专题05二次函数的应用精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦二次函数的应用这一核心知识点，系统梳理从二次函数基本性质到实际问题解决的脉络，通过六步标准解题模板（审题、设元、建模、定域、求值、验答）搭建学习支架，涵盖销售利润、几何面积、抛射运动等七类高频应用模型。 该资料以规范解题流程培养数学思维，结合实际问题建模发展数学语言表达能力，针对考场常见扣分点（如自变量取值范围遗漏、区间最值判断错误）精准纠错。课中助力教师系统授课，课后学生可通过题型分类例题巩固，有效弥补知识盲点。

专题05二次函数的应用精讲学案 1. 二次函数应用题 六步标准解题模板【万能答题框架·全班统一规范】 所有二次函数实际应用题，严格按六步作答，彻底杜绝步骤扣分： ①审题：提取已知量、约束条件、所求最值； ②设元：规范设出自变量（时间、边长、售价、宽度）； ③建模：根据等量关系列出完整二次函数解析式； ④定域：写出自变量取值范围（实际问题必须非负、符合场景限制）； ⑤求值：根据开口方向、顶点位置、区间范围求最值； ⑥验答：舍去不合理解，带单位规范作答。 2. 销售利润最值模型【中考大题高频·必考核心】 核心公式固定不变：单件利润=售价−进价，总利润=单件利润×销售数量； 题型规律：涨价销量下降、降价销量上升，价格与销量呈反向变化； 解题关键：构造开口向下二次函数，顶点横坐标对应最大利润定价； 限制条件：价格整数、销量正数、题目限价约束，顶点超范围必须取端点最值。 3. 几何面积最值模型【期末高频大题】 包含：靠墙围栏、多隔断矩形、边框面积、内部草坪面积； 解题关键：利用固定总长表示长宽，列出面积二次函数； 易错专属提醒：靠墙题型只算三边，禁止重复计算靠墙边； 开口向下，顶点对应最大面积，边长必须为正数、不超原尺寸。 4. 抛射运动最值模型【物体运动经典题型】 适用于：小球抛射、喷泉喷水、投篮轨迹、物体飞行； 核心结论：顶点纵坐标=最大高度，顶点横坐标=到达最高点时间； 落地求解：令y=0求总飞行时间，直接舍去负数时间。 5. 拱桥、隧道抛物线模型【图像建系压轴题型】 最优建系方法：以拱顶/最低点为原点，快速设顶点式解析式； 解题用途：求通行高度、通行宽度、判断车辆能否安全通过； 优势：顶点式计算量最小、出错率最低，是课堂推荐标准解法。 6. 成本、用料最小值模型【开口向上专属题型】 开口向上的二次函数，顶点位置取得最小值； 常用于：用料最省、成本最低、损耗最少类实际决策问题。 7. 区间最值终极判定法则【拉分重难点·培优必讲】 普通教辅只讲顶点最值，本节课核心拔高考点： ①顶点在自变量取值范围内：最值直接取顶点； ②顶点不在自变量取值区间内：最值只看区间左右端点，代入对比大小即可。 （考试80%压轴扣分全部出自这里） （精准对标考场扣分点·课堂当堂纠错） 1. 忘记写自变量取值范围，直接套用顶点最值，顶点超出区间导致答案完全错误。 2. 靠墙矩形题型误算四条边长度，多算靠墙边长，列式直接出错。 3. 利润题型涨价、降价对应销量增减写反，解析式符号错误、全盘失分。 4. 拱桥建系混乱、坐标标错，导致解析式求解偏差。 5. 只求出最值，不回代求对应定价、边长、时间，答题要素不全扣分。 6. 保留负数时间、负数长度、负价格，不按实际意义取舍根。 7. 开口方向判断错误，最大值、最小值颠倒。 8. 区间最值不会对比端点，只会死套顶点公式，压轴题拿不到分。 题型 考察方向 难度 题型一 图形问题 ★★ 题型二 图形运动问题 ★★★ 题型三 拱桥问题 ★★★ 题型四 销售问题 ★★ 题型五 投球问题 ★★ 题型六 喷水问题 ★★ 题型七 增长率问题 ★★ 题型八 其他实际应用问题 ★★★ 星级说明：★基础★★中档★★★拔高 题型一　图形问题 解题思路：①利用图形总长，用含x的代数式表示图形的长与宽，靠墙问题只计算三边，②建立面积的二次函数，③根据边长大于0，确定自变量取值范围，④判断顶点是否在取值区间内，在区间内取顶点求最值，不在则比较区间端点，⑤舍去不符合实际意义的解。 1．用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为x（），则窗框的透光面积关于x（）的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 2．用总长为米的材料做成如图1的矩形窗框，设窗框的宽为米，窗框的面积为米，关于的函数图象如图2，则的值是______． 3．工人师傅要将如图所示的矩形分割成甲、乙、丙3块，用来填充不同材质的产品．已知，点分别在和上，，且．设． (1)设甲、乙两块材料的面积之和为，求与之间的函数解析式； (2)当取何值时，甲，乙两块材料的面积之和为? (3)丙部分面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 4．【综合与实践】 【问题情境】 王老师家有一块长、宽的长方形菜地，如图1，以前由于没有对其进行规划，导致每次浇水、施肥、摘菜很不方便，经常都会弄得一脚泥． 【问题提出】 为了改变这种局面，王老师打算在菜地里修建小路． 【方案设计】 方案一：如图2，在地块中间修建一个长、宽比为的长方形菜地，周围一圈是小路； 方案二：如图3，在地块中间修建三条等宽的道路，一条横向、两条纵向，其余是菜地． 【问题解决】 (1)在第一种方案中，若设菜地的宽为米，求小路面积S关于的函数表达式． (2)在第二种方案中，若设道路的宽为米，求菜地面积关于的函数表达式． (3)已知王老师在劳作时，只能覆盖道路两侧内的菜地．在第二种方案中，若要求道路宽度满足王老师的劳作需求，则道路宽度为多少时，菜地的面积最大？并求出此时菜地面积． 题型二　图形运动问题 解题思路：①设运动时间为自变量x，②用含x的代数式表示动态线段，构建面积或线段长度的二次函数，③依据动点运动的起止位置，确定自变量取值范围，④顶点在区间内用顶点求最值，超出区间则计算区间端点函数值，⑤检验结果，剔除不符合运动实际的解。 5．如图（单位：cm），等腰直角以2cm/s的速度沿直线l向正方形移动，直到与重合，当运动时间为xs时，与正方形重叠部分的面积为ycm2，下列图象中能反映y与x的函数关系的是（　　）    A．   B．   C．   D．   6．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动．如果，两点分别从，两点同时出发，分别到达点，后停止运动，那么当的面积取得最大值时，出发时间的值是_____． 7．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B匀速移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C匀速移动．设点P运动的时间为． (1)___________，___________（用含t的代数式表示） (2)记的面积为，的面积为． ①试判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． ②求的最小值． 8．如图，在四边形中，，于点，，，．动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点从点出发，沿折线方向以每秒1个单位长度的速度运动．当点到达点时，、两点都停止运动．设动点运动的时间为秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数关系式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当函数时的值．（结果保留一位小数，误差不超过） 题型三　拱桥问题 解题思路：①建立平面直角坐标系，选用顶点式y=a(x-h)2+k，②代入已知点坐标，求解得到抛物线解析式，③根据已知条件，由横坐标求高度或由高度求水平宽度，④结合计算结果完成通行判断。 9．如图，一座拱桥的纵向截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度为4.9m，当水面宽4m时，拱顶离水面2m．有下列结论： ①该抛物线的解析式为：； ②当水面宽度为时，水面下降了； ③当水面下降时，水面宽度增加了． 其中，正确结论的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 10．某温室大棚的拱架呈抛物线型（图），如图，以拱架底部的中点为原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，轴与抛物线交于顶点．已知，现要在距离底部高处安装一根与平行的通风管，通风管的长度为，则拱架最高点距底部的高度为_______． 11．某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽，涵洞顶点到水面的距离为，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？ 12．如图1是佛山市顺德区顺峰山公园景区的大门，是一座三跨式巨型中式牌坊，享有“中华第一牌坊”的美誉．已知中间主跨地面宽度为35米，实际结构可简化为图2所示的组合图形：上部为抛物线形，下部为矩形．某测量小组测得为3米，从A点出发，沿主跨地面向右侧走2米到达点E，测得E点处对应的高度（即点E上方到抛物线轮廓的竖直距离）为6.3米，请你结合数据，求出主跨的高度（即抛物线顶点到地面的距离）．（精确到） 题型四　销售问题 解题思路：①利用单件利润＝售价-进价，总利润＝单件利润×销售量，②根据价格变动和销量的变化关系，列出总利润二次函数，③结合限价、销量大于0，确定自变量取值范围，④顶点在区间内取顶点求最值，不在区间时代入端点计算，⑤写出最大利润以及对应的售价。 13．一塑料玩具生产公司将每件成本为元的某种玩具按每件元批发出售，平均一天可售出件．后来经过市场调查，发现这种玩具单价每降低元，其日销量可平均增加件．为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，规定该公司的最大生产限额为每天件．若想获得最大利润，则批发价应降低（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 14．在月份，某地的蔬菜批发市场指导菜农生产和销售某种蔬菜，并向他们提供了这种蔬菜每千克售价与每千克成本的信息如图所示，则出售该种蔬菜每千克利润最大的月份可能是_____月． 15．某商场销售的一种商品的进价为30元/件，连续销售100天后，统计发现：在这100天内，①该商品每天的销售价格x（元/件）与时间（第天）满足关系式：； ②该商品的日销售量y（件）与时间t（第t天）满足一次函数关系，部分数据如下表： 时间t（第t天） 1 2 10 20 …… 日销售量y（件） 119 118 110 100 …… (1)直接写出y与t之间的函数解析式； (2)设销售该商品的日利润为w（元），请直接写出w与t之间的函数解析式，并求出在这100天内哪天的日利润最大，最大日利润是多少元？ (3)在这100天内，日利润不低于4000元的共有多少天，请直接写出结果． 16．某商场销售一种成本为每件20元的商品，销售过程中发现，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系可近似的看作一次函数： (1)设商场销售该种商品每月获得利润为（元），写出与之间的函数关系式，并求出最大利润； (2)为了保护环境，政府部门要求用更加环保的新产品替代该种商品，商场若销售新产品，每月销售量与销售价格之间的关系与原产品的销售情况相同，新产品成本为每件22元，同时对商场的销售量每月不小于150件的商场，政府部门给予每件3元的补贴，试求定价多少时，新产品每月可获得销售利润最大？并求最大利润． 题型五　投球问题 解题思路：①借助二次函数顶点得到最大高度与到达最高点的时间，②令y=0解方程求落地时间，舍去负根，③代入高度或者利用判别式，判断能否到达指定高度。 17．如图，在滑雪大跳台比赛中，运动员从跳台滑出后，在空中飞行的高度（米）与时间（秒）之间满足函数关系：，则运动员从起跳到落地所需要的时间为（    ） A．2秒 B．3秒 C．3.5秒 D．4秒 18．如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为__________． 19．甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分．如图，甲在O点正上方的P处发出一球，羽毛球飞行的高度与水平距离之间满足函数表达式．已知点与球网的水平距离为，球网的高度为． (1)当时，h的值为______，此球______过网（填“能”或“不能”） (2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为，离地面的高度为的Q处时，乙扣球成功，求此时a和h的值． 20．河南浚县“泥咕咕”深受大家的欢迎，将泥咕咕玩具从地面向上抛出，其飞行轨迹可近似的看作抛物线．为了研究运动规律，游戏者记录了泥咕咕飞行高度和飞行时间的几组对应数据如下表： 飞行时间 0 0.5 1 1.5 2 3 3.5 飞行高度 0 1.75 3.75 4 3.75 3 1.75 (1)填空： ________， _______； (2)根据表格，请确定抛物线的函数表达式； (3)已知当泥咕咕高度为时适合拍摄特写，请问泥咕咕被抛出后多长时间时，拍摄效果最佳？ 题型六　喷水问题 解题思路：①建立坐标系，采用顶点式设抛物线，②代入已知点，求出函数解析式，③由顶点纵坐标得到水流最大高度，④令y=0求得落地的水平距离，即喷水最远距离，⑤舍去没有实际意义的负根。 21．如图，为了美化校园环境，学校计划在草坪中央修建一个直径为米的圆形喷水池，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈抛物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，则要修建的高度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 22．某广场上有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，的长为，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到点的距离为．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度（单位：）与水平距离（单位：）之间近似满足函数关系式（），则水流喷出的最大高度为_____________． 23．某小区考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头（如图①），喷淋头喷洒的最外层水柱的形状为抛物线．如图②，已知车棚建在，两面墙之间，为水平地面，，．消防喷淋头安装在距离地面米高的棚顶上，其到墙面的水平距离为米，此时最外层的水柱喷射到墙面上的点处，米．以为原点，地面所在的水平线为轴，墙面所在的直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求这条抛物线的解析式； (2)已知车棚的宽度为米，为了确保发生火灾时可以完全把火扑灭，喷出的水需要覆盖离地面米高的全部范围．工作人员计划在棚顶上安装若干个与消防喷淋头相同型号的消防喷淋头（第一个喷淋头的位置不变）．请通过计算，回答至少需要多少个消防喷淋头． 24．某公园计划修建一个如图1所示的以为半径的圆形喷水池，喷水池中心处立着一个高为的实心石柱，喷水池周围安装一圈喷头，使得水流在各个方向上都沿形状相同的抛物线喷出，并在石柱顶点处汇合．为使水流形状更漂亮，要求水流在距离石柱处能达到最大高度，与池面的距离为．在距离池面的位置，围绕石柱还修了一个小水池，要求小水池不能影响水流． (1)求圆形喷水池的半径． (2)为了不影响水流，小水池的半径不能超过多少？ 题型七　增长率问题 解题思路：①套用关系式：最终量=基础量×(1+增长率)²，②区分定值计算使用一元二次方程，最值求解搭建二次函数，③限定增长率取值，不可小于-1，④舍去负数、不符合现实条件的解。 25．由于长期受新型冠状病毒的影响，核酸检测试剂需求量剧增，某医院去年一月份用量是8000枚，二、三两个月用量连续增长，若月平均增长率为x，则该医院三月份用核酸检测试剂的数量y（枚）与x的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 26． 某公司去年的销售额为万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长率为，时间（年）为，假设增长率函数模型为．根据市场分析，今年（第一年）的增长率为，明年（第二年）的增长率为，那么第三年的增长率为______． 27．芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）． (1)求与之间的函数关系式； (2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率． 28．某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 题型八　其他实际应用问题 解题思路：①梳理题干等量关系，按照审题、设元、建模、定域、求值、验答六步流程解题，②标注自变量实际取值范围，③对比顶点与区间端点计算最值，④剔除违背现实情景的答案。 29．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．按照图中所示的平面直角坐标系、抛物线可以用表示．在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，如果灯离地面的高度为．那么两排灯的水平距离是（    ） A． B． C． D． 30．“温室大棚春意浓，花果飘香醉眼瞳”．近年来，邳州市通过大棚种植技术（如图1），大力推进农业现代化转型．小华家有一个蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚一端固定在离地面高1米的墙体A处，另一端固定在离地面高2米的墙体B处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度y（米）与其离墙体A的水平距离x（米）之间的关系满足，现测得A，B两墙体之间的水平距离为8米，则大棚的最高处到地面的距离为________米． 31．小明同学很喜欢玩纸飞机，他发现纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段，上抛和下降的飞行路径可看作是一段抛物线，滑行的飞行路径可看作是一条线段．如图所示，以地平线为轴，起抛点所在铅垂线为轴建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当纸飞机飞行的水平距离为时，自动进入滑行阶段． (1)若纸飞机进入滑行阶段时的高度为． ①直接写出和的值； ②小明的前方有一堵高的围栏，若要纸飞机顺利飞过围栏，求小明与围栏之间距离的取值范围； (2)要使纸飞机落地点与起抛点的水平距离不超过，直接写出的最大值． 32．某中学有500名学生在校就餐，因人数多就餐排队时间长，决定进行优化调整．经调研，发现放学后累计到达食堂的人数（人）随时间（分）的变化情况满足函数：． (1)放学几分钟后，全部学生都到达食堂？ (2)食堂计划调整方案，预期13分钟内完成全部出餐，且每个学生的排队时间不能超过5分钟．原方案和调整后方案如下表． 目前实施方案 调整方案 点餐 窗口 单个窗口 点餐 窗口 单个窗口 形式 数量 出菜速度 形式 数量 出菜速度 自由点菜 4个 5份/分钟 套餐选择 5个 8份/分钟 ①按原方案，等待点餐的学生最多达到多少人？ ②调整后，是否可以达到预期效果？如果可以，请说明理由；如果不行，请调整窗口个数，使之可以达到预期效果． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05二次函数的应用精讲学案 1. 二次函数应用题 六步标准解题模板【万能答题框架·全班统一规范】 所有二次函数实际应用题，严格按六步作答，彻底杜绝步骤扣分： ①审题：提取已知量、约束条件、所求最值； ②设元：规范设出自变量（时间、边长、售价、宽度）； ③建模：根据等量关系列出完整二次函数解析式； ④定域：写出自变量取值范围（实际问题必须非负、符合场景限制）； ⑤求值：根据开口方向、顶点位置、区间范围求最值； ⑥验答：舍去不合理解，带单位规范作答。 2. 销售利润最值模型【中考大题高频·必考核心】 核心公式固定不变：单件利润=售价−进价，总利润=单件利润×销售数量； 题型规律：涨价销量下降、降价销量上升，价格与销量呈反向变化； 解题关键：构造开口向下二次函数，顶点横坐标对应最大利润定价； 限制条件：价格整数、销量正数、题目限价约束，顶点超范围必须取端点最值。 3. 几何面积最值模型【期末高频大题】 包含：靠墙围栏、多隔断矩形、边框面积、内部草坪面积； 解题关键：利用固定总长表示长宽，列出面积二次函数； 易错专属提醒：靠墙题型只算三边，禁止重复计算靠墙边； 开口向下，顶点对应最大面积，边长必须为正数、不超原尺寸。 4. 抛射运动最值模型【物体运动经典题型】 适用于：小球抛射、喷泉喷水、投篮轨迹、物体飞行； 核心结论：顶点纵坐标=最大高度，顶点横坐标=到达最高点时间； 落地求解：令y=0求总飞行时间，直接舍去负数时间。 5. 拱桥、隧道抛物线模型【图像建系压轴题型】 最优建系方法：以拱顶/最低点为原点，快速设顶点式解析式； 解题用途：求通行高度、通行宽度、判断车辆能否安全通过； 优势：顶点式计算量最小、出错率最低，是课堂推荐标准解法。 6. 成本、用料最小值模型【开口向上专属题型】 开口向上的二次函数，顶点位置取得最小值； 常用于：用料最省、成本最低、损耗最少类实际决策问题。 7. 区间最值终极判定法则【拉分重难点·培优必讲】 普通教辅只讲顶点最值，本节课核心拔高考点： ①顶点在自变量取值范围内：最值直接取顶点； ②顶点不在自变量取值区间内：最值只看区间左右端点，代入对比大小即可。 （考试80%压轴扣分全部出自这里） （精准对标考场扣分点·课堂当堂纠错） 1. 忘记写自变量取值范围，直接套用顶点最值，顶点超出区间导致答案完全错误。 2. 靠墙矩形题型误算四条边长度，多算靠墙边长，列式直接出错。 3. 利润题型涨价、降价对应销量增减写反，解析式符号错误、全盘失分。 4. 拱桥建系混乱、坐标标错，导致解析式求解偏差。 5. 只求出最值，不回代求对应定价、边长、时间，答题要素不全扣分。 6. 保留负数时间、负数长度、负价格，不按实际意义取舍根。 7. 开口方向判断错误，最大值、最小值颠倒。 8. 区间最值不会对比端点，只会死套顶点公式，压轴题拿不到分。 题型 考察方向 难度 题型一 图形问题 ★★ 题型二 图形运动问题 ★★★ 题型三 拱桥问题 ★★★ 题型四 销售问题 ★★ 题型五 投球问题 ★★ 题型六 喷水问题 ★★ 题型七 增长率问题 ★★ 题型八 其他实际应用问题 ★★★ 星级说明：★基础★★中档★★★拔高 题型一　图形问题 解题思路：①利用图形总长，用含x的代数式表示图形的长与宽，靠墙问题只计算三边，②建立面积的二次函数，③根据边长大于0，确定自变量取值范围，④判断顶点是否在取值区间内，在区间内取顶点求最值，不在则比较区间端点，⑤舍去不符合实际意义的解。 1．用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为x（），则窗框的透光面积关于x（）的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得，根据矩形的面积公式解答即可． 本题考查了矩形的周长与面积，函数的表达式，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故窗框的透光面积关于x（）的函数表达式为． 故选：C． 2．用总长为米的材料做成如图1的矩形窗框，设窗框的宽为米，窗框的面积为米，关于的函数图象如图2，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象与性质，理解顶点的意义是解题的关键． 根据函数图象，可知当时，窗框的面积最大，最大值为，设窗框的长为，则根据矩形的面积公式，可知，进而根据总长为，即可求得的值． 【详解】解：设窗框的长为， 根据函数图象，可知当时，窗框的面积最大，最大值为， 即 故答案为：． 3．工人师傅要将如图所示的矩形分割成甲、乙、丙3块，用来填充不同材质的产品．已知，点分别在和上，，且．设． (1)设甲、乙两块材料的面积之和为，求与之间的函数解析式； (2)当取何值时，甲，乙两块材料的面积之和为? (3)丙部分面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，甲，乙两块材料的面积之和为 (3)存在，丙部分面积的最大值为 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握二次函数解析式的计算，最值的计算方法是关键． （1）根据题意，，则，，由此即可求解； （2）由（1）知，，将代入即可求解； （3）根据题意，根据最值的计算，当时，取得最大值，最大值为，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴与之间的函数解析式为； （2）解：由（1）知，， ∵将代入，得， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，甲，乙两块材料的面积之和为； （3）解：存在，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴丙部分面积的最大值为． 4．【综合与实践】 【问题情境】 王老师家有一块长、宽的长方形菜地，如图1，以前由于没有对其进行规划，导致每次浇水、施肥、摘菜很不方便，经常都会弄得一脚泥． 【问题提出】 为了改变这种局面，王老师打算在菜地里修建小路． 【方案设计】 方案一：如图2，在地块中间修建一个长、宽比为的长方形菜地，周围一圈是小路； 方案二：如图3，在地块中间修建三条等宽的道路，一条横向、两条纵向，其余是菜地． 【问题解决】 (1)在第一种方案中，若设菜地的宽为米，求小路面积S关于的函数表达式． (2)在第二种方案中，若设道路的宽为米，求菜地面积关于的函数表达式． (3)已知王老师在劳作时，只能覆盖道路两侧内的菜地．在第二种方案中，若要求道路宽度满足王老师的劳作需求，则道路宽度为多少时，菜地的面积最大？并求出此时菜地面积． 【答案】(1) (2) (3)道路宽度为时，菜地的面积最大，此时菜地面积为 【分析】（1）设菜地的宽为米，则菜地的长为米，根据小路面积等于总面积减去菜地面积，列出函数关系式，即可求解； （2）设道路的宽为米，根据长方形面积公式，列出函数关系式，即可求解； （3）先求出x的取值范围，再根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设菜地的宽为米， ∵长、宽比为的长方形菜地， ∴菜地的长为米， ∴小路面积S关于的函数表达式为； （2）解：设道路的宽为米，根据题意得： ， 即菜地面积关于的函数表达式； （3）解：根据题意得：， 解得：， 由（2）得：菜地面积关于的函数表达式， ∵，， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y取得最大值，最大值为， 即道路宽度为时，菜地的面积最大，此时菜地面积为． 题型二　图形运动问题 解题思路：①设运动时间为自变量x，②用含x的代数式表示动态线段，构建面积或线段长度的二次函数，③依据动点运动的起止位置，确定自变量取值范围，④顶点在区间内用顶点求最值，超出区间则计算区间端点函数值，⑤检验结果，剔除不符合运动实际的解。 5．如图（单位：cm），等腰直角以2cm/s的速度沿直线l向正方形移动，直到与重合，当运动时间为xs时，与正方形重叠部分的面积为ycm2，下列图象中能反映y与x的函数关系的是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】分别求出时与时的函数解析式，然后根据相应的函数图象找出符合条件的选项即可 【详解】解：如图，当时，    重叠部分为三角形，面积， 如图，当时，    重叠部分为梯形，面积， ∴图象为两段二次函数图象，第一段开口向上，第二段开口向下，函数的最大值为50， 纵观各选项，只有C选项符合． 故选：C． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，判断出重叠部分的形状并求出相应的函数关系式是解题的关键． 6．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动．如果，两点分别从，两点同时出发，分别到达点，后停止运动，那么当的面积取得最大值时，出发时间的值是_____． 【答案】3 【分析】本题主要考查二次函数应用—动点问题，二次函数图象与性质等知识．根据题意得到，，则，由三角形的面积公式可得，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：设运动时间为， 根据题意有：，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故S关于t的函数解析式为； ∵， ∵， ∴当时，的面积S有最大值． 故答案为：3． 7．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B匀速移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C匀速移动．设点P运动的时间为． (1)___________，___________（用含t的代数式表示） (2)记的面积为，的面积为． ①试判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． ②求的最小值． 【答案】(1)， (2)①是，；② 【分析】本题主要考查列代数式、三角形的面积和二次函数的性质，正确理解题意是解答本题的关键． （1）根据题意列出相关代数式即可； （2）分别计算出和，①求得是定值；②求得，运用二次函数的性质可得结论． 【详解】（1）解：∵点P的速度是，运动时间为，所以； 点Q的速度是，运动时间为，所以； ∵， ∴； 故答案为：t，； （2）解：①，， ∴；； ∴； 又矩形的面积为， ； ； ∴ ∴，是定值； ② ∵， ∴当时，取得最小值． 8．如图，在四边形中，，于点，，，．动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点从点出发，沿折线方向以每秒1个单位长度的速度运动．当点到达点时，、两点都停止运动．设动点运动的时间为秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数关系式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当函数时的值．（结果保留一位小数，误差不超过） 【答案】(1) (2)图见解析；性质：函数值的最大值为8（答案不唯一）； (3)或． 【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，画函数图象，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）分两种情况求解，①当，点在上，点在上，②当，点在上，由速度与时间的关系表示出各线段，根据三角形面积公式即可得出答案； （2）根据函数解析式列表描点连线画图，再写出一条性质即可； （3）根据（2）中的函数图象直接作答即可 【详解】（1）解：，， ， ①当，点在上，点在上， 此时，， ； ②当，点在上，点在上， 此时， ， 综上可知，关于的函数关系式为； （2）解：列表如下： 0 1 2 4 0 3 4 0 4 5 6 0 4 8 描点连线如下： 性质：函数值的最大值为8； （3）解：由函数图象可知，当函数时或． 题型三　拱桥问题 解题思路：①建立平面直角坐标系，选用顶点式y=a(x-h)2+k，②代入已知点坐标，求解得到抛物线解析式，③根据已知条件，由横坐标求高度或由高度求水平宽度，④结合计算结果完成通行判断。 9．如图，一座拱桥的纵向截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度为4.9m，当水面宽4m时，拱顶离水面2m．有下列结论： ①该抛物线的解析式为：； ②当水面宽度为时，水面下降了； ③当水面下降时，水面宽度增加了． 其中，正确结论的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是建立二次函数关系式；因此此题可根据题意得出二次函数关系式，进而问题可求解． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 由水面宽时，拱顶离水面，可知点在函数图象上， 将代入中，得， 解得， 故抛物线的解析式为， 故①错误； 当水面宽度为时，即，把代入得： ． 原来水面宽时，则水面下降的高度为， 所以②正确． 当水面下降时，即，把代入得： ，则，解得，此时水面宽度为， 原来水面宽，水面宽度增加了， 所以③正确． 综上，正确结论②③，共2个， 故选：C． 10．某温室大棚的拱架呈抛物线型（图），如图，以拱架底部的中点为原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，轴与抛物线交于顶点．已知，现要在距离底部高处安装一根与平行的通风管，通风管的长度为，则拱架最高点距底部的高度为_______． 【答案】 【分析】由题意得，，求出抛物线解析式为，得，从而求出拱架最高点距底部的高度． 【详解】解：由题意得，，， 设抛物线解析式为， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴拱架最高点距底部的高度为米． 11．某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽，涵洞顶点到水面的距离为，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？ 【答案】 【分析】设出解析式，待定系数法求出函数解析式即可. 【详解】解：设抛物线的解析式为， 由题意，抛物线过点， ∴， ∴， ∴， 故抛物线的函数关系式是. 12．如图1是佛山市顺德区顺峰山公园景区的大门，是一座三跨式巨型中式牌坊，享有“中华第一牌坊”的美誉．已知中间主跨地面宽度为35米，实际结构可简化为图2所示的组合图形：上部为抛物线形，下部为矩形．某测量小组测得为3米，从A点出发，沿主跨地面向右侧走2米到达点E，测得E点处对应的高度（即点E上方到抛物线轮廓的竖直距离）为6.3米，请你结合数据，求出主跨的高度（即抛物线顶点到地面的距离）．（精确到） 【答案】主跨的高度约为． 【分析】以线段所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，由题意可得，，设该抛物线的表达式为，求出抛物线的解析式即可解答． 【详解】解：以线段所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如答图所示． ， ，， ，． 设该抛物线的表达式为， 将，代入，得， 解得， 该抛物线的表达式为． 当时，． 答：主跨的高度约为． 题型四　销售问题 解题思路：①利用单件利润＝售价-进价，总利润＝单件利润×销售量，②根据价格变动和销量的变化关系，列出总利润二次函数，③结合限价、销量大于0，确定自变量取值范围，④顶点在区间内取顶点求最值，不在区间时代入端点计算，⑤写出最大利润以及对应的售价。 13．一塑料玩具生产公司将每件成本为元的某种玩具按每件元批发出售，平均一天可售出件．后来经过市场调查，发现这种玩具单价每降低元，其日销量可平均增加件．为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，规定该公司的最大生产限额为每天件．若想获得最大利润，则批发价应降低（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，设批发价降低x元，根据生产限额180件，求出x的取值范围，再列出利润的函数，然后分情况讨论利润函数，求最大值即可得出答案． 【详解】解：设降低x元，则批发价为元，每件利润为元，销量为， 根据题意可知，即， 设利润为， 可得， ∵该二次函数开口向下，对称轴， ∴在时P随x增大而增大， ∴当时，P最大，元． 综上，当时利润最大，故批发价应降低8元． 故选C 14．在月份，某地的蔬菜批发市场指导菜农生产和销售某种蔬菜，并向他们提供了这种蔬菜每千克售价与每千克成本的信息如图所示，则出售该种蔬菜每千克利润最大的月份可能是_____月． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的应用，要注意需先根据图中得出两个函数解析式，然后再表示出收益与月份的函数式，再求解．先根据图中的信息用待定系数法表示出每千克售价的一次函数以及每千克成本的二次函数，然后每千克收益每千克售价每千克成本，得出关于收益和月份的函数关系式，根据函数的性质得出收益的最值以及相应的月份． 【详解】解：设月份出售时，每千克售价为元，每千克成本为元， 根据图像，设， ， ， ， 根据图像，设， ， ， ， ， ， ， ， 故当时，有最大值， 故答案为： 15．某商场销售的一种商品的进价为30元/件，连续销售100天后，统计发现：在这100天内，①该商品每天的销售价格x（元/件）与时间（第天）满足关系式：； ②该商品的日销售量y（件）与时间t（第t天）满足一次函数关系，部分数据如下表： 时间t（第t天） 1 2 10 20 …… 日销售量y（件） 119 118 110 100 …… (1)直接写出y与t之间的函数解析式； (2)设销售该商品的日利润为w（元），请直接写出w与t之间的函数解析式，并求出在这100天内哪天的日利润最大，最大日利润是多少元？ (3)在这100天内，日利润不低于4000元的共有多少天，请直接写出结果． 【答案】(1)（，为整数）； (2)；第50天的日利润最大，最大日利润为4900元； (3)51天． 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）依据题意销售利润=销售量×（售价-进价）易得出销售利润为W（元）与t（天）之间的函数关系式， （3）根据销售利润为W（元）与t（天）之间的函数关系式，求出利润超过4000元的天数即可． 【详解】（1）解：∵销售量y（件）与时间t（第t天）满足一次函数关系， ∴设y与的一次函数关系式为：， 将，代入得， ， 解得，， ∴； （2）解：根据题意得，， 当时， ， 当时， ， ∴， 当时， ， ∵， ∴当时，W随t的增大而增大，当时，W随t的增大而减小， 时，． 当时， ， ∵， ∴W随t的增大而减小， 时，． ∵， ∴第50天日利润最大，且最大日利润为4900元； （3）解：当时，， 令， ∴， ∴，， ∴符合题意； 当时，， 令， ∴， ∴时，符合题意， ∴当时，日利润不低于4000元， ∴共有：（天）． 16．某商场销售一种成本为每件20元的商品，销售过程中发现，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系可近似的看作一次函数： (1)设商场销售该种商品每月获得利润为（元），写出与之间的函数关系式，并求出最大利润； (2)为了保护环境，政府部门要求用更加环保的新产品替代该种商品，商场若销售新产品，每月销售量与销售价格之间的关系与原产品的销售情况相同，新产品成本为每件22元，同时对商场的销售量每月不小于150件的商场，政府部门给予每件3元的补贴，试求定价多少时，新产品每月可获得销售利润最大？并求最大利润． 【答案】(1) 函数关系式为，最大利润为元 (2) 定价为元时，新产品每月可获得最大销售利润，最大利润为元 【分析】（1）根据总利润=单件利润×数量，即可解答，然后根据二次函数的性质求解即可； （2）分两种情形①当销售量每月不小于150件，政府部门给予每件3元的补贴，则利润=（定价-成本价+补贴）×销售量，从而列出关系式；运用二次函数性质求出结果．②当销售量每月小于150件，求出W的最大值，比较两种情形的最大值，即可判断． 【详解】（1）解：由题意，得：， ， ∴当时，有最大值为2250， 即与之间的函数关系式，最大利润为元； （2）解：①当销售量每月不小于150件时，即， 解得：， 由题意，得： ∴当定价元时，新产品每月可获得销售利润最大值是元； ②销售量每月小于150件时，， 解得， 由题意 ， ∵， ∴时，w的最大值为1960， ∵， ∴当定价元时，新产品每月可获得销售利润最大值是元． 题型五　投球问题 解题思路：①借助二次函数顶点得到最大高度与到达最高点的时间，②令y=0解方程求落地时间，舍去负根，③代入高度或者利用判别式，判断能否到达指定高度。 17．如图，在滑雪大跳台比赛中，运动员从跳台滑出后，在空中飞行的高度（米）与时间（秒）之间满足函数关系：，则运动员从起跳到落地所需要的时间为（    ） A．2秒 B．3秒 C．3.5秒 D．4秒 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是熟练地解一元二次方程． 令，解方程求即可． 【详解】解：令，则， 解得（舍去），， 运动员从起跳到落地所需要的时间为秒． 故选：D． 18．如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为__________． 【答案】8 【分析】根据题意得到，当时，，解一元二次方程即可． 【详解】解：铅球抛出时离地面的高度为， ， ， 当时，， 解得或（舍去）， 铅球掷出的水平距离为． 19．甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分．如图，甲在O点正上方的P处发出一球，羽毛球飞行的高度与水平距离之间满足函数表达式．已知点与球网的水平距离为，球网的高度为． (1)当时，h的值为______，此球______过网（填“能”或“不能”） (2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为，离地面的高度为的Q处时，乙扣球成功，求此时a和h的值． 【答案】(1)，能； (2)，． 【分析】（1），函数图象过点，利用待定系数法求出h的值，再求出时的函数值与球网高度比较，即可得解； （2）由题意可知，，，代入函数表达式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，函数图象过点， 当时，， 将点代入得，解得：， 当时，， 即此球能过网； （2）解：由题意可知，，， 则，解得：． 20．河南浚县“泥咕咕”深受大家的欢迎，将泥咕咕玩具从地面向上抛出，其飞行轨迹可近似的看作抛物线．为了研究运动规律，游戏者记录了泥咕咕飞行高度和飞行时间的几组对应数据如下表： 飞行时间 0 0.5 1 1.5 2 3 3.5 飞行高度 0 1.75 3.75 4 3.75 3 1.75 (1)填空： ________， _______； (2)根据表格，请确定抛物线的函数表达式； (3)已知当泥咕咕高度为时适合拍摄特写，请问泥咕咕被抛出后多长时间时，拍摄效果最佳？ 【答案】(1)， (2) (3)泥咕咕被抛出后或时，拍摄效果最佳 【分析】（1）根据表中数据求得对称轴为，再利用对称性求解即可； （2）设抛物线的函数表达式为，把代入解析式求解即可； （3）把代入解析式求解即可． 【详解】（1）解：根据表中数据，当和时的函数值相等， ∴对称轴为直线， ∴， 解得：， ∵当和时的函数值相等， ∴． （2）解：设抛物线的函数表达式为． 将代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． （3）解：当时， ∴， 解得：，， ∴泥咕咕被抛出后或时，拍摄效果最佳． 题型六　喷水问题 解题思路：①建立坐标系，采用顶点式设抛物线，②代入已知点，求出函数解析式，③由顶点纵坐标得到水流最大高度，④令y=0求得落地的水平距离，即喷水最远距离，⑤舍去没有实际意义的负根。 21．如图，为了美化校园环境，学校计划在草坪中央修建一个直径为米的圆形喷水池，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈抛物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，则要修建的高度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数实际应用中的喷泉问题，选图中第一象限的抛物线，由题意得抛物线顶点坐标为，过点，则设抛物线解析式为，然后代入求出抛物线解析式为，然后令即可求解，正确求出二次函数解析式解题的关键． 【详解】解：选图中第一象限的抛物线， 由题意得，抛物线顶点坐标为，过点， 设抛物线解析式为， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴点， ∴， 故选：． 22．某广场上有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，的长为，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到点的距离为．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度（单位：）与水平距离（单位：）之间近似满足函数关系式（），则水流喷出的最大高度为_____________． 【答案】/米 【分析】由题意可得，抛物线经过点和，把上述两个点的坐标代入二次函数表达式，可求出a和c的值，则抛物线的解析式可求出，再把抛物线解析式化为顶点式即可求出水流喷出的最大高度． 【详解】解：由题意可得，抛物线经过点和， 把上述两个点坐标代入二次函数表达式得： ， 解得：， ∴函数表达式为：， ∵，故函数有最大值， ∴当时，y取得最大值，此时， 答：水流喷出的最大高度为． 23．某小区考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头（如图①），喷淋头喷洒的最外层水柱的形状为抛物线．如图②，已知车棚建在，两面墙之间，为水平地面，，．消防喷淋头安装在距离地面米高的棚顶上，其到墙面的水平距离为米，此时最外层的水柱喷射到墙面上的点处，米．以为原点，地面所在的水平线为轴，墙面所在的直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求这条抛物线的解析式； (2)已知车棚的宽度为米，为了确保发生火灾时可以完全把火扑灭，喷出的水需要覆盖离地面米高的全部范围．工作人员计划在棚顶上安装若干个与消防喷淋头相同型号的消防喷淋头（第一个喷淋头的位置不变）．请通过计算，回答至少需要多少个消防喷淋头． 【答案】(1) (2)个 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、求二次函数的解析式． （1）由题意可知点的坐标为，点的坐标为，利用待定系数法求二次函数的解析式； （2）根据二次函数的解析式求出一个消防喷淋头覆盖的范围，根据车棚的宽度计算出需要消防喷淋头的个数． 【详解】（1）解：由题意可知点的坐标为，点的坐标为， 设抛物线的解析式为， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为． （2）解：当时， 可得：， 解得：，， ， 又， 至少需要安装个消防喷头． 24．某公园计划修建一个如图1所示的以为半径的圆形喷水池，喷水池中心处立着一个高为的实心石柱，喷水池周围安装一圈喷头，使得水流在各个方向上都沿形状相同的抛物线喷出，并在石柱顶点处汇合．为使水流形状更漂亮，要求水流在距离石柱处能达到最大高度，与池面的距离为．在距离池面的位置，围绕石柱还修了一个小水池，要求小水池不能影响水流． (1)求圆形喷水池的半径． (2)为了不影响水流，小水池的半径不能超过多少？ 【答案】(1)圆形喷水池的半径为 (2)为了不影响水流，小水池的半径不能超过 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质；结合题意熟练运用二次函数的性质解题是关键． （1）通过顶点坐标求得二次函数解析式；再令，解一元二次方程，得出，保留符合题意的值，即解得答案； （2）根据题意，令，解一元二次方程求出，保留符合题意的值，即解得答案． 【详解】（1）解：以为原点建立平面直角坐标系，则第一象限抛物线的顶点的坐标为． 设第一象限抛物线的函数表达式为． 将点代入，得，解得． ． 令，则， 解得或（不符合题意，舍去）， 圆形喷水池的半径为． （2）解：令，则， 解得或（不符合题意，舍去）， 为了不影响水流，小水池的半径不能超过． 题型七　增长率问题 解题思路：①套用关系式：最终量=基础量×(1+增长率)²，②区分定值计算使用一元二次方程，最值求解搭建二次函数，③限定增长率取值，不可小于-1，④舍去负数、不符合现实条件的解。 25．由于长期受新型冠状病毒的影响，核酸检测试剂需求量剧增，某医院去年一月份用量是8000枚，二、三两个月用量连续增长，若月平均增长率为x，则该医院三月份用核酸检测试剂的数量y（枚）与x的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的应用，设月平均增长率为x，根据题意列出函数关系式即可． 掌握增长率问题中增加量平均增长率原销售量，抓住公式列函数式是解题关键． 【详解】设月平均增长率为x， 根据题意得，． 故选：B． 26． 某公司去年的销售额为万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长率为，时间（年）为，假设增长率函数模型为．根据市场分析，今年（第一年）的增长率为，明年（第二年）的增长率为，那么第三年的增长率为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，用待定系数法求出二次函数解析式，再把代入解析式求出即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：二次函数经过，， ∴， 解得 ， ∴二次函数解析式为， 当时，， ∴第三年的增长率为， 故答案为：． 27．芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）． (1)求与之间的函数关系式； (2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用经过两次降价后的价格原价每次降价的百分率，即可找出与之间了函数关系式； （2）根据该芯片经过两次降价后每块芯片单价为元，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】（1）∵每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元） ∴依题意得：， ∴与之间的函数关系式为； （2）依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴每次降价的百分率为20%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数关系式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 28．某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 【答案】(1) (2)①每件应张价5元；②每件涨价应为8元 【分析】（1）设第二、三天的日平均增长率为x，利用第三天的销售量=第一天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①设每件应张价y元，则每件盈利（毛利润）为元，销售数量为件，根据每件盈利（毛利润）×销售数量＝每天总毛利润列方程求解即可； ②设每件涨价应为z元，则每天总毛利润为元，每天总纯利润为元，根据每天总纯利润要达到5100元，列方程求解即可． 【详解】（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得： ， (不符合题意，舍去)， ∴， 答： 第二、三天的日平均增长率为10%． （2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得 ， 解得：，， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答：每件应张价5元； ②设每件涨价应为z元，根据题意，得 ， 解得：， ∴， 答：每件涨价应为8元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，设恰当未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 题型八　其他实际应用问题 解题思路：①梳理题干等量关系，按照审题、设元、建模、定域、求值、验答六步流程解题，②标注自变量实际取值范围，③对比顶点与区间端点计算最值，④剔除违背现实情景的答案。 29．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．按照图中所示的平面直角坐标系、抛物线可以用表示．在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，如果灯离地面的高度为．那么两排灯的水平距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是把实际问题转化为二次函数问题解决．把代入解析式，再解方程即可得结论． 【详解】解：根据题意，当时，则， 解得，， ∴两排灯的水平距离为． 故选：D． 30．“温室大棚春意浓，花果飘香醉眼瞳”．近年来，邳州市通过大棚种植技术（如图1），大力推进农业现代化转型．小华家有一个蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚一端固定在离地面高1米的墙体A处，另一端固定在离地面高2米的墙体B处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度y（米）与其离墙体A的水平距离x（米）之间的关系满足，现测得A，B两墙体之间的水平距离为8米，则大棚的最高处到地面的距离为________米． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，求出解析式是解决本题的关键．根据题意写出点坐标，利用待定系数法求解析式，再计算出函数的最值即可求解． 【详解】解：根据题意，点A的坐标为，点B的坐标为， 将A，B两点坐标代入， 则， 解得：， ， ∵， ∴当时，y有最大值为， 则大棚的最高处到地面的距离为米， 故答案为：． 31．小明同学很喜欢玩纸飞机，他发现纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段，上抛和下降的飞行路径可看作是一段抛物线，滑行的飞行路径可看作是一条线段．如图所示，以地平线为轴，起抛点所在铅垂线为轴建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当纸飞机飞行的水平距离为时，自动进入滑行阶段． (1)若纸飞机进入滑行阶段时的高度为． ①直接写出和的值； ②小明的前方有一堵高的围栏，若要纸飞机顺利飞过围栏，求小明与围栏之间距离的取值范围； (2)要使纸飞机落地点与起抛点的水平距离不超过，直接写出的最大值． 【答案】(1)①；②； (2) 【分析】（1）①由纸飞机进入滑行阶段时的高度为，可得抛物线和直线都过点，分别代入计算即可； ②将代入两个函数解析式，求出的值，即可得出结果； （2）由题意得：经过，得到直线表达式，再得到抛物线经过，进而即可求解． 【详解】（1）解：①∵纸飞机进入滑行阶段时的高度为， ∴抛物线和直线都过点， ∴，， ∴； ②由①可知，抛物线的解析式为，直线的解析式为， 当时，解得或（舍去）； 当时，解得； ∴小明与围栏之间距离的取值范围为； （2）解：由题意得：经过， ，解得：， ． ∴当时，，抛物线经过， ，解得：． 32．某中学有500名学生在校就餐，因人数多就餐排队时间长，决定进行优化调整．经调研，发现放学后累计到达食堂的人数（人）随时间（分）的变化情况满足函数：． (1)放学几分钟后，全部学生都到达食堂？ (2)食堂计划调整方案，预期13分钟内完成全部出餐，且每个学生的排队时间不能超过5分钟．原方案和调整后方案如下表． 目前实施方案 调整方案 点餐 窗口 单个窗口 点餐 窗口 单个窗口 形式 数量 出菜速度 形式 数量 出菜速度 自由点菜 4个 5份/分钟 套餐选择 5个 8份/分钟 ①按原方案，等待点餐的学生最多达到多少人？ ②调整后，是否可以达到预期效果？如果可以，请说明理由；如果不行，请调整窗口个数，使之可以达到预期效果． 【答案】(1)10分钟 (2)①320人 ②可以达到预期效果 理由：， 可以在13分钟内完成全部出餐． 等待排队有名学生，则． 当（分钟）时，（人） ， 每个学生的排队时间不超过5分钟． 此方案可以满足预期效果． 【分析】（1）令，解方程求解即可； （2）①设等待排队有名学生，则，求函数的最值即可． ②设等待排队有名学生，则．求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， 答：用时10分钟，全部学生到达食堂． （2）解：①设等待排队有名学生，则． ∵，抛物线开口向下， ∴当（分钟）时，（人）． ②略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $