12.1.1变量与函数（课件）--2026-2027学年沪科版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“变量与函数”核心知识，通过“乌鸦喝水”故事导入，结合热气球升空案例的表格数据，引导学生从水量、石子数量等具体量中区分变量与常量，逐步抽象出自变量及函数概念，构建从生活实例到数学概念的学习支架。 其亮点在于融入生活与跨学科情境（如“白毛浮绿水”诗句、AI数智员工、火星车材料等），培养学生用数学眼光观察现实世界的抽象能力和模型意识，通过合作探究与归纳判断方法发展推理思维。学生能直观理解概念本质，教师可高效落实核心素养教学目标。

授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 沪科版（2024）数学八年级上册教学课件 第12章 函数与一次函数 12.1.1变量与函数 2026年8月6日 12.1.1变量与函数 同步练习题（沪科版八年级上册） 核心考点：常量与变量的区分、自变量与因变量的判断、函数的定义、函数关系的识别、简单实际情境函数辨析 答题说明：满分100分，答题时间20分钟，题型由基础概念辨析到实际应用，夯实函数入门基础，适配课后巩固练习。 一、选择题（每题5分，共30分） 1. 在圆的周长公式C=2πR中，变量是（） A. C、R B. 2、π C. C、π D. R、2 2. 下列关于常量和变量的说法正确的是（） A. 常量是固定不变的数，变量是可以变化的量 B. 常量都是整数，变量都是小数 C. 公式中的字母都是变量 D. 公式中的数字都是常量 3. 下列关系中，y是x的函数的是（） A. y²=x B. y=±x C. y=2x+1 D. 任意x对应多个y值 4. 汽车匀速行驶，路程公式s=vt（速度v不变），其中自变量是（） A. s B. v C. t D. 无法确定 5. 下列情境中，两个量不存在函数关系的是（） A. 水温随加热时间的变化 B. 正方形面积随边长的变化 C. 学生身高与数学成绩的关系 D. 电费随用电量的变化 6. 已知函数y=3x-2，当x=1时，y的值为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每题6分，共36分） 1. 在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做________，数值始终不变的量叫做________。 2. 在函数关系中，主动变化的量叫做________，随自变量变化而变化的量叫做________。 3. 若一个变量x每取一个确定的值，变量y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的________。 4. 长方形面积公式S=ab（长a固定），变化过程中的常量是________，变量是________。 5. 已知y=5x，当x=0时，y=________；当x=2时，y=________。 6. 购买单价固定的笔记本，总费用随购买数量变化，自变量是________，因变量是________。 三、解答题（共34分） 1.（16分）指出下列各变化过程中的常量与变量，并区分自变量和因变量：（1）水电费计费公式：总费用y=0.55x（x为用电量，单位：度）；（2）正方形周长C=4a（a为正方形边长）。 2.（18分）判断下列对应关系是否为函数关系，并说明理由：（1）x为任意实数，y=x²；（2）x为正数，y²=x；（3）班级学生学号x对应学生身高y。 参考答案及详细解析 一、选择题 1. A 解析：周长C随半径R变化，二者为变量，2、π为固定常量。 2. A 解析：常量是变化过程中固定不变的量，变量是可以发生改变的量，与数值类型无关。 3. C 解析：函数要求一个x对应唯一y，其余选项均存在一个x对应多个y的情况，不符合函数定义。 4. C 解析：速度v固定，时间t主动变化，路程s随t变化，故自变量为t。 5. C 解析：学生身高与数学成绩无固定对应关系，一个身高可对应多个成绩，无函数关系。 6. A 解析：将x=1代入解析式，y=3×1-2=1。 二、填空题 1. 变量、常量 2. 自变量、因变量 3. 函数 4. a、S和b 5. 0、10 6. 购买数量、总费用 三、解答题 1. 解析：（1）常量：0.55；变量：x、y；自变量：用电量x，因变量：总费用y。（2）常量：4；变量：a、C；自变量：边长a，因变量：周长C。 2. 解析：（1）是函数关系，任意一个x都有唯一的y=x²与之对应；（2）不是函数关系，一个正数x对应两个y值（正负）；（3）是函数关系，一个学号对应唯一一名学生身高，符合函数定义。 本节总结：本节是函数章节的入门基础，核心是区分常量与变量、掌握函数的核心定义。判断函数的关键是“唯一对应”，即自变量取一个确定值，因变量必须有唯一值对应。学会在实际问题中识别自变量、因变量，为后续函数解析式、函数图像的学习筑牢根基。 观察思考 你还记得乌鸦喝水的故事吗？你能从中发现什么？ 图片中涉及哪几个量？它们之间有什么不同呢？ 思考 水量 石子数量 水面高度 水面高度，石子数量在 水量固定 改变 不变 水面随着石子数量的增多而升高 现实生活中常常需要研究变化的量之间的关系. 用热气球探测高空气象，设热气球从海拔1800 m处的某地升空，在一段时间内，它匀速上升.它上升过程中到达的海拔高度h m与上升时间t min的关系记录如下表： 时间t/min 0 1 2 3 4 5 6 7 … 海拔高度h/m 1800 1830  1860  1890 1920  1950 1980 2010 … 合作探究 当t=0 min时 h为1800 m 当t=1 min时 h为1830 m 当t=2 min时 h为1860 m 当t=3 min时 h为1890 m (1)这个问题中，涉及哪几个量？ (2)观察上表，热气球在升空过程中平均每分上升多少米？ (3)你能求出上升后3 min和6 min时热气球到达的海拔高度吗？ 热气球原先所在的高度1800 m 热气球升空的时间t、升空的高度h 30 m 合作探究 你能总结出h与t的关系吗？ 时间t/min 0 1 2 3 4 5 6 7 … 海拔高度h/m 1800 1830  1860  1890 1920  1950 1980 2010 … 1 min上升：30 m 4 min上升：30 m×4 3 min上升：30 m×3 2 min上升：30 m×2 t min上升： 30t m h=1800+30t 想一想刚才热气球在升空过程中哪些量发生了变化？哪些量没有发生变化？ 时间t/min 0 1 2 3 4 5 6 7 … 海拔高度h/m 1800 1830  1860  1890 1920  1950 1980 2010 … h=1800+30t 想一想 原先所在的高度1800 m 上升的平均速度30 m/min 升空的高度h 升空的时间t 不变的量 变化的量 归纳 我们把某一变化过程中保持不变的量叫作常量.而把某一变化过程中不断发生变化的量叫作变量. 变量和常量 原先所在的高度1800 m 上升的平均速度30 m/min 升空的高度h 升空的时间t 不变的量 变化的量 常量 变量 1．在学校读书打卡活动中，每读1本积3分，读m本积n分，则3和n分别是(　　) A．常量，常量 B．变量，常量 C．变量，变量 D．常量，变量 1星题 基础练 D 举一反三 2.【跨学科·语文】“白毛浮绿水，红掌拨清波”，白鹅拨出的圆形水波不断扩大，水波的周长C与半径R之间的关系为C＝2πR，则下列说法正确的是(　　) A．C，π，R是变量 B．C是变量，2，π，R是常量 C．R是变量，2，π，C是常量 D．C，R是变量，2，π是常量 D 举一反三 判断常量和变量的方法： (1)看它是否在同一个变化过程中； (2)看它在这个变化过程中的取值是否改变. 你知道如何判断常量和变量吗？ 热气球升空的高度h与时间t，这两个变量之间有什么关系吗？ h=1800+30t h随t的变化而变化.且任给变量t的一个值，就可以相应地得到变量h的一个确定的值. 如：t=3时，h=1890；t=6时，h=1980 … 我们把t叫作自变量. 自我发生变化的量. 思考 思考 S市某日自动测温仪记下的用电负荷曲线如图所示. 时间t/h O 1 2 3 4 5 6 7 8 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 负荷y/×10³兆瓦 (1)这个问题中，涉及哪些变量？哪个是自变量？ (2)给出这天中的某一时刻，如4.5 h、20 h，能找到这一时刻的负荷y(×10³兆瓦)是多少吗？找到的值是唯一确定的吗？ 两个变量：时间、负荷； 时间是自变量. y=10 y=16 唯一确定 1 兆瓦=1 000 000瓦 思考 S市某日自动测温仪记下的用电负荷曲线如图所示. (3)这一天的用电高峰、用电低估时负荷各是多少？它们是在什么时刻达到的？ 下午13:30是用电高峰，负荷是18×103兆瓦； 凌晨4:30是用电低谷，负荷是10×103兆瓦. y=10 用电低谷 用电高峰 时间t/h O 1 2 3 4 5 6 7 8 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 负荷y/×10³兆瓦 请同学们举出生活中的实际问题，并说明在你所举问题中的常量、变量、自变量各是什么？ 交流 归纳 一般地，设在一个变化过程中有两个变量x，y，如果对于x在它允许取值的范围内的每一个值， y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数. 如果x=a时，y=b，那么b叫作当自变量的值为a时的函数值. 函数的概念注意把握： 变化过程； 两个变量x与y； 对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应. 1 2 3 15 3. 【新情境】深圳首批“AI数智员工”上岗，每小时可自动处理30份文件．在工作时间t(h)内处理的文件数量为N，其关系为N＝30t，则变量是________，常量是________． t，N 30 举一反三 4．下列所述不属于函数关系的是(　　) A．长方形的面积一定，它的长和宽的关系 B．x＋2与x的关系 C．匀速行驶的火车行驶的时间与路程的关系 D．某人的身高和体重的关系 D 举一反三 典型例题 【例】汽车在行驶的过程中，制动后由于惯性的作用仍将滑行一段距离才能停住，这段距离称为制动距离.某型号的汽车在路面上的制动距离s m与车速v km/h之间有下列经验公式： . (1)式中哪些量是常量，哪些量是变量？哪个量是自变量？ (2)当制动时车速v分别是40 km/h，60 km/h时，相应的制动距离s分别是多少米(结果保留一位小数)？ 解：(1) 是常量，s和v是变量，车速v是自变量. (2) 当v=40 km/h时， (m) ； 当v=60 km/h时， (m). 18 5. 【新情境】小红帮弟弟荡秋千(如图①)，秋千离地面的高度h(m)与摆动时间t(s)之间的关系如图②所示．根据函数定义，h ________ t的函数(填“是”或“不是”)． 是 【思路引导】对于摆动时间t的每一个值，相应的h的值都是唯一确定的吗？ 举一反三 6.橘子的价格为5元/kg，买x kg橘子的总价为y元，则y与x之间的函数关系是__________，其中自变量是______． 【补充设问】当x＝2时，函数值y＝________． y＝5x x　 10 举一反三 (1)这个表格反映了__________随________的变化而变化的函数关系，自变量是________； 7. 【新情境】[杭州月考]祝融火星车使用了新型隔温材料——纳米气凝胶，该材料的导热率K[W/(m·℃)]与温度T(℃)之间的关系如下表： 导热率 T/℃ 100 150 200 250 300 K/[W/(m·℃)] 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 温度 温度 举一反三 (2)当温度每增加50℃时，导热率是怎样变化的？ (3)当T＝350℃时，K＝________W/(m·℃)； (4)当该材料导热率为0.50 W/(m·℃)时，温度是多少？ 解：温度每增加50 ℃，导热率增加0.05 W/(m·℃)． 0.40 解：当该材料导热率为0.50 W/(m·℃)时，温度为300＋(0.50－0.35)÷0.05×50＝450(℃)． 举一反三 8．某智能设备输入值x与输出值y的对应关系如图所示，则y不是x的函数的是(　　) 2星题 中档练 D 举一反三 9．[太原模拟]小亮爸爸到加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，金额随着数量的变化而变化．则下列判断正确的是(　　) A．金额是自变量 B．单价是自变量 C．7.76和31是常量 D．数量是自变量 D 举一反三 10.【立德树人·健康意识】德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在新事物学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的．如果把学习后的时间记为x(h)，记忆留存率记为y(%)，则根据实验数据可绘制出曲线(如图所示)，即著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响． (1)这个曲线表示的是哪两个变量之间的关系？ 解：学习后的时间和记忆留存率． 举一反三 (2)y是关于x的函数吗？为什么？ (3)请说明点D的实际意义． 解：是．理由：根据题图知，对于自变量x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，所以y是关于x的函数． 解：点D的实际意义是学习后第24小时，记忆留存率为33.7%. 举一反三 (4)根据图中信息，对学习新事物提出一条合理的建议． 解：(答案不唯一)由题图知，知识记忆遗忘先快后慢，故建议学习新事物后要及时复习，做到温故而知新． 举一反三 判断变量和常量的方法 ①看它是否在同一个变化过程中； ②看它在这个变化过程中的取值是否改变. 变量与函数 变量与常量的概念 我们把某一变化过程中保持不变的量叫作常量.而把某一变化过程中不断发生变化的量叫作变量. 自变量、函数、函数值的概念 在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，如果对于变量x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.如果当x=a时y=b，那么b叫作当自变量的值为a时的函数值. 课堂小结 谢谢观看 THANKS $