专题07图形的旋转精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦初中数学图形的旋转，系统梳理旋转定义、三大要素、四大性质、规范作图四步流程、坐标系旋转规律、旋转中心确定方法及旋转对称图形判定，从基础概念到应用技巧构建完整学习支架。 资料特色在于结合生活实例（如摩天轮、俄罗斯方块）培养几何直观与空间观念，通过考场避错要点和分阶题型（17类从基础到拔高）提升推理意识，解题思路清晰，课中辅助教师高效教学，课后助力学生查漏补缺，强化数学思维与应用能力。

专题07图形的旋转精讲学案 1.旋转基础定义： 平面内图形绕固定定点，沿顺时针或逆时针方向转动固定角度的图形变换；定点为旋转中心，转动的夹角为旋转角，旋转只改变图形摆放位置，图形形状、大小保持不变。 2.旋转三大决定要素： 旋转中心、旋转方向、旋转角，三个条件全部确定，旋转之后的图形位置唯一确定，缺少任意一项图形位置无法固定。 3.旋转四大核心性质： ①旋转前后两个图形全等，对应线段长度相等，对应角大小相等；②每一组对应点到旋转中心的距离完全相等；③全部对应点与旋转中心连线形成的夹角，都等于旋转角；④图形整体旋转角度统一，不存在局部角度变化。 4.规范旋转作图四步流程： ①提取原图顶点、转折点等关键特征点；②把关键点和旋转中心作连线；③按照规定方向、旋转角度画出关键点的对应点；④顺着原图顶点顺序连接对应点，得到旋转后的完整图形。 5.坐标系绕原点旋转坐标规律： ①旋转180度，点的横、纵坐标全部变为相反数；②顺时针、逆时针旋转90度，横坐标纵坐标互换，结合旋转方向调整正负符号，可直接口算对应点坐标。 6.旋转中心精准确定方法： 选取两组对应点，分别作出两组对应点连线的垂直平分线，两条垂直平分线的交点，就是图形的旋转中心。 7.旋转对称图形判定依据： 图形绕内部固定点旋转小于360度的角度后，可以和自身完全重合，即为旋转对称图形，典型图形有正多边形、圆等。 （课堂着重讲解、考场避错要点） 1.几何作图遗漏旋转方向，顺时针、逆时针旋转得到图形位置完全不同，作图直接出错扣分。 2.角度计算题混淆旋转角、图形内角、线段夹角，角度计算结果错误。 3.错误认为旋转会放大或缩小图形，错用线段长度、角度等量关系。 4.平面直角坐标系旋转，坐标正负符号书写颠倒，对应点坐标求解失误。 5.寻找旋转中心依靠直观判断，不会利用垂直平分线交点精准定位旋转中心。 6.连续多次旋转题型，分步梳理旋转要素混乱，前后条件混用解题出错。 题型 考察方向 难度 题型一 判断生活中的旋转现象 ★ 题型二 判断由一个图形旋转而成的图案 ★ 题型三 找旋转中心、旋转角、对应点 ★ 题型四 旋转中的规律性问题 ★★ 题型五 根据旋转的性质求解 ★★ 题型六 根据旋转的性质说明线段或角相等 ★★ 题型七 旋转的性质及辨析 ★★ 题型八 画旋转图形 ★★ 题型九 利用旋转设计图案 ★★ 题型十 求绕原点旋转 90 度的点的坐标 ★★ 题型十一 求绕某点（非原点）旋转 90 度的点的坐标 ★★★ 题型十二 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 ★★★ 题型十三 坐标与旋转规律问题 ★★★ 题型十四 线段问题 ★★★ 题型十五 面积问题 ★★★ 题型十六 角度问题 ★★★ 题型十七 坐标系中的旋转 ★★★ 拔高题 解答题8题 星级说明：★基础★★中档★★★拔高 题型一　判断生活中的旋转现象 解题思路：①抓住旋转核心特征：物体绕某一个固定定点做圆周转动；②区分平移、轴对称翻转；③物体上各点同时绕定点转动；直线移动、往复摆动不属于旋转。 1．下面物体的运动不是旋转现象的是（    ） A．风车的转动 B．国旗的升降 C．钟表分针的运动 D．拧瓶盖 2．在常见的扑克牌中，“红桃J”如下图这样放置，把它倒过来放，看它还是和原来一样的，这主要是利用数学中的（    ） A．旋转 B．平移 C．轴对称 D．以上都对 3．摩天轮上以等间隔的方式设置36个车厢，车厢依顺时针方向分别编号为1号到36号，且摩天轮运行时以逆时针方向等速旋转，旋转一圈花费30分钟，若图2表示21号车厢运行到最高点的情形，则此时经过多少分钟后，3号车厢才会运行到最高点？（    ） A．14分钟 B．20分钟 C．15分钟 D．分钟 题型二　判断由一个图形旋转而成的图案 解题思路：①确定题目中的基本图案；②观察整个图案，看是否可以由基本图案绕定点多次旋转得到；③旋转不改变图形大小、形状，只改变摆放位置。 4．下列物体不能由某个平面图形绕某条直线旋转一周得到的是（   ） A． B． C． D． 5．在下列绿色食品，回收，节能，节水四个标志中，是由某个基本图形经过旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在的正方形网格中有两个阴影四边形，现要将左边的阴影四边形通过次旋转得到右边的阴影四边形，每次旋转都以图中标出的各点为旋转中心，旋转角度为（为整数），则的值（ ） A．可以为，不可以为 B．可以为，不可以为 C．可以为，，不可以为 D．，，均可 题型三　找旋转中心、旋转角、对应点 解题思路：①旋转中心：旋转过程中位置保持不变的点；②对应点：旋转之后互相重合的点；③旋转角：对应点分别和旋转中心相连所形成的夹角；同一次旋转，全部旋转角大小相等。 7．如图，，，可看成是由旋转得到的，则旋转角的度数是（     ） A． B． C． D． 8．如图在网格中，由旋转得到，其旋转中心是__________． 9．如图，在平面直角坐标系中，由绕点旋转得到．则点的坐标为（     ）． A． B． C． D． 题型四　旋转中的规律性问题 解题思路：①找出一次旋转之后的变化；②循环旋转找出重复周期；③计算总旋转次数除以周期，求余数；④依据余数判断最终图形、点的位置。 10．下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第2024个图案与第1个至第4个中的第______个箭头方向相同（填序号）． 11．如下图，将图形以点为旋转中心，每次按顺时针方向旋转，依次得到其他图形，则第次旋转后得到的图形是(    ) A． B． C． D． 12．如图1，点在点正北方．一只机器狗从点按逆时针方向绕着点做匀速圆周运动，经过一分钟，其位置如图2所示．那么经过2026分钟，机器狗的位置会是下列图形中的（     ） A． B． C． D． 题型五　根据旋转的性质求解 解题思路：①回忆旋转性质：旋转前后图形全等，对应点到旋转中心距离相等，旋转角相等；②找出对应线段、对应角；③把已知条件等量代换，计算线段长或者角度。 13．如图，将绕点A顺时针旋转一定角度得到，且，点B，A，在同一直线上，则至少旋转了（    ） A． B． C． D． 14．如图，把绕点按逆时针方向旋转得到，若，则的度数为________°． 15．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到．若点D在线段的延长线上，如图，则的大小为（     ） A． B． C． D．不能确定 题型六　根据旋转的性质说明线段或角相等 解题思路：①明确图形的旋转关系，找准对应线段、对应角；②利用旋转前后图形全等，对应边相等、对应角相等；③规范写出推理过程，完成证明。 16．将绕顶点顺时针旋转得到，若，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 17．如图，在中，将绕点A逆时针旋转得到，交边于点F，点D恰好落在边上，若，则的度数为________． 18．如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得，连接，则的周长为（     ） A． B．18 C． D．24 题型七　旋转的性质及辨析 解题思路：①逐条核对旋转性质：全等、对应点到中心距离相等、旋转角相等；②排除错误说法：旋转会改变图形大小、旋转角找错等错误表述；③注意旋转方向不影响线段、角的大小。 19．在图形的旋转中，下列说法不正确的是（    ） A．旋转前和旋转后的图形一样 B．图形上的每一个点到旋转中心的距离都相等 C．图形上的每一个点旋转的角度都相同 D．图形上可能存在不动的点 20．如图，点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为，点D坐标为．若线段AB和线段CD间存在某种变换关系，即其中一条线段绕某点旋转一个角度后可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标是____ 21．如图，是由6×6个边长为1的小正方形网格组成，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的三个顶点A，B，C均在格点上，将△ABC绕着边的中点旋转180°，爱观察与思考的小明发现以下结论不正确的是（   ） A．△ABC各边的中点都可通过网格确定； B．△ABC绕着AC的中点旋转180°扫过的面积为13； C．旋转前后的两个三角形可形成平行四边形； D．△ABC绕着各边的中点旋转后的△A′B′C′都在网格的格点上． 题型八　画旋转图形 解题思路：①找出原图所有关键顶点；②将各个关键点分别和旋转中心连接；③按指定方向、指定角度，画出各个关键点旋转后的对应点；④按照原图顺序顺次连接各对应点。 22．如图，通过旋转后得到的图形是（ ） A． B． C． D． 23．如图，在平面直角坐标系中，，将绕原点顺时针旋转得到（分别是A，B的对应点）．若点位于内（不含边界），点为点绕原点顺时针旋转的对应点，则点的纵坐标的取值范围是______． 24．“俄罗斯方块”是一款经典的益智类休闲游戏．如图所示，要使上方的“T”型方块组（阴影部分）落下后刚好填满下方空格，则可以将上方的方块组（     ） A．先绕点顺时针旋转，再向下平移5格 B．先绕点顺时针旋转，再向下平移4格 C．先绕点逆时针旋转，再向下平移5格 D．先绕点逆时针旋转，再向下平移4格 题型九　利用旋转设计图案 解题思路：①选定基础基本图案；②确定旋转中心、旋转角、旋转方向；③重复多次旋转复制基本图形；④组合得到完整图案。 25．如图所示的四个图案，能通过基本图形旋转得到的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 26．在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图，现出现一型图形正向下运动，为了使型图形与已拼好的图案组合成一个完整的矩形，你必须进行以下哪项操作（    ） A．顺时针旋转，向右平移 B．逆时针旋转，向右平移 C．顺时针旋转，向下平移 D．逆时针旋转，向下平移 27．下列基本图形中，经过平移、旋转或翻折后，不能得到如图所示的图案的是（   ） A． B． C． D． 题型十　求绕原点旋转 90 度的点的坐标 解题思路：①分清顺时针还是逆时针旋转；②绕原点逆时针转90度：横纵坐标互换，新横坐标取原来纵坐标相反数；③绕原点顺时针转90度：横纵坐标互换，新纵坐标取原来横坐标相反数；④直接代入点坐标计算。 28．如图，矩形的顶点O为坐标原点，点A在x轴上，点B的坐标为，如果将矩形绕点O旋转，旋转后的图形为矩形，那么点的坐标为（　　） A． B． C． D． 29．传统荷兰风车有四个扇叶，绕着轮毂顺时针旋转，每两个扇叶之间的夹角是，平均每4秒转一圈．如图，将扇叶看作四条线段，以四个扇叶相交处为原点，建立平面直角坐标系，一个扇叶的顶点的坐标为，若风车转速不变，1005秒后点转到点处，则点的坐标为______． 30．如图，在平面直角坐标系中，，点为坐标原点，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 题型十一　求绕某点（非原点）旋转 90 度的点的坐标 解题思路：①把旋转中心当作参照原点，算出已知点相对旋转中心的横、纵坐标差；②按90度旋转规则变换相对坐标；③再把变换后的相对坐标，加上旋转中心的实际坐标，得到最终点坐标。 31．线段在直角坐标系中的位置如图所示，将绕点M逆时针旋转得到线段，则点N的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 32．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接，若将绕点顺时针旋转，得到，则点的坐标为_______． 33．如图，在平面直角坐标系中，绕某个点顺时针旋转后得到，则旋转中心的坐标是（     ） A． B． C． D． 题型十二　求绕原点旋转一定角度的点的坐标 解题思路：①特殊角90°、180°、270°直接套用坐标变换口诀；②180度旋转，横纵坐标全部变相反数；③非特殊角度，一般借助几何图形、勾股定理求解。 34．将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 35．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在第一象限内，，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2次旋转后点B的坐标为______． 36．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，将线段绕点O顺时针旋转一定角度得到的点B的对应点A的坐标为，则下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则， C．若轴，则 D．若轴，则 题型十三　坐标与旋转规律问题 解题思路：①依次计算前几次旋转之后点的坐标；②观察坐标变化，找出循环周期；③用总次数除以周期求余数；④利用余数推出目标次数对应的坐标。 37．如图，在中，顶点，，，将与正方形组成的图形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 38．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，将函数的图象记为，它与轴的交点为、．将绕点旋转得到，点的对称点为；将绕点旋转得到，点的对称点为；……，按此方法操作，直至得到，则的坐标为______． 39．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角位置如图，，点B的坐标为，每一次将绕点O逆时针旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转得到，第二次旋转得到，…，以此类推，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 题型十四　线段问题 解题思路：①利用旋转得到对应线段相等；②把分散线段转移到同一个三角形当中；③结合等腰、勾股定理，求解线段长度。 40．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，使点在的延长线上，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 41．如图．点中，点是轴上一动点，以点为旋转中心，将线段逆时针旋转90°，得到线段，连接，则线段的最小值为_____． 42．如图，中，，，，点E是边上一点，将绕点B顺时针旋转到，连接，则长的最小值是（　　） A．2 B．2.5 C． D． 题型十五　面积问题 解题思路：①旋转前后图形面积相等；②利用旋转进行等面积割补；③把不规则图形转化为三角形、四边形等规则图形计算面积。 43．如图是某公司设计的一款酒杯的设计平面图，为求出酒杯平面图中的杯子这部分面积，小明找到了设计图纸上的部分数据：是抛物线与轴交于点A、B时的轴上方的部分，且点，将绕点B旋转得，与轴交于另一点C，将绕点C旋转得，且，则图中阴影部分的面积为（    ） A．24 B． C．28 D．32 44．如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为（    ） A．32 B．24 C． D．16 45．如图，在四边形中，，，，，将绕点逆时针旋转得到点E，则的面积为______ 题型十六　角度问题 解题思路：①找准旋转角，旋转角等于对应点与旋转中心连线夹角；②结合三角形内角和、外角性质；③通过等量代换推导所求角度大小。 46．如图，在中，，，将它绕点沿顺时针方向旋转后得到若点恰好落在线段上，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 47．如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则的度数为_________°． 48．将一副三角板如图放置（为含的直角三角板，，，为含的直角三角板，）将三角板绕点逆时针旋转，使得三角板的一边所在的直线与垂直，则的度数为（    ）    A． B． C．或 D．或 题型十七　坐标系中的旋转 解题思路：①分清旋转中心是原点还是平面内其他点；②找出图形关键点；③求出旋转之后各个关键点的坐标；④可进一步求解线段、角度、图形面积。 49．如图，将绕点旋转得到，设点A的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 50．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，顶点在轴上，点在轴上，点在第一象限，分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交正方形内一点，将点绕点逆时针每次旋转90°，则第2026次旋转结束时，点对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 51．在平面直角坐标系中，按如图所示的方式放置正方形，点的坐标为．将正方形绕坐标原点顺时针旋转，每秒旋转，旋转2026秒后，点的对应点的坐标为__________． 解答题 1．如图，四边形和四边形都是正方形． (1)正方形旋转后能与正方形重合吗？ (2)在图形所在的平面上，要使两个正方形经过一次旋转后重合，可作旋转中心的点有哪几个？ 2．按要求完成下列各题： (1)如图①，在五边形中，，试猜想之间的数量关系，小明经过仔细思考，得到如下解题思路：将绕点A逆时针旋转至，由，得，即点D、E、F三点共线，易证，猜想之间的数量关系是 ； (2)如图②，在四边形中，，点E、F分别在边的延长线上，，连接，试猜想之间的数量关系，并给出证明． 3．在中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点不在直线上），过点作，交直线于点． (1)如图（1），，点与点重合，求证：； (2)如图（2），点，都在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明． 4．图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、M、N均为格点，只用无刻度的直尺，按下列要求作图： (1)在图1中，画出图中关于直线对称的； (2)在图2中，画出图中绕点C顺时针旋转后的． 5．如图，已知等边三角形，将线段绕点逆时针旋转（）得到线段，连接，，作于点． (1)求的度数； (2)用等式表示线段，，的数量关系，并证明． 6．在中，，． (1)如图1，若，将绕点A逆时针旋转得到，连接，求的值； (2)如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接，此时点B，C，E恰好共线，连接． ①求证：； ②求的面积． 7．如图1，在中，点D为边上的一个定点，射线与边交于点E，射线与边交于点F，与关于直线对称，与关于直线对称． (1)如图2，当点落在边上，点落在边上时，若，则的度数为 ； (2)在图1中，设，，求x与y满足的数量关系式； (3)如图3，，射线从位置出发，绕点D顺时针旋转，到位置停止；射线从位置出发，绕点D逆时针旋转，到位置停止．两条射线同时开始旋转，射线的旋转速度为每秒，射线的旋转速度为每秒，当时，求旋转时间t的值． 8．如图，在平面直角坐标系内，点是坐标原点，点的坐标如图所示， (1)求直线的函数表达式； (2)将直线绕着点逆时针旋转后得到直线，求直线的函数表达式； (3)将直线绕着点顺时针旋转后得到直线，求直线的函数表达式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07图形的旋转精讲学案 1.旋转基础定义： 平面内图形绕固定定点，沿顺时针或逆时针方向转动固定角度的图形变换；定点为旋转中心，转动的夹角为旋转角，旋转只改变图形摆放位置，图形形状、大小保持不变。 2.旋转三大决定要素： 旋转中心、旋转方向、旋转角，三个条件全部确定，旋转之后的图形位置唯一确定，缺少任意一项图形位置无法固定。 3.旋转四大核心性质： ①旋转前后两个图形全等，对应线段长度相等，对应角大小相等；②每一组对应点到旋转中心的距离完全相等；③全部对应点与旋转中心连线形成的夹角，都等于旋转角；④图形整体旋转角度统一，不存在局部角度变化。 4.规范旋转作图四步流程： ①提取原图顶点、转折点等关键特征点；②把关键点和旋转中心作连线；③按照规定方向、旋转角度画出关键点的对应点；④顺着原图顶点顺序连接对应点，得到旋转后的完整图形。 5.坐标系绕原点旋转坐标规律： ①旋转180度，点的横、纵坐标全部变为相反数；②顺时针、逆时针旋转90度，横坐标纵坐标互换，结合旋转方向调整正负符号，可直接口算对应点坐标。 6.旋转中心精准确定方法： 选取两组对应点，分别作出两组对应点连线的垂直平分线，两条垂直平分线的交点，就是图形的旋转中心。 7.旋转对称图形判定依据： 图形绕内部固定点旋转小于360度的角度后，可以和自身完全重合，即为旋转对称图形，典型图形有正多边形、圆等。 （课堂着重讲解、考场避错要点） 1.几何作图遗漏旋转方向，顺时针、逆时针旋转得到图形位置完全不同，作图直接出错扣分。 2.角度计算题混淆旋转角、图形内角、线段夹角，角度计算结果错误。 3.错误认为旋转会放大或缩小图形，错用线段长度、角度等量关系。 4.平面直角坐标系旋转，坐标正负符号书写颠倒，对应点坐标求解失误。 5.寻找旋转中心依靠直观判断，不会利用垂直平分线交点精准定位旋转中心。 6.连续多次旋转题型，分步梳理旋转要素混乱，前后条件混用解题出错。 题型 考察方向 难度 题型一 判断生活中的旋转现象 ★ 题型二 判断由一个图形旋转而成的图案 ★ 题型三 找旋转中心、旋转角、对应点 ★ 题型四 旋转中的规律性问题 ★★ 题型五 根据旋转的性质求解 ★★ 题型六 根据旋转的性质说明线段或角相等 ★★ 题型七 旋转的性质及辨析 ★★ 题型八 画旋转图形 ★★ 题型九 利用旋转设计图案 ★★ 题型十 求绕原点旋转 90 度的点的坐标 ★★ 题型十一 求绕某点（非原点）旋转 90 度的点的坐标 ★★★ 题型十二 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 ★★★ 题型十三 坐标与旋转规律问题 ★★★ 题型十四 线段问题 ★★★ 题型十五 面积问题 ★★★ 题型十六 角度问题 ★★★ 题型十七 坐标系中的旋转 ★★★ 拔高题 解答题8题 星级说明：★基础★★中档★★★拔高 题型一　判断生活中的旋转现象 解题思路：①抓住旋转核心特征：物体绕某一个固定定点做圆周转动；②区分平移、轴对称翻转；③物体上各点同时绕定点转动；直线移动、往复摆动不属于旋转。 1．下面物体的运动不是旋转现象的是（    ） A．风车的转动 B．国旗的升降 C．钟表分针的运动 D．拧瓶盖 【答案】B 【分析】此题考查了旋转的意义及在实际当中的运用． 根据在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一定的角度，这样的运动叫做图形的旋转．这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角．旋转前后图形的位置和方向改变，形状、大小不变．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、风车的转动是旋转，故此选项不符合题意； B、国旗的升降是平移不是旋转，故此选项符合题意； C、钟表分针的运动是旋转，故此选项不符合题意； D、拧瓶盖是旋转，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．在常见的扑克牌中，“红桃J”如下图这样放置，把它倒过来放，看它还是和原来一样的，这主要是利用数学中的（    ） A．旋转 B．平移 C．轴对称 D．以上都对 【答案】A 【分析】本题主要考旋转，根据把图形倒过来放，看它还是和原来一样可判断出是图形是旋转变换即可． 【详解】解：“红桃J”如下图这样放置，把它倒过来放，看它还是和原来一样的，这主要是利用数学中的旋转， 故选：A． 3．摩天轮上以等间隔的方式设置36个车厢，车厢依顺时针方向分别编号为1号到36号，且摩天轮运行时以逆时针方向等速旋转，旋转一圈花费30分钟，若图2表示21号车厢运行到最高点的情形，则此时经过多少分钟后，3号车厢才会运行到最高点？（    ） A．14分钟 B．20分钟 C．15分钟 D．分钟 【答案】C 【分析】先求出从21号旋转到3号旋转的角度占圆大小比例，再根据旋转一圈花费30分钟解答即可． 【详解】解：（分钟）． 所以经过20分钟后，3号车厢才会运行到最高点． 故选C． 【点睛】本题主要考查了生活中的旋转现象，理清题意，得出从21号旋转到3号旋转的角度占圆大小比例是解答本题的关键． 题型二　判断由一个图形旋转而成的图案 解题思路：①确定题目中的基本图案；②观察整个图案，看是否可以由基本图案绕定点多次旋转得到；③旋转不改变图形大小、形状，只改变摆放位置。 4．下列物体不能由某个平面图形绕某条直线旋转一周得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点、线、面、体，理解“点动成线”“线动成面”“面动成体”是正确判断的前提．由“面动成体”逐项进行判断即可． 【详解】解：选项 ：选项A中的物体可看作是由一个平面图形绕某条直线旋转一周得到，故选项不符合题意； 选项 ：正方体不能由某个平面图形绕某条直线旋转一周得到，故选项符合题意； 选项： 选项C中的物体可看作是由一个平面图形绕某条直线旋转一周得到，故选项不符合题意； 选项：选项D中的物体可看作是由一个平面图形绕某条直线旋转一周得到，故选项不符合题意． 故选：． 5．在下列绿色食品，回收，节能，节水四个标志中，是由某个基本图形经过旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了运用旋转设计图案，通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转，进而判断得出即可，正确理解旋转图形的特点是解题的关键． 【详解】解：、不是通过一个基本图形旋转得到的，不符合题意； 、是通过一个基本图形经过旋转得到的，符合题意； 、不是通过一个基本图形旋转得到的，不符合题意； 、不是通过一个基本图形旋转得到的，不符合题意； 故选：． 6．如图，在的正方形网格中有两个阴影四边形，现要将左边的阴影四边形通过次旋转得到右边的阴影四边形，每次旋转都以图中标出的各点为旋转中心，旋转角度为（为整数），则的值（ ） A．可以为，不可以为 B．可以为，不可以为 C．可以为，，不可以为 D．，，均可 【答案】D 【分析】根据旋转的性质及题意可直接进行求解． 【详解】解：由题意得： 当左边的阴影部分绕点E顺时针旋转90°可得右边的阴影部分，此时k=1； 当左边的阴影四边形绕点A逆时针旋转90°，再将得到的四边形绕点C顺时针旋转180°可得右边的阴影四边形，此时k=2； 当把左边的阴影四边形绕点B顺时针旋转90°，再将得到的四边形绕点E顺时针旋转90°，将得到的四边形绕点C逆时针旋转90°可得右边的阴影四边形，此时k=3； 故选D． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握图形绕某点进行旋转的方法是解题的关键． 题型三　找旋转中心、旋转角、对应点 解题思路：①旋转中心：旋转过程中位置保持不变的点；②对应点：旋转之后互相重合的点；③旋转角：对应点分别和旋转中心相连所形成的夹角；同一次旋转，全部旋转角大小相等。 7．如图，，，可看成是由旋转得到的，则旋转角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵可看成是由旋转得到的， ∴旋转角是和， ∵， ∴旋转角的度数是． 8．如图在网格中，由旋转得到，其旋转中心是__________． 【答案】P 【分析】图形的旋转中心是对应点连线的垂直平分线的交点． 【详解】解：如图，连接，，分别作和的垂直平分线，交点在P点处，故其旋转中心是P点． 9．如图，在平面直角坐标系中，由绕点旋转得到．则点的坐标为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接、，作、的中垂线，交于点，写出点坐标，即可解题． 【详解】如图，连接、，作、的中垂线，、的中垂线交于点， 由图知，点的坐标为． 题型四　旋转中的规律性问题 解题思路：①找出一次旋转之后的变化；②循环旋转找出重复周期；③计算总旋转次数除以周期，求余数；④依据余数判断最终图形、点的位置。 10．下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第2024个图案与第1个至第4个中的第______个箭头方向相同（填序号）． 【答案】4 【分析】此题主要考查了生活中的旋转现象，直接利用已知图案得出旋转规律进而得出答案． 【详解】解：每次4个图案为一个周期，， 则第2024个图案中箭头的指向与第4个图案方向一致． 故答案为：4． 11．如下图，将图形以点为旋转中心，每次按顺时针方向旋转，依次得到其他图形，则第次旋转后得到的图形是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转规律探究，仔细观察图形的变化，找到图形旋转的规律，每四次旋转一周，利用规律求解即可． 【详解】解：观察图形发现：每四次旋转一周， ∵， ∴第次旋转后和开始时一样， 故选：D． 12．如图1，点在点正北方．一只机器狗从点按逆时针方向绕着点做匀速圆周运动，经过一分钟，其位置如图2所示．那么经过2026分钟，机器狗的位置会是下列图形中的（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出机器狗运动的周期，再根据周期计算经过分钟时机器狗的位置即可． 【详解】解：由题可知，机器狗分钟转动， 机器狗转动一周，即所需时间为分钟， ， 经过分钟，机器狗转动了周后，又转动了分钟， 相当于机器狗的位置为从点逆时针转动， 点在点正北方， 逆时针转动后，机器狗位于点正西方， 观察选项，只有B选项符合 ． 题型五　根据旋转的性质求解 解题思路：①回忆旋转性质：旋转前后图形全等，对应点到旋转中心距离相等，旋转角相等；②找出对应线段、对应角；③把已知条件等量代换，计算线段长或者角度。 13．如图，将绕点A顺时针旋转一定角度得到，且，点B，A，在同一直线上，则至少旋转了（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由旋转的性质可知至少旋转了． 14．如图，把绕点按逆时针方向旋转得到，若，则的度数为________°． 【答案】20 【分析】根据旋转前后图形对应边的夹角等于旋转角，得到，再由，即可求解． 【详解】解：∵绕点按逆时针方向旋转得到， ∴， ∵， ∴． 15．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到．若点D在线段的延长线上，如图，则的大小为（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】根据旋转的性质可得，，旋转角，先利用等腰三角形两底角相等求出的度数，再结合等量代换得到的度数，最后根据平角为计算出的大小． 【详解】解：由旋转得，，， ， ， ． 题型六　根据旋转的性质说明线段或角相等 解题思路：①明确图形的旋转关系，找准对应线段、对应角；②利用旋转前后图形全等，对应边相等、对应角相等；③规范写出推理过程，完成证明。 16．将绕顶点顺时针旋转得到，若，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质，旋转前后图形全等，对应边相等，对应角相等，旋转角相等，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，旋转角， ∴，，，， 因此选项A，C，D结论正确，不符合题意； 选项B中不成立，结论错误，符合题意． 17．如图，在中，将绕点A逆时针旋转得到，交边于点F，点D恰好落在边上，若，则的度数为________． 【答案】/80度 【分析】由旋转的性质可知，，，则有，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】解：由旋转的性质可知：，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得，连接，则的周长为（     ） A． B．18 C． D．24 【答案】A 【分析】利用勾股定理求出的长，根据旋转的性质得到及，进而证得，通过构造直角三角形求出的长，最后计算周长即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得， ∴，， ∵， ∴， ∴， 过点作于点，则四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴的周长为． 题型七　旋转的性质及辨析 解题思路：①逐条核对旋转性质：全等、对应点到中心距离相等、旋转角相等；②排除错误说法：旋转会改变图形大小、旋转角找错等错误表述；③注意旋转方向不影响线段、角的大小。 19．在图形的旋转中，下列说法不正确的是（    ） A．旋转前和旋转后的图形一样 B．图形上的每一个点到旋转中心的距离都相等 C．图形上的每一个点旋转的角度都相同 D．图形上可能存在不动的点 【答案】B 【分析】根据旋转的性质对A、B、C进行判断；利用旋转中心为图形上一点的情况可 D进行判断． 【详解】解：A、旋转前和旋转后的图形全等，故A选项不符合题意； B、在图形上的对应点到旋转中心的距离相等，故B选项符合题意； C、图形上每一点移动的角度相同，都等于旋转角，故C选项不符合题意； D、图形上可能存在不动的点，故D选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 20．如图，点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为，点D坐标为．若线段AB和线段CD间存在某种变换关系，即其中一条线段绕某点旋转一个角度后可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标是____ 【答案】或 【分析】分点A的对应点为C或D两种情况考虑：①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，点E即为旋转中心；②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点N，则问题可求解． 【详解】解：①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，如图所示： ∵点A坐标为，点B坐标为， ∴点E的坐标为； ②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点N，如图所示： ∵点A坐标为，点B坐标为， ∴点N的坐标为， 综上所述：这个旋转中心的坐标为或； 故答案为或． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 21．如图，是由6×6个边长为1的小正方形网格组成，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的三个顶点A，B，C均在格点上，将△ABC绕着边的中点旋转180°，爱观察与思考的小明发现以下结论不正确的是（   ） A．△ABC各边的中点都可通过网格确定； B．△ABC绕着AC的中点旋转180°扫过的面积为13； C．旋转前后的两个三角形可形成平行四边形； D．△ABC绕着各边的中点旋转后的△A′B′C′都在网格的格点上． 【答案】B 【分析】将△ABC绕着边的中点旋转180°后根据选项依次作答． 【详解】解：将△ABC绕着边的中点旋转180°后如图， A．△ABC各边的中点都可通过网格确定，正确； B．△ABC绕着AC的中点旋转180°扫过的面积为⊙O的面积 S= ，故B错误； C．旋转前后的两个三角形可形成平行四边形，正确； D．△ABC绕着各边的中点旋转后的△A′B′C′都在网格的格点上，正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 题型八　画旋转图形 解题思路：①找出原图所有关键顶点；②将各个关键点分别和旋转中心连接；③按指定方向、指定角度，画出各个关键点旋转后的对应点；④按照原图顺序顺次连接各对应点。 22．如图，通过旋转后得到的图形是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】旋转吉祥物“冰墩墩”得到的图形与原图形成中心对称，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，选项A是旋转吉祥物“冰墩墩”可以得到的图形． 23．如图，在平面直角坐标系中，，将绕原点顺时针旋转得到（分别是A，B的对应点）．若点位于内（不含边界），点为点绕原点顺时针旋转的对应点，则点的纵坐标的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了旋转作图，旋转的性质．熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转的性质可确定点旋转后对应点在线段上，且不与点重合，然后作答即可． 【详解】解：∵点位于内， ∴， 旋转后对应点在线段上，且不与点，重合，如图， ∴， 故答案为：． 24．“俄罗斯方块”是一款经典的益智类休闲游戏．如图所示，要使上方的“T”型方块组（阴影部分）落下后刚好填满下方空格，则可以将上方的方块组（     ） A．先绕点顺时针旋转，再向下平移5格 B．先绕点顺时针旋转，再向下平移4格 C．先绕点逆时针旋转，再向下平移5格 D．先绕点逆时针旋转，再向下平移4格 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转和平移变换，根据图形结合平移与旋转的特点，进行判断即可． 【详解】解：若使上方的“T”型方块组（阴影部分）落下后刚好填满下方两层的空格，则可以将上方的方块组先绕点P顺时针旋转，再向下平移4格． 题型九　利用旋转设计图案 解题思路：①选定基础基本图案；②确定旋转中心、旋转角、旋转方向；③重复多次旋转复制基本图形；④组合得到完整图案。 25．如图所示的四个图案，能通过基本图形旋转得到的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查的是图形变换中旋转的知识，解题的关键是掌握旋转的定义． 根据旋转的定义，逐一分析给出的四个图案是否可以通过基本图形旋转得到即可． 【详解】解：在平面内，将一个图形沿某一个定点方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转； 图案①可由一个基本图形三角形，绕其中心经过旋转得到； 图案②可由一个基本图形类似于花的花瓣绕其中心经过旋转得到； 图案③可由一个基本图形绕其中心经过旋转得到； 图案④可由一个基本图形绕其中心经过旋转得到． 故选：D． 26．在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图，现出现一型图形正向下运动，为了使型图形与已拼好的图案组合成一个完整的矩形，你必须进行以下哪项操作（    ） A．顺时针旋转，向右平移 B．逆时针旋转，向右平移 C．顺时针旋转，向下平移 D．逆时针旋转，向下平移 【答案】A 【分析】本题考查利用旋转设计图案，利用平移设计图案，根据平移和旋转的性质即可得到结论．正确地识别图形是解题的关键． 【详解】解：①先顺时针旋转， ②∵俄罗斯方块会自动向下平移， ∴我们无需考虑向下平移， ∴向右平移． 故选：A． 27．下列基本图形中，经过平移、旋转或翻折后，不能得到如图所示的图案的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移、旋转、翻折的图形变换性质，掌握通过观察图形的基本单元和排列方式，判断其能否通过变换组合成目标图案的方法是解题的关键． 观察目标图案的结构，它是由单个星星通过平移、旋转构成的放射状图案，需对比每个选项的基本图形，判断其能否通过平移、旋转或翻折与目标图案匹配． 【详解】解：A、通过平移、旋转或翻折可以得到给定图案，因为可以通过多次平移和适当的旋转操作使基本图形组成给定图案，不符合题意； B、通过平移、旋转或翻折可以得到给定图案，例如先平移，再进行一定的旋转等操作可实现，不符合题意； C、无论经过怎样的平移、旋转或翻折操作，都无法得到给定图案，其图形的组合形式与给定图案不匹配，符合题意； D、通过平移、旋转或翻折可以得到给定图案，可通过相应的图形变换操作实现，不符合题意； 故选：C． 题型十　求绕原点旋转 90 度的点的坐标 解题思路：①分清顺时针还是逆时针旋转；②绕原点逆时针转90度：横纵坐标互换，新横坐标取原来纵坐标相反数；③绕原点顺时针转90度：横纵坐标互换，新纵坐标取原来横坐标相反数；④直接代入点坐标计算。 28．如图，矩形的顶点O为坐标原点，点A在x轴上，点B的坐标为，如果将矩形绕点O旋转，旋转后的图形为矩形，那么点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，绕原点旋转180度，那么两个图形上的对应点关于原点对称，据此可得答案． 【详解】解：∵将矩形绕点O旋转，旋转后的图形为矩形，点B的坐标为， ∴点的坐标为， 故选：C． 29．传统荷兰风车有四个扇叶，绕着轮毂顺时针旋转，每两个扇叶之间的夹角是，平均每4秒转一圈．如图，将扇叶看作四条线段，以四个扇叶相交处为原点，建立平面直角坐标系，一个扇叶的顶点的坐标为，若风车转速不变，1005秒后点转到点处，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】先确定风车每4秒转顺时针一圈，1005秒后点的位置，然后根据旋转的性质，即可写出点的坐标． 【详解】解：风车平均每4秒转一圈，1005秒转动（圈）， 即风车在转动251圈后，又转动圈， 如图，，过、分别作、垂直于轴垂足分别为、， ∴，， ∴， 又∵，即， ∴， 在和中， ， ∴，， ∵是第四象限的点， ∴． 30．如图，在平面直角坐标系中，，点为坐标原点，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，结合旋转的性质，构造，推出，，结合点B所在象限，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D， 则， ， ，， 由旋转得，， ， ， ， ， 在和中， ， ，， 点B在第四象限， 点的坐标为． 题型十一　求绕某点（非原点）旋转 90 度的点的坐标 解题思路：①把旋转中心当作参照原点，算出已知点相对旋转中心的横、纵坐标差；②按90度旋转规则变换相对坐标；③再把变换后的相对坐标，加上旋转中心的实际坐标，得到最终点坐标。 31．线段在直角坐标系中的位置如图所示，将绕点M逆时针旋转得到线段，则点N的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据旋转后的图形即可解题． 【详解】解：如图： ∴点N的对应点的坐标为． 故选：C． 32．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接，若将绕点顺时针旋转，得到，则点的坐标为_______． 【答案】 【分析】作轴于点，由旋转的性质可得，，进而求解． 【详解】解：过作轴于点， 由旋转可得，轴， 四边形为矩形， ，， ， 点坐标为． 33．如图，在平面直角坐标系中，绕某个点顺时针旋转后得到，则旋转中心的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转中心一定在对应点连线的垂直平分线上，结合对称点解答即可．本题考查了旋转的性质，旋转中心的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：旋转中心一定在对应点连线的垂直平分线上，连接、，分别作、的垂直平分线，相交于点G，如下图 在坐标系中描下选项中的点，判断到对应点的距离，到两组对应点距离分别相等的点，就是旋转中心，本题旋转中心是图中的点G，坐标为． 题型十二　求绕原点旋转一定角度的点的坐标 解题思路：①特殊角90°、180°、270°直接套用坐标变换口诀；②180度旋转，横纵坐标全部变相反数；③非特殊角度，一般借助几何图形、勾股定理求解。 34．将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形变化和旋转求出旋转后与轴夹角为，然后求出点的横坐标与纵坐标，从而得解． 【详解】如图， 三角板绕原点顺时针旋转， 旋转后与轴夹角为， ， ， 点的横坐标为， 纵坐标为， 所以，点的坐标为． 故选：C． 35．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在第一象限内，，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2次旋转后点B的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，等腰三角形的性质，勾股定理以及旋转的性质等知识点，作轴，求出，得到，，然后判断出将绕点O逆时针旋转二次之后，点落在轴的负半轴上，进而求解即可． 【详解】解：作轴，如图所示： 由题意得：，， ∴ ∴， ∴，， ∴， ∵ ∴将绕点O逆时针旋转二次之后，点落在轴的负半轴上， ∴此时点B的坐标为． 故答案为：． 36．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，将线段绕点O顺时针旋转一定角度得到的点B的对应点A的坐标为，则下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则， C．若轴，则 D．若轴，则 【答案】C 【分析】根据旋转的性质求解即可． 【详解】解：如图： ∵点B的坐标为，∴，， A、若，点A的坐标为，则，，该选项不符合题意； B、若，点A的坐标为，则，，该选项不符合题意； C、若轴，点A的坐标为，则，该选项符合题意； D、若轴，点A的坐标为，则，该选项不符合题意． 题型十三　坐标与旋转规律问题 解题思路：①依次计算前几次旋转之后点的坐标；②观察坐标变化，找出循环周期；③用总次数除以周期求余数；④利用余数推出目标次数对应的坐标。 37．如图，在中，顶点，，，将与正方形组成的图形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与旋转规律问题及旋转的性质，解题的关键掌握旋转的性质，利用数形结合的思想，找出图形的运动规律：每4次一个循环，第2022次旋转结束时，点D应该在第四象限． 【详解】解：∵，， ， ∵四边形为正方形， ， ， ， ∴每4次一个循环，第2022次旋转结束时，点D应该在第四象限， ∴点D的坐标为． 故选：B． 38．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，将函数的图象记为，它与轴的交点为、．将绕点旋转得到，点的对称点为；将绕点旋转得到，点的对称点为；……，按此方法操作，直至得到，则的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图像旋转与坐标规律探究，解题核心是先求出初始交点坐标，再根据旋转 的性质，找出点的坐标规律，进而求解的坐标． 【详解】解：令得 解得，， ， 由旋转的性质可知 由旋转的性质可知 … 依此类推 ． 39．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角位置如图，，点B的坐标为，每一次将绕点O逆时针旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转得到，第二次旋转得到，…，以此类推，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】是等腰直角三角形，，根据等腰直角三角形的性质，可得点逆时针旋转后可得，同理，依次类推可求得，，，这些点所位于的象限为每4次一循环，根据规律即可求出的坐标． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，点B的坐标为， ∴， ∴A点坐标为， 将绕原点逆时针旋转得到等腰直角三角形，且， 再将绕原点逆时针旋转得到等腰直角三角形，且， 依此规律， ∴点A旋转后的点所位于的象限为每4次一循环， 即，，，． ∵， ∴点与同在一个象限内． ∵，，， ∴点． 题型十四　线段问题 解题思路：①利用旋转得到对应线段相等；②把分散线段转移到同一个三角形当中；③结合等腰、勾股定理，求解线段长度。 40．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，使点在的延长线上，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】在中，利用勾股定理可得，再由旋转的性质可得，然后由即可获得答案． 【详解】解：在中，， ∵，， ∴， 由旋转可知，， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 41．如图．点中，点是轴上一动点，以点为旋转中心，将线段逆时针旋转90°，得到线段，连接，则线段的最小值为_____． 【答案】/ 【分析】本题主要考查旋转的性质，勾股定理及二次函数的最值问题，掌握配方法求最值是解题的关键． 设，则，根据勾股定理得，结合配方法求最值即可求解． 【详解】设，则， 由题知，， ， ， 时，取得最小值． 故答案为：． 42．如图，中，，，，点E是边上一点，将绕点B顺时针旋转到，连接，则长的最小值是（　　） A．2 B．2.5 C． D． 【答案】B 【分析】取的中点为点D，连接，过点D作，垂足为H，在中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出的长，的度数，再根据线段的中点定义可得，从而可得，然后利用旋转的性质可得：，，从而利用等式的性质可得，进而利用证明，最后利用全等三角形的性质可得，再根据垂线段最短，即可解答． 【详解】解：取的中点为点D，连接，过点D作，垂足为H， ∴， ∵，，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， 由旋转得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，即当点E和点H重合时，有最小值，且最小值为2.5， ∴长的最小值是2.5， 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 题型十五　面积问题 解题思路：①旋转前后图形面积相等；②利用旋转进行等面积割补；③把不规则图形转化为三角形、四边形等规则图形计算面积。 43．如图是某公司设计的一款酒杯的设计平面图，为求出酒杯平面图中的杯子这部分面积，小明找到了设计图纸上的部分数据：是抛物线与轴交于点A、B时的轴上方的部分，且点，将绕点B旋转得，与轴交于另一点C，将绕点C旋转得，且，则图中阴影部分的面积为（    ） A．24 B． C．28 D．32 【答案】D 【分析】根据旋转可知，AB=BC=CD=4，得出点B的坐标，把点A、B的坐标代入函数关系式，得出二次函数关系式，从而求出二次函数的顶点坐标，即可求阴影部分的面积． 【详解】∵根据旋转可知，AB=BC=CD=4，点A的坐标为（-3，0）， ∴点B的坐标为（1，0）， 把点A、B的坐标代入得： ， 解得：， ∴函数关系式为： ， ∴顶点坐标为（-1，4）， ∵根据旋转可知，与x轴围成的图形面积等于与x轴围成的图形面积， ∴图中阴影部分的面积为：，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质和二次函数的性质，熟练掌握图形的变换是解题的关键． 44．如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为（    ） A．32 B．24 C． D．16 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，含的直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线． 过作交于点，根据旋转得到，，，根据含的直角三角形的性质即可得到，即可得到答案； 【详解】解：如图，过作交于点， 绕点按逆时针方向旋转后得到，， ，，， ， ， ， ， 又，， ． 故选：D． 45．如图，在四边形中，，，，，将绕点逆时针旋转得到点E，则的面积为______ 【答案】 【分析】过点作交延长线于点，过点作于点，则，利用平行线间的距离可得，进而得出，利用旋转的性质证明，得到，即可求出的面积． 【详解】解：如图，过点作交延长线于点，过点作于点， ，， ， ， ， ， ， ， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 题型十六　角度问题 解题思路：①找准旋转角，旋转角等于对应点与旋转中心连线夹角；②结合三角形内角和、外角性质；③通过等量代换推导所求角度大小。 46．如图，在中，，，将它绕点沿顺时针方向旋转后得到若点恰好落在线段上，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、角的计算依据外角的性质，解题的关键是算出本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据旋转的性质找出相等的角和相等的边，再通过角的计算求出角的度数是关键． 由三角形的内角和为可得出，由旋转的性质可得出，从而得出，再依据计算即可得出结论． 【详解】解：在三角形中，，， ， 由旋转的性质可知：， ， 又， ， ， 故选：D． 47．如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则的度数为_________°． 【答案】 【分析】先由，利用平行线内错角相等得；再根据旋转性质得，推出为等腰三角形，结合三角形内角和求出旋转角，即；最后用减去，算出． 【详解】解：∵， ∴， ∵绕点旋转得到， ∴对应边相等，旋转角相等， ∴， ∴， ∴， ∴． 48．将一副三角板如图放置（为含的直角三角板，，，为含的直角三角板，）将三角板绕点逆时针旋转，使得三角板的一边所在的直线与垂直，则的度数为（    ）    A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查的是旋转的性质，根据旋转的性质和已知条件进行分类讨论是解题的关键．根据题目要求，需要分两种情况讨论，第一种情况是当时，第二种情况是当时，再根据已知条件求解即可． 【详解】解：当时，如图，   ，， ， ， ， 旋转角为； 当时，如图，   ，， ， 旋转角为； 故选：C． 题型十七　坐标系中的旋转 解题思路：①分清旋转中心是原点还是平面内其他点；②找出图形关键点；③求出旋转之后各个关键点的坐标；④可进一步求解线段、角度、图形面积。 49．如图，将绕点旋转得到，设点A的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设的坐标为，由于A、关于C点对称，列方程求解即可． 【详解】解：设的坐标为， ∵A和关于点对称， ∴， 解得， ∴点的坐标． 50．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，顶点在轴上，点在轴上，点在第一象限，分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交正方形内一点，将点绕点逆时针每次旋转90°，则第2026次旋转结束时，点对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据题意求出点的坐标，再根据旋转的周期性得出第2026次旋转后的位置与第2次旋转后的位置相同，最后利用关于原点对称的点的坐标特征求解即可． 【详解】解：四边形是正方形，， ，轴． 由题意可知，， 是等边三角形． 过点作于点， ． 在中，． 点的横坐标为1，纵坐标为，即． 每次逆时针旋转， 每旋转4次点回到原位，即循环周期为4． ， 第2026次旋转结束时，点对应点的位置与第2次旋转结束时的位置相同． 旋转2次相当于绕原点旋转，即关于原点对称， 点关于原点对称的点的坐标为． ∴第2026次旋转结束时，点对应点的坐标是． 51．在平面直角坐标系中，按如图所示的方式放置正方形，点的坐标为．将正方形绕坐标原点顺时针旋转，每秒旋转，旋转2026秒后，点的对应点的坐标为__________． 【答案】 【分析】由题意可先求出点的坐标，然后可得旋转2026秒后与旋转2秒后点的对应点位置相同，进而问题可求解． 【详解】解：过A作轴于E，过C作轴于F， ∴， ∵点A的坐标为， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 因为， 所以每旋转四次点的位置循环出现． 因为余2， 所以旋转2026秒后与旋转2秒后点的对应点位置相同． 因为点且旋转2秒后的对应点与点关于原点对称， 所以旋转2秒后的对应点的坐标为， 则旋转2026秒后，点的对应点的坐标为． 解答题 1．如图，四边形和四边形都是正方形． (1)正方形旋转后能与正方形重合吗？ (2)在图形所在的平面上，要使两个正方形经过一次旋转后重合，可作旋转中心的点有哪几个？ 【答案】(1)能 (2)3；点，点，线段的中点 【分析】本题考查了旋转的相关知识，熟知旋转的概念和旋转中心的概念是解题的关键． （1）由于两个正方形边长相等，则两个正方形是全等图形，故能通过旋转使得两个图形重合； （2）绕点B逆时针旋转90度或绕点A顺时针旋转90度或或绕的中点顺时针旋转都能使正方形与正方形重合，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵正方形和正方形的边长相等， ∴正方形和正方形是全等图形， ∴正方形旋转后能与正方形重合； （2）观察图形，可知四边形绕点B逆时针旋转90度或绕点A顺时针旋转90度就能与正方形重合，或绕的中点顺时针旋转也能与正方形重合， ∴平面上可以作为旋转中心的点共有三个， 即点A、点B和线段的中点． 2．按要求完成下列各题： (1)如图①，在五边形中，，试猜想之间的数量关系，小明经过仔细思考，得到如下解题思路：将绕点A逆时针旋转至，由，得，即点D、E、F三点共线，易证，猜想之间的数量关系是 ； (2)如图②，在四边形中，，点E、F分别在边的延长线上，，连接，试猜想之间的数量关系，并给出证明． 【答案】(1) (2)如图②，之间的数量关系是； 证明：在线段上取线段，连接，得， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【分析】（1）将绕点A逆时针旋转，则重合，得，再证明，结合图形，由线段和差计算即可求解； （2）在线段上取线段，连接，得，再证明，结合图形即可求解． 【详解】（1）解：之间的数量关系为：，理由如下： ∵， ∴如图①，将绕点A逆时针旋转，则重合，得， 则， ∴，即点D，E，F三点共线， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略． 3．在中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点不在直线上），过点作，交直线于点． (1)如图（1），，点与点重合，求证：； (2)如图（2），点，都在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段，点与点重合， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； (2)； 证明：如图，在上取一点，使得，连接，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）根据，得出，根据旋转可得，，进而证明四边形是平行四边形，得出，即可得证； （2）在上取一点，使得，连接，，证明得出，，进而根据三角形内角和定理得出，根据平行线的性质得出，进而得出，根据等角对等边可得，则，进而根据，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 4．图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、M、N均为格点，只用无刻度的直尺，按下列要求作图： (1)在图1中，画出图中关于直线对称的； (2)在图2中，画出图中绕点C顺时针旋转后的． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用网格找A、B、C三点分别关于直线的对称格点D、E、F，依次连接三点可得到； （2）以C为旋转中心，借助网格横纵垂直关系，将、分别顺时针旋转得到对应线段，确定A、B旋转后的对应格点D、E，C自身对应F，连接三点可得到旋转后的． 【详解】（1）略 （2）略 5．如图，已知等边三角形，将线段绕点逆时针旋转（）得到线段，连接，，作于点． (1)求的度数； (2)用等式表示线段，，的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据旋转的性质，，可得为等腰三角形，为等腰三角形，可得， ，即可求出； （2）过点作交于，先证明，可得，再在中得到，进而得到线段，，的数量关系． 【详解】（1）解：等边三角形，将线段绕点逆时针旋转（）得到线段， ，， 为等腰三角形，为等腰三角形， ， 为旋转角，， ， ， ， （2）解：如图，过点作交于， 由（1）得， ， ， ，， 在和中，， ， ． 由（1）得， 在中，， ， ，即， ， 即． 6．在中，，． (1)如图1，若，将绕点A逆时针旋转得到，连接，求的值； (2)如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接，此时点B，C，E恰好共线，连接． ①求证：； ②求的面积． 【答案】(1) (2)①证明：如图2， ∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵点B，C，E三点共线， ∴， ∴， ∴． ②5 【分析】（1）证明为等边三角形，得到，点B，C，E共线，再由即可求解． （2）①由旋转得，，，再进一步由全等三角形的性质得出为等腰直角三角形，根据角度的转换得出，即可证明结论． ②利用三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，即点B，C，E三点共线， ∴． （2）①略． ②解：∵， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 7．如图1，在中，点D为边上的一个定点，射线与边交于点E，射线与边交于点F，与关于直线对称，与关于直线对称． (1)如图2，当点落在边上，点落在边上时，若，则的度数为 ； (2)在图1中，设，，求x与y满足的数量关系式； (3)如图3，，射线从位置出发，绕点D顺时针旋转，到位置停止；射线从位置出发，绕点D逆时针旋转，到位置停止．两条射线同时开始旋转，射线的旋转速度为每秒，射线的旋转速度为每秒，当时，求旋转时间t的值． 【答案】(1)40 (2)时；当时 (3)t为或 【分析】（1）根据三角形内角和定理得到，由平角的定义及计算得到，在四边形中根据内角和定理即可求解； （2）由折叠的性质得：，，结合图形分类讨论：当在的左侧时（）；当在的右侧时（）；结合角度的数量关系列式求解即可； （3）根据题意得到射线到的时间为秒，射线到的时间为秒，，，结合运动情况分类讨论：与相遇前；在与相遇后；由平角的定义列式求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵与关于直线对称，点落在边上，，与关于直线对称，点落在边上， ∴， ∴， ∵，则， ∴， 在四边形中，， 故答案为：40； （2）解：由折叠的性质得：，， ，， ①当在的左侧时（）， ， ， ， ； ②当在的右侧时（）， ， ， ， ． 综上，x，y满足当时；当时． （3）解：当时，， ∵射线的旋转速度为每秒，射线的旋转速度为每秒，到位置停止， ∴射线到的时间为秒，射线到的时间为秒， 由题意可知，，， ①与相遇前，则， ∴， 解得； ②与相遇后，则， ∴， 解得，不合题意舍去； ∴在与相遇后，当时，射线已停止旋转， ∴此时， ， 解得， 综上，当t为或时，． 8．如图，在平面直角坐标系内，点是坐标原点，点的坐标如图所示， (1)求直线的函数表达式； (2)将直线绕着点逆时针旋转后得到直线，求直线的函数表达式； (3)将直线绕着点顺时针旋转后得到直线，求直线的函数表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点A作轴于点E，过点作轴于点F，证明，得到，则；再利用待定系数法求解即可； （3）取点，连接，可证明，，则可证明，根据题意可得射线在射线右侧，且，则三点共线，据此利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为， 把代入得， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：如图所示，过点A作轴于点E，过点作轴于点F， ∴； 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 设直线的函数表达式为， ∴， ∴， ∴直线的函数表达式为； （3）解：如图所示，取点，连接， ∴，， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵将直线绕着点顺时针旋转后得到直线， ∴射线在射线右侧，且， ∴三点共线； 设直线的函数表达式为， ∴， ∴， ∴直线的函数表达式为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $