12.3.2一次函数与二元一次方程组（课件）--2026-2027学年沪科版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦一次函数与二元一次方程组的关系，核心知识点包括交点坐标对应方程组解、直线位置与解的情况（相交唯一解、平行无解、重合无数解）及数形结合思想。课堂导入通过回顾一次函数与二元一次方程的对应关系，以问题“能否用图象解方程组”衔接旧知，搭建学习支架。 其亮点在于以几何直观和推理意识为核心，通过例1-例3的图象绘制与交点分析，结合1星基础、2星中档、3星提升的分层习题，落实数形结合。课堂小结用表格对比“数”（方程组解）与“形”（直线位置）的联系，帮助学生构建知识体系。学生能提升数学思维与应用能力，教师可直接用于分层教学与考点巩固。

授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 沪科版（2024）数学八年级上册教学课件 第12章 函数与一次函数 12.3.2一次函数与二元一次方程组 2026年8月6日 沪科版八年级上册12.3.2一次函数与二元一次方程组同步练习题 本节在上一节基础上，深入探究一次函数与二元一次方程组的数形结合关系，是初中函数与方程融合的核心考点。核心知识点：两个一次函数图象的交点坐标，就是对应二元一次方程组的唯一解；两条直线平行无交点，对应方程组无解；两条直线完全重合，对应方程组有无数组解。通过图象可直观求解方程组、判断解的情况，同时能结合函数图象比较函数大小，解决简单实际问题。本节习题紧扣考点，题型循序渐进，夯实数形结合解题思维，适配课后巩固与考点训练。 A. $$\begin{cases}x=4\\y=-2\end{cases}$$ B. $$\begin{cases}x=-2\\y=4\end{cases}$$ C. x=4 D. y=-2 2. 若两个一次函数图象互相平行且不重合，则对应的二元一次方程组（ ） A. 有唯一解 B. 无解 C. 有无数组解 D. 无法确定 3. 直线y=2x+1与y=-x+4的交点，是哪个方程组的解（ ） A. $$\begin{cases}y=2x+1\\y=-x+4\end{cases}$$ B. $$\begin{cases}y=2x+1\\y=x+4\end{cases}$$ C. $$\begin{cases}y=2x-1\\y=-x+4\end{cases}$$ D. $$\begin{cases}y=2x+1\\y=-x-4\end{cases}$$ 4. 二元一次方程组有无数组解，则两个对应一次函数图象的位置关系是（ ） A. 相交 B. 平行 C. 重合 D. 垂直 5. 利用一次函数图象解二元一次方程组的核心思想是（ ） A. 分类讨论 B. 数形结合 C. 转化思想 D. 整体思想 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 二元一次方程组的解，对应两个一次函数图象的________坐标。 2. 两直线相交⇔方程组________；两直线平行⇔方程组________；两直线重合⇔方程组________。 3. 已知直线y=kx+3与y=2x-1交于点(2,3)，则方程组$$\begin{cases}y=kx+3\\y=2x-1\end{cases}$$的解为________。 4. 若一次函数y₁=k₁x+b₁，y₂=k₂x+b₂，当________时，两直线平行。 5. 从图象上看，两个函数图象的高低位置，可直接判断________的取值范围。 三、解答题（共60分） 1.（18分）已知一次函数y₁=3x-2，y₂=-x+6。（1）求两个函数图象的交点坐标；（2）写出对应二元一次方程组的解；（3）判断x取何值时y₁>y₂。 2.（20分）已知方程组$$\begin{cases}x+y=3\\2x-y=0\end{cases}$$。（1）将两个方程化为一次函数解析式；（2）利用函数思想求方程组的解；（3）判断两直线的位置关系。 3.（22分）已知一次函数y=(m-1)x+2与y=2x+n。（1）若两直线重合，求m、n的取值；（2）若两直线平行，求m的取值及n的限制条件；（3）若两直线交于点(1,3)，求m、n的值。 参考答案及解析 一、选择题 1. A 解析：两函数图象交点的横、纵坐标，直接对应二元一次方程组的唯一解。 2. B 解析：一次函数图象平行无交点，没有公共坐标点，对应方程组无解。 3. A 解析：两条直线解析式组成的方程组，其解即为两直线交点坐标。 4. C 解析：两直线完全重合时，图象上所有点均为方程组的解，因此有无数组解。 5. B 解析：将代数方程组求解转化为几何图象找点，是典型的数形结合思想。 二、填空题 1. 交点 2. 有唯一解；无解；有无数组解 3. $$\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}$$ 4. k₁=k₂且b₁≠b₂ 5. 函数大小比较 三、解答题 1. 解析：（1）联立3x-2=-x+6，解得x=2，y=4，交点坐标为(2,4)；（2）方程组的解为$$\begin{cases}x=2\\y=4\end{cases}$$；（3）图象上y₁在y₂上方时x>2，即x>2时y₁>y₂。 2. 解析：（1）变形得y=-x+3、y=2x；（2）联立解析式解得x=1，y=2，方程组解为$$\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}$$；（3）两直线k值不同，图象相交，方程组有唯一解。 3. 解析：（1）两直线重合需k、b均相等，得m-1=2，n=2，解得m=3，n=2；（2）两直线平行需k相等、b不等，即m-1=2，n≠2，得m=3，n≠2；（3）将(1,3)分别代入，解得m=2，n=1。 知识点总结：本节核心规律为“图象位置定方程解”，相交唯一解、平行无解、重合无数解。利用一次函数图象不仅能快速求解二元一次方程组，还能直观比较两个函数的大小，规避复杂代数计算。熟练掌握函数与方程组的转化关系，是攻克一次函数综合题、几何与代数融合题型的基础，也是中考高频基础考点。 学习目标 1 2 3 知道一次函数与二元一次方程组的关系，会用图象法解二元一次方程组； 会根据二元一次方程的系数判断二元一次方程组解的情况； 学习用函数的观点看待方程组的方法，进一步感受数形结合的思想方法. 2 新课导入 上节课我们学习了一次函数与二元一次方程间的对应关系，那么，我们是否可以利用一次函数图象来解二元一次方程组呢？ 推进新课 例1 (1) 在同一平面直角坐标系中，画出直线 l1：y=－x+1与 l2：y = 2x + 6 ； (2) 如果直线 l1 与 l2 交于点 P，写出点 P 的坐标； 解：(1) 图象如图所示. (2) 由图可知，直线 l1 与 l2 交于点 P，点 P 的坐标为(-2，2). (3) 说明点 P 的坐标是否为下面方程组的解. (3) 方程 x + 2y = 2 可以转化成一次函数y=－x+1的形式，因此，直线 l1： y=－x+1上任意一点的坐标都是方程 x + 2y = 2 的解. 同理，直线 l2 上任意一点的坐标都是方程 2x - y = -6 的解，所以直线 l1 与 l2的交点 P 的坐标是方程 x + 2y = 2 与2x - y = -6 的公共解，也就是说，点 P 的坐标是二元一次 方程组 的解. 归纳： 二元一次方程组的图象解法 二元一次方程 组的解 两个一次函数所在直线的交点坐标 对应 解方程组本质上是当两个函数的值相等时，求函数的自变量和对应的函数值． 数 形 例2 利用图象解法解方程组： 解：对于方程①，有 x ... 0 2 ... y ... -2 3 ... 过点 A(0，-2)和 B(2，3)画出方程①所对应的直线 l: y = -x-2. 同样地，点A(0，-2)和B(2，3)也在方程②所对应的直线上． 所以方程①和方程②所对应的直线都是经过A 和B 两点的直线 l， 如图，就是说，这两条直线重合. 显然，直线 l上每一个点的坐标都是方程组的解，所以方程组有无穷多组解. 1. 【思维生长】已知方程组 的解为 则直线____________与直线____________的交点坐标为_______． 1星题 基础练 y＝x－2 向“逆向推理”生长：已知直线y＝x＋3与直线y＝2x－4的交点坐标为(7，10)，则 是方程组______________的解． y＝－x＋4 (3，1) 7 10 举一反三 向“数形结合思想”生长：如图中的两直线l1、l2的交点坐标可看作是方程组________________的解． 举一反三 2．若一次函数y＝3x－1与y＝kx(k是常数，k≠0)的图象的交点坐标是(1，2)，则方程组 的解是____________． 举一反三 你能归纳出用图象法解二元一次方程组的一般步骤吗？ (1)变函数：把方程组化为一次函数y＝k1x＋b1与y＝k2x＋b2； (2)画图象：建立平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象； (3)找交点：由图象确定两直线交点的坐标； (4)写结论：依据点的坐标写出方程组的解. 思考： 例3 利用图象解法解方程组： 解：方程 3x + 2y = -2 对应直线 l1：y = -x - 1. 方程 6x + 4y = 4 对应直线 l2： y = -x + 1 作出直线 l1 和直线 l1 ，如图，两条直线平行，故方程组无解. (1)相交(有一个交点)⇔二元一次方程组有　唯一解　；  (2)平行(无交点)⇔二元一次方程组　无解　；  (3)重合(有无数个交点)⇔ 二元一次方程组有　无数个解.  归纳： 二元一次方程组的解三种情况 唯一解　 无解　 无穷组解 3．[厦门月考]已知直线y＝2x＋k与直线y＝kx－2的交点的横坐标为2，求k的值和交点的纵坐标． 解：由题意得 所以k的值为6，交点的纵坐标为10. 举一反三 4．利用图象解方程组： 解：方程组对应的两个一次函数为y＝2x＋5和y＝－x－1， 画出这两个一次函数的图象，如图所示． 由图象知两直线的交点坐标为(－2，1)， 所以原方程组的解为 举一反三 当把二元一次方程组化为 (其中a1，a2， b1，b2，c1，c2为常数)的形式后，比较每个例题里两个方程中x的系数之比、y的系数之比以及常数项之比，你发现了怎样的规律？ 思考： （1）当 时，方程组有一组解； a1 a2 ≠ b1 b2 （2）当 时，方程组有无穷多组解； a1 a2 = b1 b2 c1 c2 = 发现 （3）当 时，方程组无解. a1 a2 = b1 b2 c1 c2 ≠ 5. 【新考法】若关于x，y的二元一次方程组 有唯一解，则直线y＝3x－2与y＝kx－3的位置关系是(　　) A．平行 B．垂直 C．相交 D．重合 C 举一反三 6．一次函数y＝2x与y＝2x＋1的图象之间的位置关系是____________，这说明方程组 的解的情况是__________． 平行 无解 举一反三 7.【整体思想】[马鞍山期末]如图，直线y＝ax－b与直线y＝mx＋1交于点A(2，3)，则方程组 的解是(　　) D 2星题 中档练 举一反三 8．[六安期中]如图，在平面直角坐标系中，若直线y1＝－x＋a与直线y2＝bx－4相交于点P，则下列结论正确的是(　　) A．方程－x＋a＝bx－4的解是x＝－3 B．不等式－x＋a>－3和不等式bx－4>－3的解集相同 C．bx－4<－x＋a<0的解集是－2<x<1 D．方程组的解为 C 举一反三 9．[安庆期中]已知直线y＝x＋b和直线y＝ax＋2交于点P(3，－1)，则关于x的方程(a－1)x＝b－2的解为____________． x＝3 举一反三 10．若方程组 有无穷多组解，则直线y＝kx＋b不经过第______象限． 四 举一反三 11．[淮北期中]如图，直线y＝－x＋4和直线y＝2x＋1相交于点A，分别与y轴交于B，C两点． (1)求点A的坐标； 解：联立 所以点A的坐标为(1，3)． 举一反三 (2)求三角形ABC的面积； 解：当x＝0时，y＝－x＋4＝4， 所以点B的坐标为(0，4)． 当x＝0时，y＝2x＋1＝1， 所以点C的坐标为(0，1)． 所以S三角形ABC＝ 即三角形ABC的面积为 . 举一反三 (3)在x轴上有一动点P(a，0)，过点P作x轴的垂线，分别交直线y＝－x＋4和直线y＝2x＋1于点D，E，若DE＝18，求出此时点P的坐标． 解：由题意知，D(a，－a＋4)，E(a，2a＋1)， 所以DE＝|(2a＋1)－(－a＋4)|＝18， 解得a＝7或－5， 所以点P的坐标为(7，0)或(－5，0)． 举一反三 12. 【新考法】[上海期中]已知{a，b，c，…}max表示a，b，c，…这几个数中最大的那个数，{a，b，c，…}min表示a，b，c，…这几个数中最小的那个数，例如，{5，－3，0}min＝－3. (1){－2，4，1}max＝________； 4 3星题 提升练 (2)已知函数y＝ ，则ymax＝________． 2 举一反三 课堂小结 二元一次方程组的解与两直线l1：a1x＋b1y＝c1与l2：a2x＋b2y＝c2位置关系的联系(其中6 个常数均不为零)： 从“数”看 从“形”看 ≠ 方程组有唯一解 l1与l2相交 ＝ ≠ 方程组无解 l1与l2平行 ＝＝ 方程组有无数个解 l1与l2重合 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看 THANKS 解得 A. B. C. D. 的解为 解得 ·BC·|xA|＝×3×1＝， $