专题09圆的有关概念精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦圆的有关概念，系统梳理圆的两种定义（描述性与集合定义）、弦与直径的区分、圆弧分类（劣弧、优弧、半圆）、等圆等弧界定及点与圆的位置关系，为后续圆的性质学习搭建坚实概念支架。 该资料通过对比辨析易混概念（如弦与直径、优弧与劣弧）、总结考场易错点，培养学生抽象能力与几何直观。题型分层设计（基础到拔高）结合清晰解题思路，助力发展推理意识，课中辅助教师高效授课，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

专题09圆的有关概念精讲学案 课堂核心立意 掌握圆的两种定义，分清弦、直径、弧、优弧、劣弧、半圆、等圆、等弧基础概念；辨析易混淆名词；会判断点是否在圆上；为本章后续圆的性质学习搭建概念基础。 圆的两个定义 ①描述性定义：平面内，一条线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆。固定端点叫圆心，这条线段叫半径。 ②集合定义：圆是平面内到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点的集合；圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；圆特指外围圆周，不含内部圆形区域。 ③书写标注：以点O为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。 弦与直径概念区分 ①弦：连接圆上任意两个点的线段。 ②直径：经过圆心的弦；直径是圆内最长弦，直径长度等于2倍半径。 ③关键区分：半径不属于弦，半径一端为圆心，圆心不在圆周线上。 圆弧分类定义 圆弧简称弧，指圆上两点之间的曲线部分。 ①劣弧：长度小于半圆的弧，书写标注只用两个字母； ②优弧：长度大于半圆的弧，书写必须使用三个字母标注区分； ③半圆：由直径两端分割得到的弧，半圆既不属于优弧，也不属于劣弧。 等圆、同心圆、等弧界定 ①等圆：能够完全重合的两个圆，半径相等即为等圆，圆心位置不做要求；同圆、等圆的所有半径长度全部相等。 ②同心圆：圆心完全相同，半径大小不一样的多个圆形。 ③等弧硬性条件：只有在同圆或者等圆中，可以完全重合的弧才是等弧；仅弧长相等不能判定为等弧，大小不同的圆形，弧长一致也无法重合。 点和圆的位置关系判定 设点到圆心距离为d，圆的半径为r： d=r，点在圆周上；d＞r，点在圆外部；d＜r，点在圆内部。 多点共圆判定方法：证明多个点到同一个固定点距离全部相等，即可判定这些点在同一个圆上。 （课堂强调，考场失分规避） 1.概念理解错误，将圆周等同于圆形盘面，圆仅指外围曲线。 2.概念混淆，认为半径是弦，或是所有弦都是直径；明确直径一定是弦，弦不一定是直径。 3.优弧书写只用两个字母，格式错误扣分；错误将半圆归类为优弧或者劣弧。 4.典型易错点：弧长相等不等于等弧，等弧必须满足同圆/等圆、完全重合两个条件。 5.证明多点共圆时，没有统一定点，距离等量条件证明不完整。 6.判断等圆只对比半径尺寸，和圆心摆放位置没有关系。 题型 考察方向 难度 题型一 1. 圆的基本概念辨析 ★ 题型二 2. 求圆中弦的条数 ★★ 题型三 3. 求过圆内一点的最长弦 ★ 题型四 4. 圆的周长和面积问题 ★ 题型五 5. 求小圆绕某图形一圈自转的圈数 ★★★ 题型六 判断点与圆的位置关系 ★ 题型七 6. 利用点与圆的位置关系求半径 ★★ 题型八 已知半径和圆上两点作圆 ★★ 题型九 7. 点与圆上一点的最值问题 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础★★中档★★★拔高 题型一：圆的基本概念辨析 解题思路 ①熟记核心定义：圆、弦、直径、优弧、劣弧、半圆、等圆、等弧。 ②抓住易错关键点：直径一定是弦，弦不一定是直径；半径不是弦；半圆既不是优弧，也不是劣弧；等弧必须在同圆或等圆中且能完全重合，仅长度相等不等于等弧；圆指圆周曲线，不是圆面。 ③逐条分析选项，排除错误说法。 1．在图中没有出现的几何图形是（    ） A．弦 B．弧 C．弓形 D．扇形 2．如图，中，，，以为圆心，长为半径画弧，交边于点；则的长（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．如图，扇形，点C在上．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 题型二：求圆中弦的条数 解题思路 ①明确弦定义：两端点都在圆上的线段。 ②找出图中全部圆上的点，进行两两连线。 ③剔除半径这类端点含圆心的线段。 ④不重复不漏数，统计符合条件线段总数。 4．如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 5．如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 6．点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型三：求过圆内一点的最长弦 解题思路 ①圆内最长弦是直径。 ②连接已知点与圆心，双向延长交圆得到直径。 ③过圆内任意一点的最长弦一定是直径。 7．已知中最长的弦为，则的半径为（     ）． A．2 B．3 C．6 D．12 8．如图，以边长为1的正方形的顶点O、P、R分别为圆心作圆，圆O过点Q，圆P、R均和圆O内切．设圆P、R上任意两点之间的距离是d，则d的最大值是_________． 9．在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为作，直线交于、两点，若，则的值为__________． 10．如图，坐标平面内圆，已知圆的半径为2，圆心，下列直线中，与圆相交，且被圆所截得的弦最长的是（    ） A． B． C． D． 题型四：圆的周长和面积问题 解题思路 ①牢记公式：周长C=2r，面积S=r2。 ②区分已知条件是半径还是直径，给直径先换算为半径。 ③遇到组合图形，拆分后再计算周长与面积。 11．一个圆形花坛，周长是，在距花坛边的外面围上一圈栏杆，栏杆的长（取）（    ） A． B． C． D． 12．．已知图1、图2中两个半圆的半径相等，分别是两圆的圆心，图1中的阴影部分面积为，图2中的阴影部分面积为，那么与之间的大小关系是______． 13．如图，把圆形茶杯垫片沿直径剪开，得到两个近似的三角形，再拼成平行四边形，如下图所示．已知平行四边形的底是，那么圆形茶杯垫片的面积是_______．（ 取） 14．如图，以点为圆心的三个同心圆把以为半径的大圆的面积四等分，已知，以另外三个圆的半径为边的三角形的面积为（   ）    A． B． C． D． 题型五：求小圆绕某图形一圈自转的圈数 解题思路 ①分清公转路径长度和小圆自身周长。 ②自转圈数=滚动总路程÷小圆自身周长。 ③绕多边形外侧滚动，拐角会产生额外旋转，不可直接用多边形周长除以小圆周长。 15．如图，与在同一平面内，其半径都是r．将固定，让从上的一点P出发，沿的边缘滚动一周，回到原来的位置．下列说法：①滚动过程中的圆心形成的轨迹与是同心圆；②的圆心经过的路程是；③在滚动中自身转了2周．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 16．自行车是绿色环保的交通工具，图①是某自行车的传动结构，图②是该结构的示意图，其中的半径是，的半径是，．当顺时针转动1周时，上的点随之旋转，则的值为______． 17．圆的滚动问题探索： (1)如图1，一个半径为的圆沿直线方向从地滚动到地，若的长为，则该圆在滚动过程中自转了___________圈．（用含、的式子表示） 试验： 现有两个半径相等的圆（如图5），将圆固定，圆沿定圆的周围滚动无滑动．当圆沿圆周围滚动一周回到原来的位置时，圆自转了圈，而圆的圆心运动的线路也是一个圆，而这个圆的周长恰好是圆的周长的倍． (2)如图2，的半径为，的半径为，现将固定，让沿的周围滚动无滑动．当沿的周围滚动一周回到原来的位置时，自转了___________圈； (3)如图3，的半径为，的半径为，现将固定，让沿的内部边缘滚动无滑动．当沿边缘滚动一圈回到原来的位置时，自转了___________圈． 解决问题： (4)如图4，一个等边三角形的边长与圆的周长相等，当此圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动滚动，直至回到原来的位置时，该圆自转了多少圈？请说明理由． 题型六：判断点与圆的位置关系 解题思路 ①计算点到圆心距离d，确定圆半径r。 ②比较二者大小：d=r点在圆上；d>r点在圆外；d<r点在圆内。 18．的半径是，同一平面内，若点P到点O的距离是，则点P与的位置关系为________． 19．如图，已知正方形，以点A为圆心，以为半径作，则点C在_______．（填“外”或“内”） 20．在中，，，．分别以、为圆心，长为半径作圆、圆，下列关于点的位置描述正确的是（     ） A．在圆外部，在圆外部 B．在圆外部，在圆内部 C．在圆内部，在圆内部 D．在圆内部，在圆外部 题型七：利用点与圆的位置关系求半径 解题思路 ①依据点的位置，写出d与r的不等关系式。 ②多个点时联立不等式，求出半径取值范围。 ③判断端点数值能否取等号。 21．已知点P在半径为2的上，则的长是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 22．在同一平面内，点不在上，若点到上的点的最大距离是，最小距离是5，则的半径是______． 23．若所在平面内有一点，点到上点的最大距离为，最小距离为，则的半径为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 24．如图，是半圆的直径，点在半圆上，，，是弧上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点移动的过程中，的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型八：已知半径和圆上两点作圆 解题思路 ①圆心要满足：到两个已知点距离都等于给定半径。 ②分别以两个已知点为圆心、给定半径画圆弧。 ③圆弧交点即为圆心：2个交点作2个圆；1个交点作1个圆；无交点无法作圆。 25．已知AB＝12 cm，过A，B两点画半径为8 cm的圆，则能画的圆的个数为(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 26．如图，点、，以点为圆心为半径作交轴于两点，点为上一动点，连接，取中点，连接，则的最大值为_____． 27．【深度阅读】苏格兰哲学家托马斯•卡莱尔（1795﹣1881）曾给出了一元二次方程的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，以为直径作．若交x轴于点，，则m，n为方程的两个实数根． 【自主探究】（1）由勾股定理得，，，，在中，，所以，化简得：.同理可得 所以m，n为方程的两个实数根． 【迁移运用】（2）在图2中的x轴上画出以方程两根为横坐标的点M，N． （3）已知点，，以为直径作．判断与x轴的位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】（4）在平面直角坐标系中，已知两点，，若以为直径的圆与x轴有两个交点M，N，则以点M，N的横坐标为根的一元二次方程是 ．    题型九：点与圆上一点的最值问题 解题思路 ①连接定点P与圆心O，直线PO和圆相交得到两个最值点。 ②定点到圆上点最大值：PO+r。 ③定点到圆上点最小值：|PO-r|。 ④该结论对点在圆内、圆上、圆外均适用 28．如果外一点到上所有点的距离中，最大距离是，最小距离是，那么 的半径长等于_______． 29．已知在平面直角坐标系中，的圆心为，半径为1，直线经过定点A，交于一点M，则当取得最大值时，k的值为（  ） A． B． C． D． 30．如图，点A，B的坐标分别为，，C为上一点，，M为线段的中点，连接，则的最小值为______． 解答题 1．如图，点A，B，C在⊙O上，按要求作图： (1)过点A作⊙O的直径AD； (2)过点B作⊙O的半径； (3)过点C作⊙O的弦． 2．完成下列各题 (1)用适当的方法解方程：； (2)如图，在矩形中，，．若以点为圆心，为半径作，直接写出点与的位置关系． 3．在矩形中，，． (1)若以A为圆心，8长为半径作，则 B、C、D与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使B、C、D三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径r的取值范围是　　． 4．某学校计划修建一条标准田径跑道，数学小组根据《田径场地设计规范》绘制了如下示意图． 已知：跑道由两条直道和两个半圆形弯道组成，直道的长度均为；内圈（第1道）的长度为，一共8条跑道，所有跑道的终点线相同；为消除跑外圈与跑内圈的差距，起跑时让运动员处于不同的起跑线上．（注：跑道的长度近似于该跑道的内侧线的长度） (1)内圈（第1道）半圆形弯道的半径为_______；（结果保留） (2)如果每条跑道宽，求第2道的全长，并计算第2道起跑线比第1道应前移多少米（结果保留）； (3)已知规范要求跑道宽度为，如果实际测量得到第8道起跑线比第1道前移了．请你通过计算判断该跑道宽度是否符合规范？（取） 5．已知，点M，N分别在射线上运动． (1)如图1，当，时，求的长； (2)如图2，当时，求的最大值； (3)如图3，在（2）的条件下，当最大时，在的右侧作等边，点P在射线上运动，的外接圆与交于点Q，连接，求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09圆的有关概念精讲学案 课堂核心立意 掌握圆的两种定义，分清弦、直径、弧、优弧、劣弧、半圆、等圆、等弧基础概念；辨析易混淆名词；会判断点是否在圆上；为本章后续圆的性质学习搭建概念基础。 圆的两个定义 ①描述性定义：平面内，一条线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆。固定端点叫圆心，这条线段叫半径。 ②集合定义：圆是平面内到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点的集合；圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；圆特指外围圆周，不含内部圆形区域。 ③书写标注：以点O为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。 弦与直径概念区分 ①弦：连接圆上任意两个点的线段。 ②直径：经过圆心的弦；直径是圆内最长弦，直径长度等于2倍半径。 ③关键区分：半径不属于弦，半径一端为圆心，圆心不在圆周线上。 圆弧分类定义 圆弧简称弧，指圆上两点之间的曲线部分。 ①劣弧：长度小于半圆的弧，书写标注只用两个字母； ②优弧：长度大于半圆的弧，书写必须使用三个字母标注区分； ③半圆：由直径两端分割得到的弧，半圆既不属于优弧，也不属于劣弧。 等圆、同心圆、等弧界定 ①等圆：能够完全重合的两个圆，半径相等即为等圆，圆心位置不做要求；同圆、等圆的所有半径长度全部相等。 ②同心圆：圆心完全相同，半径大小不一样的多个圆形。 ③等弧硬性条件：只有在同圆或者等圆中，可以完全重合的弧才是等弧；仅弧长相等不能判定为等弧，大小不同的圆形，弧长一致也无法重合。 点和圆的位置关系判定 设点到圆心距离为d，圆的半径为r： d=r，点在圆周上；d＞r，点在圆外部；d＜r，点在圆内部。 多点共圆判定方法：证明多个点到同一个固定点距离全部相等，即可判定这些点在同一个圆上。 （课堂强调，考场失分规避） 1.概念理解错误，将圆周等同于圆形盘面，圆仅指外围曲线。 2.概念混淆，认为半径是弦，或是所有弦都是直径；明确直径一定是弦，弦不一定是直径。 3.优弧书写只用两个字母，格式错误扣分；错误将半圆归类为优弧或者劣弧。 4.典型易错点：弧长相等不等于等弧，等弧必须满足同圆/等圆、完全重合两个条件。 5.证明多点共圆时，没有统一定点，距离等量条件证明不完整。 6.判断等圆只对比半径尺寸，和圆心摆放位置没有关系。 题型 考察方向 难度 题型一 1. 圆的基本概念辨析 ★ 题型二 2. 求圆中弦的条数 ★★ 题型三 3. 求过圆内一点的最长弦 ★ 题型四 4. 圆的周长和面积问题 ★ 题型五 5. 求小圆绕某图形一圈自转的圈数 ★★★ 题型六 判断点与圆的位置关系 ★ 题型七 6. 利用点与圆的位置关系求半径 ★★ 题型八 已知半径和圆上两点作圆 ★★ 题型九 7. 点与圆上一点的最值问题 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础★★中档★★★拔高 题型一：圆的基本概念辨析 解题思路 ①熟记核心定义：圆、弦、直径、优弧、劣弧、半圆、等圆、等弧。 ②抓住易错关键点：直径一定是弦，弦不一定是直径；半径不是弦；半圆既不是优弧，也不是劣弧；等弧必须在同圆或等圆中且能完全重合，仅长度相等不等于等弧；圆指圆周曲线，不是圆面。 ③逐条分析选项，排除错误说法。 1．在图中没有出现的几何图形是（    ） A．弦 B．弧 C．弓形 D．扇形 【答案】D 【分析】本题考查了圆的基本概念，关键是熟练应用定义判断；根据弦、弧、弓形及扇形的定义判断即可． 【详解】解：A：弦是连接圆上两点的线段，是弦； B：弧是圆上两点及其之间的部分，是弧； C：弓形是由弦和弧围成的图形，与其所对的弧围成的图形即是弓形； D：扇形是由两条半径和一段弧围成的图形，图中没有半径，也没有扇形； 故选：D ． 2．如图，中，，，以为圆心，长为半径画弧，交边于点；则的长（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质得,,再根据题意得,即可得出答案． 【详解】解：∵在中， ∴,, 根据题意，得, ∴． 3．如图，扇形，点C在上．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，则，根据等边对等角与三角形内角和定理得到，，根据即可求出的度数． 【详解】解：连接，则， ∴， ， ∴． 题型二：求圆中弦的条数 解题思路 ①明确弦定义：两端点都在圆上的线段。 ②找出图中全部圆上的点，进行两两连线。 ③剔除半径这类端点含圆心的线段。 ④不重复不漏数，统计符合条件线段总数。 4．如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【分析】本题考查了圆的认识，根据弦的定义进行判断．掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 【详解】解：弦为、、． 故选：B． 5．如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的有关概念，由连接圆上任意两点的线段叫做弦，即可判断得出答案，掌握圆的有关概念是解题的关键． 【详解】解：圆中的弦有：、，共两条， 故选：． 6．点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】试题分析：弦是连接圆上任意两点的线段，根据定义作答． 解：由图可知，点A、B、E、C是⊙O上的点， 图中的弦有AB、BC、CE，一共3条． 故选B． 考点：圆的认识． 题型三：求过圆内一点的最长弦 解题思路 ①圆内最长弦是直径。 ②连接已知点与圆心，双向延长交圆得到直径。 ③过圆内任意一点的最长弦一定是直径。 7．已知中最长的弦为，则的半径为（     ）． A．2 B．3 C．6 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了圆的基本知识；熟练理解圆中最长的弦是直径是解题的关键． 根据圆中最长的弦是直径以及同圆或等圆中，直径是半径的2倍，即可求得结果． 【详解】解：中最长的弦长为， 的直径的长为， 的半径为． 故选B． 8．如图，以边长为1的正方形的顶点O、P、R分别为圆心作圆，圆O过点Q，圆P、R均和圆O内切．设圆P、R上任意两点之间的距离是d，则d的最大值是_________． 【答案】 【分析】本题考查圆的内切，圆上两点间距离的最值：连接，延长交圆于C，求出圆P和圆R的半径．连接P，R，并延长与圆P交于A，与圆R交于B，则AB的长度即为圆P、R上任意两点之间的距离d的最大值． 【详解】如图，连接，延长交圆于C， 由圆O和圆P内切知C点即为切点， ∴， 连接P，R，并延长与圆P交于A，与圆R交于B， 则AB的长度即为圆P、R上任意两点之间的距离d的最大值， ∴， 故答案为：． 9．在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为作，直线交于、两点，若，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了圆中直径是最长的弦，待定系数法求一次函数解析式，因为弦，所以是圆的直径，从而过点，将，代入得， 【详解】解：，的半径为， 是的直径， 直线过点， 将，代入得，． 故答案为：． 10．如图，坐标平面内圆，已知圆的半径为2，圆心，下列直线中，与圆相交，且被圆所截得的弦最长的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆中最长的弦是直径，可得经过圆心的直线被圆所截得的弦最长，判断选项中哪条直线经过圆心即可． 【详解】解：A、在直线中，当时，，∴直线不经过圆心，故此选项错误； B、在直线中，当时，，∴直线不经过圆心，故此选项错误； C、在直线中，当时，，∴直线经过圆心，故此选项正确； D、在直线中，当时，，∴直线不经过圆心，故此选项错误． 题型四：圆的周长和面积问题 解题思路 ①牢记公式：周长C=2r，面积S=r2。 ②区分已知条件是半径还是直径，给直径先换算为半径。 ③遇到组合图形，拆分后再计算周长与面积。 11．一个圆形花坛，周长是，在距花坛边的外面围上一圈栏杆，栏杆的长（取）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的周长公式，先根据花坛周长求出花坛半径，再得到栏杆围成圆的半径，最后计算栏杆周长． 【详解】解：设花坛半径为，栏杆围成圆的半径为， ∵， ∴， ∵栏杆在距花坛边的外侧， ∴， ∴栏杆周长． 12．．已知图1、图2中两个半圆的半径相等，分别是两圆的圆心，图1中的阴影部分面积为，图2中的阴影部分面积为，那么与之间的大小关系是______． 【答案】 【分析】设两个圆的半径都是r，则图1中长方形的长为，宽为r，图2中三角形的底为，高为r，图1中阴影部分的面积为长方形的面积减去半圆的面积，图2中阴影部分的面积为半圆的面积减去三角形的面积，再进行比较所得面积的大小． 【详解】解:设两个半圆的半径都是r，则图1中长方形的长为，宽为r， 图2中三角形的底为，高为r， ∴ ． 13．如图，把圆形茶杯垫片沿直径剪开，得到两个近似的三角形，再拼成平行四边形，如下图所示．已知平行四边形的底是，那么圆形茶杯垫片的面积是_______．（ 取） 【答案】 【分析】先求出圆的直径，再根据圆的面积公式求解即可． 【详解】解：根据题意可得，圆的直径为：， ∴圆的半径为， ∴圆形茶杯垫片的面积为． 14．如图，以点为圆心的三个同心圆把以为半径的大圆的面积四等分，已知，以另外三个圆的半径为边的三角形的面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆的面积公式，勾股定理逆定理．根据题意结合圆的面积公式求出三角形三边长，再结合勾股定理逆定理证明该三角形为直角三角形是解题关键．由题意可设以为半径的圆的面积为，则以为半径的圆的面积为，以为半径的圆的面积为，以为半径的圆的面积为．再根据圆的面积公式可求出，，，根据勾股定理逆定理可判断这个三角形为直角三角形，再计算其面积即可． 【详解】解：∵以点为圆心的三个同心圆把以为半径的大圆的面积四等分， ∴可设以为半径的圆的面积为，则以为半径的圆的面积为，以为半径的圆的面积为，以为半径的圆的面积为． ∵以为半径的圆的面积为， ∴， ∴， ∴以为半径的圆的面积为，以为半径的圆的面积为，以为半径的圆的面积为， ∴，，， ∴，，， ∴，，，， ∴以另外三个圆的半径为边的三角形为直角三角形，且直角边为和， ∴这个三角形的面积为． 故选C． 题型五：求小圆绕某图形一圈自转的圈数 解题思路 ①分清公转路径长度和小圆自身周长。 ②自转圈数=滚动总路程÷小圆自身周长。 ③绕多边形外侧滚动，拐角会产生额外旋转，不可直接用多边形周长除以小圆周长。 15．如图，与在同一平面内，其半径都是r．将固定，让从上的一点P出发，沿的边缘滚动一周，回到原来的位置．下列说法：①滚动过程中的圆心形成的轨迹与是同心圆；②的圆心经过的路程是；③在滚动中自身转了2周．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了轨迹问题，掌握上的点P运动的路径长点运动的路径长是本题的关键． 根据题意可得，的圆心是以为圆心，为半径运动，即可解答． 【详解】解：根据题意可得，的圆心是以为圆心，为半径运动，即的圆心形成的轨迹与是同心圆；故①正确； ，则的圆心经过的路程是，故②错误； 根据题意可得点P运动的路径长， 的周长， 即在滚动中自身转了2周，故③正确； 故选：B． 16．自行车是绿色环保的交通工具，图①是某自行车的传动结构，图②是该结构的示意图，其中的半径是，的半径是，．当顺时针转动1周时，上的点随之旋转，则的值为______． 【答案】144 【分析】由顺时针转动1周，转动的长度是，上的点随之旋转，点转动的长度是，得到，即可求解． 【详解】解：顺时针转动1周，转动的长度是， ∵上的点随之旋转， ∴点转动的长度是， ∵， ∴， ∵顺时针转动1周转动的长度等于上的点旋转转动的长度， ∴， 解得，． 17．圆的滚动问题探索： (1)如图1，一个半径为的圆沿直线方向从地滚动到地，若的长为，则该圆在滚动过程中自转了___________圈．（用含、的式子表示） 试验： 现有两个半径相等的圆（如图5），将圆固定，圆沿定圆的周围滚动无滑动．当圆沿圆周围滚动一周回到原来的位置时，圆自转了圈，而圆的圆心运动的线路也是一个圆，而这个圆的周长恰好是圆的周长的倍． (2)如图2，的半径为，的半径为，现将固定，让沿的周围滚动无滑动．当沿的周围滚动一周回到原来的位置时，自转了___________圈； (3)如图3，的半径为，的半径为，现将固定，让沿的内部边缘滚动无滑动．当沿边缘滚动一圈回到原来的位置时，自转了___________圈． 解决问题： (4)如图4，一个等边三角形的边长与圆的周长相等，当此圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动滚动，直至回到原来的位置时，该圆自转了多少圈？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)该圆自转了圈； 理由见解析 【分析】（1）利用圆运动的距离除以圆的周长即可得出答案； （2）利用运动的距离除以的周长即可得出答案； （3）利用运动的距离除以的周长即可得出答案； （4）圆自转的圈数绕三边滚动所转的圈数圆心要绕其三角形的顶点所转的圈数． 【详解】（1）解：该圆在滚动过程中自转的圈数为：（圈）； （2）解：当沿沿周围滚动一周回到原来的位置时，滚动的路程为：， 自转了（圈）； （3）解：当沿内部边缘滚动一圈回到原来的位置时，滚动的路程为：， 自转了（圈）； （4）解：该圆自转了圈； 理由如下： 等边三角形的边长与和圆的周长相等， 圆在等边三角形三条边上滚动时，转了圈， 而圆从一边转到另一边时，圆心绕三角形的一个顶点旋转了三角形的一个外角的度数， 圆心要绕其三角形的顶点旋转， 圆绕三个顶点共旋转了，即转了圈， 此圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动滚动，直至回到原来的位置时，该圆自转了圈． 题型六：判断点与圆的位置关系 解题思路 ①计算点到圆心距离d，确定圆半径r。 ②比较二者大小：d=r点在圆上；d>r点在圆外；d<r点在圆内。 18．的半径是，同一平面内，若点P到点O的距离是，则点P与的位置关系为________． 【答案】点P在外 【详解】解：已知的半径，点到圆心的距离， 可得， 因此点与的位置关系是点在圆外． 19．如图，已知正方形，以点A为圆心，以为半径作，则点C在_______．（填“外”或“内”） 【答案】外 【分析】根据正方形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：连接，如图， ∵正方形的对角线， ∴点C在外． 20．在中，，，．分别以、为圆心，长为半径作圆、圆，下列关于点的位置描述正确的是（     ） A．在圆外部，在圆外部 B．在圆外部，在圆内部 C．在圆内部，在圆内部 D．在圆内部，在圆外部 【答案】B 【分析】根据点与圆的位置关系，比较点A到两个圆心的距离和对应圆的半径，即可判断点A的位置，点与圆的位置关系为：设圆半径为，点到圆心的距离为，则时点在圆外，时点在圆内． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得， 对于圆，圆心为，半径， ，点在圆外部， 对于圆，圆心为，半径， ，点在圆内部． 题型七：利用点与圆的位置关系求半径 解题思路 ①依据点的位置，写出d与r的不等关系式。 ②多个点时联立不等式，求出半径取值范围。 ③判断端点数值能否取等号。 21．已知点P在半径为2的上，则的长是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查圆的基本性质，利用“圆上任意一点到圆心的距离等于圆的半径”这一性质即可求解 【详解】解：∵点P在半径为2的上， ∴是的半径， ∴． 故选：B． 22．在同一平面内，点不在上，若点到上的点的最大距离是，最小距离是5，则的半径是______． 【答案】3或8 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键． 由题意知，分点在内，点在外两种情况求解即可． 【详解】解：由题意知，分点在内，点在外两种情况求解； 当点在内，如图1， ∴， ∴， ∴半径为8； 当点在外，如图2， ∴， ∴， ∴半径为3； 综上所述，的半径是3或8； 故答案为：3或8． 23．若所在平面内有一点，点到上点的最大距离为，最小距离为，则的半径为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，分点在圆外和圆内两种情况解答即可求解，运用分类讨论解答是解题的关键． 【详解】解：设的半径为， 当点在圆外时，； 当点在圆内时，； ∴的半径为或， 故选：． 24．如图，是半圆的直径，点在半圆上，，，是弧上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点移动的过程中，的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查点与圆的位置关系、勾股定理、圆周角定理等知识．如图，取的中点，连接，，．由题意点在以为圆心，为半径的上，推出当、、共线时，的值最小． 【详解】解：如图，取的中点，连接，，． ， ， 点在以为圆心，为半径的上， 当、、共线时，的值最小， 是直径， ， ， ， 的最小值为． 故选：C． 题型八：已知半径和圆上两点作圆 解题思路 ①圆心要满足：到两个已知点距离都等于给定半径。 ②分别以两个已知点为圆心、给定半径画圆弧。 ③圆弧交点即为圆心：2个交点作2个圆；1个交点作1个圆；无交点无法作圆。 25．已知AB＝12 cm，过A，B两点画半径为8 cm的圆，则能画的圆的个数为(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【分析】根据题意分别以A、B为圆心，以8cm为半径画弧，两弧交于C、D，以点C和点D为圆心的两个圆满足题意． 【详解】分别以A、B为圆心，以8cm为半径画弧，两弧交于 C、D，如下图， 得以C为圆心，以8cm为半径的圆经过点A和点B， 以D为圆心，以8cm为半径的圆经过点A和点B， 即能画的圆的个数是2个． 故选：C． 【点睛】本题考查了两圆相交的性质，能找出圆的圆心是解此题的关键． 26．如图，点、，以点为圆心为半径作交轴于两点，点为上一动点，连接，取中点，连接，则的最大值为_____． 【答案】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，如图，连接， 取的中点， 连接，， ，，，，利用三角形中位线定理求出，推出点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，设，则 ，求出 的最大值，可得结论，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，学会利用参数解决问题，熟练掌握知识点的应用． 【详解】如图， 连接， 取的中点， 连接，， ，，，， ∵点、， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆， 设，则， ∵， ∴最大时，的值最大， ∵， ∴， ∴的最大值为， ∴的最大值为， 故答案为：． 27．【深度阅读】苏格兰哲学家托马斯•卡莱尔（1795﹣1881）曾给出了一元二次方程的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，以为直径作．若交x轴于点，，则m，n为方程的两个实数根． 【自主探究】（1）由勾股定理得，，，，在中，，所以，化简得：.同理可得 所以m，n为方程的两个实数根． 【迁移运用】（2）在图2中的x轴上画出以方程两根为横坐标的点M，N． （3）已知点，，以为直径作．判断与x轴的位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】（4）在平面直角坐标系中，已知两点，，若以为直径的圆与x轴有两个交点M，N，则以点M，N的横坐标为根的一元二次方程是 ．    【答案】（1）； （2）先在坐标系内找到，，连接 ，分别A，B为圆心，以大于为半径画弧，连接两弧的交点与交于点P，以P为圆心，以为直径画圆，圆与x轴的交点即为M，N点．如图所示：    （3）由题意得：， ， ∴方程有两个不相等的实数根， 与x轴有两个交点， 即与x轴相交； （4） 【分析】本题属于圆的综合题，考查了直线与圆的位置关系，一元二次方程的根以及勾股定理的应用， （1）根据勾股定理得出等式化简即可； （2）作AB的垂直平分线交于点P，再以点P为圆心，以为直径画圆，圆与x轴的交点即为M，N点即可； （3）根据点的坐标可得，再算出，即可得出结论； （4）由点的坐标即可得出结果． 解题的关键是对一元二次方程的几何解法的理解和运用． 【详解】解：（1），，， 在中，， ， 化简得：， 故答案为：； （2）略 （3）略 （4）由题意得，以为直径的圆与交x轴有两个交点M、N， 则以点M、N的横坐标为根的一元二次方程是． 故答案为：． 题型九：点与圆上一点的最值问题 解题思路 ①连接定点P与圆心O，直线PO和圆相交得到两个最值点。 ②定点到圆上点最大值：PO+r。 ③定点到圆上点最小值：|PO-r|。 ④该结论对点在圆内、圆上、圆外均适用 28．如果外一点到上所有点的距离中，最大距离是，最小距离是，那么 的半径长等于_______． 【答案】 【分析】根据最大距离与最小距离之差等于直径即可得． 【详解】解：外一点到上所有的点的距离中，最大距离是，最小距离是， 的半径长等于， 故答案为：． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，理解最大距离与最小距离之间的关系是解题关键． 29．已知在平面直角坐标系中，的圆心为，半径为1，直线经过定点A，交于一点M，则当取得最大值时，k的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直线上点的坐标特征，圆外一点到圆上点距离的最大值，解题的关键是确定当圆心在线段上，取得最大值． 由题意知，当圆心在线段上，取得最大值，把点的坐标代入中，即可求得的值． 【详解】解：由题意知，当圆心在线段上，取得最大值， 此时直线过点， 把点坐标代入中，得：， 解得：； 故选：D． 30．如图，点A，B的坐标分别为，，C为上一点，，M为线段的中点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】先证点C在半径为4的上，可知，C在与圆B的交点时，最小，根据三角形的中位线定理可得结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点C为坐标平面内一点，， ∴C在上，且半径为4， 如图，在x轴上取，连接， ∵M为线段的中点，， ∴是的中位线， ∴， 当最小时，即最小，而D，B，C三点共线时， 当C在线段上时，最小， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为． 解答题 1．如图，点A，B，C在⊙O上，按要求作图： (1)过点A作⊙O的直径AD； (2)过点B作⊙O的半径； (3)过点C作⊙O的弦． 【答案】(1) 如图所示，作射线，交于点，则线段即为的直径； (2) 如图所示，连接，线段即为所求； (3) 如图所示，连接，线段即为所求的一条弦（答案不唯一）． 【分析】（1）作射线，交于点，则线段即为的直径； （2）连接，线段即为所求； （3）连接，线段即为所求（答案不唯一）． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了圆的基本概念，连接圆上任意两点是圆的弦，直径是经过圆心的弦，半径是圆上一点与圆心的连线，掌握以上知识是解题的关键． 2．完成下列各题 (1)用适当的方法解方程：； (2)如图，在矩形中，，．若以点为圆心，为半径作，直接写出点与的位置关系． 【答案】(1)或 (2)点在内；点在外；点在上 【分析】（1）先移项、再将系数化为1，直接开平方求解即可得到答案； （2）作出，连接，由勾股定理求出，由点与圆心的距离和半径大小比较即可得出点与的位置关系． 【详解】（1）解：， ， ， 则， 或； （2）解：连接，如图所示： 在矩形中，，，则由勾股定理可得， 的半径为，，，， 则， 点在内；点在外；点在上． 3．在矩形中，，． (1)若以A为圆心，8长为半径作，则 B、C、D与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使B、C、D三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径r的取值范围是　　． 【答案】(1)点B在内，点C在外，点D在上 (2) 【分析】此题考查的知识点是点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，解题关键是要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系． （1）根据勾股定理求出的长，进而得出点B，C，D与的位置关系； （2）利用（1）中所求，即可得出半径r的取值范围． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴点在内， ∵， ∴点在上， ∵， ∴点在外； （2）∵以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， ∴的半径r的取值范围是． 4．某学校计划修建一条标准田径跑道，数学小组根据《田径场地设计规范》绘制了如下示意图． 已知：跑道由两条直道和两个半圆形弯道组成，直道的长度均为；内圈（第1道）的长度为，一共8条跑道，所有跑道的终点线相同；为消除跑外圈与跑内圈的差距，起跑时让运动员处于不同的起跑线上．（注：跑道的长度近似于该跑道的内侧线的长度） (1)内圈（第1道）半圆形弯道的半径为_______；（结果保留） (2)如果每条跑道宽，求第2道的全长，并计算第2道起跑线比第1道应前移多少米（结果保留）； (3)已知规范要求跑道宽度为，如果实际测量得到第8道起跑线比第1道前移了．请你通过计算判断该跑道宽度是否符合规范？（取） 【答案】(1)； (2)，； (3)该跑道宽度符合规范．理由： 设跑道实际宽度为，第8条跑道与第1条跑道的半径差为，则起跑线前移为两个跑道的长度差，即为， ∵际测量得到第8道起跑线比第1道前移了． ∴， 解得， ∵规范要求跑道宽度为， ∴， 即 ∵， ∴该跑道宽度符合规范． 【分析】（1）设内圈（第1道）半圆形弯道的半径为，内圈（第1道）的长度为，据此列方程并解方程即可； （2）先求出第2道半圆形弯道的半径为，再用直道的长度加上第2道半圆形弯道的长度即可得到第2道的全长，用第2道的全长减去第1道的全长即可得到第2道起跑线比第1道应前移的长度； （3）设跑道实际宽度为，第8条跑道与第1条跑道的半径差为，根据起跑线前移为两个跑道的长度差求出起跑线前移的长度，再与规范要求跑道的宽度范围比较即可． 【详解】（1）解：设内圈（第1道）半圆形弯道的半径为，则 ， 解得， 即内圈（第1道）半圆形弯道的半径为； （2）解：∵每条跑道宽， ∴第2道半圆形弯道的半径为， ∴第2道全长， ∵， ∴第2道起跑线比第1道应前移； （3）略 5．已知，点M，N分别在射线上运动． (1)如图1，当，时，求的长； (2)如图2，当时，求的最大值； (3)如图3，在（2）的条件下，当最大时，在的右侧作等边，点P在射线上运动，的外接圆与交于点Q，连接，求的最小值． 【答案】(1) (2)12 (3) 【分析】（1）过点M作于K，由含30度角的直角三角形的性质和勾股定理可得线段的长，再求出线段的长，进而利用勾股定理可得答案； （2）过点M作于L，则可得到，根据垂线段最短可得，则可推出当点L与点N重合时，有最大值，最大值为12； （3）可导角证明；设线段的中点为R，在线段的下方且在线段的垂直平分线上取一点G使得，以点G为圆心，的长为半径画圆交线段的垂直平分线于H（点H在线段下方），连接，可证明点Q在圆G上，求出，得到，则可证明；进而可证明，得到，则，由勾股定理得到；根据，可得当M、Q、G三点共线时，有最小值，最小值为． 【详解】（1）解：如图所示，过点M作于K， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点M作于L， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴当点L与点N重合时，有最大值，最大值为12； （3）解：如图所示，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴； 如图所示，设线段的中点为R，在线段的下方且在线段的垂直平分线上取一点G使得，以点G为圆心，的长为半径画圆交线段的垂直平分线于H（点H在线段下方），连接， ∴， ∴， ∴O、H、N、Q四点共圆， ∴点Q在圆G上， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 由（2）可知，当有最大值时，，且， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴当M、Q、G三点共线时，有最小值，最小值为． 【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的距离的最值问题，圆周角定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，解（3）的关键在于证明，从而确定点Q的轨迹． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $