专题11圆的有关性质精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习) 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦初中数学圆的有关性质，以圆的轴对称和旋转不变性为基础，系统梳理垂径定理、圆心角-弧-弦关系、圆周角定理、圆内接四边形性质四大核心定理，搭建弦长计算、角度推导等四类核心题型的解题框架，形成完整知识支架。 资料从对称性切入构建知识逻辑，分17类题型分层设计（基础到拔高），强调易错点规避，结合筒车、月亮门等实际应用培养应用意识，通过解题思路引导数学思维推理，助力课中教学效率提升，课后学生可依此回顾强化，弥补知识盲点。

专题11圆的有关性质精讲学案 课堂核心立意 依托圆的轴对称、旋转不变两大对称性，吃透垂径定理、圆心角-弧-弦关系、圆周角定理、圆内接四边形四大核心定理，掌握弦长计算、角度推导、直角判定、四点共圆四类核心题型，搭建圆几何计算核心解题框架。 圆的双重对称性 ①轴对称：圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是对称轴，直接支撑垂径定理推导。 ②旋转对称性（旋转不变性）：圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，支撑圆心角、弧、弦等量转化定理。 垂径定理及核心推论 ①垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，同时平分弦对应的劣弧与优弧。 ②关键推论：平分弦（弦不能是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对两段弧；弦的垂直平分线必定经过圆心，可用于破损圆找圆心。 ③常用计算模型：过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，利用半径、弦长一半、圆心到弦垂距三边勾股定理求值。 同圆或等圆中圆心角、弧、弦等量关系 ①核心结论：在同圆、等圆内，圆心角、弧、弦、弦心距四组量，任意一组相等，剩余三组全部对应相等。 ②圆心角度数与弧度数相等，可直接通过圆心角判定弧的大小。 ③适用前提必须是同圆或等圆，不同圆无法直接等量替换弧、弦。 圆周角定义与核心定理 ①圆周角判定：顶点落在圆上，角的两条边均与圆相交。 ②圆周角定理：一段弧所对圆周角度数，等于这段弧对应圆心角度数的二分之一。 ③推论一：同弧或者等弧所对圆周角全部相等； ④推论二：直径、半圆所对圆周角为90°，90°圆周角所对弦为直径，用于直角三角形判定； ⑤推论三：三角形一边中线长度等于这条边长一半，该三角形为直角三角形。 圆内接四边形性质 ①圆内接四边形对角互补，两组对角相加都等于180°。 ②圆内接四边形任意一个外角，等于它的内对角，用于外角角度等量代换。 ③利用对角互补可快速判定四点共圆。 （课堂重点强调、考场失分规避） 1.垂径定理推论遗漏关键条件，直接表述“平分弦的直径垂直弦”，当被平分弦为直径时，两条直径互相平分但不一定垂直，命题不成立。 2.在半径不同的两个圆中，直接用弧长相等判定圆心角、弦相等，忽略“同圆或等圆”硬性前提。 3.计算圆周角直接等同于圆心角，遗忘二倍数量关系，角度计算结果翻倍或减半。 4.判定圆周角时，顶点在圆上但一边与圆相切、无交点，错误判定为圆周角使用定理。 5.圆内接四边形解题混淆外角与邻内角，记错外角等于内对角的等量关系。 6.使用直径定直角时，只看到直角，没有锁定直角对的弦，无法反向确定圆的直径。 题型 考察方向 难度 题型一 利用垂径定理求值 ★★ 题型二 利用垂径定理求平行弦问题 ★★ 题型三 利用垂径定理求同心圆问题 ★★ 题型四 利用垂径定理求解其他问题 ★★ 题型五 垂径定理的推论 ★★ 题型六 垂径定理的实际应用 ★★★ 题型七 圆心角概念辨析及简单运算 ★ 题型八 利用弧、弦、圆心角的关系求解 ★★ 题型九 利用弧、弦、圆心角的关系求证 ★★ 题型十 求圆弧的度数 ★★ 题型十一 圆周角的概念辨析及简单运算 ★ 题型十二 圆周角定理 ★★ 题型十三 同弧或等弧所对的圆周角相等 ★★ 题型十四 半圆（直径）所对的圆周角是直角 ★★ 题型十五 90 度的圆周角所对的弦是直径 ★★ 题型十六 已知圆内接四边形求角度 ★★ 题型十七 求四边形外接圆直径 ★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础★★中档★★★拔高 题型一：利用垂径定理求值 解题思路 ①过圆心作弦的垂线，构造直角三角形。 ②直角三角形三边：半径、弦长的一半、圆心到弦的距离。 ③利用勾股定理建立等式求解线段长。 ④已知其中两个量，可求第三个未知量。 1．如图，的直径，弦于E，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，易知，由垂径定理得，由勾股定理得，所以． 【详解】解：连接， 是的直径，弦于E，， ， 在，，，， ， ． 2．如图，是的直径，是弦，于点，连接，．如果，，那么的长是________． 【答案】 【分析】根据垂径定理得到及，进而求出的度数，最后在中利用勾股定理或含30度角的直角三角形性质求出的长即可求解． 【详解】解：是的直径，， ∴，， ， ， 在中，，， ， ， ， 由勾股定理得， ． 3．如下图所示，为上两点，且，弦于D点，则弦的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂径定理得出，由，知是等边三角形，，从而得出，再由勾股定理计算得出即可． 【详解】解： ，， 是等边三角形， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理得， ， ． 题型二：利用垂径定理求平行弦问题 解题思路 ①分两类讨论：两条平行弦在圆心同侧、两条平行弦在圆心异侧。 ②分别过圆心向两条弦作垂线，由垂径定理算出半弦长。 ③勾股定理求出圆心到两条弦的距离。 ④根据位置关系对距离作相加或者相减，得到两弦之间距离。 4．⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用．作于E，于F，由垂径定理得，由于，易得E、O、F三点共线，在和中，利用勾股定理分别计算出与，然后讨论：当圆心O在弦与之间时，与的距离；当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 【详解】解：如图，作于E，于F，连， 则， ∵， ∴E、O、F三点共线， 在中，， 在中，， 当圆心O在弦与之间时，与的距离； 当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 所以与的距离是14或2． 故选：C． 5．已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦，之间的距离为________． 【答案】或 【分析】本题考查圆的性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键， 分弦和弦在圆心的同侧和异侧两种情况讨论，利用垂径定理和勾股定理分别求出弦和弦到圆心的距离，再计算两条弦之间的距离即可， 【详解】解：过点O作于点M，于点N， ， 点O、M、N三点共线， 由垂径定理得，M为中点，N为中点 在中，、， 由勾股定理得 在中，、， 由勾股定理得 当、在圆心同侧时，如图： 距离为 当、在圆心异侧时，如图： 距离为． 故答案为：7或17． 6．已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】解题需分情况讨论弦、与圆心的位置关系，避免漏解，先求出圆心到两条弦的距离，再分情况计算两弦间的距离。 【详解】解：①当弦和在圆心同侧时， 连接，，过点作于点并延长交于点．则，如图， ，， ，， ， ，， ； ②当弦和在圆心异侧时，如图， ，， ，， ， ，， ． 与之间的距离为或． 题型三：利用垂径定理求同心圆问题 解题思路 ①过圆心向公共弦作垂线。 ②垂径定理得到大小圆各自半弦长。 ③分别在大小圆直角三角形中用勾股定理。 ④做差或者做和求出圆环相关线段长度。 7．如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若，则弦的长是__________． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，过圆心作弦的垂线构造直角三角形是解题的关键． 作于点，连接、，根据垂径定理可得，，再利用勾股定理分别求出和的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点，连接、， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 8．如图，小高和小雪分别沿着环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，两个人的速度相同，已知内圈跑道的半径为20米、外圈跑道的半径为25米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（   ） A．5米 B．15米 C．40米 D．50米 【答案】D 【分析】根据同心圆上两点之间的最值问题进行解决． 【详解】解：根据同心圆的半径可知， 两圆上两点最远的距离为（米）， 两圆上两点最近的距离为（米）， ∴两人的距离不可能是50米． 9．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长. 【详解】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC， ∵OA=OD=4，CD=2， ∴OC=2， ∴AC=， ∴AB=2AC=. 故答案为C. 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键. 题型四：利用垂径定理求解其他问题 解题思路 ①遇弦优先作圆心到弦的垂线段。 ②结合垂径定理得到相等线段、相等弧。 ③结合全等、勾股定理进行线段、角度推导。 10．垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段和角相等以及垂直关系的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了方法和依据．下列可以运用垂径定理解决问题的图形是（    ） A．B． C．D． 【答案】C 【分析】过圆心作弦的垂线，则可运用垂径定理解决问题，从而对各选项进行判断． 【详解】 解：可以运用垂径定理解决问题的图形是． 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理，解题的关键是熟记垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 11．如图，和相交于和，过点作的平行线交两圆于，已知，则________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，垂径定理的应用，作于点，于点，利用垂径定理得到，，且易得四边形为矩形，进而得到，再利用等量代换即可得到． 【详解】解：作于点，于点， ，，， ， 易得四边形为矩形， ， ， ， 故答案为：． 12．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且被水面截得的弦长为8米，半径长为5米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（    ） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．连接、，交于点，由垂径定理得（米，再由勾股定理得（米，然后求出的长即可． 【详解】解：如图，连接、，交于点， 由题意得：米，， （米，， （米， 米， 故选：B 题型五：垂径定理的推论 解题思路 ①牢记推论：平分弦（不是直径）的直径垂直弦，并且平分弦所对的两条弧。 ②注意前提：被平分的弦不能是直径。 ③弦的垂直平分线一定经过圆心。 ④根据条件判断垂直、平分弦、平分弧之间的互推关系。 13．如图，是的直径，弦与交于点，连接，，，．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查垂径定理及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理及等腰三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故选D． 14．已知是的直径，点C、D在上，已知C与点A、B不重合，弧弧，直线交直线于E，若，则的度数为________． 【答案】或 【分析】本题考查垂径定理的推论，三角形形的外角，等边三角形的判定和性质，分为弧是劣弧或弧是优弧，作射线交于点F，即可得到，进而求出的度数，利用三角形的外角解答即可． 【详解】解：如图，当弧是劣弧时，连接交于点F， ∵弧弧， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 如图，当弧是优弧时，连接并延长交于点， ∵∵弧弧， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 故答案为：或． 15．如图，网格中的每个小正方形的边长都为1，一条圆弧经过，，三点，则这条圆弧所在圆的半径长为（     ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查网格中圆弧所在圆的半径计算，解题核心是利用垂径定理的推论确定圆心，再结合勾股定理计算半径． 【详解】解：圆弧经过，，三点，连接，， 圆心在和垂直平分线的交点， 半径． 题型六：垂径定理的实际应用 解题思路 ①把实际问题转化为圆的模型，建立几何图形。 ②设圆的半径为未知数。 ③作垂线段，构造直角三角形。 ④列勾股方程解方程求出半径、弦高等。 16．在某古典园林的景观设计中，园林计划建造一座“月亮门”，其门洞形状是圆形的一部分（如图所示）．在圆形月亮门洞的截面中，表示门洞下沿宽度，D为弦的中点，经过圆心O并延伸至门洞顶部最高点C．已知，点C到点D的距离，则该圆形门洞的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理的实际应用，勾股定理的应用，如图，连接，先证明，，设拱门所在圆的半径为，再进一步的利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，， ∴，， 设拱门所在圆的半径为， ∴，而， ∴， ∴， 解得：， ∴拱门所在圆的半径为． 故选：B． 17．如图是排水管示意图，截面是半径为5分米的圆，管内水面分米，则水深等于_____分米． 【答案】2 【分析】本题主要考查的是垂径定理的应用，由题意知，交于点C，由垂径定理可得出的长，在中，根据勾股定理求出的长，由即可得出结论． 【详解】解：连接， 由题意得三点共线，且，交于点C， ∵分米， ∴（分米）， 在中，根据勾股定理得： （分米）， ∴（分米）． 故答案为：． 18．化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为，液面宽的长为，则瓶内液体最大深度为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于点，交于点，利用垂径定理得出，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， ∴， 由勾股定理得， ∴． 题型七：圆心角概念辨析及简单运算 解题思路 ①圆心角顶点必须在圆心，两边和圆相交。 ②圆心角的度数等于它所对弧的度数。 ③结合已知角度直接进行加减运算。 19．如图所示，表示圆心角的是（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆心角的判断，根据定义解答即可.顶点在圆心，角的两边与圆周相交的角，叫作圆心角． 【详解】解：图D中是圆心角． 故选：D． 20．如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心O2，恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为P，且点P在小量角器对应的刻度为63°，那么点P在大量角器上对应的刻度为__________．（只考虑小于的角） 【答案】 【分析】连接，由点P在小量角器对应的刻度，可知大小，再，可求得即为点P在大量角器上对应的刻度． 【详解】连接，如图所示： 点P在小量角器对应的刻度为， ， ， ， ， 点P在大量角器上对应的刻度为（只考虑小于的角）． 故答案为：． 【点睛】此题考查了圆心角、等腰三角形的性质和三角形内角和定理．熟练掌握用量角器上测量圆心角，并能根据相关性质求出各个角的度数是解此题的关键． 21．如图，是的外接圆，，，则的直径为__________． 【答案】 【分析】连接，，依据是等腰直角三角形，即可得到，进而得出的直径为． 【详解】如图，连接 ， ， 是等腰直角三角形， 又， ∴， ∴的直径为， 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理和勾股定理，熟知同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半是解题的关键． 题型八：利用弧、弦、圆心角的关系求解 解题思路 ①确认前提条件：同圆或者等圆。 ②弧、弦、圆心角、弦心距一组相等，则其余各组对应相等。 ③把已知条件转化成弧相等或者圆心角相等，再求线段、角度。 22．如图，在中，点是的中点，点在上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得到，利用弧、弦、圆心角的关系即可得的度数． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∵， ∴． 23．如图，是的直径，已知，，，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，由圆心角的性质可得，进而可判断是等边三角形，因此． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 24．如图，是外接圆，，若，弦的弦心距为2，则弦的长是（   ） A．10 B． C．12 D．15 【答案】B 【分析】过点作，交于点，连接，过点作于点，首先结合垂径定理证明，易得，在中，由勾股定理解得的长度，设半径为，即，则，在中，由勾股定理解得的值，然后在中，由勾股定理解得的长度，根据垂径定理即可获得答案． 【详解】解：如下图，过点作，交于点，连接，过点作于点， ∵，， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， 设半径为，即，则， 在中，由勾股定理可得， 即，解得， ∴， ∵弦的弦心距为2，即， ∴在中，由勾股定理可得， ∵， ∴． 题型九：利用弧、弦、圆心角的关系求证 解题思路 ①要证弦相等，可证所对弧相等或者圆心角相等。 ②要证弧相等，可证对应的弦或者圆心角相等。 ③书写证明必须写明“在同圆或等圆中”的条件。 25．如图，均为上的点，且，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角，弦，弧之间的关系．由A、B、C、D是⊙O上的点，，根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两条弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等作答即可． 【详解】解：∵， ∴，，故A选项说法正确，不符合题意； ∴，即，故B选项说法正确，不符合题意； ∵， ∴，即， ∴，故C选项说法正确，不符合题意； 不能证明，故D选项说法错误，符合题意； 故选：D． 26．如图，中，，截三条边所得弦长相等，则________． 【答案】/110度 【分析】如图所示，根据圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理得，再根据角平分线的判定定理得，然后根据三角内角和定理求得答案． 【详解】解：过点分别作，垂足分别是，记：，如图所示， 截三条边所得弦长相等， 点到三角形三条边的距离相等即， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了圆的相关定理、角平分线的判定定理、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理和三角形的内角和定理等定理是解答此题的关键． 27．如图，在中，是弦的中点，是过点的直径，则下列结论中不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，弧、弦、圆心角的关系等知识，理解并掌握垂径定理及其推论是解题关键．平分弦的直径垂直于这条弦，且平分这条弦所对的两条弧；同弧或等弧所对的弦相等，所对的圆心角也相等，据此即可获得答案． 【详解】解：∵是弦的中点，是过点的直径， ∴，，，故选项A正确，不符合题意； ∵， ∴，，故选项B，C正确，不符合题意； 已知条件无法确定，故选项D不正确，符合题意． 故选：D． 题型十：求圆弧的度数 解题思路 ①圆弧度数等于它所对圆心角的度数。 ②可以利用圆周角先求出圆心角，得到弧的度数。 ③整圆度数360°，用整体减去其余弧得到目标弧度数。 28．如图，已知⊙O的半径为3，弦AB、CD所对的圆心角分别是∠AOB、∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD=4，则弦AB的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，延长AO交⊙O于T，连接BT．证明CD=BT，∠ABT=90°，再利用勾股定理求解即可． 【详解】 解：如图，延长AO交⊙O于T，连接BT． ∵∠AOB+∠BOT=180°，∠AOB+∠COD=180°， ∴∠COD=∠BOT， ∴， ∴CD=BT=4， ∵AT是直径，AT=6， ∴∠ABT=90°， ∴AB==， 故选：C． 【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 29．如图，在以AB为直径的半圆中，=，CD⊥AB，EF⊥AB，CD=CF=1，则以AC和BC的长为两根的一元二次方程是________． 【答案】 【分析】连接OD，OE，因为=，根据等弧所对的圆心角相等可得∠DOC=∠EOF，因为CD⊥AB，EF⊥AB，所以∠DCO=∠EFO=90°，又因为DO==EO，所以Rt△DOC∽Rt△EOF，所以CO=OF=，在Rt△DOC中，OD=，所以AO=DO=，AC=，BC=AB-AC=- =，所以以AC和BC的长为两根的一元二次方程是（x-）(x-)=0，整理，得． 【详解】解：连接OE，OD， ∵=， ∴∠DOC=∠EOF， ∵CD⊥AB，EF⊥AB， ∴∠DCO=∠EFO=90°， 又∵DO=EO， ∴Rt△DOC≌Rt△EOF， ∴CO=OF=， ∵在Rt△DOC中，OD=， ∴AO=DO=，AC=AO-CO=，AB=2AO=，BC=AB-AC=- =， ∴以AC和BC的长为两根的一元二次方程是（x-）(x-)=0，整理，得． 故答案为：x2-x+1=0． 【点睛】本题考查圆心角定理及其推论，全等三角形的判定与性质以及根与系数的关系．此题属于开放题，注意数形结合与方程思想的应用． 30．如图，经过五边形的四个顶点，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系,掌握相关知识是解决问题的关键。连接、，如图，利用等腰三角形的性质得，，则根据三角形内角和定理得到，，则，于是得到的度数为． 【详解】解：连接、，如图， ，， ，， ，， ， ∴的度数为． 故选：B． 题型十一：圆周角的概念辨析及简单运算 解题思路 ①圆周角顶点在圆上，两边都与圆相交。 ②排除顶点不在圆上、一边不相交的错误角。 ③结合图形直接进行角度加减计算。 31．如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角的定义，顶点在圆周上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角，由此即可得出答案，熟练掌握圆周角的定义是解此题的关键． 【详解】解：由图可得：和符合圆周角的定义，顶点不在圆周上，的一边和圆不想交， 故图中的圆周角有和，共个， 故选：B． 32．如图，直线经过的圆心 ，且与交于两点，点在上，且 ，点是直线上的一个动点 (与圆心不重合)， 直线与相交于另一点，如果，则____. 【答案】40°、20°、100° 【分析】点P是直线l上的一个动点，因而点P与线段AO有三种位置关系，在线段上，点P在延长线上，点P在的延长线上．分这三种情况进行讨论即可． 【详解】解：①根据题意，画出图1， 在中，， ∴， 在中， ∴ 又∵ ∴ 在中， 即 整理得， ∴ ． ②当P在线段的延长线上，如图2 在中， 把①②代入③得 则 ∴ ③当P在线段的反向延长线上，如图3， ①②③④联立得 故答案为：40°、20°、100°． 【点睛】本题主要考查了圆的认识及等腰三角形等边对等角的性质，画出图形，进行分类讨论是解题的关键． 33．如图，多边形是由等腰和矩形组成，，若过，，三点，则的半径是（    ）    A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】根据等腰三角形和矩形的性质可知道垂直平分，再根据垂径定理的推论可判定圆心在上，即可推出四边形为菱形，从而求出的半径. 【详解】解：过点作交于点，连接和如图所示，   为等腰三角形，， 垂直平分. 矩形，， 也垂直平分. 过点，，三点的圆的圆心在上， . . ， . ，矩形， ， ， ，， ， .   四边形为平行四边形. ， 四边形为菱形且. 的半径为3. 故选：B. 【点睛】本题考查了垂径定理的推论，菱形的判定和性质、等腰三角形的性质矩形的性质以及圆周角定理.解题的关键在于作对辅助线和证明圆心在上. 题型十二：圆周角定理 解题思路 ①圆周角等于它所对弧的圆心角度数的一半。 ②已知圆心角求圆周角除以2；已知圆周角求圆心角乘以2。 ③找准圆周角与圆心角对应是同一段弧。 34．如图，已知A、B、C都在圆O上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角与圆心角的关系，由此计算的度数即可． 【详解】解：弧所对的圆周角是，圆心角是， 已知，由圆周角定理可得． 35．如图，内接于，D是BC延长线上一点，将点D关于直线AC对称，对称点E恰好落在上，且，则______． 【答案】40 【分析】连接，设，，根据折叠的性质，三角形的外角的性质，圆周角定理，以及平行线的性质，推出，即可得出结果. 【详解】解：连接， ∵对称， ， 设，， ， ， ， ， ， ． ． 36．如图，四边形内接于，连接.若C是劣弧的中点，平分，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交于点E．求出，，根据三角形内角和定理求出答案． 【详解】解：如图，延长交于点E． ∵，，C是劣弧的中点， ∴，， ∴，， ∴，． 又∵平分， ∴， ∴， ∴． 题型十三：同弧或等弧所对的圆周角相等 解题思路 ①同弧、等弧对应的所有圆周角大小全部相等。 ②通过弧做桥梁，实现角度等量代换。 ③用来证明角相等，进一步证三角形全等或者相似。 37．如图，为的直径，点是上的两点，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直径所对的圆周角是得出，根据直角三角形的两个锐角互余，结合圆周角定理计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴． 38．如图，、、是的弦，与交于点，，若，则的度数为_____． 【答案】 【分析】先得到弧相等，再有弧所对的圆周角相等的得到，最后由三角形外角性质求解即可． 【详解】解：，， ， ， 是的一个外角， ． 39．如图，是⊙的直径，、是⊙上异于、的两点，且，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用等弧转化与的关系，结合题干条件把用表示，再根据圆周角定理得到与的关系式，最后利用求解即可． 【详解】解： ， ， ， ， ， ∵是⊙的直径，， ， ∴． 题型十四：半圆（直径）所对的圆周角是直角 解题思路 ①看见直径，想到它所对圆周角为90°，构造直角。 ②题目出现90°圆周角，可以反推它所对弦是直径。 ③出现直角优先看斜边是否为圆的直径。 40．如图，是的直径，是的弦，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直径所对的圆周角是直角，得出是直角三角形，进而利用两锐角互余求解. 【详解】解：∵是的直径， ∴， 在中，， ∴. 41．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，________． 【答案】 14 【分析】根据圆内接四边形的性质求出，根据直径所对的圆周角是直角得出，然后根据计算即可. 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， 又， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴. 42．如图，是的直径，是上一点，若，，则的长为（     ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】先利用直径所对的圆周角为直角确定为直角三角形，再结合角的性质与勾股定理计算的长度． 【详解】解：∵是的直径，点C在上， ∴，即是直角三角形． 在中，， ∴， ∴． 题型十五：90 度的圆周角所对的弦是直径 解题思路 ①圆上出现90°角，该角对的弦即为圆直径。 ②可以用来确定圆心位置，找到斜边中点就是圆心。 ③常用于判断直角三角形外接圆直径。 43．如图，用制作的表盘模型，其中点A，B分别与整钟点“3时”，“11时”重合，要使，则点C应位于表盘的（    ） A．“7时”处 B．“8时”处 C．“9时”处 D．“10时”处 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，掌握直径对直角是解题的关键；根据直径对直角可知，当是直径时，，据此即可得解． 【详解】解：连接，延长交于C，连接， 是直径， ， 点C应位于表盘的“9时”处， 故选：． 44．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道题：今有圆材，径二尺五寸，欲为方放，令厚七寸，问：广几何？用数学语言可表述为：如图，的直径为寸，矩形内接于，若寸，则______寸． 【答案】 【分析】连接，由矩形的性质得，即得是的直径，再利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴是的直径， ∴寸， ∵寸， ∴(寸)． 45．如图，在中，，，，是内部的一个动点，满足，则线段的长度最小值为（　　） A．2 B．4 C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、勾股定理，首先证明点在以为直径的上，当、、共线时最小，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：， ， ， ， 点在以为直径的上，当、、共线时最小， 在中，，， ∴， ， ． 最小值为． 故选：A． 题型十六：已知圆内接四边形求角度 解题思路 ①圆内接四边形对角互补，对角之和等于180°。 ②已知一个内角，直接求它的对角。 ③结合圆周角定理综合计算。 46．如图，是半圆的直径，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：四边形是圆的内接四边形， ， ， ． 47．如图，为的一条弦，且，C为劣弧上一点，连接，则的度数为_____． 【答案】/120度 【分析】在优弧上构造圆周角，利用同弧所对圆周角等于圆心角的一半求出该角，再利用圆内接四边形对角互补求出． 【详解】解：在优弧上任取一点，连接，． ， ． 四边形内接于 ， ， ． 48．如图，在中，所对的圆心角为，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接并延长交于点E，连接，首先利用等边对等角得到，然后利用三角形内角和定理求出，然后结合圆周角定理和圆内接四边形对角互补求解即可． 【详解】解：如图，连接并延长交于点E，连接 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 题型十七：求四边形外接圆直径 解题思路 ①四边形有外接圆 ⇒ 该四边形是圆内接四边形，四个顶点共圆。 ②若四边形内部出现90°的圆周角：90°圆周角所对的那条对角线，就是外接圆的直径。 ③如果是矩形：矩形一定有外接圆，外接圆直径等于矩形的对角线长。 ④普通圆内接四边形：  a 优先寻找圆上的直角；有直角就直接取直角所对弦为直径；  b 没有直角时，把四边形拆成两个三角形，求其中一个三角形的外接圆直径（即为四边形外接圆直径）；  c 遇到直角三角形，直径 = 斜边； ⑤求出直径后，半径 = 直径 ÷ 2。 ⑥计算时常结合勾股定理、余弦定理求对角线长度。 49．如图，圆是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确做出辅助线． 连接，首先根据题意得到点O是的中点，然后利用勾股定理求出，，然后利用阴影部分的面积代数求解即可． 【详解】如图所示，连接， ∵圆是矩形的外接圆， ∴点O是的中点 ∵，，， ∴ ∴ ∴阴影部分的面积． 故选：B． 50．图，定长弦在以为直径的上滑动（点、与点、不重合），是的中点，过点作于点，若，，，则的最大值是________． 【答案】4 【分析】连接，，求出，，，四点共圆，则是的一条弦，当为的直径时最大． 【详解】：如图，连接，，根据， 所以，，，四点共圆，且为直径， 的中点为圆心，则为的一条弦， 当为的直径时最大， 所以时最大， 即的最大值为4． 故答案为4 【点睛】本题考查了四点共圆，解题的关键是找出符合条件的的位置，有一定难度． 51．如图，为正方形的外接圆，若，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质，得出，，再根据勾股定理，得出，再根据正方形的性质，得出，进而得出的半径为，再根据圆的面积公式，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴的半径为， ∴的面积为：． 故选：A 【点睛】本题考查了求正方形外接圆的直径、正方形的性质、勾股定理、圆的面积，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 解答题 1．如图是一个管道的横截面，圆心O到水面的距离是3，水面宽．求这个管道横截面的半径． 【答案】 【分析】根据垂径定理，可知是等腰直角三角形，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ． ， 是等腰直角三角形， 在中，． 这个管道横截面的半径为． 2．年月日的月全食恰逢中国农历正月十五元宵节，这是天文历法与天体运行的一次自然巧合，观赏时机非常难得，全国大部分地区都将看到“带食月出”的景象，如图1．月全食的原理是月、地、日运行至一条直线时，月球进入地球的本影，太阳投射在月球上的光完全被地球挡住，由于地球大气层对太阳光有折射和散射作用，其中波长最长的红光落在月面上最多，因而出现“红月亮”．小智在观看的过程中在纸上画了如图2所示的图形，若的半径为，是弦的中点，是半圆上的一点，且．      (1)连接、，则与的位置关系是________； (2)求的度数； (3)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由垂径定理的推论即可得解； （2）由勾股定理可得的长，即可得到，从而可得是等腰直角三角形，即可得解； （3）连接，由垂径定理可得的长，证明，再由列式计算即可． 【详解】（1）解：是圆心，是弦的中点， ； （2）解：是半圆上的一点，且， ， ， ， 是等腰直角三角形， ； （3）解：如图，连接， 由（2）知，，， 是弦的中点，， ，， ． 3．如图，是的直径，点在上，请用无刻度直尺画图（保留作图痕迹，不写画法）． (1)如图1，若是半圆的中点，且与点在同一侧，画出的平分线．并说明理由； (2)如图2，若，画出的平分线； (3)在（2）的作图下，已知，，交直径于点，则______． 【答案】(1) 解：如图1，即为所求的平分线； 证明：是半圆的中点， ， 直径直径， ， ， 即平分； (2) 如图2中，射线即为所求． (3) 【分析】本题考查作图—复杂作图，圆周角定理，垂径定理，角平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）作直径，作射线即可，理由见详解； （2）连接交于点，作直线交于点，作射线即可，由可得，从而得出，从而得出，再由等腰三角形性质得出，推出，最后得出结论． （3）过点作于点，于点，勾股定理求出的长，根据角平分线的性质，得到，进而得到，根据同高三角形的面积比等于底边比，得到，进一步求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）过点F作于点，于点． 是直径， ， ， 平分，，， ， ， ， ， 故答案为：． 4．如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，． (1)直接写出的长为___________； (2)若大圆的半径是5，求小圆的半径长． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握以上性质． （1）过点作于点，连接，根据垂径定理求出线段的长度，最后利用线段的和差进行求解即可； （2）结合（1）得，根据勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，连接， 根据垂径定理得，点为线段和的中点， ∴， ∴， 故答案为：1； （2）解：如图所示，过点作于点，连接， 结合（1）得， 根据勾股定理得， ∴， ∴小圆的半径长为． 5．如图，中，，是边上一点，以为半径作，分别与，交于，两点，与相切于点，连接，． (1)求证：； (2)试用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵是的切线， ∴ ∵， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴； (2)， 证明：如图，连接，过点作于点， ∴ 由（1）可得 又∵ ∴ ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴，即 【分析】（1）根据切线的性质可得，根据直角三角形的两个锐角互余可得，则，根据得出，等量代换可得，即可得出； （2）连接，过点作于点，证明得出，进而证明，得出，根据线段的和差关系，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 6．如图，是的直径，是的弦，于点，是的中点，连接． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 【答案】(1) 证明：是的直径，于点， ， 是的中点， ， ，即， ； (2) 【分析】（1）根据垂径定理得，由是的中点即可得，进而得，根据圆心角定理，即可证明结论； （2）连接，根据垂径定理及勾股定理，即可列方程求解． 【详解】（1）略； （2） 解：如图，连接， 由（1）可知， 设的半径为，则， ， ， 于点， ， 在中，，即， 解得， 的半径为． 7．图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点，其中A、B、C均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定网格中按下列要求作图． (1)在图①中，画出过点A、B、C的圆的圆心O； (2)在图②中，在劣弧上确定一点P，使； (3)在图③中，点D是圆上一点，画出弦，使． 【答案】(1)解：如图，点O即为所求： (2)如图，点P即为所求： (3)如图，弦即为所求： 【分析】（1）连接与格线的交点O，即可； （2）取格点Q，连接交交圆于点P，即为所求点； （3）连接交格线于点F，连接并延长交圆于点E，连接，则． 【详解】（1）解：略 （2）解：略 （3）解：略 8．课本第页，利用圆周角定理研究了关于圆内接四边形的一个性质，圆内接四边形的对角互补． (1)完成上述性质的证明过程： 如图①，已知点，，，在上，求证：； (2)如图②，已知点，，，在上，若，的半径为4．求的长． 【答案】(1) 证明：连接，，如图① ∵，， ∴． (2) 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，垂径定理，解题的关键是掌握相关知识． （1）连接，，可得，，即可得证； （2）连接，，过点作于点，由角度关系可得出，利用勾股定理可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：连接，，过点作于点，如图②， 由（1）可知， ∵， ∴． ∵，， ∴， 则， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11圆的有关性质精讲学案 课堂核心立意 依托圆的轴对称、旋转不变两大对称性，吃透垂径定理、圆心角-弧-弦关系、圆周角定理、圆内接四边形四大核心定理，掌握弦长计算、角度推导、直角判定、四点共圆四类核心题型，搭建圆几何计算核心解题框架。 圆的双重对称性 ①轴对称：圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是对称轴，直接支撑垂径定理推导。 ②旋转对称性（旋转不变性）：圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，支撑圆心角、弧、弦等量转化定理。 垂径定理及核心推论 ①垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，同时平分弦对应的劣弧与优弧。 ②关键推论：平分弦（弦不能是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对两段弧；弦的垂直平分线必定经过圆心，可用于破损圆找圆心。 ③常用计算模型：过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，利用半径、弦长一半、圆心到弦垂距三边勾股定理求值。 同圆或等圆中圆心角、弧、弦等量关系 ①核心结论：在同圆、等圆内，圆心角、弧、弦、弦心距四组量，任意一组相等，剩余三组全部对应相等。 ②圆心角度数与弧度数相等，可直接通过圆心角判定弧的大小。 ③适用前提必须是同圆或等圆，不同圆无法直接等量替换弧、弦。 圆周角定义与核心定理 ①圆周角判定：顶点落在圆上，角的两条边均与圆相交。 ②圆周角定理：一段弧所对圆周角度数，等于这段弧对应圆心角度数的二分之一。 ③推论一：同弧或者等弧所对圆周角全部相等； ④推论二：直径、半圆所对圆周角为90°，90°圆周角所对弦为直径，用于直角三角形判定； ⑤推论三：三角形一边中线长度等于这条边长一半，该三角形为直角三角形。 圆内接四边形性质 ①圆内接四边形对角互补，两组对角相加都等于180°。 ②圆内接四边形任意一个外角，等于它的内对角，用于外角角度等量代换。 ③利用对角互补可快速判定四点共圆。 （课堂重点强调、考场失分规避） 1.垂径定理推论遗漏关键条件，直接表述“平分弦的直径垂直弦”，当被平分弦为直径时，两条直径互相平分但不一定垂直，命题不成立。 2.在半径不同的两个圆中，直接用弧长相等判定圆心角、弦相等，忽略“同圆或等圆”硬性前提。 3.计算圆周角直接等同于圆心角，遗忘二倍数量关系，角度计算结果翻倍或减半。 4.判定圆周角时，顶点在圆上但一边与圆相切、无交点，错误判定为圆周角使用定理。 5.圆内接四边形解题混淆外角与邻内角，记错外角等于内对角的等量关系。 6.使用直径定直角时，只看到直角，没有锁定直角对的弦，无法反向确定圆的直径。 题型 考察方向 难度 题型一 利用垂径定理求值 ★★ 题型二 利用垂径定理求平行弦问题 ★★ 题型三 利用垂径定理求同心圆问题 ★★ 题型四 利用垂径定理求解其他问题 ★★ 题型五 垂径定理的推论 ★★ 题型六 垂径定理的实际应用 ★★★ 题型七 圆心角概念辨析及简单运算 ★ 题型八 利用弧、弦、圆心角的关系求解 ★★ 题型九 利用弧、弦、圆心角的关系求证 ★★ 题型十 求圆弧的度数 ★★ 题型十一 圆周角的概念辨析及简单运算 ★ 题型十二 圆周角定理 ★★ 题型十三 同弧或等弧所对的圆周角相等 ★★ 题型十四 半圆（直径）所对的圆周角是直角 ★★ 题型十五 90 度的圆周角所对的弦是直径 ★★ 题型十六 已知圆内接四边形求角度 ★★ 题型十七 求四边形外接圆直径 ★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础★★中档★★★拔高 题型一：利用垂径定理求值 解题思路 ①过圆心作弦的垂线，构造直角三角形。 ②直角三角形三边：半径、弦长的一半、圆心到弦的距离。 ③利用勾股定理建立等式求解线段长。 ④已知其中两个量，可求第三个未知量。 1．如图，的直径，弦于E，，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，是的直径，是弦，于点，连接，．如果，，那么的长是________． 3．如下图所示，为上两点，且，弦于D点，则弦的长为（     ） A． B． C． D． 题型二：利用垂径定理求平行弦问题 解题思路 ①分两类讨论：两条平行弦在圆心同侧、两条平行弦在圆心异侧。 ②分别过圆心向两条弦作垂线，由垂径定理算出半弦长。 ③勾股定理求出圆心到两条弦的距离。 ④根据位置关系对距离作相加或者相减，得到两弦之间距离。 4．⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 5．已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦，之间的距离为________． 6．已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 题型三：利用垂径定理求同心圆问题 解题思路 ①过圆心向公共弦作垂线。 ②垂径定理得到大小圆各自半弦长。 ③分别在大小圆直角三角形中用勾股定理。 ④做差或者做和求出圆环相关线段长度。 7．如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若，则弦的长是__________． 8．如图，小高和小雪分别沿着环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，两个人的速度相同，已知内圈跑道的半径为20米、外圈跑道的半径为25米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（   ） A．5米 B．15米 C．40米 D．50米 9．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 题型四：利用垂径定理求解其他问题 解题思路 ①遇弦优先作圆心到弦的垂线段。 ②结合垂径定理得到相等线段、相等弧。 ③结合全等、勾股定理进行线段、角度推导。 10．垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段和角相等以及垂直关系的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了方法和依据．下列可以运用垂径定理解决问题的图形是（    ） A． B． C． D． 11．如图，和相交于和，过点作的平行线交两圆于，已知，则________． 12．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且被水面截得的弦长为8米，半径长为5米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（    ） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 题型五：垂径定理的推论 解题思路 ①牢记推论：平分弦（不是直径）的直径垂直弦，并且平分弦所对的两条弧。 ②注意前提：被平分的弦不能是直径。 ③弦的垂直平分线一定经过圆心。 ④根据条件判断垂直、平分弦、平分弧之间的互推关系。 13．如图，是的直径，弦与交于点，连接，，，．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 14．已知是的直径，点C、D在上，已知C与点A、B不重合，弧弧，直线交直线于E，若，则的度数为________． 15．如图，网格中的每个小正方形的边长都为1，一条圆弧经过，，三点，则这条圆弧所在圆的半径长为（     ） A． B． C．2 D． 题型六：垂径定理的实际应用 解题思路 ①把实际问题转化为圆的模型，建立几何图形。 ②设圆的半径为未知数。 ③作垂线段，构造直角三角形。 ④列勾股方程解方程求出半径、弦高等。 16．在某古典园林的景观设计中，园林计划建造一座“月亮门”，其门洞形状是圆形的一部分（如图所示）．在圆形月亮门洞的截面中，表示门洞下沿宽度，D为弦的中点，经过圆心O并延伸至门洞顶部最高点C．已知，点C到点D的距离，则该圆形门洞的半径为（    ） A． B． C． D． 17．如图是排水管示意图，截面是半径为5分米的圆，管内水面分米，则水深等于_____分米． 18．化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为，液面宽的长为，则瓶内液体最大深度为（     ） A． B． C． D． 题型七：圆心角概念辨析及简单运算 解题思路 ①圆心角顶点必须在圆心，两边和圆相交。 ②圆心角的度数等于它所对弧的度数。 ③结合已知角度直接进行加减运算。 19．如图所示，表示圆心角的是（   ） A．B． C． D． 20．如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心O2，恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为P，且点P在小量角器对应的刻度为63°，那么点P在大量角器上对应的刻度为__________．（只考虑小于的角） 21．如图，是的外接圆，，，则的直径为__________． 题型八：利用弧、弦、圆心角的关系求解 解题思路 ①确认前提条件：同圆或者等圆。 ②弧、弦、圆心角、弦心距一组相等，则其余各组对应相等。 ③把已知条件转化成弧相等或者圆心角相等，再求线段、角度。 22．如图，在中，点是的中点，点在上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 23．如图，是的直径，已知，，，则的长为______． 24．如图，是外接圆，，若，弦的弦心距为2，则弦的长是（   ） A．10 B． C．12 D．15 题型九：利用弧、弦、圆心角的关系求证 解题思路 ①要证弦相等，可证所对弧相等或者圆心角相等。 ②要证弧相等，可证对应的弦或者圆心角相等。 ③书写证明必须写明“在同圆或等圆中”的条件。 25．如图，均为上的点，且，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 26．如图，中，，截三条边所得弦长相等，则________． 27．如图，在中，是弦的中点，是过点的直径，则下列结论中不正确的是（    ）    A． B． C． D． 题型十：求圆弧的度数 解题思路 ①圆弧度数等于它所对圆心角的度数。 ②可以利用圆周角先求出圆心角，得到弧的度数。 ③整圆度数360°，用整体减去其余弧得到目标弧度数。 28．如图，已知⊙O的半径为3，弦AB、CD所对的圆心角分别是∠AOB、∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD=4，则弦AB的长为（    ） A． B． C． D． 29．如图，在以AB为直径的半圆中，=，CD⊥AB，EF⊥AB，CD=CF=1，则以AC和BC的长为两根的一元二次方程是________． 30．如图，经过五边形的四个顶点，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型十一：圆周角的概念辨析及简单运算 解题思路 ①圆周角顶点在圆上，两边都与圆相交。 ②排除顶点不在圆上、一边不相交的错误角。 ③结合图形直接进行角度加减计算。 31．如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 32．如图，直线经过的圆心 ，且与交于两点，点在上，且 ，点是直线上的一个动点 (与圆心不重合)， 直线与相交于另一点，如果，则____. 33．如图，多边形是由等腰和矩形组成，，若过，，三点，则的半径是（    ）    A． B．3 C． D．4 题型十二：圆周角定理 解题思路 ①圆周角等于它所对弧的圆心角度数的一半。 ②已知圆心角求圆周角除以2；已知圆周角求圆心角乘以2。 ③找准圆周角与圆心角对应是同一段弧。 34．如图，已知A、B、C都在圆O上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 35．如图，内接于，D是BC延长线上一点，将点D关于直线AC对称，对称点E恰好落在上，且，则______． 36．如图，四边形内接于，连接.若C是劣弧的中点，平分，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型十三：同弧或等弧所对的圆周角相等 解题思路 ①同弧、等弧对应的所有圆周角大小全部相等。 ②通过弧做桥梁，实现角度等量代换。 ③用来证明角相等，进一步证三角形全等或者相似。 37．如图，为的直径，点是上的两点，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 38．如图，、、是的弦，与交于点，，若，则的度数为_____． 39．如图，是⊙的直径，、是⊙上异于、的两点，且，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型十四：半圆（直径）所对的圆周角是直角 解题思路 ①看见直径，想到它所对圆周角为90°，构造直角。 ②题目出现90°圆周角，可以反推它所对弦是直径。 ③出现直角优先看斜边是否为圆的直径。 40．如图，是的直径，是的弦，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 41．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，________． 42．如图，是的直径，是上一点，若，，则的长为（     ） A．2 B．4 C． D． 题型十五：90 度的圆周角所对的弦是直径 解题思路 ①圆上出现90°角，该角对的弦即为圆直径。 ②可以用来确定圆心位置，找到斜边中点就是圆心。 ③常用于判断直角三角形外接圆直径。 43．如图，用制作的表盘模型，其中点A，B分别与整钟点“3时”，“11时”重合，要使，则点C应位于表盘的（    ） A．“7时”处 B．“8时”处 C．“9时”处 D．“10时”处 44．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道题：今有圆材，径二尺五寸，欲为方放，令厚七寸，问：广几何？用数学语言可表述为：如图，的直径为寸，矩形内接于，若寸，则______寸． 45．如图，在中，，，，是内部的一个动点，满足，则线段的长度最小值为（　　） A．2 B．4 C．5 D．7 题型十六：已知圆内接四边形求角度 解题思路 ①圆内接四边形对角互补，对角之和等于180°。 ②已知一个内角，直接求它的对角。 ③结合圆周角定理综合计算。 46．如图，是半圆的直径，，则等于（     ） A． B． C． D． 47．如图，为的一条弦，且，C为劣弧上一点，连接，则的度数为_____． 48．如图，在中，所对的圆心角为，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 题型十七：求四边形外接圆直径 解题思路 ①四边形有外接圆 ⇒ 该四边形是圆内接四边形，四个顶点共圆。 ②若四边形内部出现90°的圆周角：90°圆周角所对的那条对角线，就是外接圆的直径。 ③如果是矩形：矩形一定有外接圆，外接圆直径等于矩形的对角线长。 ④普通圆内接四边形：  a 优先寻找圆上的直角；有直角就直接取直角所对弦为直径；  b 没有直角时，把四边形拆成两个三角形，求其中一个三角形的外接圆直径（即为四边形外接圆直径）；  c 遇到直角三角形，直径 = 斜边； ⑤求出直径后，半径 = 直径 ÷ 2。 ⑥计算时常结合勾股定理、余弦定理求对角线长度。 49．如图，圆是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 50．图，定长弦在以为直径的上滑动（点、与点、不重合），是的中点，过点作于点，若，，，则的最大值是________． 51．如图，为正方形的外接圆，若，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 解答题 1．如图是一个管道的横截面，圆心O到水面的距离是3，水面宽．求这个管道横截面的半径． 2．年月日的月全食恰逢中国农历正月十五元宵节，这是天文历法与天体运行的一次自然巧合，观赏时机非常难得，全国大部分地区都将看到“带食月出”的景象，如图1．月全食的原理是月、地、日运行至一条直线时，月球进入地球的本影，太阳投射在月球上的光完全被地球挡住，由于地球大气层对太阳光有折射和散射作用，其中波长最长的红光落在月面上最多，因而出现“红月亮”．小智在观看的过程中在纸上画了如图2所示的图形，若的半径为，是弦的中点，是半圆上的一点，且．      (1)连接、，则与的位置关系是________； (2)求的度数； (3)求图中阴影部分的面积． 3．如图，是的直径，点在上，请用无刻度直尺画图（保留作图痕迹，不写画法）． (1)如图1，若是半圆的中点，且与点在同一侧，画出的平分线．并说明理由； (2)如图2，若，画出的平分线； (3)在（2）的作图下，已知，，交直径于点，则______． 4．如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，． (1)直接写出的长为___________； (2)若大圆的半径是5，求小圆的半径长． 5．如图，中，，是边上一点，以为半径作，分别与，交于，两点，与相切于点，连接，． (1)求证：； (2)试用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明你的结论． 6．如图，是的直径，是的弦，于点，是的中点，连接． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 7．图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点，其中A、B、C均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定网格中按下列要求作图． (1)在图①中，画出过点A、B、C的圆的圆心O； (2)在图②中，在劣弧上确定一点P，使； (3)在图③中，点D是圆上一点，画出弦，使． 8．课本第页，利用圆周角定理研究了关于圆内接四边形的一个性质，圆内接四边形的对角互补． (1)完成上述性质的证明过程： 如图①，已知点，，，在上，求证：； (2)如图②，已知点，，，在上，若，的半径为4．求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $