13.3.1.2 直角三角形的内角 （四大题型 一例三练）2026--2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 以“一例三练”为核心，系统覆盖直角三角形性质、判定、综合运用及实际应用四大题型，提炼导角模型等解题方法，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质运用|1例3练|互余性质+角平分线/折叠转化|从性质概念（锐角互余）到折叠等变式应用| |判定运用|1例3练|两角互余判定+内角和推理|从判定定理到多条件辨析及证明| |中线高线综合|1例3练|导角模型+三线性质综合|性质判定结合中线、高线形成知识网络| |实际问题|1例3练|几何建模+直角转化|实际情境抽象为直角三角形问题，培养应用意识|

13.3.1.2直角三角形的内角四大题型 (2026年7月) 题型归纳 【题型1运用直角三角形的性质解题】… 【题型2运用直角三角形的判定解题】 【题型3直角三角形与中线及高线的综合运用】 【题型4直角三角形与实际问题相结合】 教材知识点 知识点1直角三角形的性质 直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余 符号表示：在△ABC中，.∠C=90°， ∴.∠A+∠B=90°. 知识点2直角三角形的判定 1/31 例三练（学生版） 2 3 .4 7 直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 符号表示：在△ABC中，，∠A+∠B=90°， .∠C=90°，即△ABC是直角三角形 B 知识点3直角三角形导角模型 若∠A=∠C=90 则∠B=∠D 例三练 【题型1运用直角三角形的性质解题】 【例1】在Rt△ABC中，∠B=50°，CD平分∠ACB,则∠1等于() A.10° B.20° C.25 D.30 2/31 【变式1-1】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，沿CD折叠，点A 恰好落在边上的点E处，若∠B=26°，则∠CDE的度数为() D A.81° B.72° C.71° D.52° 【变式1-2】如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠BCD=35°，则∠A 为 【变式1-3】如图，在△ABC中，∠B=20°，∠C=60°，AD平分∠BAC, AE⊥BC于点E,则∠DAE的度数为 【题型2运用直角三角形的判定解题】 【例2】下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是() 3/31 A.∠A=90°-∠B B.∠A+∠B=∠C C.AB:BC:AC=1:2:3 D.AC是BC边上的高 【变式2-1】如图，在△ABC中，∠C=90°，D、E分别在AB、AC上，连接DE, 若∠1=∠2，则△ADE是 三角形. D E 【变式2-2】如图，AB⊥CD,垂足为B,E是线段AD上一点，CE交AB于F, ∠A=∠C·求证：△CED是直角三角形. 【变式2-3】如图，在△ABC中，D为AB上一点，∠A=∠2，∠1=∠B. 4/31 (I)判断△ABC的形状： (2)判断CD是否与AB垂直. 【题型3直角三角形与中线及高线的综合运用】 【例3】如图，BD是∠ABC的角平分线，AD⊥BD,垂足为D,若∠DAC=20°， ∠C=38,则2BAD的大小为 0. B 【变式3-1】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6,AC=8,BC=10,AD是 高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G,交BE于点H,下面结论：① 5/31 △ABE的面积=△BCE的面积：②∠AFG=∠AGF:③∠AG=2∠ACF:④ AD=2.4其中正确结论的序号是 【变式3-2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D,AF平分 ∠CAB交CD于E'交BC于F. D (1)如果∠CFE=70°，求∠B的度数： (2)试说明：∠CEF=∠CFE, 6/31 【变式3-3】已知：在△ABC中，∠C>∠B,AE平分∠BAC交BC于点E. D B B ① ② ③ (1)如图①，AD⊥BC于点D,若∠C=60°，∠B=30°，求∠DAE的度数； (2)如图①，AD⊥BC于点D,若∠B=a,∠C=B,求∠DAE的度数（用含a,B 的式子表示)； (3)如图②，在△ABC中，AD1BC于点D,F是AE上的任意一点（不与点A, E重合)，过点F作FG1BC于点G且∠B=30,∠C=80,请你运用(2)中 的结论求出∠EFG的度数； (4)在(3)的条件下，若点F在AE的延长线上（如图③），其他条件不变，则 ∠EFG的度数会发生改变吗？说明理由. 7/31 【题型4直角三角形与实际问题相结合】 【例4】一个小长方体木块静止在斜面OA上，其受力分析如图，重力G的方向与 水平地面OB垂直，摩擦力F的方向与斜面平行，支持力F2的方向与斜面垂直. 若斜面的坡角∠1=28°，则支持力F2与重力G方向的夹角∠2的度数是() F2 A 20 YG B A.162° B.152 C.142° D.118° 【变式4-1】如图为商场某品牌椅子的侧面图，∠=135°，DE与地面平行， AC⊥BC,则∠ABD的度数为() ⊙ 77777 A.45° B.50° C.55 D.60° 【变式4-2】如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高. 试卷第8页，共13页 春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角β为55 集热板与水平面夹角a的度数是() 集热板 太阳光线 支 架 水平面 A.26° B.30° C.35° 【变式4-3】如图，有两根竹竿AB和CB斜靠在墙上， ∠DCB=25,则∠ABC的度数为() D h B A.10° B.15° C.20° 试卷第9页，共13页 若此时光能利用率最高，则 D.54° 若测得∠DAB=40°， D.25° 13.3.1.1三角形的内角四大题型一例三练（教师版） (2026年7月) 题型归纳 【题型1运用直角三角形的性质解题】10 【题型2运用直角三角形的判定解题】13 【题型3直角三角形与中线及高线的综合运用】16 【题型4直角三角形与实际问题相结合】 .21 教材知识点 知识点1直角三角形的性质 直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余 符号表示：在△ABC B 中，.∠C=90°， ,∴.∠A+∠B=90°. 试卷第10页，共13页 知识点2直角三角形的判定 直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直鱼三角形. 符号表示：在△ABC中，，'∠A+∠B=90°， ∴.∠C=90°，即△ABC是直角三角形 B 知识点3直角三角形导角模型 若∠A=∠C=90 则∠B=∠D 试卷第11页，共13页 例三练 【题型1运用直角三角形的性质解题】 【例1】在Rt△ABC中，∠B=50°，CD平分∠ACB,则∠1等于() A.10° B.20° C.25 D.30° 【答案】B 【分析】本题主要考查直角三角形的性质（两锐角互余）以及角平分线的定义， 先根据直角三角形两锐角互余求出∠ACB的度数，再利用角平分线的性质求出 21的度数. 【详解】解：.在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=50°， ∴.∠ACB=90°-∠B=40°， :CD平分∠ACB' .∠1=1∠ACB=20. 2 故选：B. 试卷第12页，共13页 【变式1-1】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，沿CD折叠，点A 恰好落在边上的点E处，若∠B=26°，则∠CDE的度数为() E D A.81° B.72° C.71° D.52 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理.解题的关键在于找出角 度的数量关系.由折叠的性质：折叠前后的两个图形全等，即对应边相等，对 应角相等可知，∠A=∠CED,∠ADC=∠CDE,∠ACD=∠BCD,根据已知条件 运用三角形内角和定理求解即可： 【详解】解：由折叠的性质可知∠A=∠CED,∠ADC=∠CDE, ∠ACD=∠BCD' .∠ACB=90°，∠ACD=∠ECD, ∴.∠ACD=∠ECD=90°÷2=45°， .∠A=∠CED=180°-∠B-∠ACB=180°-26°-90°=64°， 由图可知∠CDE=180°-∠ECD-∠CED, 试卷第13页，共13页 即∠CDE=180°-45°-64°=71°. 故选：C 【变式1-2】如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠BCD=35°，则∠A 为 B D 【答案】35 【分析】根据直角三角形两锐角互余，结合同角的余角相等可得 ∠A=∠BCD=35· 【详解】解：，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高， .∠A+∠B=90°，CD⊥AB, ∴.∠B+∠BCD=90°， ∴.∠A=∠BCD=35°. 【变式1-3】如图，在△ABC中，∠B=20°，∠C=60°，AD平分∠BAC, AE⊥BC于点E,则LDAE的度数为 试卷第14页，共13页 【答案】20 【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC=100°，根据角平分线的定义得出 ∠DAC=50,根据直角三角形两锐角互余得出∠CAE=30,利用角的和差关 系即可得出答案. 【详解】解：.在△ABC中，∠B=20°，∠C=60°， ∴.∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-20°-60°=100°， .'AD平分∠BAC, 六∠DAC=∠BAD=号∠BAC=50, .AE⊥BC, ∴.∠CAE=90°-∠C=30°， ∴.∠DAE=∠DAC-∠CAE=20° 【题型2运用直角三角形的判定解题】 【例2】下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是() A.∠A=90°-∠B B.∠A+∠B=∠C 试卷第15页，共13页 C.AB:BC:AC=1:2:3 D.AC是BC边上的高 【答案】C 【详解】解：对于选项A:由∠A=90°-∠B可得∠A+∠B=90°，根据三角形 内角和定理可得∠C=180°-（∠A+∠B)=90°，则△ABC是直角三角形，故A 不符合题意： 对于选项B:'∠A+∠B=∠C, 又.∠A+∠B+∠C=180°， .2∠C=180°，即∠C=90°， .△ABC是直角三角形，故B不符合题意； 对于选项C:.AB:BC:AC=1:2:3, 设AB=k,BC=2k,AC=3k ∴.AB+BC=k+2k=3k=AC, ∴.AB、BC、AC无法构成三角形，故C符合题意； 对于选项D:.AC是BC边上的高， .AC⊥BC, .∠ACB=90°， ∴.△ABC是直角三角形，故D不符合题意. 试卷第16页，共13页 【变式2-1】如图，在△ABC中，∠C=90°，D、E分别在AB、AC上，连接DE, 若∠1=∠2，则△ADE是 三角形. D B 【答案】直角 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和直角三角形的判定，掌握这些是 解题的关键 根据三角形内角和定理得到∠2+∠A=90°，进而等量代换得到∠1+∠A=90°， 进一步推出∠ADE=90°，由此可得结论. 【详解】解：，在△ABC中，∠C=90°， ∴.∠2+∠A=180°-∠C=90, .∠1=∠2' .∠1+∠A=90, .∴.∠ADE=180°-∠1+∠A=90, △ADE是直角三角形. 试卷第17页，共13页 故答案为：直角. 【变式2-2】如图，AB⊥CD,垂足为B,E是线段AD上一点，CE交AB于F, ∠A=∠C·求证：△CED是直角三角形， 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形内角和以及直角三角形的判定，用三角形的内角和 求得∠AEF=∠CBF=90°即可. 【详解】证明：.：AB⊥CD, ∴.∠CBF=90o, .∠A+∠AEP+∠AFE=180,∠C+∠CFB+∠CBF=180, ∴.∠AEF=180°-∠A-∠AFE'∠CBF=180°-∠C-∠CFB' .:∠A=∠C'∠AFE=∠CFB' ∴.∠AEF=∠CBF=90, ·△CED是直角三角形. 试卷第18页，共13页 【变式2-3】如图，在△ABC中，D为AB上一点，∠A=∠2，∠1=∠B. D (1)判断△ABC的形状： (2)判断CD是否与AB垂直. 【答案】(1)△ABC是直角三角形 (2)CD⊥AB 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，垂直的定义，熟 练掌握三角形内角和定理是解题的关键，(1)证出∠ACB=90°即可得到结论， (2)求出∠CDB=90°，可得出CD⊥AB 【详解】(1)解：△ABC是直角三角形，理由如下： .∠A=∠2，∠1=∠B, ∴.∠A+∠2+∠1+∠B=180°， .∠A+∠B=90°， ∴.∠ACB=90°， ∴.△ABC是直角三角形. 试卷第19页，共13页 (2)解：CD⊥AB,理由如下： .∠A+∠B=90°，∠A=∠2， .∠2+∠B=90°， ∴.∠CDB=90°， ∴.CD⊥AB 【题型3直角三角形与中线及高线的综合运用】 【例3】如图，BD是∠ABC的角平分线，AD⊥BD,垂足为D,若∠DAC=20°， ∠C=38,则∠BAD的大小为 【答案】58 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形的内角和问题、直角三角形的性 质，熟练掌握相关知识点是解题的关键.由AD⊥BD得到∠BAD+∠ABD=90°， 根据角平分线的定义得到∠ABD=∠DBC,设∠ABD=∠DBC=X,表示出 ∠BAD和∠BAC,再利用三角形内角和定理列出方程，解出x的值，即可求出 试卷第20页，共13页 ∠BAD的大小. 【详解】解：：AD⊥BD, ∴.∠ADB=90, ∴.∠BAD+∠ABD=90°， :BD是∠ABC的角平分线， .∴.∠ABD=∠DBC' 设∠ABD=∠DBC=X,则∠ABC=2X,∠BAD=90°-X, ∴.∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°-X+20°=110°-x' .:∠ABC+∠BAC+∠C=180, ∴.2x+110°-X+38°=180， 解得：x=32°， ∴.∠BAD=90°-x=58· 故答案为：58. 【变式3-1】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6,AC=8,BC=10,AD是 高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G,交BE于点H,下面结论：① △ABE的面积=△BCE的面积：②∠AFG=∠AGF:③∠FAG=2∠ACF;④ 试卷第21页，共13页 AD=2.4其中正确结论的序号是 B 【答案】①②③ 【分析】本题考查了三角形的中线、高、角平分线：根据三角形角平分线和高 的性质可确定角之间的数量关系；根据三角形的中线和面积公式可确定△ABE 和△BCE的面积关系以及求出AD的长度. 【详解】解：，BE是△ABC的中线 ∴.AE=EC ·△ABE的面积等于△BCE的面积 故①正确： :∠BAC=90°，AD是△ABC的高 ∴.∠AFG+∠ACG=90°’∠DCG+∠DGC=90° :CF是△ABC的角平分线 ∴.∠ACG=∠DCG ∴.∠AFG=∠DGC 试卷第22页，共13页 又，'∠DGC=∠AGF .∴.∠AFG=∠AGF 故②正确： ∠FAG+∠DAC=∠DAC+∠ACD=90° ∴.∠FAG=∠ACD .'∠ACD=∠ACF+∠DCF=2∠ACF ∴.∠FAG=2∠ACF 故③正确： :2 SAABC=AB·AC=BC·AD ..AD-AB.AC-6x8=4.8 BC 10 故④错误； 故答案为：①②③. 【变式3-2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥ ∠CAB交CD于E,交BC于F. (1)如果∠CFE=70°，求∠B的度数： (2)试说明：∠CEF=∠CFE. 试卷第23页，共13页 AB于D,AF平分 【答案】(1)解：.：∠ACB=90°，∠CFE=70°， .∠CAF=180°-90°-70°=20， :AF平分∠CAB交CD于E' .∴.∠CAB=2∠CAF=40, ∴.∠B=90°-40°=50： (2)证明：，'∠ACB=90°， .∴.∠CAF+∠CFE=90o, .CD⊥AB' .∴.∠ADE=90' ∴.∠DAE+∠AED=90, :AF平分∠CAB交CD于E, .∴.∠CAF=∠DAE' ∴.∠CFE=∠AED' .∠AED=∠CEF' .∴.∠CEF=∠CFE 【变式3-3】已知：在△ABC中，∠C>∠B,AE平分 试卷第24页，共13页 BAC交BC于点E. F G E G DC B ① ② ③ (1)如图①，AD1BC于点D,若∠C=60°，∠B=30°，求∠DAE的度数： (2)如图①，AD⊥BC于点D,若∠B=a,∠C=B,求∠DAE的度数（用含a,B 的式子表示)； (3)如图②，在△ABC中，AD⊥BC于点D,F是AE上的任意一点（不与点A, E重合)，过点F作FG⊥BC于点G且∠B=30°，∠C=80,请你运用(2)中 的结论求出∠EFG的度数： (4)在（3)的条件下，若点F在AE的延长线上（如图③），其他条件不变，则 ∠EFG的度数会发生改变吗？说明理由 试卷第25页，共13页 【答案】(1)∠DAE=15° ②∠DAE=号B-a (3)∠EFG=25° (④)∠EFG的度数不会发生改变，理由见解析 【详解】(1)解：在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°， ∴.∠BAC=180°-∠B-∠C, ,AE平分∠BAC, ÷2BAE=∠CA=号∠BAC=80-∠B-∠C)=90-2B+ AD⊥BC, ∴.∠ADC=90°， ∴.∠DAC=90°-∠C, ÷∠DAE=∠CAE-∠DAG=90∠B+∠C)小90.∠C)= 当∠C=60°，∠B=30°时， ∠DAE=(60°-30°)=15： (2)由(1)可知，∠DAE=1(C-∠B), ∴.当∠B=a,∠C=β时， ∠DaE=p-a: (3):∠DAE=<C-∠B,而∠B=30°，∠C=80, 26/31 ∠C, C-∠B), .∠DAE=1×(80°-30)=250， 2 .AD⊥BC,FG⊥BC, ∴.FGAD, .∠EFG=∠EAD=25°： (4)∠EFG的度数大小不发生改变.理由如下： .AD⊥BC,FG⊥BC, ∴.FG‖AD, ∴.∠EFG=∠EAD=25. 【题型4直角三角形与实际问题相结合】 【例4】一个小长方体木块静止在斜面OA上，其受力分析如图，重力G的方向与水平地面OB 垂直，摩擦力F的方向与斜面平行，支持力F2的方向与斜面垂直.若斜面的坡角∠1=28°， 则支持力F2与重力G方向的夹角∠2的度数是() F2k YG B A.162° B.152 C.142 D.118° 27/31 【答案】B 【分析】重力G与水平地面垂直，得∠0DC=90°.由41=28°，得∠0CD=62°，由对顶角 得∠ECA=62°.摩擦力F1与斜面平行，故∠CEF,=180°-62°=118°.支持力F2与斜面垂直， 即与F1垂直，得∠F2EF1=90°.由周角360°得∠2=360°-90°-118°=152°. 【详解】解：如图，设重力G的作用线与斜面OA交于点C,与水平地面OB交于点D. F2k 2 E C D YG ,重力G的方向与水平地面OB垂直， ∴.∠ODC=90°. .·∠1=28 ∴.∠0CD=90°-28°=62°. ∴.∠ECA=62· …摩擦力℉，的方向与斜面平行， .∠CEF,=180°-∠ECA=180°-62°=118°， …支持力F,的方向与斜面垂直， :支持力F,的方向与摩擦力E的方向垂直， 28/31 ∴.∠F2EF1=90, ∴.∠2=360°-∠F2EF1-∠CEF1=360°-90°-118°=152. 【变式4-1】如图为商场某品牌椅子的侧面图，∠曾=135°，DE与地面平行，AC⊥BC,则 ∠ABD的度数为() 777777777777777777777777 A.45° B.50° C.55° D.60° 【答案】A 【分析】先根据邻补角互补求出∠DEC的度数，再根据平行线的性质求出∠CAB的度数，最 后根据直角三角形两锐角互余即可求解. 【详解】解：'∠=135°， ∴.∠DEC=180°-∠=180°-135°=45°， DE AB' ∴.∠CAB=∠DEC=45, .AC⊥BC' 29/31 ∴.∠ACB=90, ∴.∠ABD=90°-∠CAB=90°-45°=45. 【变式4-2】如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高.春分日兰州 正午太阳光线与水平面的夹角B为55°.若此时光能利用率最高，则集热板与水平面夹角α的 度数是() 集热板 太阳光线 支 架 B 水平面 A.26° B.30° C.35° D.54° 【答案】C 【分析】由题意得a+β=90°，代入数据计算即可求解. 【详解】解：集热板与太阳光线垂直， ∴.a+β=180°-90°=90°， .β=55°， ∴.c=90°-β=35°. 【变式4-3】如图，有两根竹竿AB和CB斜靠在墙上.若测得∠DAB=40°，∠DCB=25°，则 30/31 ∠ABC的度数为() A.10° B.15 C.20° 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质和角的和差计算， 质是解题的关键， 利用直角三角形两锐角互余的性质，分别求出∠ABD和 ∠ABC· 【详解】解：在Rt△DAB中：∠D=90°，∠DAB=40, 根据两锐角互余：∠ABD=90°-40°=50° 在Rt△DCB中：∠D=90°，∠DCB=25°， 根据两锐角互余：∠DBC=90°-25°=65 ∠ABC=∠DBC-∠ABD=65°-50°=15° 故选：B. 31/31 D.25° 掌握直角三角形中两锐角互余的性 DBC的度数，再通过角的差计算