2.2.3　直线的一般式方程 同步练习 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修 第一册

**基本信息** 分层清晰，梯度合理，从基础概念到综合应用再到拓展创新，覆盖直线一般式方程核心知识点，适配新授课“基础巩固+能力提升”教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|直线截距、方程形式转换、平行垂直关系|选择填空结合解答题，强化运算能力与概念理解| |综合运用|直线过象限条件、三角形中直线方程应用|解答题结合几何情境，培养推理意识与模型观念| |拓展提高|动直线定点、面积最值问题|多选与探究题结合，发展创新意识与数学思维|

2.2.3　直线的一般式方程 一、基础巩固 1.直线x-5y+9=0在x轴上的截距等于(　　) A. B.-5 C. D.-3 2.过点(-3,0)和(0,4)的直线的一般式方程为(　　) A.4x+3y+12=0 B.4x+3y-12=0 C.4x-3y+12=0 D.4x-3y-12=0 3.过点(5,0)且与x+2y-2=0平行的直线的方程是(　　) A.2x+y+5=0 B.2x+y-5=0 C.x+2y-5=0 D.x+2y+5=0 4.若(2m2-5m+2)x-(m2-4)y+5m=0表示倾斜角为45°的直线,则m的值为(　　) A.-2 B.2 C.-3 D.3 5.已知直线ax+by-1=0在y轴上的截距为-1,且它的倾斜角是直线x-y-=0的倾斜角的2倍,则a,b的值分别为(　　) A.-,-1 B.,-1 C.-,1 D.,1 6.(多选)三条直线x+y=0,x-y=0,x+ay=3构成三角形,则a的取值可以是(　　) A.-1 B.1 C.2 D.5 7.直线l1:ax-y+b=0,l2:bx-y+a=0(a≠0,b≠0,a≠b)在同一坐标系中的图象大致是(　　) 8.斜率为2,且经过点A(5,3)的直线的一般式方程为　　　　.  9.设直线l1:(a+1)x+3y+2=0,直线l2:x+2y+1=0.若l1∥l2,则a=　　　　　;若l1⊥l2,则a=　　　　.  10.直线2x-y-2=0绕它与y轴的交点A按顺时针方向旋转90°所得的直线的方程是　　　　.  11.求满足下列条件的直线的一般式方程. (1)斜率为-2,经过点(3,4); (2)斜率为2,在y轴上的截距为3; (3)经过两点(-2,-1)和(-1,5); (4)在x轴、y轴上的截距分别为-4和2. 二、综合运用 12.若直线Ax+By+C=0通过第二、三、四象限,则系数A,B,C需满足条件(　　) A.A,B,C同号 B.AC<0,BC<0 C.C=0,AB<0 D.A=0,BC<0 13.若直线的截距式+=1化为斜截式为y=-2x+b,化为一般式为bx+ay-8=0且a>0,则a+b=　　　　.  14.已知△ABC的三个顶点分别为A(0,4),B(-2,6),C(-8,0). (1)求边AC和AB所在直线的方程; (2)求AC边上的中线BD所在直线的方程; (3)求AC边上的中垂线的方程. 三、拓展提高 15.(多选)已知直线l1:x-y-1=0,动直线l2:(k+1)x+ky+k=0(k∈R),则下列结论正确的是(　　) A.不存在k,使得l2的倾斜角为90° B.对任意的k,l1与l2都有公共点 C.对任意的k,l1与l2都不重合 D.对任意的k,l1与l2都不垂直 16.已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R). (1)证明:直线l过定点; (2)若直线不经过第四象限,求k的取值范围; (3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,△AOB的面积为S(O为坐标原点),求S的最小值并求此时直线l的方程. 2.2.3　直线的一般式方程 一、基础巩固 1.直线x-5y+9=0在x轴上的截距等于(　　) A. B.-5 C. D.-3 答案　D 解析　令y=0,得x+9=0, 即x=-3. 2.过点(-3,0)和(0,4)的直线的一般式方程为(　　) A.4x+3y+12=0 B.4x+3y-12=0 C.4x-3y+12=0 D.4x-3y-12=0 答案　C 解析　由截距式得直线方程为+=1, 整理得4x-3y+12=0. 3.过点(5,0)且与x+2y-2=0平行的直线的方程是(　　) A.2x+y+5=0 B.2x+y-5=0 C.x+2y-5=0 D.x+2y+5=0 答案　C 解析　由题意可设所求直线方程为x+2y+c=0(c≠-2). 因为(5,0)在该直线上, 所以5+2×0+c=0,得c=-5, 故该直线方程为x+2y-5=0. 4.若(2m2-5m+2)x-(m2-4)y+5m=0表示倾斜角为45°的直线,则m的值为(　　) A.-2 B.2 C.-3 D.3 答案　D 解析　∵(2m2-5m+2)x-(m2-4)y+5m=0表示倾斜角为45°的直线, ∴=tan 45°=1,且m≠±2, 解得m=3或m=2(舍去).故选D. 5.已知直线ax+by-1=0在y轴上的截距为-1,且它的倾斜角是直线x-y-=0的倾斜角的2倍,则a,b的值分别为(　　) A.-,-1 B.,-1 C.-,1 D.,1 答案　A 解析　原方程化为+=1, ∴=-1,∴b=-1. 又∵ax+by-1=0的斜率k=-=a, 且x-y-=0的倾斜角为60°, ∴k=tan 120°=-,∴a=-. 6.(多选)三条直线x+y=0,x-y=0,x+ay=3构成三角形,则a的取值可以是(　　) A.-1 B.1 C.2 D.5 答案　CD 解析　直线x+y=0与x-y=0都经过原点, 而无论a为何值,直线x+ay=3总不经过原点, 因此,要满足三条直线构成三角形,只需直线x+ay=3与另两条直线不平行, 所以a≠±1. 7.直线l1:ax-y+b=0,l2:bx-y+a=0(a≠0,b≠0,a≠b)在同一坐标系中的图象大致是(　　) 答案　C 解析　将l1与l2的方程化为l1:y=ax+b, l2:y=bx+a. A中,由图知l1∥l2,而a≠b,故A错误; B中,由l1的图象可知,a<0,b>0,由l2的图象知b>0,a>0,两者矛盾,故B错误; C中,由l1的图象可知,a>0,b>0,由l2的图象可知,a>0,b>0,故C正确; D中,由l1的图象可知,a>0,b<0,由l2的图象可知a>0,b>0,两者矛盾,故D错误. 8.斜率为2,且经过点A(5,3)的直线的一般式方程为　　　　.  答案　2x-y-7=0 解析　直线的点斜式方程为y-3=2(x-5), 整理可得直线的一般式方程为2x-y-7=0. 9.设直线l1:(a+1)x+3y+2=0,直线l2:x+2y+1=0.若l1∥l2,则a=　　　　　;若l1⊥l2,则a=　　　　.  答案　　-7 解析　若l1∥l2,则2(a+1)-3×1=0, 解得a=. 若l1⊥l2,则(a+1)×1+3×2=0, 解得a=-7. 10.直线2x-y-2=0绕它与y轴的交点A按顺时针方向旋转90°所得的直线的方程是　　　　.  答案　x+2y+4=0 解析　直线2x-y-2=0与y轴的交点为A(0,-2), ∵所求直线过点A且斜率为-, ∴所求直线的方程为y+2=-x, 即x+2y+4=0. 11.求满足下列条件的直线的一般式方程. (1)斜率为-2,经过点(3,4); (2)斜率为2,在y轴上的截距为3; (3)经过两点(-2,-1)和(-1,5); (4)在x轴、y轴上的截距分别为-4和2. 解　(1)k=-2,过点(3,4), 由点斜式得直线方程为y-4=-2(x-3), 即2x+y-10=0. (2)k=2,在y轴上的截距是3, 由斜截式得直线方程为y=2x+3, 即2x-y+3=0. (3)直线经过两点(-2,-1)和(-1,5), 由两点式得直线方程为=, 即6x-y+11=0. (4)直线在x,y轴上的截距分别为-4和2, 由截距式得直线方程为+=1, 即x-2y+4=0. 二、综合运用 12.若直线Ax+By+C=0通过第二、三、四象限,则系数A,B,C需满足条件(　　) A.A,B,C同号 B.AC<0,BC<0 C.C=0,AB<0 D.A=0,BC<0 答案　A 解析　由已知可推出B≠0, ∴原方程可化为y=-x-(B≠0). ∵直线过第二、三、四象限, ∴其斜率小于0,y轴上的截距小于0, 即-<0,且-<0. ∴>0,且>0, 即A,B同号,B,C同号. ∴A,B,C同号. 13.若直线的截距式+=1化为斜截式为y=-2x+b,化为一般式为bx+ay-8=0且a>0,则a+b=　　　　.  答案　6 解析　由+=1同乘b得y=-x+b, 故-=-2,① 由+=1同乘ab得bx+ay-ab=0, 故-ab=-8,② 解①②得a=2(-2舍),b=4,故a+b=6. 14.已知△ABC的三个顶点分别为A(0,4),B(-2,6),C(-8,0). (1)求边AC和AB所在直线的方程; (2)求AC边上的中线BD所在直线的方程; (3)求AC边上的中垂线的方程. 解　(1)由截距式,得边AC所在直线的方程为+=1,即x-2y+8=0. 由两点式,得边AB所在直线的方程为=, 即x+y-4=0. (2)由题意,得点D的坐标为(-4,2), 由两点式,得BD所在直线的方程为=, 即2x-y+10=0. (3)由kAC=, 得AC边上的中垂线的斜率为-2. 又AC的中点坐标为(-4,2), 由点斜式,得AC边上的中垂线的方程为y-2=-2(x+4),即2x+y+6=0. 三、拓展提高 15.(多选)已知直线l1:x-y-1=0,动直线l2:(k+1)x+ky+k=0(k∈R),则下列结论正确的是(　　) A.不存在k,使得l2的倾斜角为90° B.对任意的k,l1与l2都有公共点 C.对任意的k,l1与l2都不重合 D.对任意的k,l1与l2都不垂直 答案　BD 解析　对于A,当k=0时,直线l2的方程为x=0,其倾斜角为90°,故A错误. 对于B,直线l2:(k+1)x+ky+k=0(k∈R),即k(x+y+1)+x=0过定点(0,-1),而定点在直线l1上,故B正确. 对于C,当k=-时,直线l2的方程为x-y-=0, 即x-y-1=0,l1与l2重合,故C错误. 对于D,若两直线垂直,则1×(k+1)+(-1)×k=0,方程无解, 故对任意的k,l1与l2都不垂直,故D正确. 16.已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R). (1)证明:直线l过定点; (2)若直线不经过第四象限,求k的取值范围; (3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,△AOB的面积为S(O为坐标原点),求S的最小值并求此时直线l的方程. (1)证明　直线l的方程可化为y-1=k(x+2),由点斜式方程可知,直线l过定点(-2,1). (2)解　由方程知,当k≠0时直线在x轴上的截距为-,在y轴上的截距为1+2k, 要使直线不经过第四象限, 则必须有解得k>0; 当k=0时,直线为y=1,符合题意, 故k的取值范围是[0,+∞). (3)解　由题意可知k≠0,再由l的方程, 得A,B(0,1+2k). 依题意得解得k>0. ∵S=|OA|·|OB|=·|1+2k|=· =≥×(2×2+4)=4, “=”成立的条件是k>0且4k=,即k=, ∴Smin=4,此时直线l的方程为x-2y+4=0. 学科网（北京）股份有限公司 $