专题 2.5 实数的初步知识全章复习讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年苏科版八年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义系统梳理实数初步知识核心内容，涵盖平方根与算术平方根（定义、性质及恒等式）、立方根（定义、性质及恒等式）、实数概念与性质（无理数分类、与数轴对应）、近似值与精确度，通过易混淆对比表构建知识联系，形成从基础概念到综合应用的学习支架。 资料亮点在于分层题型设计，夯实基础含开方计算、根式化简等6类基础题型，综合提升含非负性、平方根与立方根综合等3类拓展题型，结合正方形面积计算、规律探究表格等实例，培养抽象能力、运算能力和推理意识。课中辅助教师系统授课，课后同步检测帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

专题 2.5 实数的初步知识全章复习讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 2 （一）学习目标 2 （二）重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】平方根与算术平方根（2.1核心） 2 【知识点二】立方根（2.2核心） 2 【知识点三】实数的概念与性质（2.3核心） 3 【知识点四】近似值与精确度（2.4核心） 3 【知识点五】全章最易混淆对比表 4 三.题型精析（夯实基础） 4 【题型 1】基础开方计算（送分必考） 4 【题型 2】根式公式化简（易错重灾区） 7 【题型 3】实数分类辨析（期末必考选择） 9 【题型 4】无理数估算与大小比较 11 【题型 5】开方解方程 13 【题型 6】近似值与精确度综合 15 四.题型精析（综合提升） 16 【题型 7】实数的非负性 16 【题型 8】平方根与立方根综合 19 【题型 9】实数与规律探究 21 五.同步检测 24 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 24 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 28 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 31 一.学习目标与重难点 （一）学习目标 1. 理解平方根、算术平方根的概念，明确二者的联系与区别，规范掌握对应数学符号的书写与含义。 2. 熟练掌握平方根的性质，能够准确求解任意非负数的平方根与算术平方根。 3. 理解平方与开平方互为逆运算，能利用逆运算求解简单的平方方程。 4. 掌握平方根两大核心恒等式，能规范完成根式化简与基础计算。 5. 学会运用平方根知识，解决正方形边长、面积相关的实际应用问题。 （二）重难点 重点：算术平方根与立方根的计算；实数分类与辨析；实数大小比较；近似值取值。 难点：与公式辨析；平方根与立方根性质混淆；无理数估算与综合应用。 二.知识梳理与解读 【知识点一】平方根与算术平方根（2.1核心） 1. 定义 若，则叫做的平方根；其中非负的平方根叫做算术平方根，记作。 2. 核心性质 ① 正数有两个互为相反数的平方根； ② 0的平方根、算术平方根均为0； ③ 负数没有平方根； ④ 算术平方根双重非负性：。 3. 必考恒等式 ① ② 【知识点二】立方根（2.2核心） 1. 定义 若，则叫做的立方根，记作（根指数3不可省略）。 2. 核心性质 ① 任意实数都有且只有一个立方根； ② 正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根为0； ③ （负号可自由进出根号）。 3. 必考恒等式 ① ② （无需绝对值，与平方根最大区别） 【知识点三】实数的概念与性质（2.3核心） 1. 无理数定义：无限不循环小数叫做无理数。 2. 三类必认无理数 ① 开方开不尽的数：； ② 含型：； ③ 构造无限不循环小数：。 3. 实数分类 实数 4. 实数与数轴：实数与数轴上的点一一对应，数轴右大左小。 5. 实数三要素：相反数、绝对值、倒数，规则与有理数完全一致。 【知识点四】近似值与精确度（2.4核心） 1. 准确值与近似值 精准计数为准确值；测量、估算、带“约”的数据为近似值。 2. 四舍五入规则 看精确位后一位，四舍五入，最终一步取舍，禁止中途取舍。 3. 精确度易错点 近似数末尾0不能删（如3.2与3.20精确度不同）；科学记数法精确度看的最后一位。 【知识点五】全章最易混淆对比表 对比项目 平方根/算术平方根 立方根 存在范围 仅非负数有 全体实数都有 个数 正数2个、0一个 任意数唯一 符号 算术根非负，平方根有 与原数同号 核心公式 三.题型精析（夯实基础） 【题型 1】基础开方计算（送分必考） 【例题1】（25-26八年级上·江西九江·阶段检测）（1）求下列各数的平方根： ；    ；    ． （2）求下列各数的立方根： ；    ；    ． 【答案】（）；； ；（）；；． 【分析】本题主要考查了平方根和立方根定义，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． （）根据平方根定义即可求解； （）根据立方根定义即可求解． 解：（）； ； ； （）； ； ． 【变式1】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）下列说法，其中正确的说法是（   ） ①负数没有立方根； ②实数和数轴上的点是一一对应的： ③； ④正数的两个平方根互为相反数： ⑤任意实数都存在平方根； ⑥算术平方根等于它本身的数只有0． A．①②③ B．②③⑥ C．②④ D．④⑤ 【答案】C 【分析】本题考查立方根、平方根、算术平方根的定义及实数的性质，根据定义逐一判断即可． 解：∵负数的立方根是负数，∴①错误； ∵实数与数轴上的点一一对应，∴②正确； ∵，∴③错误； ∵正数的两个平方根互为相反数，∴④正确； ∵负数没有平方根，∴⑤错误； ∵算术平方根等于本身的数有0和1，∴⑥错误； ∴正确的说法是②和④， 故选C． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）若立方根等于本身的数的个数为，平方根等于本身的数的个数为，算术平方根等于本身的数的个数为，则的值为________． 【答案】6 【分析】本题考查的是平方根，算术平方根，解答本题的关键是熟练掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根叫做它的算术平方根．同时注意0和的特殊性．根据平方根，算术平方根的定义即可得到结果． 解：∵立方根等于本身的数的个数为0和，平方根等于它本身的数是0，算术平方根等于它本身的数是0和1， ∴，，， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·天津静海·阶段检测）计算 （1）求下列各数的算术平方根． ①    ②    ③ （2）求下列各数的平方根． ①；    ②0.0016 （3）求下列各数的立方根． ①64    ②    ③． （4）求下列各式的值． ①    ②    ③ 【答案】（1）①；②10；③3；（2）①；②；（3）①4；②；③；（4）①3；②；③ 【分析】（1）根据开方运算的方法，求出每个数的算术平方根各是多少即可． （2）根据平方运算，可得平方根； （3）根据立方根的定义求出即可； （4）根据算术平方根和立方根的意义进行计算即可． 解：（1）①； ②； ③, ， 所以，的算术平方根是3； （2）①∵， ∴的平方根是； ②∵， ∴0.0016的平方根是； （3）①∵， ∴； ②， ∵， ∴； ③； （4）①； ②； ③． 【点拨】此题主要考查了算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．同时还考查了平方根和立方根． 【题型 2】根式公式化简（易错重灾区） 【例题2】（24-25七年级下·广东湛江·期末）计算：． 【答案】 解： ． 【变式1】（25-26七年级下·陕西商洛·期中）下列式子中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用算术平方根结果非负、立方根与被开方数同号的性质判断各选项即可． 解：A、，故此选项错误； B、，故此选项错误； C、，故此选项正确； D、，故此选项错误． 【变式2】（25-26七年级下·陕西商洛·期中）如图，小雅用计算机设计了一个运算程序图，若输入的的值为时，输出的结果是______． 【答案】/0.5 【分析】根据程序图所示的运算顺序，对输入的依次进行平方、开立方、取倒数、开算术平方根的运算即可得出结果． 解：第一步，取的平方，即， 第二步，对结果取立方根，即， 第三步，对结果取倒数，即， 第四步，对结果取算术平方根，即， 因此，当输入时，输出的结果是． 【变式3】（25-26七年级下·陕西安康·期末）计算：． 【答案】 解：原式 【题型 3】实数分类辨析（期末必考选择） 【例题3】（24-25七年级下·甘肃临夏·期中）把，，0，，，填在相应的集合内： （1）有理数集合｛ ……｝ （2）无理数集合｛ ……｝ （3）正实数集合｛ ……｝ （4）负实数集合｛ ……｝ 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】有理数包括整数和分数（有限小数、无限循环小数）；无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含的数等；正实数是大于0的实数；负实数是小于0的实数，0既不是正实数也不是负实数． （1）筛选出所有整数和分数，即可得到有理数集合； （2）筛选出所有无限不循环的数，即可得到无理数集合； （3）筛选出所有大于0的实数，即可得到正实数集合； （4）筛选出所有小于0的实数，即可得到负实数集合． 解：（1）解：∵有理数是整数和分数的统称，是整数，是整数，是分数，它们都符合有理数的定义， ∴有理数集合． （2）解：∵无理数是无限不循环小数，是开方开不尽的无限不循环小数，是无理数的相反数，也属于无限不循环小数， ∴无理数集合． （3）解：∵正实数是大于0的实数，，， ∴正实数集合． （4）解：∵负实数是小于0的实数，，， ∴负实数集合． 【变式1】（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）下列判断中，你认为正确的是（　　） A．0 的倒数是0 B．是分数 C．大于1 D．的值是 【答案】C 【分析】根据倒数的定义，实数的分类，实数大小比较，算术平方根的概念，逐一判断各选项即可． 解：选项A ∵0不能作为分母，∴0没有倒数，A错误； 选项B ∵是无理数，∴也是无理数，分数属于有理数，因此不是分数，B错误； 选项C ∵，，且，，，∴，C正确； 选项D 表示的算术平方根，∴，不是，D错误． 综上，答案选C． 【变式2】（24-25七年级下·湖北武汉·阶段检测）下列说法正确的有________． ①实数不是有理数就是无理数；②是有理数；③不带根号的数都是有理数；④是有理数；⑤数轴上任一点都对应一个有理数；⑥的相反数是． 【答案】①⑥/⑥① 【分析】根据实数的概念与分类，无理数，有理数的概念，相反数的含义逐一分析即可得到答案． 解：实数不是有理数就是无理数，描述正确，故①符合题意； 是无理数，故②不符合题意； 不带根号的数都是有理数，描述错误，如，故③不符合题意； 是无理数；故④不符合题意； 数轴上任一点都对应一个实数，故⑤不符合题意； 的相反数是，故⑥符合题意； 故答案为：①⑥． 【点拨】本题考查的是实数的概念，实数的分类，无理数的含义，相反数的含义，熟记基本概念是解本题的关键． 【变式3】（23-24七年级下·河南漯河·阶段检测）将下列各数填入相应的集合内． ，，，，，，，，， ①有理数集合{    …} ②无理数集合{    …} ③负实数集合{    …} 【答案】①，，，，，，；②，，；③，， 【分析】本题考查实数，解题的关键是掌握：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数，小于零的实数是负实数，据此可得答案．本题也考查了算术平方根和立方根的意义． 解：∵，，， ∴①有理数集合{，，，，，，，…}， 故答案为：，，，，，，； ②无理数集合{，，，…}， 故答案为：，，； ③负实数集合{，，，…}， 故答案为：，，． 【题型 4】无理数估算与大小比较 【例题4】（25-26八年级下·四川南充·期中）实数，在数轴上的位置如图所示： （1）比较大小：________0，________0，________0； （2）化简． 【答案】（1），，；（2） 【分析】（1）由图可知，，，再逐个比较大小即可； （2）结合（1）的结论，根据二次根式和绝对值的性质化简即可． 解：（1）解：由图可知，，， ∴，，； （2）解：由（1）知，，， ∴ ． 【变式1】（25-26七年级下·安徽合肥·期末）在实数、、、0中，最小的数是（     ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】先化简各数，再根据实数大小比较规则：负数小于0小于正数，两个负数比较，绝对值大的数更小，即可得到结果． 解：∵，，， ∴， ∴ 最小的数是． 【变式2】（26-27七年级·浙江·暑假作业）比较大小：___________；___________；___________．（填“”“”或“”） 【答案】 > < < 【分析】根据实数大小的比较方法解答即可． 解：∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴． 【变式3】（25-26七年级下·天津河西·期中）比较下列各组数的大小，用“”，“”或“”连接： （1）__________； （2）__________； （3）__________． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查实数大小比较，立方根的运算，可通过化简，估算无理数大小后比较，得到结果． （1）解：∵，， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴． 【题型 5】开方解方程 【例题5】（25-26七年级下·广东中山·期中）已知一个正数m的两个不相等的平方根是与． （1）求a和正数m的值； （2）求关于x的方程的解． 【答案】（1），；（2）或． 【分析】（1）由一个正数的两个平方根互为相反数求值，即可求解； （2）将代入即可求解． 解：（1）解：由题意得，， 解得， ； （2）解：当时，， ， ， ∴或． 【变式1】（24-25八年级上·全国·期中）已知，则的值为（    ） A．1 B．7 C．9 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，理解算术平方根的定义是解题关键．根据题意可知的算术平方根是3，从而得到，即可求出的值． 解：∵，即表示的算术平方根是3， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】（25-26七年级下·青海西宁·期中）若，则_____． 【答案】2或0 【分析】根据平方根的定义，得出或，即可解答。 解：， 或， 或 【变式3】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）解下列方程 （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）运用完全平方公式先把方程变形得到，然后利用平方根解方程； （2）运用完全平方公式先把方程变形得到，然后利用平方根解方程． （1）解：， ， 开平方得，， 移项得，， ∴； （2）解：， 移项得，， 方程两边同时加4得，， 整理得，， 开平方得，， 移项得，， ∴． 【题型 6】近似值与精确度综合 【例题6】（25-26七年级上·全国·寒假作业）下列由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位？有几个有效数字？ （1）； （2）； （3） 【答案】（1）132.4精确到十分位，有4个有效数字；（2）0.0572精确到万分位，有3个有效数字；（3）精确到十位，有3个有效数字． 【分析】本题考查了近似数和有效数字，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．精确到哪一位，就是对它后边的一位进行四舍五入．据此逐一作答即可． （1）解：132.4精确到十分位，有4个有效数字； （2）解：0.0572精确到万分位，有3个有效数字； （3）解：精确到十位，有3个有效数字． 【变式1】（24-25六年级上·山东烟台·期中）下列说法正确的是（     ） A．0.318精确到百分位 B．3.6万精确到个位 C．精确到十位 D．3000精确到千位 【答案】C 【分析】本题考查近似数精确位数的判断，只需确定最后一位有效数字在原数中的位置，得到对应精确位数后逐个判断选项即可． 解：近似数的精确位数由最后一位有效数字在原数中的位置决定，逐个判断选项： A.的最后一位在千分位，因此精确到千分位，原说法错误， B.万，在千位，因此精确到千位，原说法错误， C.，在十位，因此精确到十位，原说法正确， D.近似数的精确数位具有不确定性，故原说法错误． 【变式2】（24-25七年级上·贵州遵义·开学考试）某大学图书馆藏书二百零四万八千五百册，写作（ ），省略万位后面的尾数约是（ ）万册． 【答案】 解：二百零四万八千五百写作，省略万位后面的尾数约是万． 【变式3】（25-26七年级上·四川广元·期中）用四舍五入法对下列各数取近似数 （1）（精确到千分位）； （2）（精确到0.001）； （3）（精确到十位）； （4）亿（精确到万位）； 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）根据小数点左边第一位为个位，右边第一位为十分位，第二位是百分位，第三位是千分位，第四位是万分位，精确到千分位，只需对万分位上的数字实施四舍五入求解即可； （2）精确到0.001即千分位，解答即可； （3）根据解答即可； （4）根据亿，且，解答即可； 本题考查了精确度的计算，熟练掌握计算方法是解题的关键． （1）解：根据题意，得． （2）解：根据题意，得． （3）解：根据， 故． （4）解：根据亿，且， 故亿． 四.题型精析（综合提升） 【题型 7】实数的非负性 【例题7】（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知与互为相反数， （1）求a、b的值； （2）解关于的方程：． 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）根据绝对值的非负性和二次根式的非负性解题； （2）根据直接开平方法计算即可． （1）解：∵与互为相反数， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， 解得； （2）解：原方程可化为， ， ， ， 解得，． 【变式1】（25-26八年级下·辽宁营口·期末）若实数，满足，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 解：根据二次根式有意义的条件得，则， 代入，得， ． 【变式2】（25-26七年级下·陕西·期末）若等腰三角形的两边长分别为，，且满足，则该等腰三角形的周长为________． 【答案】7 【分析】解题的关键在于要利用分类讨论思想对等腰三角形三边情况进行分类，并利用三角形三边之间的关系进行验证．先根据的性质化简原等式，再利用绝对值的非负性列式求出a、b的值，最后，分a的值是等腰三角形的腰长还是底边这两种情况讨论求解即可． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 当是等腰三角形的腰，是等腰三角形的底时，，符合题意； 当是等腰三角形的腰，是等腰三角形的底时，，不符合题意，此种情况舍去； ∴等腰三角形的周长为：． 【变式3】（25-26七年级下·湖南湘西·期中）已知：与是m的平方根，，c的算术平方根等于它本身； （1）求a，b，c，m的值； （2）求的平方根． 【答案】（1）；；或；或；（2）或 【分析】（1）根据平方根定义列出关于x的方程，求出x的值，再求出m；根据非负数的性质求出a、b的值即可；根据算术平方根定义求出c的值即可； （2）先求出的值，再求平方根即可． 解：（1）解：∵与是m的平方根， ∴或， 解得：或， 当时，； 当时，； ∵， ∴，， 解得：，； ∵c的算术平方根等于它本身， ∴或； （2）解：当时，， ∵的平方根为， ∴此时的平方根为； 当时，， ∵4的平方根为， ∴此时的平方根为； 综上，的平方根为或． 【题型 8】平方根与立方根综合 【例题8】（24-25七年级下·安徽亳州·阶段检测）已知一个正数x的两个不同平方根分别是和． （1）求x的值； （2）若b为的算术平方根，c为的立方根，求的立方根． 【答案】（1）9；（2）1 【分析】（1）根据平方根的性质得，即可求出a的值，从而求出x的值； （2）先根据算术平方根、立方根的定义求出b、c的值，再计算，最后根据立方根的定义计算即可． 解：（1）解：根据题意得， 解得， 则， 所以； （2）解：由（1）知，， 所以，， 因为16的算术平方根是4，27的立方根是3，b为的算术平方根，c为的立方根， 所以，， 所以， 因为1的立方根是1， 所以的立方根为1． 【变式1】（24-25七年级上·浙江温州·期末）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．没有立方根 C．的立方根是 D．的算术平方根是 【答案】D 【分析】根据平方根，立方根和算术平方根的定义即可求出答案． 解：、根据平方根的定义可知的平方根是，该选项不符合题意； B、根据立方根的定义可知的立方根是，该选项不符合题意； C、根据立方根的定义可知的立方根是，该选项不符合题意； D、根据算术平方根的定义可知的算术平方根是，该选项符合题意； 故选：． 【点拨】本题考查平方根，立方根和算术平方根，解题的关键是熟练运用其定义，本题属于基础题型． 【变式2】（26-27八年级·全国·暑假作业）一个正数的平方根分别是和，的立方根是，则的算术平方根为______． 【答案】 【分析】先由题意，结合平方根与立方根定义分别求出值，代入求值后由算术平方根定义求解即可得到答案． 解：∵一个正数的平方根分别是和， ∴分两种情况：①；②； 当时，方程无解； 当时，解得； ∵的立方根是， ，解得； ， 则的算术平方根为． 【变式3】（25-26七年级下·重庆江津·期中）按要求完成下列各题： （1）若一个正数的两个不同的平方根分别为和，求这个正数． （2）已知的立方根是，是的算术平方根，求的平方根． 【答案】（1）1；（2） 【分析】本题考查了平方根和立方根的性质： （1）根据正数的两个不同的平方根互为相反数列方程求解； （2）根据立方根和算术平方根求出，代入代数式求解． 解：（1）解： 这个正数的其中一个平方根为， 这个正数为． （2）解：根据题意得， ， 解得； ， 的算术平方根为， 即， ， 的平方根为． 【题型 9】实数与规律探究 【例题9】（25-26七年级下·湖南湘西·阶段检测）先观察表格，再回答下列问题． … … （1）被开方数的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动有无规律？若有规律，请写出它的移动规律． （2）利用你在（）中发现的规律，已知，求出的值． （3）已知，你能求出的值吗？ 【答案】（1）有规律，规律为：被开方数的小数点向左（或向右）每移动位，它的算术平方根的小数点就向左（或向右）移动位；（2）；（3） 【分析】（）观察表格中被开方数与算术平方根的小数点移动关系，总结出规律：被开方数的小数点每左右移动位，算术平方根的小数点相应左右移动位； （）利用（）的规律，因被开方数到小数点左移位，故将的小数点左移位，得到； （）得，对比与，算术平方根小数点右移位，按规律将被开方数的小数点右移位，算出． 解：（1）解：规律总结：观察表格可得出规律： 当被开方数的小数点向左（或向右）每移动位， 它的算术平方根的小数点，就相应地向左（或向右）移动位； （2）解：计算：从到，被开方数的小数点向左移动了位， 根据规律，的小数点向左移动位即可得到， ∵， ∴． （3）解：∵， ∴， 对比和，的小数点向右移动了位得到， 根据规律，被开方数的小数点需要向右移动位，将的小数点右移位，得到． 【变式1】（25-26七年级下·河南信阳·阶段检测）观察下表，然后回答问题． 从表格中探究与数位的规律，并利用这个规律解决下列问题： 已知，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据表格给出的规律，算术平方根求被开方数． 解：由规律可得可知被开方数扩大10000倍，则算术平方根扩大100倍.， ∵， ∴， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·河南商丘·期中）下面是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵的规律，第行（从左往右数）最后一个数是_____．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】从数阵的每一行可以找到规律是二次根式里面依次加1，观察每行的最后1个数，总结规律即可得答案． 解：第1行的最后一个数为， 第2行的最后一个数为， 第3行的最后一个数为， 第4行的最后一个数为， ……． 第n行的最后一个数为． 【变式3】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）观察下列一组算式的特征及运算结果，探究规律： 第1个算式：； 第2个算式：； 第3个算式：； 第4个算式：； …… 规律发现： （1）根据上述规律，直接写出下列算式的值：__________； （2）用含（的正整数）的代数式表示出第个等式：__________； （3）根据上述规律计算： ． 【答案】（1）100；（2）；（3） 【分析】（1）根据已知算式得出规律，即可得出答案； （2）根据已知算式得出规律，即可得出答案； （3）根据，计算即可得出答案． 解：（1）解：由规律可得， （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 第个等式：； （3）解： ． 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（24-25七年级下·江苏南通·开学考试）的算术平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 解： 的算术平方根是． 2．（25-26七年级下·湖北孝感·期末）下列选项中的整数，与最接近的是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据算术平方根的估算方法求出的取值范围即可得到答案． 解：∵， ∴， ∴四个整数中，与最接近的是4． 3．（2026·内蒙古呼和浩特·二模）如图，一块面积为的正方形丝巾，它的边长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查正方形面积的计算，根据正方形的面积公式边长的平方等于面积求解算术平方根即可． 解：设正方形丝巾的边长为 ， 正方形的面积为 ， ， ∴， ， ，即正方形丝巾的边长是 ． 4．（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）一个正数的两个平方根为，，则这个正数是多少（    ） A．1 B．4 C．9 D．16 【答案】D 【分析】利用正数的平方根的性质求解，一个正数的两个平方根互为相反数，据此先求出参数的值，再计算得到这个正数． 解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴ 整理得 解得， 将代入，得， ∴这个正数为． 5．（25-26七年级下·山东临沂·期中）下列选项正确的是（    ） A．8的立方根是 B． C． D．立方根等于本身的数只有1和0 【答案】C 【分析】根据立方根的定义分别判断即可．立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根． 解：A. 8的立方根是，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意；     D. 立方根等于本身的数只有和0，故该选项不正确，不符合题意． 6．（25-26七年级下·陕西商洛·期中）下列实数中，属于无理数的是（     ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】首先明确无理数的定义，即无限不循环小数，先回忆有理数的范畴：整数和分数统称为有理数．逐一判断各选项所属的数的类型，如果是整数或者可以表示为两个整数的比值的分数，那么属于有理数，否则为无理数．针对带根号的选项，判断被开方数是否是完全平方数，若被开方数开方开不尽，那么对应的数是无理数． 解：A、是整数，属于有理数． B、是分数，属于有理数． C、开方开不尽，属于无理数． D、是整数，属于有理数． 7．（25-26八年级上·四川宜宾·期中）已知的算术平方根是3，y是的整数部分，则的值为（     ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】A 【分析】先根据算术平方根的定义求出，再通过估算无理数的大小得到，最后计算得到结果． 解：∵的算术平方根是， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵y是的整数部分， ∴， ∴． 8．（25-26七年级下·云南文山·期末）如图，在数轴上，对应的点可能是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】估算出，再结合数轴即可得出结果． 解：∵， ∴，即， ∴在数轴上，对应的点可能是点． 9．（25-26九年级下·吉林长春·阶段检测）用四舍五入法将精确到百位得到的近似数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 解：∵的百位数字为，十位数字为， 根据四舍五入规则，精确到百位需向百位进， ∴精确到百位得到的近似数为，即． 10．（25-26七年级下·重庆铜梁·期末）根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据程序框图，输入后计算，若结果不大于6则将结果重新代入计算，直到结果大于6为止，通过计算并比较大小即可得出答案． 解：输入， 第一次计算结果为， ， 需将重新代入计算， 同理，第二次计算结果为， 由此规律可知，每次计算后的被开方数增加2， 当计算结果为时，，仍不满足结果， 需将再次代入计算， 下一次计算结果为， ， 输出结果为． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·北京·期末）若，则__________． 【答案】 【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性，分别求出a和b的值，代入即可求解． 解：， ，， ，， ． 12．（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期末）已知，，那么________； 【答案】 解：因为 所以 13．（25-26七年级下·福建福州·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是__________． 【答案】121 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数的性质，列出一元一次方程求解，再计算得到这个正数． 解： 一个正数的两个平方根互为相反数， ， 合并同类项得 ， 解得 ， 将代入得其中一个平方根为 ， 因此这个正数为 14．（25-26九年级上·河南周口·期中）若，则__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的性质，利用平方和的非负性求解是解题的关键． 由方程 ，利用平方根的性质，得到两个关于 的方程，再根据平方和的非负性排除无效解． 解：由 ， 根据平方根的性质，得： 或 ， 若 ，则 ； 若 ，则 ． 由于 是平方和，具有非负性，即 ， 因此 不成立，舍去； 故 ． 故答案为：． 15．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）比较下列实数的大小（填“”“”或“”）：__________4． 【答案】 【分析】统一形式后进行比较大小． 解：∵，且， ． 16．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）一个正数的平方根分别是和，的立方根是，则的算术平方根为______． 【答案】 【分析】本题考查平方根、立方根的综合运用，先由题意，结合平方根与立方根定义分别求出值，代入求值后由算术平方根定义求解即可得到答案．熟记平方根、立方根定义是解决问题的关键． 解：一个正数的平方根分别是和， 分两种情况：①；②； 当时，方程无解； 当时，解得； 的立方根是， ，解得； ， 则的算术平方根为， 故答案为：． 17．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）自2025年11月1日泰州队斩获苏超冠军以来，溱湖国家湿地公园累计接待游客超万人次．该近似数万精确到______位． 【答案】千 【分析】本题考查了近似数．先将以“万”为单位的近似数还原为原数，再根据近似数精确位数的判断规则，确定末位有效数字所在的数位即可． 解：．观察可知，数字9位于千位，因此该近似数精确到千位． 故答案为：千． 18．（25-26七年级下·河南信阳·期末）如图，正方形的面积为6，顶点在数轴上，且点表示的数为1，数轴上有一点在点的左侧，若，则点表示的数为_____． 【答案】 解：∵正方形的面积为6， ∴， ∴， ∴点表示的数为． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级下·河南开封·期中）解方程、计算： （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1）或；（2）6 【分析】（1）平方根：若，则，据此解方程即可； （2）先计算乘方、立方根与算术平方根，再计算加减法即可． （1）解：， 或， 或． （2）解：原式 ． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·广东清远·阶段检测）已知1的算术平方根是a，b的立方根是3，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），，；（2） 【分析】本题考查平方根，立方根，无理数的估算，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据算术平方根，立方根和无理数的估算方法，求解即可； （2）根据平方根的定义，进行求解即可． 解：（1）解：∵1的算术平方根是a，b的立方根是3， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）由（1）可知：，，， ∴的平方根为． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点所表示的数为，设点所表示的数为． （1）实数的值为_________； （2）在数轴上还有，两点分别表示实数，，且与互为相反数，求的平方根． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了数轴以及实数的运算，熟练掌握相关内容是解题的关键； （1）起始位置的数加上移动的单位长度就是m的值； （2）根据题意列出式子求得的值，即可求得的平方根． （1）解：起始位置为，向右移动2个单位长度 ∴． （2）解：与互为相反数， ． ，， ，， ，， ， 的平方根为． 22．（本小题满分10分）（24-25八年级下·广西南宁·阶段检测）已知，，满足． （1）求，，的值； （2）试问以，，为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长；若不能，请说明理由． 【答案】（1），，；（2）能构成三角形，周长为 解：（1）由题意得，，，， 解得，，； （2）， 以、、为边能构成三角形， 周长． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级下·山西朔州·期末）手工课上，同学们将两个半径分别是，的实心彩泥球揉捏融合做成了一个更大的实心球（不计损耗，球的体积公式是，其中r是球的半径）． （1）求融合后大球的半径（结果保留根号）； （2）判断融合后大球的半径能否达到，并说明理由． 【答案】（1）融合后大球的半径为；（2）融合后大球的半径不能达到． 理由如下： 因为，，， 所以，即融合后大球的半径不能达到． 【分析】（1）融合后大球的体积等于半径为的球与半径为的球的体积之和，根据球的体积公式求出，再开立方求出r； （2）判断融合后大球的半径能否达到，就是比较无理数与6的大小关系，可将和6分别立方，立方大的，立方根也大． （1）解：融合后大球的体积V= 设融合后大球的半径为． 根据题意，得， 所以． 所以 答：融合后大球的半径为． （2）略． 24．（本小题满分12分）（24-25七年级下·贵州黔南·期末）【问题提出】 正方形的边长为1，求对角线的长． 【情境再现】 老师在课堂上引导同学们探究边长为1的正方形的对角线的长时，如图1，把两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个等腰直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形，大正方形的边长即为所求． 【问题探究】 （1）按上述情景，求对角线的长． （2）如图2，将这个边长为1的正方形沿虚线剪开，利用拼图的方法，先画出拼接后的图形，再求对角线的长． 【拓展应用】 （3）如图3，将长为2，宽为1的2个小长方形分别沿对角线剪开，得到4个直角三角形，请用这4个直角三角形在右边的正方形网格中（每个小正方形的边长都是1）拼出顶点在格点上且边长为的正方形． 【答案】（1）；（2）如图所示 ； （3）如图所示： 或 【分析】本题主要考查算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根是解题的关键． （1）由算术平方根的定义，即可解答； （2）根据三角形的面积公式，即可解答； （3）根据正方形的面积为5，边长即为，即可解答． 解：【问题探究】（1）∵大正方形面积为2， ∴大正方形的边长． （2） 有， ∴， ∵， ∴， 解得 或（不符合题意，舍去）． 答：对角线的长为． （3）， ∴． 即正方形的边长为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.5 实数的初步知识全章复习讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 2 （一）学习目标 2 （二）重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】平方根与算术平方根（2.1核心） 2 【知识点二】立方根（2.2核心） 2 【知识点三】实数的概念与性质（2.3核心） 3 【知识点四】近似值与精确度（2.4核心） 3 【知识点五】全章最易混淆对比表 4 三.题型精析（夯实基础） 4 【题型 1】基础开方计算（送分必考） 4 【题型 2】根式公式化简（易错重灾区） 5 【题型 3】实数分类辨析（期末必考选择） 5 【题型 4】无理数估算与大小比较 6 【题型 5】开方解方程 7 【题型 6】近似值与精确度综合 7 四.题型精析（综合提升） 7 【题型 7】实数的非负性 7 【题型 8】平方根与立方根综合 8 【题型 9】实数与规律探究 8 五.同步检测 10 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 10 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 12 一.学习目标与重难点 （一）学习目标 1. 理解平方根、算术平方根的概念，明确二者的联系与区别，规范掌握对应数学符号的书写与含义。 2. 熟练掌握平方根的性质，能够准确求解任意非负数的平方根与算术平方根。 3. 理解平方与开平方互为逆运算，能利用逆运算求解简单的平方方程。 4. 掌握平方根两大核心恒等式，能规范完成根式化简与基础计算。 5. 学会运用平方根知识，解决正方形边长、面积相关的实际应用问题。 （二）重难点 重点：算术平方根与立方根的计算；实数分类与辨析；实数大小比较；近似值取值。 难点：与公式辨析；平方根与立方根性质混淆；无理数估算与综合应用。 二.知识梳理与解读 【知识点一】平方根与算术平方根（2.1核心） 1. 定义 若，则叫做的平方根；其中非负的平方根叫做算术平方根，记作。 2. 核心性质 ① 正数有两个互为相反数的平方根； ② 0的平方根、算术平方根均为0； ③ 负数没有平方根； ④ 算术平方根双重非负性：。 3. 必考恒等式 ① ② 【知识点二】立方根（2.2核心） 1. 定义 若，则叫做的立方根，记作（根指数3不可省略）。 2. 核心性质 ① 任意实数都有且只有一个立方根； ② 正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根为0； ③ （负号可自由进出根号）。 3. 必考恒等式 ① ② （无需绝对值，与平方根最大区别） 【知识点三】实数的概念与性质（2.3核心） 1. 无理数定义：无限不循环小数叫做无理数。 2. 三类必认无理数 ① 开方开不尽的数：； ② 含型：； ③ 构造无限不循环小数：。 3. 实数分类 实数 4. 实数与数轴：实数与数轴上的点一一对应，数轴右大左小。 5. 实数三要素：相反数、绝对值、倒数，规则与有理数完全一致。 【知识点四】近似值与精确度（2.4核心） 1. 准确值与近似值 精准计数为准确值；测量、估算、带“约”的数据为近似值。 2. 四舍五入规则 看精确位后一位，四舍五入，最终一步取舍，禁止中途取舍。 3. 精确度易错点 近似数末尾0不能删（如3.2与3.20精确度不同）；科学记数法精确度看的最后一位。 【知识点五】全章最易混淆对比表 对比项目 平方根/算术平方根 立方根 存在范围 仅非负数有 全体实数都有 个数 正数2个、0一个 任意数唯一 符号 算术根非负，平方根有 与原数同号 核心公式 三.题型精析（夯实基础） 【题型 1】基础开方计算（送分必考） 【例题1】（25-26八年级上·江西九江·阶段检测）（1）求下列各数的平方根： ；    ；    ． （2）求下列各数的立方根： ；    ；    ． 【变式1】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）下列说法，其中正确的说法是（   ） ①负数没有立方根； ②实数和数轴上的点是一一对应的： ③； ④正数的两个平方根互为相反数： ⑤任意实数都存在平方根； ⑥算术平方根等于它本身的数只有0． A．①②③ B．②③⑥ C．②④ D．④⑤ 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）若立方根等于本身的数的个数为，平方根等于本身的数的个数为，算术平方根等于本身的数的个数为，则的值为________． 【变式3】（24-25七年级下·天津静海·阶段检测）计算 （1）求下列各数的算术平方根． ①    ②    ③ （2）求下列各数的平方根． ①；    ②0.0016 （3）求下列各数的立方根． ①64    ②    ③． （4）求下列各式的值． ①    ②    ③ 【题型 2】根式公式化简（易错重灾区） 【例题2】（24-25七年级下·广东湛江·期末）计算：． 【变式1】（25-26七年级下·陕西商洛·期中）下列式子中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·陕西商洛·期中）如图，小雅用计算机设计了一个运算程序图，若输入的的值为时，输出的结果是______． 【变式3】（25-26七年级下·陕西安康·期末）计算：． 【题型 3】实数分类辨析（期末必考选择） 【例题3】（24-25七年级下·甘肃临夏·期中）把，，0，，，填在相应的集合内： （1）有理数集合｛ ……｝ （2）无理数集合｛ ……｝ （3）正实数集合｛ ……｝ （4）负实数集合｛ ……｝ 【变式1】（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）下列判断中，你认为正确的是（　　） A．0 的倒数是0 B．是分数 C．大于1 D．的值是 【变式2】（24-25七年级下·湖北武汉·阶段检测）下列说法正确的有________． ①实数不是有理数就是无理数；②是有理数；③不带根号的数都是有理数；④是有理数；⑤数轴上任一点都对应一个有理数；⑥的相反数是． 【变式3】（23-24七年级下·河南漯河·阶段检测）将下列各数填入相应的集合内． ，，，，，，，，， ①有理数集合{     …} ②无理数集合{     …} ③负实数集合{     …} 【题型 4】无理数估算与大小比较 【例题4】（25-26八年级下·四川南充·期中）实数，在数轴上的位置如图所示： （1）比较大小：________0，________0，________0； （2）化简． 【变式1】（25-26七年级下·安徽合肥·期末）在实数、、、0中，最小的数是（     ） A． B． C． D．0 【变式2】（26-27七年级·浙江·暑假作业）比较大小：___________；___________；___________．（填“”“”或“”） 【变式3】（25-26七年级下·天津河西·期中）比较下列各组数的大小，用“”，“”或“”连接： （1）__________； （2）__________； （3）__________． 【题型 5】开方解方程 【例题5】（25-26七年级下·广东中山·期中）已知一个正数m的两个不相等的平方根是与． （1）求a和正数m的值； （2）求关于x的方程的解． 【变式1】（24-25八年级上·全国·期中）已知，则的值为（    ） A．1 B．7 C．9 D．4 【变式2】（25-26七年级下·青海西宁·期中）若，则_____． 【变式3】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）解下列方程 （1）； （2）． 【题型 6】近似值与精确度综合 【例题6】（25-26七年级上·全国·寒假作业）下列由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位？有几个有效数字？ （1）； （2）； （3） 【变式1】（24-25六年级上·山东烟台·期中）下列说法正确的是（     ） A．0.318精确到百分位 B．3.6万精确到个位 C．精确到十位 D．3000精确到千位 【变式2】（24-25七年级上·贵州遵义·开学考试）某大学图书馆藏书二百零四万八千五百册，写作（ ），省略万位后面的尾数约是（ ）万册． 【变式3】（25-26七年级上·四川广元·期中）用四舍五入法对下列各数取近似数 （1）（精确到千分位）； （2）（精确到0.001）； （3）（精确到十位）； （4）亿（精确到万位）； 四.题型精析（综合提升） 【题型 7】实数的非负性 【例题7】（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知与互为相反数， （1）求a、b的值； （2）解关于的方程：． 【变式1】（25-26八年级下·辽宁营口·期末）若实数，满足，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·陕西·期末）若等腰三角形的两边长分别为，，且满足，则该等腰三角形的周长为________． 【变式3】（25-26七年级下·湖南湘西·期中）已知：与是m的平方根，，c的算术平方根等于它本身； （1）求a，b，c，m的值； （2）求的平方根． 【题型 8】平方根与立方根综合 【例题8】（24-25七年级下·安徽亳州·阶段检测）已知一个正数x的两个不同平方根分别是和． （1）求x的值； （2）若b为的算术平方根，c为的立方根，求的立方根． 【变式1】（24-25七年级上·浙江温州·期末）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．没有立方根 C．的立方根是 D．的算术平方根是 【变式2】（26-27八年级·全国·暑假作业）一个正数的平方根分别是和，的立方根是，则的算术平方根为______． 【变式3】（25-26七年级下·重庆江津·期中）按要求完成下列各题： （1）若一个正数的两个不同的平方根分别为和，求这个正数． （2）已知的立方根是，是的算术平方根，求的平方根． 【题型 9】实数与规律探究 【例题9】（25-26七年级下·湖南湘西·阶段检测）先观察表格，再回答下列问题． … … （1）被开方数的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动有无规律？若有规律，请写出它的移动规律． （2）利用你在（）中发现的规律，已知，求出的值． （3）已知，你能求出的值吗？ 【答案】（1）有规律，规律为：被开方数的小数点向左（或向右）每移动位，它的算术 【变式1】（25-26七年级下·河南信阳·阶段检测）观察下表，然后回答问题． 从表格中探究与数位的规律，并利用这个规律解决下列问题： 已知，若，则（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·河南商丘·期中）下面是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵的规律，第行（从左往右数）最后一个数是_____．（用含的代数式表示） 【变式3】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）观察下列一组算式的特征及运算结果，探究规律： 第1个算式：； 第2个算式：； 第3个算式：； 第4个算式：； …… 规律发现： （1）根据上述规律，直接写出下列算式的值：__________； （2）用含（的正整数）的代数式表示出第个等式：__________； （3）根据上述规律计算： ． 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（24-25七年级下·江苏南通·开学考试）的算术平方根是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·湖北孝感·期末）下列选项中的整数，与最接近的是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2026·内蒙古呼和浩特·二模）如图，一块面积为的正方形丝巾，它的边长是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）一个正数的两个平方根为，，则这个正数是多少（    ） A．1 B．4 C．9 D．16 5．（25-26七年级下·山东临沂·期中）下列选项正确的是（    ） A．8的立方根是 B． C． D．立方根等于本身的数只有1和0 6．（25-26七年级下·陕西商洛·期中）下列实数中，属于无理数的是（     ） A．0 B． C． D． 7．（25-26八年级上·四川宜宾·期中）已知的算术平方根是3，y是的整数部分，则的值为（     ） A．11 B．9 C．7 D．5 8．（25-26七年级下·云南文山·期末）如图，在数轴上，对应的点可能是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 9．（25-26九年级下·吉林长春·阶段检测）用四舍五入法将精确到百位得到的近似数是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·重庆铜梁·期末）根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．6 B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·北京·期末）若，则__________． 12．（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期末）已知，，那么________； 13．（25-26七年级下·福建福州·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是__________． 14．（25-26九年级上·河南周口·期中）若，则__________． 15．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）比较下列实数的大小（填“”“”或“”）：__________4． 16．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）一个正数的平方根分别是和，的立方根是，则的算术平方根为______． 17．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）自2025年11月1日泰州队斩获苏超冠军以来，溱湖国家湿地公园累计接待游客超万人次．该近似数万精确到______位． 18．（25-26七年级下·河南信阳·期末）如图，正方形的面积为6，顶点在数轴上，且点表示的数为1，数轴上有一点在点的左侧，若，则点表示的数为_____． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级下·河南开封·期中）解方程、计算： （1）解方程：； （2）计算：． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·广东清远·阶段检测）已知1的算术平方根是a，b的立方根是3，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点所表示的数为，设点所表示的数为． （1）实数的值为_________； （2）在数轴上还有，两点分别表示实数，，且与互为相反数，求的平方根． 22．（本小题满分10分）（24-25八年级下·广西南宁·阶段检测）已知，，满足． （1）求，，的值； （2）试问以，，为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长；若不能，请说明理由． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级下·山西朔州·期末）手工课上，同学们将两个半径分别是，的实心彩泥球揉捏融合做成了一个更大的实心球（不计损耗，球的体积公式是，其中r是球的半径）． （1）求融合后大球的半径（结果保留根号）； （2）判断融合后大球的半径能否达到，并说明理由． 24．（本小题满分12分）（24-25七年级下·贵州黔南·期末）【问题提出】 正方形的边长为1，求对角线的长． 【情境再现】 老师在课堂上引导同学们探究边长为1的正方形的对角线的长时，如图1，把两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个等腰直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形，大正方形的边长即为所求． 【问题探究】 （1）按上述情景，求对角线的长． （2）如图2，将这个边长为1的正方形沿虚线剪开，利用拼图的方法，先画出拼接后的图形，再求对角线的长． 【拓展应用】 （3）如图3，将长为2，宽为1的2个小长方形分别沿对角线剪开，得到4个直角三角形，请用这4个直角三角形在右边的正方形网格中（每个小正方形的边长都是1）拼出顶点在格点上且边长为的正方形． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $