不相等的实数根，则a的取值范围是　 　 ． 11. (书本第43页第6题)不解方程，判别下列方程的根的情况: 12．（2026春•泰兴市期末）关于x的一元二次方程x2－(2m+1)x+2m＝0． （1）若m＝2，求方程的解； （2）求证：无论m取何值，方程总有实数根． 13．（2026春•乐清市校级期中）已知一元二次方程ax2+(a－2)x+c＝0(a、c为常数，其中a≠0)． （1）若x＝1，求2a+c的值； （2）若a+c＝1，请判别方程根的情况． 14．（2026春•西湖区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2－(m+3)x+3m＝0． （1）求证：此方程一定有两个实数根； （2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为1，当△ABC是等腰三角形时，求m的值． 【拓展提升】 15．（2026春•闵行区校级期末）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0，那么下列四个判断中正确的是（　　） A．该方程一定有两个相等的实数根； B．该方程一定有两个不相等的实数根 ； C．该方程一定有一个实数根为x＝1； D．该方程一定有一个实数根为x＝－1 16．（2026春•新昌县期中）已知等腰△ABC中，BC＝4，AB，AC是关于x的一元二次方程x2－6x+m＝0（m是常数）的两实数根，则m的值为 　 　 ． 17．（2026•邢台校级模拟）已知关于x的一元二次方程ax2－(a+8)x+8＝0． （1）求证：无论a取任何非零实数，该方程总有实数根； （2）若平行四边形ABCD的两边AB，BC的长是已知方程的两个实数根，当a为何值时，平行四边形ABCD是菱形？求此菱形的边长． 2.2一元二次方程的解法(6)—公式法2（课时作业）(答案) 班级 姓名 作业时间 【基础练习】 1．（2026•广州校级二模）一元二次方程x2－3x+4＝0的根的情况是（　D　） A．有两个不相等的实数根； B．有两个相等的实数根； C．有一个实数根； D．没有实数根 2．（2026•上海）下列方程无实数根的是（　D　） A．x2－2x＝0 B．x2﹣－2＝0 C．x2+2x＝0 D．x2+2＝0 3．（2026•天山区校级模拟）若关于x的方程x2+2x－m＝0有两个相等的实数根，则m的值是（　C　） A．－3 B．－2 C．－1 D．0 4．（2026•江阳区校级二模）已知关于x的方程ax2+4x－2＝0有两个实数根，则a的取值范围是（　C　） A．a≥－2 B．a＞－2 C．a≥﹣2且a≠0 D．a≤2且a≠0 5．（2026春•市中区校级期末）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法中正确的是（　B　） ①若a+c＝b，则方程ax2+bx+c＝0有一根为x＝－1； ②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实数根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实数根； ③若x＝c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立； ④若b＝2a+3c，则方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根． A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③ 解：若a+c＝b，即a﹣b+c＝0， 将x＝﹣1代入方程ax2+bx+c＝0左边得：a(﹣1)2+b（﹣1）+c＝a﹣b+c＝0， ∴x＝﹣1满足方程，即方程有一根为x＝﹣1，∴①正确，符合题意； ∵若方程ax2+c＝0有两个不相等的实数根，∴△＝02﹣4ac＝﹣4ac＞0， 对于方程ax2+bx+c＝0，其判别式Δ＝b2﹣4ac，∵b2≥0，﹣4ac＞0，∴Δ＝b2+(﹣4ac)＞0， ∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实数根，∴②正确，符合题意； 将x＝c代入方程得ac2+bc+c＝0，提取公因式得c(ac+b+1)＝0， 当c＝0时等式成立，但ac+b+1＝b+1不一定等于0，∴③错误，不符合题意； 若b＝2a+3c，方程ax2+bx+c＝0根的判别式为： Δ＝b2﹣4ac＝（2a+3c）2﹣4ac＝4a2+12ac+9c2﹣4ac＝4a2+8ac+9c2＝（2a+2c）2+5c2， ∵a≠0，若c＝0，则(2a+2c)2＝4a2＞0，Δ＞0； 若c≠0，则(2a+2c)2≥0，5c2＞0，Δ＞0， ∴Δ恒大于0，方程必有两个不相等的实数根，∴④正确，符合题意；故选：B． 6．（2026•天心区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2+ax+1＝0有两个相等的实数根，则a的值 是　 ±2 ． 7．（2026•南山区校级三模）关于x的方程x2+4x+c＝0有两个不相等的实数根，则正整数c的值可以是　1（答案不唯一） ．（写出一个即可） 解：由条件可得Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4×1×c＞0， 整理得16﹣4c＞0，解得c＜4， ∵c是正整数，∴c的值可以是1或2或3．故答案为：1（答案不唯一）． 8．（2026春•静安区校级期末）若一元二次方程x2－5x+a＝0无实数根，则一次函数y＝(a－5)x+a的图象不经过第　 四 象限．． 解：由条件可知：Δ＝（﹣5）2﹣4×1×a＜0，即25﹣4a＜0，解得， 对于一次函数y＝（a﹣5）x+a，∵，∴，且a＞0， 根据一次函数性质，当一次项系数大于0，常数项大于0时，图象经过第一、二、三象限， ∴该一次函数的图象不经过第四象限．故答案为：第四象限． 9．（2026•太和县模拟）已知关于x的一元二次方程2x2－3x+m＝0有两个实数根，则实数m的取值范围是 　 m 　 ． 10．（2026•灌云县模拟）对于实数m，n定义新运算：m※n＝mn+m2．例如：3※5＝3×5+32＝24，若关于x的方程（2x）※1＝a有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 a　 ． 解：∵（2x）※1＝a，∴2x+4x2＝a， 方程化为一般式为4x2+2x﹣a＝0， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝22﹣4×4×（﹣a）＞0，解得a，故答案为：a． 11. (书本第43页第6题)不解方程，判别下列方程的根的情况: (1)∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣5， ∴Δ＝(﹣4)2﹣4×1×(﹣5)＝36＞0，∴原方程有两个不相等的实数根． (2)∵a＝3，b＝﹣1，c＝1， ∴Δ＝(﹣1)2﹣4×3×1＝1-12=-11＜0，∴原方程没有实数根． (3)∵a＝5，b＝4，c＝﹣1， ∴Δ＝42﹣4×5×(﹣1)＝36＞0，∴原方程有两个不相等的实数根． (4)原方程可变形为：2x2﹣4x+3＝0， ∵a＝2，b＝﹣4，c＝3，∵a＝2，b＝﹣4，c＝3， ∴Δ＝(﹣4)2﹣4×2×3＝16-24= -8＜0，∴原方程没有实数根 (5)原方程可变形为：5y2﹣4y＝0， ∵a＝5，b＝﹣4，c＝0，∴Δ＝(﹣4)2﹣4×5×0＝16＞0，∴原方程有两个不相等的实数根. (6)原方程可变形为：9x2﹣12x+4＝0， ∵a＝9，b＝﹣12，c＝4，∴Δ＝(﹣12)2﹣4×9×4＝144-144= 0，∴原方程有两个相等的实数根 12．（2026春•泰兴市期末）关于x的一元二次方程x2－(2m+1)x+2m＝0． （1）若m＝2，求方程的解； （2）求证：无论m取何值，方程总有实数根． 解：（1）当m＝2时，x2﹣(2m+1)x+2m＝0变形为x2﹣5x+4＝0， ∴（x﹣1）（x﹣4）＝0，解得x1＝1，x2＝4． （2）∵一元二次方程x2﹣(2m+1)x+2m＝0，且a＝1，b＝﹣(2m+1)，c＝2m， ∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣(2m+1)]2﹣4×1×2m＝4m2+4m+1﹣8m＝4m2﹣4m+1＝(2m﹣1)2， ∵(2m﹣1)2≥0，∴Δ＝(2m﹣1)2≥0，∴无论m取何值，方程总有两个实数根． 13．（2026春•乐清市校级期中）已知一元二次方程ax2+(a－2)x+c＝0(a、c为常数，其中a≠0)． （1）若x＝1，求2a+c的值； （2）若a+c＝1，请判别方程根的情况． 解：（1）当x＝1时，原式＝a+a﹣2+c＝0，∴2a+c＝2； （2）因为c＝1﹣a， 所以Δ＝(a﹣2)2﹣4ac＝(a﹣2)2﹣4a(1﹣a)， 因为，即Δ＞0，所以该方程有两个不相等的实数根． 14．（2026春•西湖区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2－(m+3)x+3m＝0． （1）求证：此方程一定有两个实数根； （2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为1，当△ABC是等腰三角形时，求m的值． (1)证明：∵Δ＝[﹣(m+3)]2﹣4×1×3m＝m2+6m+9﹣12m＝m2﹣6m+9＝(m﹣3)2 ≥ 0， ∴此方程一定有两个实数根． （2）解：∵x2﹣(m+3)x+3m＝0，∴(x﹣3)(x﹣m)＝0，∴x﹣3＝0或x﹣m＝0，∴x1＝3，x2＝m， 当AB＝AC时，m＝3， 此时三角形三边为3，3，1，满足三角形三边关系，符合题意． 当AB＝BC＝1或AC＝BC＝1时，m＝1， 此时三角形三边为1，1，3，不满足三角形三边关系，舍去．综上，m的值为3． 【拓展提升】 15．（2026春•闵行区校级期末）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0，那么下列四个判断中正确的是（　C　） A．该方程一定有两个相等的实数根； B．该方程一定有两个不相等的实数根； C．该方程一定有一个实数根为x＝1； D．该方程一定有一个实数根为x＝－1 解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0， ∴x＝1一定是该方程的一个实数根，∴C正确符合题意，D错误不符合题意； ∵a+b+c＝0，∴b＝﹣(a+c)，∴Δ＝b2﹣4ac＝(a+c)2﹣4ac＝(a﹣c)2≥0， ∴方程可能有两个相等实数根，也可能有两个不相等实数根，因此A、B错误，不符合题意．故选：C． 16．（2026春•新昌县期中）已知等腰△ABC中，BC＝4，AB，AC是关于x的一元二次方程x2－6x+m＝0（m是常数）的两实数根，则m的值为 　8或9　 ． 解：当AB＝AC时，关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0(m是常数)有两个相等的实数根， ∴Δ＝（﹣6）2﹣4m＝0，解得m＝9， 此时方程为x2﹣6x+9＝0，解得AB＝AC＝3， 因为3+3＞4，符合三角形三边的关系； 当AB＝BC或AC＝BC＝4，即关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0 (m是常数)有一个解为x＝4， ∴16﹣24+m＝0，解得m＝8，综上所述，m的值为8或9．故答案为：8或9． 17．（2026•邢台校级模拟）已知关于x的一元二次方程ax2－（a+8）x+8＝0． （1）求证：无论a取任何非零实数，该方程总有实数根； （2）若平行四边形ABCD的两边AB，BC的长是已知方程的两个实数根，当a为何值时，平行四边形ABCD是菱形？求此菱形的边长． 解：（1）∵关于x的一元二次方程ax2﹣(a+8)x+8＝0， ∴Δ＝[﹣（a+8）]2﹣4a•8＝a2+16a+64﹣32a＝a2﹣16a+64＝(a﹣8)2≥0， ∴无论a取任何非零实数，该方程总有实数根； （2）∵平行四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC， ∵AB，BC的长是已知方程的两个实数根，∴方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝(a﹣8)2＝0，∴a＝8， ∴一元二次方程为8x2﹣16x+8＝0，解得x1＝x2＝1，∴菱形边长为1， 答：当a＝8时，平行四边形ABCD是菱形，此时菱形的边长为1． 学科网（北京）股份有限公司 $