2.2.3 直线的一般式方程课后同步练习-2026年暑假预习高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦直线一般式方程，通过基础巩固-综合辨析-复杂应用三阶分层设计，实现从概念理解到问题解决的递进，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|方向向量、平行垂直判定、过定点|单选直接考查概念（如方向向量），夯实运算能力| |中档|倾斜角范围、截距关系、平行垂直综合|多选辨析易混点（如截距相等条件），提升推理能力| |提升|交点问题、含参直线过定点及象限判定|解答题分步设问（如截距相等与象限限制），发展问题解决能力|

2.2.3 直线的一般式方程课后同步练习 1．（25-26高二上·浙江宁波·期末）直线的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方向向量的定义可得直线的一个方向向量为，通过判断各选项中的向量与是否共线，可得正确选项. 【详解】由，得. 所以直线的斜率为. 所以直线的一个方向向量为. 对于A，，所以与共线，所以A正确； 对于B，，所以与不共线，所以B不正确； 对于C，，所以与不共线，所以C不正确； 对于D，，所以与不共线，所以D不正确. 故选：A. 2．（25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）已知直线：和直线：，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知直线：，可变形为，其斜率为， 直线：，可变形为，其斜率为， 因为， 所以，解得． 3．（2026高三·全国·专题练习）若过点的直线与直线垂直，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设所求直线方程为，代入求解即可. 【详解】设所求直线方程为， 代入， 得， 解得， 所以所求直线方程为. 4．（25-26高二下·上海黄浦·期末）直线：，直线：，若，则实数a的值为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线平行的系数关系列方程求解，再排除两直线重合的情况即可得到正确结果. 【详解】对于两条直线，，若，则满足且（不重合）； 由题得，， 首先由列等式：， 整理得，解得或， 当时，，，即，两直线重合，不符合题意，舍去； 当时，，，两直线斜率均为2，在轴上的截距分别为和，不重合，满足平行条件. 综上，. 5．（25-26高二上·广西玉林·期末）直线一定经过点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的直线方程，直接求出所过定点坐标即可. 【详解】直线，即，对任意实数，当时，恒成立， 所以点的坐标. 故选：A 6．（25-26高二上·广东·期末）过点且与垂直的直线方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设所求直线方程为，把点代入得的值即可. 【详解】设与垂直的直线方程为， 把点代入得，解得， 故所求直线方程为. 故选：C. 7．（25-26高二上·广东深圳·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论斜率的存在性，求出斜率的取值范围即可得倾斜角的范围. 【详解】由题意知，当时，直线的斜率不存在，其倾斜角； 当时，直线的斜率， 所以倾斜角， 综上，. 故选：C 8．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）（多选）已知直线： ，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是 B．过与直线平行的直线方程是 C．直线的两个截距相等 D．若直线：，则 【答案】BD 【详解】由，得，所以直线的斜率为，所以直线的倾斜角是，故A错误； 过与直线平行的直线方程是，即，故B正确； 直线，令，得；令，得， 即直线在轴上的截距为，在轴上的截距为1，故C错误； 由，得，所以直线的斜率为，直线的斜率为， ，所以，故D正确. 9．（25-26高二上·河北石家庄·期末）（多选）下列说法正确的有（    ） A．直线的倾斜角为 B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C．过、两点的所有直线的方程为 D．设直线的方程为，则直线倾斜角的取值范围是 【答案】AD 【分析】根据斜率和倾斜角的关系可以判断A；根据截距是否为0进行分类讨论求解直线方程可以判断B；根据两点式的使用条件可以判断C；根据斜率和倾斜角的关系，结合余弦函数的值域求解范围可以判断D. 【详解】对于A，直线可得，则斜率， 所以直线倾斜角满足，且，即，故正确； 对于B，当截距不为0时，由直线截距式可设直线方程为，代入 得，解得； 当截距为0时，可设直线方程为，代入得，即，故错误； 对于C，根据直线方程两点式可知，且，故错误； 对于D，由直线的方程为可得，斜率， 由得，设倾斜角为，则， 由，得,故正确， 故选：AD. 10．（25-26高二上·福建三明·阶段检测）（多选）已知直线，，则（ ） A．恒过点 B．若，则 C．若，则 D．当时，不经过第三象限 【答案】BD 【分析】对于选项A，将直线的方程化为，再由可求得定点对于选项B，C可通过直线一般式方程时两直线平行垂直的条件求解；对于选项D，将直线化为斜截式，再根据斜率和截距建立不等式可以求解 【详解】直线，则， 由，得，所以恒过定点，所以A错误； 由可得：，所以.当时，成立.B正确； 由可得：，，所以C错误； 由，当时，，不过第三象限； 当时，，不过第三象限，只需要，解得， 所以的取值范围为，所以D正确； 故选：BD. 11．（25-26高三·全国·一轮复习）经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为________． 【答案】 【分析】求出交点坐标，利用两直线垂直斜率关系求解即可. 【详解】联立,解得：，即交点为, 由于直线的斜率为，所以垂直于直线的直线斜率为， 则所求直线方程为：，化简可得：； 故答案为： 12．（25-26高一·全国·课后作业）若方程表示一条直线，则实数满足_________． 【答案】 【分析】根据直线的一般式方程，，不全为0的条件，求值判断即可. 【详解】解：当时，或； 当时，或． 要使方程表示一条直线， 则，不能同时为0，所以． 13．（2026·浙江温州·二模）直线过定点________，倾斜角的最小值是________． 【答案】 【分析】将直线方程化为，由求定点；直线方程化为，从而斜率为，再利用斜率和倾斜角的关系求解. 【详解】直线方程可以化为， 由得， 直线方程化为， 则直线的斜率为， 因为，所以，则 ， 即， 设直线的倾斜角为，则， 则， 所以倾斜角的最小值是. 故答案为： 14．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）分别求满足下列条件的直线方程： (1)过点且与直线垂直的直线方程； (2)过点且与直线平行的直线方程； (3)求过点，且在轴上的截距等于在轴上截距的直线方程． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）通过垂直关系求得所求直线的斜率，然后代入点斜式方程求解即可； （2）通过平行关系求得所求直线的斜率，然后代入点斜式方程求解即可； （3）按照截距为0和截距不为0两种情况，设出直线方程，将点的坐标代入方程即可求解. 【详解】（1）因为的斜率为3，所以所求直线的斜率为， 所以由点斜式方程可得，即． （2）因为的斜率为，所以所求直线的斜率为， 所以由点斜式方程可得，即． （3）①当截距为0时，设直线方程为， 因为直线过点，所以，即， 所以直线方程为，即． ②当截距不为0时，设直线方程为， 因为直线过点，所以，解得， 所以直线方程为，即． 综述：所求直线方程为或． 15．（25-26高二·全国·暑假作业）设直线的方程为． (1)若在两坐标轴上的截距均为0，求的方程； (2)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (3)若不经过第三象限，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或． (3)． 【分析】（1）根据直线过，列方程求得. （2）根据直线是否过原点进行分类讨论，结合截距相等求得直线的方程. （3）将直线方程化为斜截式，根据直线不经过第三象限列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）当直线过原点时，该直线在轴和轴上的截距为零， 所以，所以，即方程为． （2）当直线过原点时，该直线在轴和轴上的截距为零， 所以，所以，方程为； 当直线不过原点时，，由，得， 即方程为， 故所求的方程为或． （3）将的方程化为，要使不经过第三象限， 当且仅当且， 解得，故所求的取值范围为． 16．（25-26高二上·上海·期末）已知直线的方程为（）： (1)求证：直线必过定点，并写出此定点的坐标； (2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值； (3)若直线不经过平面直角坐标系的第二象限，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析，； (2)或； (3). 【分析】（1）求出直线所过定点即可. （2）求出直线的横纵截距，再列式求解. （3）求出直线的斜率及纵截距，结合题意列式求解. 【详解】（1）直线：，即， 由，得，所以直线必过定点，此定点坐标为. （2）依题意，，在直线：中，令，得；令，得， 由直线在两坐标轴上的截距相等，得，解得或， 所以或. （3）直线：的斜率为，纵截距为， 由直线不经过平面直角坐标系的第二象限，得，解得， 所以的取值范围是. 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.3 直线的一般式方程课后同步练习 1．（25-26高二上·浙江宁波·期末）直线的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）已知直线：和直线：，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026高三·全国·专题练习）若过点的直线与直线垂直，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·上海黄浦·期末）直线：，直线：，若，则实数a的值为（    ） A．或 B． C． D． 5．（25-26高二上·广西玉林·期末）直线一定经过点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·广东·期末）过点且与垂直的直线方程是（ ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·广东深圳·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）（多选）已知直线： ，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是 B．过与直线平行的直线方程是 C．直线的两个截距相等 D．若直线：，则 9．（25-26高二上·河北石家庄·期末）（多选）下列说法正确的有（    ） A．直线的倾斜角为 B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C．过、两点的所有直线的方程为 D．设直线的方程为，则直线倾斜角的取值范围是 10．（25-26高二上·福建三明·阶段检测）（多选）已知直线，，则（ ） A．恒过点 B．若，则 C．若，则 D．当时，不经过第三象限 11．（25-26高三·全国·一轮复习）经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为________． 12．（25-26高一·全国·课后作业）若方程表示一条直线，则实数满足_________． 13．（2026·浙江温州·二模）直线过定点________，倾斜角的最小值是________． 14．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）分别求满足下列条件的直线方程： (1)过点且与直线垂直的直线方程； (2)过点且与直线平行的直线方程； (3)求过点，且在轴上的截距等于在轴上截距的直线方程． 15．（25-26高二·全国·暑假作业）设直线的方程为． (1)若在两坐标轴上的截距均为0，求的方程； (2)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (3)若不经过第三象限，求实数的取值范围． 16．（25-26高二上·上海·期末）已知直线的方程为（）： (1)求证：直线必过定点，并写出此定点的坐标； (2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值； (3)若直线不经过平面直角坐标系的第二象限，求的取值范围． 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $