21.2.2 第1课时二次函数y=ax²+k的图象和性质（教学课件）数学新教材沪科版九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²+k的图象和性质，课堂导入先回顾y=ax²的图象特征与研究方法，通过类比引导学生动手画出y=2x²、y=2x²±1的图象，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点是以“列表描点—画图观察—对比归纳”为主线，通过a>0和a<0的实例探究，培养数学思维中的推理意识，总结“上加下减”平移规律，用数学语言精准表达提升模型意识。拓展题结合面积计算增强应用意识，助力学生直观想象与探究能力提升，也为教师提供结构化教学流程和分层练习资源。

【新教材】沪科版·九年级上册 第二十一章 二次函数与反比例函数 21.2二次函数的图象与性质 21.2.2 二次函数的图象和性质 （第1课时） 学 习 目 标 1 2 3 掌握二次函数 y=ax²+k 的图象和性质，理解其与 y=ax² 图象之间的关系；掌握平移规律，能根据解析式确定抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴和最值. 经历"列表描点—画图观察—对比归纳"的全过程，提升数形结合、直观想象、类比推理的能力. 感受函数图象的平移变换之美，体会从特殊到一般的数学思想方法，培养严谨的分析习惯，激发主动探究函数问题的兴趣. 新课引入 回顾 （1）二次函数 y = ax 2 的图象是什么？ （2）它具有怎样的图象特征和性质？ （3）你是怎么研究的？ 图象 一条抛物线 开口方向 时， 开口向上 时， 开口向下 对称轴 y轴 增减性 a>0 当x<0时，y随着x的增大而减小；当x>0时，y随着x的增大而增大. a<0 当x<0时，y随着x的增大而增大；当x>0时，y随着x的增大而减小. 顶点坐标 （0，0) 新课引入 回顾 研究路径 画出函数图象 观察图象 研究图象形状、开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性等 类比 y = ax 2 的研究内容和研究方法，画出二次函数 y=2x²， y = 2x 2 + 1， y = 2x 2 - 1 的图象，并探究它们的图象特征和性质． 新知探究 探究 做一做：画出二次函数 y=2x² , y=2x2+1 ，y=2x2-1的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、函数最值、增减性. 二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＞0) x … -2 –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y=2x2+1 … … y=2x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … y=2x2-1 … … 5.5 3.5 3 1 1.5 -0.5 1 -1 1.5 -0.5 3 1 5.5 3.5 9 9 7 7 新知探究 探究 x y O －2 2 2 4 6 4 －4 8 y=2x2+1 y=2x2 y=2x2-1 观察函数图象回答下列问题： （1）这三条抛物线的开口方向如何？顶点坐标、对称轴分别是什么？ 开口方向都向上 顶点坐标分别为（0，1）、（0，0）、（0，-1） 对称轴都是 y轴（或直线x=0) 新知探究 探究 x y O －2 2 2 4 6 4 －4 8 y=2x2+1 y=2x2 y=2x2-1 观察函数图象回答下列问题： （2）对于同一个x值，这三个函数对应的y值之间有什么关系？这三个函数的图象在位置上有什么关系？ 对于同一个x值，函数y=2x2+1比 y=2x² 大1, y=2x2-1比y=2x² 小1.y=2x2+1的图象在y=2x²的图象的上方1个单位，y=2x2-1的图象在y=2x²的图象的下方1个单位。 新知探究 探究 x y O －2 2 2 4 6 4 －4 8 y=2x2+1 y=2x2 y=2x2-1 观察函数图象回答下列问题： （3）当x分别取何值时，这三个函数取得最小值？最小值分别是多少？ 当x取0时，这三个函数都取得最小值，最小值分别是1，0，-1 新知探究 探究 对称轴的左侧（x＜0）y随x的增大而减小； 对称轴的右侧（x＞0）y随x的增大而增大。 观察函数图象回答下列问题： （4）函数的增减性是什么？ 新知探究 位置关系： 把抛物线y=2x²向上平移 1 个单位长度，就得到抛物线y=2x2+1; 抛物线y=2x2+1, y=2x2-1 与抛物线y=2x² 有什么关系？ 把抛物线y=2x²向下平移 1 个单位长度，就得到抛物线y=2x2-1。 新知探究 探究 二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＜0) 在同一坐标系内画出下列二次函数的图象： 新知探究 二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＜0) 根据图象回答下列问题： (1)图象的形状都是________； (2)三条抛物线的开口方向______； (3)对称轴都是______； (4)从上而下顶点坐标分别是________________________； 抛物线 向下 y轴 (0,2)，(0,0)，(0,-2) 新知探究 二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＜0) （5）顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为____、____、____； （6）函数的增减性都相同： _________________________； _________________________. 高 大 y=2 y=0 y=-2 对称轴左侧y随x增大而增大 对称轴右侧y随x增大而减小 新知探究 你能说出二次函数 y = ax 2 + k（a＞0）的图象特征和性质吗？ y=ax2+k a>0 a<0 图象 k>0 k<0 开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的增减性 最值 向上 向下 y轴（直线x=0） （0，k） 当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大. 当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小. x=0时，y最小值=k x=0时，y最大值=k 新知探究 抛物线 与抛物线 有什么关系？ 规律：把抛物线向上（）或向下（）平移个单位长度，就得到抛物线。 平移规律可简记为：上加下减 y=ax2 顶点(0, 0）0) y=ax2+k 顶点(0, k) 当k>0时，向上平移k个单位长度得到 当k<0时，向下平移∣k∣个单位长度得到 二次函数y=ax2+k的图象及平移 新知巩固 1.关于二次函数y=2x2+3,下列说法正确的是（ ） A.图象的开口向下 B.当x<－1时，y随x的增大而减小 C.图象的对称轴是直线x=2 D.当x=0时，y有最大值3 B 新知巩固 2、抛物线可由抛物线沿轴向_____平移_____个单位得到，它的开口向_____ ，顶点坐标是_____ ，对称轴是_____ ，有最_____点. 下 轴 低 3、将抛物线 y=3x2 向上平移2个单位长度，得到的新抛物线对应的函数表达式是__________. y=3x2 +2 【选自教材P16练习】 4．已知抛物线y＝4x2＋2上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2＜0，则y1与y2的大小关系是 (　 　) A．y1＜y2　　　B．y1＝y2　　　 C．y1＞y2　　　D．无法确定 C 新知巩固 【选自教材P15练习】 5.（1）在同一平面直角坐标系中，画出二次函数y=-x2，y=-x2+1， y=-x2 -1的图象. x … -4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 … y=-x2+1 … -7 -3.5 –1 0.5 1 0.5 –1 -3.5 -7 … y=-x2 … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 … y=-x2-1 … -9 -5.5 –3 -1.5 –1 -1.5 –3 -5.5 -9 … 新知巩固 y=-x2+1 y=-x2 y=-x2-1 新知巩固 （2）抛物线y=-x2-1的开口向________，顶点坐标（ ______，______），对称轴是________；当x=________时，y取得最________值，y最__=_____；抛物线y=-x2-1可由抛物线y=-x2 向______平移______个单位长度得到； 下 0 -1 y轴 0 -1 大 大 下 1 新知巩固 （3）对于函数y=-x2+1，当x＞0时，y随x的增大而______；当x＜0时，y随x的增大而________；当x=________时，y取得最________值， y最______=______.将抛物线y=-x2向_______平移_______个单位长度得到抛物线y=-x2+1. 减小 增大 0 大 大 1 上 1 拓展提升 6、如图，抛物线y＝x2－4与x轴交于A、B两点，点P为抛物线上一点，且S△PAB＝4，求P点的坐标． 解：抛物线y＝x2－4，令y＝0，得到x＝2或－2， 即A点的坐标为(－2，0)，B点的坐标为(2，0)， ∴AB＝4. ∵S△PAB＝4，设P点纵坐标为b， ∴ ×4|b|＝4，∴|b|＝2，即b＝2或－2. 当b＝2时，x2－4＝2，解得x＝± ， 此时P点坐标为( ，2)，(－ ，2)； 当b＝－2时，x2－4＝－2，解得x＝± ， 此时P点坐标为( ，2)，(－ ，2)． 当堂检测 1.抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物线 ．　　 y = 2x2－４ 2.填表： 函数 开口方向 顶点 对称轴 有最高（低）点 y = ３x2 y = 3x2＋1 y = -4x2－5 向上 向上 向下 （0,0） (0,1) (0,-5) y轴 y轴 y轴 有最低点 有最低点 有最高点 当堂检测 3.在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋k和二次函数y＝ax2＋k的图象大致为(　　) D 方法总结：熟记一次函数y＝kx＋b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质(开口方向、对称轴、顶点坐标等)是解决问题的关键． 6.抛物线y=ax2+c与x轴交于A（-2,0）﹑B两点，与y轴交于点C(0，-4),则三角形ABC的面积是_______. 当堂检测 4.对于二次函数y=(m+1)xm2-m+3,当x>0时y随x的增大而增大，则m=____. 2 -2 8 5.已知二次函数y=(a-2)x2+a2-2的最高点为（0，2），则a=____. 课堂小结 二次函数y=ax2+k 的图象和性质 图象 1.开口方向由a的符号决定； 2. k决定顶点的位置； 3.对称轴是y轴. 性质 增减性结合开口方向和对称轴才能确定. 与y=ax2的关系 平移规律： k正向上； k负向下. 【新教材】沪科版·九年级上册 感谢聆听! $