第21章 21.2.2 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质-课时3 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质-【初中必刷题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（沪科版·新教材）

该初中数学课件聚焦九年级上册二次函数y=a(x+h)²+k的图象和性质，通过复习y=ax²等基础形式导入，衔接顶点坐标、平移规律等核心内容，以刷基础、刷提升分层练习为支架，帮助学生逐步构建知识脉络。 其特色在于结合数学眼光中的几何直观与数学思维中的推理意识，通过顶点坐标分析、平移规律归纳等实例，如刷基础题判断抛物线开口方向与顶点，刷提升题探究面积最值，培养学生运算能力与应用意识。分层设计助力学生巩固知识，丰富的题型与解析为教师教学提供有效支持。

数 学 九年级上册 HK 1 2 3 第21章 二次函数与反比例函数 21.2 二次函数的图象和性质 4 21.2.2 二次函数 的图象和性质 课时3 二次函数 的图象和性质 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 二次函数 的图象和性质 （第1题图） 1.若二次函数 的图象如图所示，则坐标原点可能 是( ) A A.点 B.点 C.点 D.点 【解析】， 抛物线顶点坐标为， 坐 标原点可能是点 ，故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7 2.对于抛物线 ，下列说法正确的是( ) D A.抛物线开口向上 B.顶点坐标为 C.函数最小值为 D.当时，随 增大而减小 【解析】， 抛物线开口向下，顶点坐标为 ，函数的 最大值为，当时，随 增大而减小，故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8 3.若抛物线的顶点在第二象限，则 的取值范围为( ) D A. B. C. D. 【解析】， 抛物线的顶点为 顶点在第二象 限，，， ，故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9 思路分析 求出抛物线的顶点坐标为，再由第二象限点的坐标的特征得到 ， 即可求解． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10 4.【2026安徽阜阳校级质检】在平面直角坐标系中，已知 ， 为抛物线上两点，当 时， ，则 的取值范围为( ) A A. B. C. D. 【解析】 抛物线， 抛物线开口向上，对称轴为直线 ，位于的左侧. 当时满足， 当 时，，不满足题意；当 时，满足题意，此 时,即；当时，要满足条件，则点比 点 低，此时, .故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11 5. 开放性问题 【2026安徽合肥质检】写出一个同时满足下列两个条件的抛 物线表达式：（1）开口向下；（2）顶点坐标是 ，则这个抛物线表达式可 以是________________________________. （答案不唯一） 【解析】由题意得，这个二次函数可以是 ，故答案为 （答案不唯一）. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.抛物线上的点到 轴的最短的距离是___. 3 【解析】 抛物线， 抛物线开口向上，顶点坐标为， 当 时，函数有最小值3， 抛物线上的点到 轴的最短的距离是3，故答案为3. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 （第7题图） 7.如图，二次函数的图象过点 . （1） _ _； 【解析】 二次函数的图象过点 ， ，解得，故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 14 （2）当时，函数值 的取值范围是____________. 【解析】, 抛物线开口向上，当时，有最小值 . 当时，，当时，， 当时，函数值 的取值 范围是，故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 15 知识点2 二次函数 的图象的平移 8.将二次函数 的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数 图象的表达式是( ) C A. B. C. D. 【解析】由“左加右减”的原则可知，将二次函数 的图象向右平移2个单 位所得函数图象的表达式为 ；由“上加下减”的原则可知，将二次 函数 的图象向下平移3个单位所得函数图象的表达式为 ．故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 16 归纳总结 抛物线平移规律：左加右减自变量，上加下减常数项. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 17 9.【2026浙江绍兴期中】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过平移得 到抛物线 ，其对称轴与两抛物线所围成的阴影部分的面积为___. 1 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 18 【解析】 如图，设抛物线的顶点为点，对称轴与轴的交点为点，则易知 ， .过点作轴的垂线，交轴于点，则易得四边形为矩形， 易得 ，故答案为1. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 19 10.【2025安徽池州校级质检】把抛物线 先向左平移2个单位长 度，再向上平移4个单位长度，得到抛物线 . （1）试确定，， 的值； 【解】 抛物线 先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位 长度，得到抛物线,，， , ， . （2）求原抛物线关于 轴对称的抛物线的函数表达式. 【解】 原抛物线的函数表达式为， 顶点坐标为 . 点关于轴对称的点的坐标为，且关于 轴对称的抛物线的开口方向 相反， 原抛物线关于轴对称的抛物线的函数表达式为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 20 刷易错 易错点 混淆图象平移与坐标轴平移而致错 11.在平面直角坐标系中，若抛物线不动，而把轴、 轴分别向上、向右 平移1个单位，则在新坐标系中，抛物线的函数表达式为_________________． 【解析】抛物线的顶点坐标为 把轴、 轴分别向上、向右平移1个 单位， 新平面直角坐标系中抛物线的顶点坐标为， 新坐标系中抛物 线的函数表达式是．故答案为 ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 21 易错警示 注意认真审题，题目要求的是平移坐标轴，而不是平移抛物线，平移抛物线与平 移坐标轴时抛物线的表达式的变化规律刚好相反. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 22 提升 1.【2026安徽淮南期中，中】如图，点，的坐标分别为 和 ，抛物线的顶点在线段 上运动，抛物线 与轴交于，两点在的左侧，若点 的横坐标的最小值为 ，则点 的横坐标的最大值为( ) D A. B.1 C.5 D.8 【解析】由题意得，当点的横坐标取最小值时，抛物线的顶点与点 重合， 此时对称轴为直线， 点的横坐标为5， .当抛物线的顶点与点 重合时，抛物线对称轴为直线，， ，此时点 的横坐标取最大值，最大值为8.故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23 关键点拨 能够正确地判断出点横坐标最小、点 横坐标最大时抛物线的顶点坐标是解答此 题的关键. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 2.［中］已知二次函数，当时， 的最小值为 ，则 的值为( ) D A.或4 B.或 C.或4 D. 或4 关键点拨 分和 两种情况进行讨论是解题的关键. 【解析】 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 25 3.【2025安徽阜阳校级质检，较难】如图，抛物线 与 交于点 ，且两抛物线分别与轴交于点，，过点作 轴的 平行线，交两抛物线于点， ，则以下结论： ①无论取何值， 总是非负数； ②可由 向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到； ③当时，随着的增大， 的值先减小后增大； ④四边形 一定为正方形. 其中正确的有( ) B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 26 【解析】，， ， 无论取何值，总是负数，故①错误 抛物线 与 交于点， 当时， ，即 ，解得,，可由 向右平移3个 单位，再向下平移3个单位得到,故②正确 ， 随着 的增大， 的值逐渐减小,故③错误.④设与交于点 当 时， ，解得或， 点;当 时， ，解得或， 点， ， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 27 .当时，，，，， 四边形 为平行四边形，， 四边形为矩形.又， 四边形 为正方形.故④正确.故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 4.【2026安徽芜湖校级质检，中】如图，在正方形中，已知点 ，点 . （1）点 的坐标为______. 【解析】 四边形为正方形，， ， 点在第一象限， 易得点的坐标为 ，故答 案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 29 （2）当二次函数与正方形有公共点时， 的最小值为____. 【解析】， 抛物线开口向上，顶点坐标为， 抛物 线顶点在直线上，如图，当抛物线顶点在轴左侧，抛物线经过点时， 的值最小.把代入得，解得 （舍去）或 ，故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 30 5.【2025安徽滁州期末，中】已知点， 都在抛物线 上，且 . （1）若，则 _ _； 【解析】， 点，关于直线对称， ， 联立得解得.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 31 （2）若点，在对称轴两侧，且，，当时， 的最大值 为0，则 的取值范围是__________. 【解析】 点，在直线两侧，且， 点 在对称轴左侧，点 在对称轴右侧，，， ，即 ,， 点到对称轴的距离比点 到对称轴的距离远， ，，解得， ， ，，即 . 若,则当时，有最大值0， ，即 ，的取值范围是.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 32 刷素养 走向重高 6.思想方法 数形结合 ［难］如图，抛物线 与 轴交于，两点，与轴交于点 . （1）求抛物线的对称轴及 的值. 【解】 抛物线与轴交于点 ， ，， 抛物线的表达式为 ， 抛物线的对称轴为直线 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 33 （2）抛物线的对称轴上存在一点，使得的值最小，求此时点 的坐标. 图（1） 【解】如图（1），连接交抛物线的对称轴于点，则 的 值最小.当时，，解得或在 的左侧，，.设直线的表达式为 ， 解得 直线的表达式为，当 时， ， 点的坐标为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 34 思路分析 连接交抛物线的对称轴于点，则的值最小，求得点 的坐标，利用待 定系数法即可求得直线的表达式，则可求得此时点 的坐标. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 35 （3）点 是抛物线上的一动点，且在第三象限. 【解】 点是抛物线上的一动点， 设点的坐标为 . 又 点在第三象限， . ①当点运动到何处时，的面积最大？求出的最大面积及此时点 的坐标； 【解】， 点 在第 三象限，， 当，即点的坐标为 时， 的面积最大，最大值为8. 思路分析 用含的代数式表示出 ，将其转化为二次函数的最值问题，即可求解； 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 36 ②当点运动到何处时，四边形的面积最大？求出四边形 的最大面积 及此时点 的坐标. 图（2） 【解】如图（2），过点作 于 当时，四边形的面积最大，最大值为 ，此时 ，即点的坐标为， . ， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 37 思路分析 过点作于，用含的代数式表示出 ，将其转化为二次函数 的最值问题，即可求解. 设点的坐标为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 38 $