专题07 分段函数，对勾函数，二次函数最值及根的分布（压轴题专项训练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以函数性质（单调性、值域）为核心，通过“解题通法-题型归纳-压轴挑战”三阶体系，系统提炼分段函数、对勾函数、二次函数的参数求解与最值分析方法，强化逻辑推理与数学表达。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|5大核心+2原则|聚焦单调性规律、值域运算等核心，强调分类讨论与边界核验|从函数性质到参数约束，构建“性质-运算-检验”逻辑链| |题型归纳|6题型（每题型1典例+3变式）|分段函数单调性需分段单调+交界点满足；二次函数结合对称轴与区间位置；根分布用判别式、对称轴、端点值|从单一函数到综合应用，形成“特征-方法-变式”递进| |压轴挑战|选择4+填空7+解答4|综合运用多函数性质，强化复杂情境下参数分析与最值求解|整合各题型方法，提升数学思维的系统性与创新性|

专题07 分段函数，对勾函数，二次函数最值及根的分布 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、分段函数的单调性求参数 题型四、二次函数的单调性求参数 题型二、由分段函数的值域与最值求参数 题型五、二次函数含参数最值分析 题型三、对勾函数及其应用 题型六、一元二次方程根的分布问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 函数含参求解是高中函数模块核心重难点，全部六大题型围绕函数单调性规律、值域最值运算、函数图像性质、二次函数几何特征、方程根的分布约束五大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是分段函数分段区间单调性与衔接点函数值必须同步满足整体函数要求，二次类解析式务必区分二次项系数为0与不为0开展分类讨论，二是求解函数最值、实数根相关问题时必须核验对应边界条件与判别式，所有求解得到的参数取值结果最终均需要代入题干条件完成合规检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、分段函数的单调性求参数 典例1 （25-26高二下·甘肃·期末）已知函数对任意的，总满足以下不等关系：，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得： 当时，有， 当时，有， 说明在上严格单调递减. 已知， 可知是一个斜率为的一次函数，在上单调递减， 是一个开口向下的二次函数，对称轴为轴， 在上单调递减，故满足即可实现在上严格单调递减. ，，则， 解得. 题型模版 1.特征：函数由多个解析式分段构成，题干给出整体单调递增或单调递减条件，求解解析式内含参系数范围 2.方法：先保证每一段函数自身满足对应单调性要求，再保证分段交界点处左侧函数终值≤右侧函数初值（递增）/左侧函数终值≥右侧函数初值（递减），联立不等式组解得参数取值区间 变式1-1（25-26高二下·河北衡水·期末）函数，若对任意，（），都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用已知结合单调性定义得出单调递减，再应用分段函数单调性列式计算求解. 【详解】设，因为对任意，都有成立， 所以对任意，都有成立， 即对任意，都有成立． 因为， 所以函数，在上单调递减， 所以， 解得，即实数的取值范围是． 变式1-2（25-26高二下·河北沧州·阶段检测）已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知函数在上单调递减，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 变式1-3（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数是增函数，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据分段函数单调性的求法，结合一次函数的性质，分析求解，即可得答案. 【详解】因为为增函数，所以，解得， 则实数的取值范围是. 类型二、由分段函数的值域与最值求参数 典例2 （25-26高三上·广东深圳·阶段检测）设函数，若是函数的最小值，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据分段函数解析式，讨论、，结合二次函数的性质及的最小值列不等式求参数范围. 【详解】因为，函数的对称轴为直线， 当，即时，函数在上为增函数，过定点， 根据题意，有，此时； 当，即时，当时， 由题意得，解得． 综上所述，实数的取值范围是． 题型模版 1.特征：已知分段函数整体值域、最大值或最小值，反向求解函数表达式中的参数数值或取值范围 2.方法：分别求出每一段函数在对应区间上的值域，结合分段衔接点函数值整合整体值域，对照题干给定值域边界列出不等式，锁定参数取值 变式2-1（25-26高一上·福建泉州·期中）函数的值域为，则的取值范围是_______. 【答案】 【详解】解：由题意得：因为当时，，开口向下，对称轴为， 当时，函数在上递减，此时， 要使函数的值域为，则有 ，解得： 当时，函数在上递增，上递减，此时， 要使函数的值域为，则有，解得： 综上，的取值范围是，即. 变式2-2（2026·湖南邵阳·三模）已知函数若存在最大值，则实数的最大值为___________． 【答案】 【详解】若存在最大值，根据一次函数的单调性可知，分类讨论， 当，时，的最大值为， 而在区间上为单调递增函数，则，解得， 故， 当，时，的最大值为， 而在区间上为单调递增函数， 则，即，解得， 故， 综上所述可得的取值范围为，故的最大值为． 变式2-3（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【分析】分三种情况，分析函数的单调性及值域，即可得实数a的取值范围. 【详解】当时，在上单调递减，在上单调递增，所以. 若，则当时，， 当且仅当，即时，等号成立. 所以当，即，解得， 即时，函数的值域为； 若，则当时，.此时的值域为，不合题意； 若，则当时，单调递增， 当时，；当时，，故，即. 综上，实数a的取值范围为. 题型三、对勾函数及其应用 典例3 （23-24高一上·河南郑州·期中）对勾函数是形如的函数，其中为自变量，是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，因其图象而得名.已知对勾函数，在区间上的单调性是：在区间上单调递减，在区间上单调递增. (1)若对勾函数，根据函数单调性的定义证明在区间上单调递增； (2)若对勾函数，写出函数的单调区间（不必证明）并作出函数的图象.    (3)已知对勾函数，，二次函数，设的最大值为，若，，求实数的取值范围 【答案】(1)证明见解析 (2)单调增区间是和；单调减区间是和；图象见解析 (3) 【分析】（1）利用函数单调性的定义，结合作差法即可得证； （2）结合已知与奇函数的对称性写出单调区间，作出图象； （3）求出的最大值为，将条件转化为，的恒成立问题，再利用已知函数的单调性，求出函数的最小值，则由可得的范围. 【详解】（1）， 任取，不妨设， 因为 ， 因为，所以，，，所以， 所以，即， 所以在区间上单调递增． （2）函数的单调增区间是和；单调减区间是和； 函数的图象如图：    （3）由题意 当时，，则， 由，，得，恒成立， 由题意知，当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 则， 要使在恒成立，则 则，解得. 故实数的取值范围是. 题型模版 1.特征：函数形式为，常结合指定区间求解最值、单调区间，依托最值条件反求参数 2.方法：依托对勾函数两个顶点坐标划分单调增减区间，根据定义域区间与顶点位置的关系判断最值位置，列式计算参数大小 变式3-1（25-26高一上·福建宁德·期末）（，）是由正比例函数和反比例函数相加构成的函数，其图象具有独特的“双勾”形状，被称为“对勾函数”. (1)若，判断函数在上的单调性，并用定义证明； (2)若两个不相等的正数m，n满足，求证：； (3)若，是否存在实数s，t，使得在上的值域是？若存在，求出所有s，t的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) 在上单调递增，理由如下： 证明：任取，且，， 则 因为，故且 于是，即，所以在单调递增 (2) 依题意得，，即，整理得 因为，所以，即 又依题意m，，故 因为，故等号不成立，所以 (3)不存在，理由： 假设存在实数，使得在的值域是，易知， 因为定义域为，区间是连续区间，故符号相同 当时，因为，故，即 由（1）可知，在单调递增，于是，即，故有， 得，这与矛盾，故无解 同理，当时，可得. 由，可得是奇函数，由对称性可知在单调递增. 于是，得，解得，这与矛盾，故无解. 综上所述，不存在符合要求的实数s，t. 变式3-2（2022·上海静安·模拟预测）因函数的图像形状象对勾，我们称形如“”的函数为“对勾函数”． (1)证明对勾函数具有性质：在上是减函数，在上是增函数． (2)已知，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域； (3)对于（2）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)单调递减区间为，单调递增区间为，值域为； (3). 【分析】（1）根据函数单调性的定义进行证明即可； （2）利用对勾函数的单调性的性质进行求解即可； （3）结合（2）的结论，根据任意性、存在性的定义进行求解即可. 【详解】（1）设是任意两个实数，且任取，则 若，则，，即，，所以 所以，即，所以在上是减函数， 若，则，，即，，所以， 所以，即，所以在上是减函数， 所以对勾函数具有性质：在上是减函数，在上是增函数； （2）， 令，因为，所以，则， 由对勾函数的性质，可得在上单调递减，在上单调递增， 所以在上是减函数，在上是增函数，所以，，， 综上可得，的单调递减区间为，单调递增区间为，值域为． （3）由（2）知时，若存在，使得成立， 只需，在上有解即可，即最小值， 令，在上是减函数，在上是增函数，所以最小值， 所以，即实数的取值范围为． 变式3-3（25-26高一上·浙江衢州·期中）函数，当时，因其图象形状似对勾，我们称之为“对勾函数”，“对勾函数”在区间和上均单调递减，在区间和上均单调递增；当时，因其图象似两条飘带，我们称之为“飘带函数”，“飘带函数”在和上均为增函数．已知函数． (1)当时，计算的值； (2)当时，若不等式对恒成立，求实数的取值范围； (3)设，是否存在正实数，使得对于区间上的任意三个实数，都存在以为边长的三角形？若存在，试求出这样的的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）当时，，易得的值； （2）分离参数后，转化为求最值问题； （3）设，，则，，原问题转化为求实数的取值范围，使得在区间上，恒有，按照于区间的位置关系分类讨论即可. 【详解】（1）当时，， （2）当时，，设， 则由飘带函数单调性得，， （分离参数）， 即对于任意恒成立，则只需 设，由飘带函数单调性知在单调递增， 所以， 所以． （3）设在单调递减，可得， 则， 原问题转化为求实数的取值范围，使得在区间上，恒有． ①当，即时，在上单调递增， 则，， 由，解得， 所以； ②当，即时， 在上单调递减，在上单调递增， 则， 由， 若，即时， 则，由 解得， 所以； 若，即时， 则，由， 所以． ③当，即时，在上单调递减， 则，， 由，解得， 所以． 综上所述，存在正实数满足题意，且的取值范围为． 题型四、二次函数的单调性求参数 典例4 （25-26高二下·天津红桥·期末）设函数，满足，且对任意实数x均有，当时，若是单调函数，则实数k的取值范围为________． 【答案】或 【分析】先根据已知条件求出的值，然后根据二次函数的单调性求出结果. 【详解】因为，所以，即， 因为对任意实数x均有，所以，即. 解得. 所以函数的表达式为，所以. 设，要使得是上的单调函数，只要 或或或 解得或. 题型模版 1.特征：给出二次函数单调区间，或是给定区间上单调，求解二次函数表达式内参数的取值范围 2.方法：先写出二次函数对称轴方程，结合开口方向判定对称轴与已知区间的位置关系，列出不等式求解参数 变式4-1已知函数与． (1)若，求k的值； (2)若两函数在区间上都是增函数，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知可得，进而可得，求解即可； （2）利用二次函数的单调性和反比例函数的单调性可求得实数k的取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以， 又所以，所以， 解得或（舍去），所以； （2）对于函数，它是二次函数，开口向下， 对称轴为， 因为在区间上是增函数，所以且； 对于函数，它是反比例函数向左平移2个单位得到的， 当时，在和上单调递减； 当时，在和上单调递增； 由在区间上是增函数，所以； 综上所述：实数k的取值范围为. 变式4-2（2026·河北沧州·模拟预测）（多选）已知函数在区间上单调递增，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】函数的单调递增区间为， 依题意，，则，解得， 因此的可能取值是，ABD是，C不是. 变式4-3（25-26高一上·重庆·期末）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，按是否为0分类，利用二次函数单调性列式求解. 【详解】当时，在上单调递增，符合题意，则； 当时，由函数在上是增函数，得且，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 题型五、二次函数含参数最值分析 典例5 （25-26高二下·浙江宁波·期末）已知函数． (1)若的解集为，求的解集； (2)当，，时，是否存在，使得函数定义域和值域均为，若存在，求出，的值，不存在请说明理由； (3)记，当时，对任意的，，都存在使得关于的不等式有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)，或， (3) 【分析】（1）根据一元二次方程和一元二次不等式的关系，由已知确定的符号及方程的解，利用换元法求的解集； （2）先确定的对称轴及在上的值域，再分类讨论，确定的值； （3）先确定问题的等价条件，即，再根据二次函数的性质，确定，最后求得的取值范围. 【详解】（1）由题意可知二次方程的两个解为2，4，且， 由韦达定理，有，故. 当时，可化为， 令，有，故二次方程的两个解为， 又，所以的解集为. （2）当，，时，， 则函数的对称轴为，且。 ①当时，有，且， 由二次函数的对称性可知， 故当时，的值域为，所以； 当时，由题意可知，整理得， 解得（舍去），或. ②当时，在上单调递增，有，， 即二次方程应有两个大于等于2的根，由①可知，此时不存在的值符合题意； ③当时，在上单调递减，此时不存在的值符合题意； 综上，使得定义域和值域均为的的值为，或，. （3）因为不等式有解，所以． 因为对任意的，都存在使得，所以． 因为在当中，二次项系数1决定函数形状，一次项系数与常数项对函数只产生平移作用，所以当对称轴为，且时，取得最小值， 此时，解得，， 则， 于是，解得． 题型模版 1.特征：二次函数解析式带参、定义域区间固定，或区间带参解析式固定，求解区间内最大值、最小值 2.方法：以对称轴在定义域区间左侧、区间内部、区间右侧三种情况分类讨论，结合抛物线开口方向判定最值点位，计算对应最值并整理参数范围 变式5-1（2026高一·全国·专题练习）已知二次函数，设对任意的，都有恒成立，则实数的取值范围为______. 【答案】 【详解】 ∵对任意的，恒成立，∴当时，. ∵二次函数， ∴函数的图象开口向上，对称轴为直线， 分以下三种情况讨论： （i）当，即时，函数在区间上单调递增， ∴， ∴，即，解得或， ∵，∴. （ii）当，即时， 函数在区间上单调递减，在上单调递增， ∴， ∴，即， ∵二次项系数大于0且，∴不等式无解. （iii）当，即时，函数在区间上单调递减， ∴， ∴，即，解得：或， ∵，∴. 综上可知，实数的取值范围为. 变式5-2（2026·江西赣州·二模）已知函数在区间上的最大值为，在区间上的最大值为．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对分情况①，②，③，④，⑤讨论，前四种情况都与矛盾，第五种情况可根据单调性求解. 【详解】设，易得在上递增，在上递减，且有两个零点和， 因可由保持轴上方部分并将轴下方部分沿轴翻折得到， 如上图，在上递减，在上递增， 在上递减，在上递增. ① 当时，在的最大值， 在的最大值为，矛盾； ② 当时，在的最大值， 在的最大值为，矛盾； ③ 当时，在的最大值， 在的最大值为，矛盾； ④ 当时，在的最大值，因， 在单调递增，最大值，，矛盾； ⑤ 当时，在的最大值， ，，由图可知，此时只需令 即可， 解得或，所以， 综上所述，的取值范围是. 变式5-3（2026·天津·二模）已知，，函数在上的最大值为，若对任意恒成立，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】分析对函数的影响，再对分类讨论，根据二次函数的单调性找到最值和的关系，进行求解. 【详解】设，，则， 对于固定的，在的值域是，值域的区间长度为， 此时函数在的最大值为的含义是：数轴上，点到区间上所有点的最大距离为. 若，则，若或，则，所以. 对任意恒成立等价于，即：， ， ①当时，即：时，在上单调递增，所以 ，令，解得，符合题意； ②当，即：时，，而，， 若，则：，，因为，所以 ，则 ，不满足条件； 若，则，，令，解得：或，不满足条件； ③当，即：时，在上单调递减，所以，令，解得：，符合条件. 综上所述，的取值范围为. 题型五、一元二次方程根的分布问题 典例6 （24-25高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】设关于x的方程的两个根分别为，根据满足的条件列不等式组，解不等式组即可得实数的取值范围. 【详解】设关于x的方程的两个根分别为, 则由根与系数的关系，知 所以由题意知， 即 ，解得. 故选：B. 题型模版 1.特征：一元二次方程含有参数，限定实数根落在指定区间内、根的正负、两根大小关系等约束条件 2.方法：结合判别式、对称轴位置、区间端点函数值符号三大条件联立不等式组，综合求解参数取值范围 变式6-1（25-26高一上·天津南开·阶段检测）设二次函数． (1)若关于的方程有两个不相等的实数根，且两根都大于等于且小于等于2，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有一个根小于1，另一个根大于1且小于2，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助二次函数图像得到求解即可； （2）借助的图象与轴交点横坐标一个小于1，另一个大于1且小于2，得到求解即可. 【详解】（1）令，由题意可知： 的图象与轴有两个交点，且交点位于之间，包括端点， 所以即 解得：， 即实数的取值范围是 （2）由得： 令，由题意可得： 的图象与轴交点横坐标一个小于1，另一个大于1且小于2， 所以即，解得， 即实数的取值范围是. 变式6-2（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数（）． (1)若对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式； (3)若存在使关于x的方程有四个不同的实根，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3). 【分析】（1）按与分类讨论，利用一元二次不等式恒成立列式求解. （2）分类讨论求解含参数的不等式. （3）将问题转化为存在，使得方程有两个不同正根，再利用判别式及韦达定理列式求解. 【详解】（1）不等式对一切实数恒成立， 当时，不等式对一切实数不恒成立； 当时，则有，解得， 所以实数的取值范围是. （2）不等式， 当时，不等式为，解得； 当时，不等式为，解得； 当时，不等式为， 当时，，解得或； 当时，，解得； 当时，，解得或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （3）关于的方程有四个不等实根， 即方程有两个不同正根，则， 由，得，且存在，不等式成立， 而是关于的一次函数，因此， 即，又，解得， 所以实数的取值范围是. 变式6-3（23-24高一上·浙江台州·阶段检测）已知函数，． (1)恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，求不等式的解集； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值． 【答案】(1) (2) 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. (3) 【分析】（1）将不等式化为；当时易知满足题意；当时，根据一元二次不等式恒成立问题的求法可求得结果； （2）分别在、和三种情况下，解一元二次不等式求得结果； （3）由基本不等式可求解得，根据题意，将题中条件转化为有两个不同正根，由二次函数根的分布列不等式组，由求解的取值范围. 【详解】（1）由得恒成立，恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. （2）当时，； 令，解得：，； 当，即时，恒成立，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为； 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （3）当时，令， 当且仅当时取等号， 依题意可得关于的方程有四个不等实根， 令，则转化为存在使得关于的方程， 即有两个不同正根， 则 ，由第二个与第三个不等式可得， 由知，存在使不等式成立， 把看成主元代入，故，即， 解得或，综合可得， 故实数的取值范围是. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（23-24高一下·福建福州·阶段检测）已知函数，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据函数在上单调递增求出实数的取值范围，再利用集合的包含关系判断即可. 【详解】因为，所以函数在上为增函数， 若函数在上单调递增，所以函数在上为增函数， 任取、且，则 ， 因为、且，则，， 故只需，故， 且有，即，解得， 故当在上单调递增时，， 因为是的真子集， 故“”是“在上单调递增”的充分不必要条件. 2．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知在上满足，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得出在上单调递增，因为其中二次函数的系数，故分和两类讨论，结合一次函数单调性，二次函数单调性列出不等式可求得的范围. 【详解】由题意知，在上单调递增， 当时，，满足题意； 当时，得， 所以． 3．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可得出时，，然后根据的值域为可得出，从而得出时，，从而可得出，从而解出的范围即可． 【详解】当时，， ∵的值域为，∴，即， ∴时，， ∴，解得，又因为，所以， ∴实数的取值范围是． 故选：B． 4．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，若对于区间上的任意两个不相等的实数，，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将条件转化为函数在区间上单调，根据二次函数对称轴与区间的位置关系列不等式求解的取值范围． 【详解】二次函数图象的对称轴为直线， ∵对于任意，且，都有，即在区间上是单调函数， ∴或， ∴或，即实数的取值范围为． 故选：C． 二、填空题 5．（25-26高二下·天津滨海新区·阶段检测）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【分析】构造对应二次函数，结合一元二次方程根的分布特征列不等式组，求解后取交集得到的取值范围. 【详解】令二次函数，其图象开口向上. 已知方程有两个根，则， 化简得，解得或. 因为两个实根都大于，所以对称轴位于直线右侧，且处的函数值大于0. 即对称轴，即，解得. 处的函数值大于： ，解得. 因此. 6．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）若在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为___________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的分布直接求解． 【详解】方程在上有两个不相等的实数根， ，解得． 7．（25-26高一下·浙江宁波·强基计划）关于x的一元二次方程有一个大于0小于4的根，则a的取值范围为______． 【答案】 【详解】方程，解得， 依题意，，解得， 所以a的取值范围为. 8．（25-26高一上·上海·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】由题可知该函数在上的值域包含，对实数的取值进行分类讨论，利用集合的包含关系可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】设， 当时，，即函数在上的值域为， 要使得函数的值域为，则该函数在上的值域包含， 若，即时，当时，，不符合题意； 若，即时，当时，，不符合题意； 若，即时，当时，， 所以函数在上的值域为， 由题意可得，所以，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 9．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）设，若是的最小值，则的取值范围为_____． 【答案】 【分析】当，函数为二次函数，是的最小值，则，得，且， 当时，利用基本不等式可得，则，解得，两种情况取交集即可得到的取值范围. 【详解】当，对称轴为， 因为是的最小值，所以，即得，可得， 当时，可得， 当且仅当时等号成立， 因为函数的最小值为，则，解得， 综上可得实数的取值范围为． 故答案为：. 10．已知函数在区间上单调，且，则a的取值范围为___________． 【答案】 【分析】函数在 上单调，且值域仍为 .因此应按单调递增、单调递减两种情况讨论：递增时两个端点分别为不动点；递减时两个端点互相对应.再结合二次函数的单调区间确定参数范围. 【详解】函数的对称轴为 因为 ，分两种情况讨论. 情况一： 在 上单调递增. 此时 所以 是方程的两个不同实根，即 该方程的两个根为故首先需要 . 由于 在 上单调递增，区间应位于对称轴右侧，因此较小的根满足 于是即 结合 ，得 情况二： 在 上单调递减. 此时 两式相减，得 因为 ，所以 将代入 ，得 同理， 也满足该方程.因此 是方程的两个不同实根，分别为 故需要 又因为 在 上单调递减，区间应位于对称轴左侧，所以较大的根满足 于是即 结合 ，得 综上， 11．形如的函数，我们称之为“对勾函数”，“对勾函数”具有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数在上的最大值比最小值大，则 ________. 【答案】或/或 【分析】分，和三种情况，分别求函数在上的最大值和最小值，从而可求出的值. 【详解】由对勾函数的性质，可得在上单调递减，在上单调递增. ①当，即时，在上单调递增，，解得； ②当，即时，在上单调递减，，解得(舍去)； ③当，即时，在上单调递减，在上单调递增，，或. 当时，， 解得或(舍去)，则，经验证，符合题意. 当时，， 解得或，即(舍去)或(舍去). 综上，的值为或. 故答案为：或. 三、解答题 12．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）已知函数． (1)若函数在区间上不单调，求实数a的取值范围； (2)若函数在上的最大值为1，求实数a的值． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）根据二次函数的对称轴范围求解； （2）对实数a的取值范围进行分类讨论，分析二次函数在上的单调性，结合已知条件可得出实数a的等式，即可解得实数a的值. 【详解】（1）因为图象的对称轴为． 又因为在上不单调，所以，解得． 即实数a的取值范围为． （2）由于区间的中点为， ①当，即时，， 所以，即，满足题意； ②当，即时，， 所以，即，满足题意． 综上可知，或． 13．（25-26高一下·安徽阜阳·开学考试）已知函数，． (1)当函数不单调，求的取值范围； (2)当函数的最小值是关于的函数，求表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合二次函数的性质列不等式求解即可. （2）根据二次函数的对称轴及定区间，对分情况讨论，分别求出对应情况下最小值即可. 【详解】（1）由函数， 可得该函数图象开口向上，对称轴为， 要使函数在不单调，可得，解得， 所以实数a的取值范围. （2）由（1）知，该函数图象开口向上，对称轴为， 当，即时，在单调递增，所以； 当，即时，在单调递减，在单调递增， 所以； 当，即时，在单调递减，所以， 综上，表达式为：. 14．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数，，． (1)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围； (2)若对任意，存在，使得，求的取值范围； (3)若，对任意，总存在使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将不等式恒成立转化为恒成立，再根据即可求m的取值范围； （2）将题中条件转化为的值域包含于的值域，再根据区间的两端点的函数值可得到的对称轴在区间之间，从而可得到，进而可求得m的取值范围； （3）将不等式成立化简得到不等式成立，再构造函数，从而得到，再构造函数，根据即可求解． 【详解】（1）由题意得恒成立， 得恒成立，即 解得． （2）当，当， 由题意得 ∴得， 此时对称轴为， 故，即得或， 综上可得； （3）由题意得对任意，总存在，使得不等式成立， 令，由题意得， 而， 设，则， 而， 易得，故． 15．（25-26高一上·江苏淮安·阶段检测）小明同学在学习“对勾函数”的图象与性质后，研究了函数，发现：函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增. (1)证明：是上的单调递增函数； (2)若对任意恒成立，求实数m的最大值； (3)是否存在正实数a，b，使得函数值域为？若存在，求出；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）通过定义法任取区间内两点，计算函数差并分析符号，证明单调性； （2）将不等式变形为，利用函数单调性求最小值得的最大值； （3）利用函数单调性转化为方程求解，分析方程无正实数解，得出不存在的结论. 【详解】（1）任取，且， ， 因，故，，得， 因此：， 又，故，即在上单调递增. （2）依题意，对任意恒成立， 即，对任意，不等式恒成立， ， 需（）. 由题设，在递减、递增， ，故，即，的最大值为3. （3）在单调递增. 若存在正实数使值域为，则， 即需方程有正实数解， 当时，，故； 当时，且，故. 因此，对任意正实数，，方程无正实数解， 故不存在这样的正实数. 16．（23-24高一上·云南昆明·阶段检测）由于函数的图象形状如勾，因此我们称形如“”的函数叫做“对勾函数”，该函数有如下性质：在上是减函数，在上是增函数． (1)已知函数，，利用题干性质，求函数的单调区间和值域； (2)若对于，都有恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1)递减区间是，递增区间是，值域是； (2). 【分析】（1）换元并利用对勾函数的单调性求解即得. （2）变形函数式，再利用对勾函数单调性求出最小值即得. 【详解】（1）函数，，令，则， 由对勾函数性质知，函数在上单调递减，在上单调递增， 而在上单调递增，又当时，，当时，， 因此在上单调递减，在上单调递增，，， 所以函数的递减区间是，递增区间是，值域是. （2）当时，， 令，显然函数在上单调递增， 则当时，，于是当时，取得最小值5， 因为对，都有成立，则， 所以m的取值范围是. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 分段函数，对勾函数，二次函数最值及根的分布 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、分段函数的单调性求参数 题型四、二次函数的单调性求参数 题型二、由分段函数的值域与最值求参数 题型五、二次函数含参数最值分析 题型三、对勾函数及其应用 题型六、一元二次方程根的分布问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 函数含参求解是高中函数模块核心重难点，全部六大题型围绕函数单调性规律、值域最值运算、函数图像性质、二次函数几何特征、方程根的分布约束五大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是分段函数分段区间单调性与衔接点函数值必须同步满足整体函数要求，二次类解析式务必区分二次项系数为0与不为0开展分类讨论，二是求解函数最值、实数根相关问题时必须核验对应边界条件与判别式，所有求解得到的参数取值结果最终均需要代入题干条件完成合规检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、分段函数的单调性求参数 典例1 （25-26高二下·甘肃·期末）已知函数对任意的，总满足以下不等关系：，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：函数由多个解析式分段构成，题干给出整体单调递增或单调递减条件，求解解析式内含参系数范围 2.方法：先保证每一段函数自身满足对应单调性要求，再保证分段交界点处左侧函数终值≤右侧函数初值（递增）/左侧函数终值≥右侧函数初值（递减），联立不等式组解得参数取值区间 变式1-1（25-26高二下·河北衡水·期末）函数，若对任意，（），都有成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式1-2（25-26高二下·河北沧州·阶段检测）已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式1-3（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数是增函数，则实数的取值范围是__________． 类型二、由分段函数的值域与最值求参数 典例2 （25-26高三上·广东深圳·阶段检测）设函数，若是函数的最小值，则实数的取值范围是______． 题型模版 1.特征：已知分段函数整体值域、最大值或最小值，反向求解函数表达式中的参数数值或取值范围 2.方法：分别求出每一段函数在对应区间上的值域，结合分段衔接点函数值整合整体值域，对照题干给定值域边界列出不等式，锁定参数取值 变式2-1（25-26高一上·福建泉州·期中）函数的值域为，则的取值范围是_______. 变式2-2（2026·湖南邵阳·三模）已知函数若存在最大值，则实数的最大值为___________． 变式2-3（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为______. 题型三、对勾函数及其应用 典例3 （23-24高一上·河南郑州·期中）对勾函数是形如的函数，其中为自变量，是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，因其图象而得名.已知对勾函数，在区间上的单调性是：在区间上单调递减，在区间上单调递增. (1)若对勾函数，根据函数单调性的定义证明在区间上单调递增； (2)若对勾函数，写出函数的单调区间（不必证明）并作出函数的图象.    (3)已知对勾函数，，二次函数，设的最大值为，若，，求实数的取值范围 题型模版 1.特征：函数形式为，常结合指定区间求解最值、单调区间，依托最值条件反求参数 2.方法：依托对勾函数两个顶点坐标划分单调增减区间，根据定义域区间与顶点位置的关系判断最值位置，列式计算参数大小 变式3-1（25-26高一上·福建宁德·期末）（，）是由正比例函数和反比例函数相加构成的函数，其图象具有独特的“双勾”形状，被称为“对勾函数”. (1)若，判断函数在上的单调性，并用定义证明； (2)若两个不相等的正数m，n满足，求证：； (3)若，是否存在实数s，t，使得在上的值域是？若存在，求出所有s，t的值；若不存在，说明理由. 变式3-2（2022·上海静安·模拟预测）因函数的图像形状象对勾，我们称形如“”的函数为“对勾函数”． (1)证明对勾函数具有性质：在上是减函数，在上是增函数． (2)已知，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域； (3)对于（2）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 变式3-3（25-26高一上·浙江衢州·期中）函数，当时，因其图象形状似对勾，我们称之为“对勾函数”，“对勾函数”在区间和上均单调递减，在区间和上均单调递增；当时，因其图象似两条飘带，我们称之为“飘带函数”，“飘带函数”在和上均为增函数．已知函数． (1)当时，计算的值； (2)当时，若不等式对恒成立，求实数的取值范围； (3)设，是否存在正实数，使得对于区间上的任意三个实数，都存在以为边长的三角形？若存在，试求出这样的的取值范围；若不存在，请说明理由． 题型四、二次函数的单调性求参数 典例4 （25-26高二下·天津红桥·期末）设函数，满足，且对任意实数x均有，当时，若是单调函数，则实数k的取值范围为________． 题型模版 1.特征：给出二次函数单调区间，或是给定区间上单调，求解二次函数表达式内参数的取值范围 2.方法：先写出二次函数对称轴方程，结合开口方向判定对称轴与已知区间的位置关系，列出不等式求解参数 变式4-1已知函数与． (1)若，求k的值； (2)若两函数在区间上都是增函数，求实数k的取值范围． 变式4-2（2026·河北沧州·模拟预测）（多选）已知函数在区间上单调递增，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 变式4-3（25-26高一上·重庆·期末）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五、二次函数含参数最值分析 典例5 （25-26高二下·浙江宁波·期末）已知函数． (1)若的解集为，求的解集； (2)当，，时，是否存在，使得函数定义域和值域均为，若存在，求出，的值，不存在请说明理由； (3)记，当时，对任意的，，都存在使得关于的不等式有解，求实数的取值范围． 题型模版 1.特征：二次函数解析式带参、定义域区间固定，或区间带参解析式固定，求解区间内最大值、最小值 2.方法：以对称轴在定义域区间左侧、区间内部、区间右侧三种情况分类讨论，结合抛物线开口方向判定最值点位，计算对应最值并整理参数范围 变式5-1（2026高一·全国·专题练习）已知二次函数，设对任意的，都有恒成立，则实数的取值范围为______. 变式5-2（2026·江西赣州·二模）已知函数在区间上的最大值为，在区间上的最大值为．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式5-3（2026·天津·二模）已知，，函数在上的最大值为，若对任意恒成立，则的取值范围为__________. 题型五、一元二次方程根的分布问题 典例6 （24-25高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 题型模版 1.特征：一元二次方程含有参数，限定实数根落在指定区间内、根的正负、两根大小关系等约束条件 2.方法：结合判别式、对称轴位置、区间端点函数值符号三大条件联立不等式组，综合求解参数取值范围 变式6-1（25-26高一上·天津南开·阶段检测）设二次函数． (1)若关于的方程有两个不相等的实数根，且两根都大于等于且小于等于2，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有一个根小于1，另一个根大于1且小于2，求实数的取值范围． 变式6-2（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数（）． (1)若对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式； (3)若存在使关于x的方程有四个不同的实根，求实数a的取值范围． 变式6-3（23-24高一上·浙江台州·阶段检测）已知函数，． (1)恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，求不等式的解集； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（23-24高一下·福建福州·阶段检测）已知函数，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知在上满足，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练习）已知函数，若对于区间上的任意两个不相等的实数，，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（25-26高二下·天津滨海新区·阶段检测）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是_____． 6．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）若在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为___________． 7．（25-26高一下·浙江宁波·强基计划）关于x的一元二次方程有一个大于0小于4的根，则a的取值范围为______． 8．（25-26高一上·上海·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围为______． 9．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）设，若是的最小值，则的取值范围为_____． 10．已知函数在区间上单调，且，则a的取值范围为___________． 11．形如的函数，我们称之为“对勾函数”，“对勾函数”具有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数在上的最大值比最小值大，则 ________. 三、解答题 12．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）已知函数． (1)若函数在区间上不单调，求实数a的取值范围； (2)若函数在上的最大值为1，求实数a的值． 13．（25-26高一下·安徽阜阳·开学考试）已知函数，． (1)当函数不单调，求的取值范围； (2)当函数的最小值是关于的函数，求表达式． 14．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数，，． (1)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围； (2)若对任意，存在，使得，求的取值范围； (3)若，对任意，总存在使得不等式成立，求实数的取值范围． 15．（25-26高一上·江苏淮安·阶段检测）小明同学在学习“对勾函数”的图象与性质后，研究了函数，发现：函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增. (1)证明：是上的单调递增函数； (2)若对任意恒成立，求实数m的最大值； (3)是否存在正实数a，b，使得函数值域为？若存在，求出；若不存在，请说明理由. 16．（23-24高一上·云南昆明·阶段检测）由于函数的图象形状如勾，因此我们称形如“”的函数叫做“对勾函数”，该函数有如下性质：在上是减函数，在上是增函数． (1)已知函数，，利用题干性质，求函数的单调区间和值域； (2)若对于，都有恒成立，求m的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $