专题 1.6 三角形全章复习讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年苏科版八年级数学上册基础知识专项突破讲与练

该初中数学三角形全章复习讲义通过知识框架图系统梳理知识体系，涵盖三角形基础概念与边角关系、三条重要线段、全等三角形（重难点）及轴对称与特殊三角形，以“概念-性质-判定”逻辑链呈现脉络，突出全等三角形判定定理与特殊三角形性质的内在联系。 讲义亮点在于分层题型精析设计，从基础的三边关系取值、内角计算到综合的全等证明大题、动点问题，结合易错提醒和判定技巧培养推理意识与应用意识，同步检测分选择、填空、解答题，助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供支持。

专题 1.6 三角形全章复习讲义（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】三角形基础概念与边角关系 1 【知识点二】三角形三条重要线段 2 【知识点三】全等三角形（本章重难点） 2 【知识点四】轴对称与特殊三角形 3 二.题型精析（夯实基础） 3 【题型 1】三角形三边关系取值与判定 3 【题型 2】三角形内角、外角角度计算 4 【题型 3】全等三角形判定辨析与补充条件 5 【题型 4】全等三角形证明求值（基础） 6 【题型 5】线段垂直平分线与角平分线性质求值证明 7 【题型 6】利用直角三角形性质求值证明 8 三.题型精析（夯实基础） 9 【题型 7】全等三角形证明大题（必考） 9 【题型 8】等腰三角形性质与判定综合 11 【题型 9】垂直平分线、角平分线综合应用 12 【题型 10】等腰三角形、全等三角形动点问题 14 三.同步检测 15 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 15 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 17 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19 一.知识梳理 【知识点一】三角形基础概念与边角关系 1. 三角形的定义与分类 由三条不在同一直线上的线段首尾依次相接组成的封闭图形叫做三角形。 按边分类：不等边三角形、等腰三角形（含等边三角形） 按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 2. 三角形三边关系（核心考点） ① 三角形任意两边之和大于第三边；② 三角形任意两边之差小于第三边。 判定技巧：只需判断最短两边之和是否大于最长边即可。 3. 三角形内角与外角性质 ① 内角和定理：三角形三个内角的和等于； ② 直角三角形两锐角互余； ③ 外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和； ④ 推论：三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角。 【知识点二】三角形三条重要线段 1. 三角形的中线 定义：连接三角形顶点和对边中点的线段。 性质：① 一条中线将三角形分成面积相等的两个小三角形；② 三条中线交于一点，该点为三角形的重心。 2. 三角形的角平分线 定义：平分三角形内角且与对边相交的线段。 性质：三条角平分线交于一点；角平分线上的任意一点到角两边的距离相等。 3. 三角形的高 定义：从三角形顶点向对边（或对边延长线）作垂线，顶点与垂足之间的线段。 位置规律：① 锐角三角形三条高均在三角形内部；② 直角三角形两条高与直角边重合；③ 钝角三角形两条高在三角形外部。 【知识点三】全等三角形（本章重难点） 1. 全等图形与全等三角形定义 能够完全重合的两个图形是全等图形；能够完全重合的两个三角形是全等三角形，全等图形形状、大小完全相同，与位置无关。 2. 全等三角形性质 对应边相等、对应角相等；延伸性质：周长相等、面积相等，对应中线、高、角平分线均相等。 3. 全等三角形判定定理（必考） ① SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等； ② SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（禁止SSA判定）； ③ ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等； ④ AAS（角角边）：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等； ⑤HL（斜边直角边）：仅适用于直角三角形，斜边和一条直角边对应相等两直角三角形全等。 【知识点四】轴对称与特殊三角形 1. 线段与角的轴对称性质 ① 线段垂直平分线：垂直平分线上的点到线段两端点距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上； ② 角平分线：角是轴对称图形，角平分线上的点到角两边距离相等。 2. 等腰三角形 性质：① 两腰相等，两底角相等（等边对等角）；② 三线合一（顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）；③ 是轴对称图形，有1条对称轴。 判定：① 两边相等的三角形是等腰三角形；② 两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。 3. 等边三角形 性质：三边相等，三个内角均为，有3条对称轴。 判定：① 三边相等的三角形；② 三角相等的三角形；③ 有一个角是的等腰三角形。 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】三角形三边关系取值与判定 【例题1】（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，是的边上的中线，已知，． （1）边的取值范围是__________； （2）若的周长为30，求的周长． 【变式1】（25-26七年级下·四川内江·期末）下列长度的各组线段，能组成一个三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2】（25-26七年级下·河南洛阳·期末）已知为奇数，且，满足，若，，为三角形三边长，则第三条边长的值是________． 【变式3】（24-25七年级下·上海青浦·期中）三条线段的长度分别为、、，其中，且这三条线段首尾顺次连接能构成三角形． （1）、、只需要满足条件_________即可．（只填一个序号） ①；    ②；   ③． （2）若，，为整数，求构成的三角形的周长． 易错提醒：求解周长取值、整数边长问题，必须先确定边长范围。 【题型 2】三角形内角、外角角度计算 【例题2】（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）如图，在中，为边上的高，为上一点，连结． （1）当时，若，的面积为，求的长； （2）当时，若，，求的度数． 【变式1】（25-26七年级下·河北沧州·期末）如图，把纸片沿着折叠，使点落在四边形内部点处，已知，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，平分的外角交的延长线于点D，若，则的度数为______________． 【变式3】（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，是的边上一点，连接，，． （1）求的大小； （2）若，试说明：平分． 【题型 3】全等三角形判定辨析与补充条件 【例题3】（25-26八年级下·全国·暑假作业）如图，，的平分线交于点，在线段上取一点，连接．要使，还需要添加一个什么条件？请你写出这个条件，并证明．（只要给出一种情况即可，图中不再增加字母和线段） 【变式1】（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，某桥梁的钢架结构中，和的顶点，，，在同一直线上．已知，且，同时点是的中点，点是的中点．则判定的依据是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，点、、、在同一条直线上，点、在线段的上方，连接、、、，且，，若要用“”直接证明≌，则可以添加条件是________（只写一个）． 【变式3】（24-25七年级下·江苏·阶段检测）如图，B，F，C，E在同一直线上，有下列四个条件：①，②，③，④．请你在其中选三个作为已知条件，余下的一个作为结论，写出一个由三个条件能推出结论成立的式子（用序号的形式），并说明理由． 【题型 4】全等三角形证明求值（基础） 【例题4】（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）如图，点B、E、C、F在直线l上（C、F之间有一水坑），点A、D在l异侧，测得，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【变式1】（25-26八年级上·山东临沂·期末）按如下步骤（1）画；（2）以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，：（3）分别以点和点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接，，．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，，，则________． 【变式3】（23-24八年级上·浙江宁波·开学考试）如图所示，已知，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【题型 5】线段垂直平分线与角平分线性质求值证明 【例题5】（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，于点，于点F．若，． （1）求证：平分． （2）已知，，求的长． 【变式1】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，是的平分线，若，则点到的距离是（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 【变式2】（25-26七年级下·河南开封·期末）如图，是 的平分线，过上一点D作，分别交于E，F，若， ，则 的面积为______． 【变式3】（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，平分． （1）作出的边上的高（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，求的度数； 【题型 6】利用直角三角形性质求值证明 【例题6】（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，在池塘两岸有四个点、、、，且它们在同一直线上（、之间不能直接测量），点、在直线异侧，测得，，． （1）求证：； （2）若连接、，则与的数量关系是； （3）现测得，，求池塘两岸的宽度． 【变式1】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）如图，在中，点在边上，，点，点分别是，的中点，，连接，则的长为_____． 【变式3】（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，于点，点在线段上，连接，，点是的中点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 三.题型精析（夯实基础） 【题型 7】全等三角形证明大题（必考） 【例题7】（2026·河北张家口·一模）【操作】在中，，D是边上一点（不含点B、C），将沿折叠，点C落在点E处，点F是点B关于的对称点，连接、． （1）【作图】如图1，当点E在上时，请用尺规作图作出点F（保留作图痕迹，不写作法），并补全图形． 【发现】结论：经过“操作”后，可得点E、D、F在一条直线上，且． （2）【验证】请你利用图2，验证“发现”的结论． 【变式1】（25-26八年级上·宁夏吴忠·期末）如图，，，，垂足分别为E，F，与交于点D，有下列结论：①；②；③点D在的平分线上；④．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【变式2】（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且．当，，时，的周长等于__________． 【变式3】（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测），点，，，在同一条直线上，，过点，分别作，，，连接，与交于点． （1）求证：是的中点． （2）若将沿移动到如图所示的位置，其余条件不变，则（1）中结论是否仍然成立请说明理由． 【题型 8】等腰三角形性质与判定综合 【例题8】（25-26七年级下·山西运城·期末）综合与探究：如图1，是等腰三角形，，，过点B作于点C，在上截取，连接、并延长交于点P； （1）求证：； （2）试说明平分； （3）如图2，将绕着点C旋转一定的角度，那么与的位置关系是否发生变化，说明理由． 【变式1】（25-26七年级下·山东济南·期末）已知：如图，在，中，，，，点，，三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论： ①；②；③；④；⑤平分． 其中结论正确的个数是（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式2】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，作直线交于点，若，，则的周长为___________． 【变式3】（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，是的一条角平分线，点E在边上，． （1）与平行吗？请说明理由； （2）过点E作交于点F，垂足为O，若，，求的长． 【题型 9】垂直平分线、角平分线综合应用 【例题9】（25-26七年级下·江西吉安·期末）已知是的平分线，点是射线上一点，点，分别在射线，上，连接，． 【发现问题】 （1）如图①，当，时，则与的数量关系相等吗？说明理由． 【探究问题】 （2）如图②，点，在射线，上滑动，且，当时，与在【发现问题】中的数量关系还成立吗？说明理由． 【变式1】（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在中，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线，交于点．若的周长为，，则的长为（     ） A． B． C．7 D．6 【变式2】（25-26七年级下·重庆·期末）如图，在中，，为上的点，连接，点关于的对称点恰好是中点，连接，，若，则点到的距离为________． 【变式3】（25-26八年级下·山西运城·期末）如图，已知，垂直平分，交于点，交于点，垂直平分，交于点，交于点，连接． （1）连接，，若，求的周长； （2）若，求证：平分． 【题型 10】等腰三角形、全等三角形动点问题 【例题10】（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图1，直线，平分，过点B作交于点C；动点E、D同时从A点出发，其中动点E以的速度沿射线方向运动，动点D以的速度沿射线方向运动；已知，设动点D，E的运动时间为t． （1）求的度数； （2）当点D在射线上运动时满足，求点D，E的运动时间t的值； （3）当动点D在射线上运动，点E在射线上运动过程中，是否存在某个时间t，使得与全等？若存在，请求出此时的长；若不存在，请说明理由． 【变式1】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，的两条高与交于点O，，点F在射线上，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式2】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·单元测试）如图，点E在等边的边上，，射线于点B，P是射线上一动点，F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为_______． 【变式3】（25-26七年级下·山东济南·期中）如图在中已知，，是的高，，，直线，动点从点开始沿射线方向以的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以的速度向远离点的方向运动，连接、，设运动时间为s． （1）当点在线段上时， （用含的代数式表示）； （2）当的面积为时，求的值； （3）当时，求的值． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期末）以下列线段为边能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 2．（2024安徽马鞍山·模拟预测）如图，点A、D、B、E在同一直线上，，，，则等于（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）调皮的小明不小心把一块三角形玻璃打碎成如图所示的三部分，认识到错误的他想去配制一块与原来相同的三角形玻璃，那么应带下列选项中哪片碎玻璃（    ） A．① B．①② C．③ D．①②或者③都可以 4．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，．若的周长为，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·广东清远·期末）如图，在中，，平分，若，则点D到的距离为（     ） A．4.5 B．4 C．3.5 D．3 6．（25-26七年级下·山西运城·期末）工人师傅用一把等腰三角板来检测搭建的横梁是否水平，如图所示，在底边中点处做一个记号D，再从顶点悬下铅锤，把这把等腰三角板的底边放在屋梁上，看铅垂线是不是通过记号D，就能检查屋梁是不是水平，这其中蕴含的数学道理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．等腰三角形的两个底角相等 D．等腰三角形的“三线合一” 7．（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，在中，，为边延长线上的一点，，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·河南驻马店·期末）若，是等腰三角形，且它的周长是，，则必有一条边等于（     ） A． B．或 C． D．或 9．（25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）如图，在中，，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，交于点D，交于点E；分别以点D、E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点F，作射线，交于点G；以点A为圆心，以的长为半径作弧，交于点H，连接，则的周长为（     ） A．8 B．9 C．11 D．14 10．（23-24八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，点P是平分线上的一点，，，，则的长不可能是（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·山西临汾·期末）在中，，是的高，，则__________． 12．（24-25八年级上·河北沧州·阶段检测）如图是由16个大小相同的小正方形组成的网格图形，图形的各个顶点均为格点，则的度数为________；度数为_______． 13．（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图，，要使，只需添加的一个条件是_______．（填一个即可） 14．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，平分，若，，则的面积是___________． 15．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，在中，，，以点C为圆心，适当长度为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M、N为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D，则______． 16．（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角是________． 17．（25-26七年级下·江西萍乡·期末）如图，把一张长方形纸片沿折叠，若，则的度数为_____． 18．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，为的中线，过点作，交的延长线于点，过点作交于点，若，则的长为________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在和中，点A、B、C、D在一条直线上，已知，，，若用“”证明，需添加什么条件？写出来并证明． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，． （1）在边上求作一点D，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接，求证：平分． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·山东青岛·阶段检测）如图，已知中，，求证：． 证明：由，可在上截取，连接． …… 请你完成证明过程． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点F，E，，是的一条角平分线． （1）与垂直吗？请说明理由． （2）若的周长为26，，求的长． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·贵州遵义·期中）如图，，相交于点，连接，，平分，交延长线于． （1）给出下列三个事项：①，②，③， 请你从其中选取两个事项作为条件，另一个事项作为结论组成命题，并证明你的结论； 你选的条件：___________，结论：___________．（填序号） 证明： （2）在（1）中的条件下，若，求的度数． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）综合与实践课上，李老师以“发现—探究—拓展”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维．以下是李老师的课堂主题展示： （1）如图，在等腰中，，点D为线段上的一动点（点D不与A，B重合），以为边作等腰，，，连接． 解答下列问题： 【观察发现】 ①如图1，当时，线段，的数量关系为______， ______°； 【类比探究】 ②如图2，当时，试探究线段与的位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图3，四边形中，，，连接，若，则四边形的面积为多少？（直接写出结果）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.6 三角形全章复习讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】三角形基础概念与边角关系 1 【知识点二】三角形三条重要线段 2 【知识点三】全等三角形（本章重难点） 2 【知识点四】轴对称与特殊三角形 3 二.题型精析（夯实基础） 3 【题型 1】三角形三边关系取值与判定 3 【题型 2】三角形内角、外角角度计算 6 【题型 3】全等三角形判定辨析与补充条件 8 【题型 4】全等三角形证明求值（基础） 13 【题型 5】线段垂直平分线与角平分线性质求值证明 15 【题型 6】利用直角三角形性质求值证明 19 三.题型精析（夯实基础） 22 【题型 7】全等三角形证明大题（必考） 22 【题型 8】等腰三角形性质与判定综合 28 【题型 9】垂直平分线、角平分线综合应用 32 【题型 10】等腰三角形、全等三角形动点问题 35 三.同步检测 42 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 42 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 47 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 53 一.知识梳理 【知识点一】三角形基础概念与边角关系 1. 三角形的定义与分类 由三条不在同一直线上的线段首尾依次相接组成的封闭图形叫做三角形。 按边分类：不等边三角形、等腰三角形（含等边三角形） 按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 2. 三角形三边关系（核心考点） ① 三角形任意两边之和大于第三边；② 三角形任意两边之差小于第三边。 判定技巧：只需判断最短两边之和是否大于最长边即可。 3. 三角形内角与外角性质 ① 内角和定理：三角形三个内角的和等于； ② 直角三角形两锐角互余； ③ 外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和； ④ 推论：三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角。 【知识点二】三角形三条重要线段 1. 三角形的中线 定义：连接三角形顶点和对边中点的线段。 性质：① 一条中线将三角形分成面积相等的两个小三角形；② 三条中线交于一点，该点为三角形的重心。 2. 三角形的角平分线 定义：平分三角形内角且与对边相交的线段。 性质：三条角平分线交于一点；角平分线上的任意一点到角两边的距离相等。 3. 三角形的高 定义：从三角形顶点向对边（或对边延长线）作垂线，顶点与垂足之间的线段。 位置规律：① 锐角三角形三条高均在三角形内部；② 直角三角形两条高与直角边重合；③ 钝角三角形两条高在三角形外部。 【知识点三】全等三角形（本章重难点） 1. 全等图形与全等三角形定义 能够完全重合的两个图形是全等图形；能够完全重合的两个三角形是全等三角形，全等图形形状、大小完全相同，与位置无关。 2. 全等三角形性质 对应边相等、对应角相等；延伸性质：周长相等、面积相等，对应中线、高、角平分线均相等。 3. 全等三角形判定定理（必考） ① SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等； ② SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（禁止SSA判定）； ③ ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等； ④ AAS（角角边）：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等； ⑤HL（斜边直角边）：仅适用于直角三角形，斜边和一条直角边对应相等两直角三角形全等。 【知识点四】轴对称与特殊三角形 1. 线段与角的轴对称性质 ① 线段垂直平分线：垂直平分线上的点到线段两端点距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上； ② 角平分线：角是轴对称图形，角平分线上的点到角两边距离相等。 2. 等腰三角形 性质：① 两腰相等，两底角相等（等边对等角）；② 三线合一（顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）；③ 是轴对称图形，有1条对称轴。 判定：① 两边相等的三角形是等腰三角形；② 两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。 3. 等边三角形 性质：三边相等，三个内角均为，有3条对称轴。 判定：① 三边相等的三角形；② 三角相等的三角形；③ 有一个角是的等腰三角形。 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】三角形三边关系取值与判定 【例题1】（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，是的边上的中线，已知，． （1）边的取值范围是__________； （2）若的周长为30，求的周长． 【答案】（1）；（2）27 【分析】（1）直接根据三角形的三边关系进行求解即可； （2）根据的周长求出的长，进而得到的长，再根据三角形的周长公式进行求解即可. 解：（1）解：∵中，，， ∴，即； （2）解：∵的周长为30，， ∴， ∴， ∵是的边上的中线， ∴， ∴， ∴的周长. 【变式1】（25-26七年级下·四川内江·期末）下列长度的各组线段，能组成一个三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 解：A、，不满足三角形两边之和大于第三边，不能组成三角形； B、，不满足三角形两边之和大于第三边，不能组成三角形； C、满足三角形任意两边之和大于第三边，能组成三角形； D、，不满足三角形两边之和大于第三边，不能组成三角形． 【变式2】（25-26七年级下·河南洛阳·期末）已知为奇数，且，满足，若，，为三角形三边长，则第三条边长的值是________． 【答案】 【分析】先利用非负数的性质求出，的值， 再根据三角形三边关系得到的取值范围， 最后结合为奇数确定的值. 解：， ，， 解得，， ，，是三角形的三边长， 根据三角形三边关系可得 ， 代入的值得， 即， 又为奇数， . 【变式3】（24-25七年级下·上海青浦·期中）三条线段的长度分别为、、，其中，且这三条线段首尾顺次连接能构成三角形． （1）、、只需要满足条件_________即可．（只填一个序号） ①；    ②；   ③． （2）若，，为整数，求构成的三角形的周长． 【答案】（1）②；（2）构成三角形的周长为13或14 （1）解：∵， ∴①和③不管构不构成三角形一定成立， 只有满足②时，这三条线段首尾顺次连接能构成三角形． （2）解：∵，，， ∴， 由（1）得，即，解得， ∴， ∵为整数， ∴或， 当时，三角形的周长为； 当时，三角形的周长为． 易错提醒：求解周长取值、整数边长问题，必须先确定边长范围。 【题型 2】三角形内角、外角角度计算 【例题2】（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）如图，在中，为边上的高，为上一点，连结． （1）当时，若，的面积为，求的长； （2）当时，若，，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据三角形的面积公式，结合即可得到答案． （2）根据三角形内角和为以及，得到，继续根据三角形内角和为得到，继而得到． （1）解：∵为边上的高，的面积为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·河北沧州·期末）如图，把纸片沿着折叠，使点落在四边形内部点处，已知，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据折叠的性质得出，，利用平角的定义推导出，从而求出的度数，最后根据三角形内角和定理及求解即可. 解：∵把纸片沿着折叠，点A落在四边形内部点处， ∴，， ∵，， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴， 在中，，且， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，平分的外角交的延长线于点D，若，则的度数为______________． 【答案】95 【分析】由角平分线的定义可得，由三角形外角的定义及性质可得，最后再由三角形内角和定理计算即可得出结果． 解：∵平分的外角交的延长线于点D，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式3】（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，是的边上一点，连接，，． （1）求的大小； （2）若，试说明：平分． 【答案】（1）；（2）证明：设，， ， 即， ， ， ， 平分． 【分析】（1）根据三角形的外角性质得出，结合题意即可求解； （2）根据题意设，，结合三角形内角和是，列出方程，解方程求出的值，求出，结合角平分线的定义即可证明． 解：（1）解：是的外角， ， ， ． （2）略 【题型 3】全等三角形判定辨析与补充条件 【例题3】（25-26八年级下·全国·暑假作业）如图，，的平分线交于点，在线段上取一点，连接．要使，还需要添加一个什么条件？请你写出这个条件，并证明．（只要给出一种情况即可，图中不再增加字母和线段） 【答案】解：①添加， 证明过程如下：平分， ． ， ． ． ． ， ． 在和中， ， ． ②添加点为中点， 证明过程如下：平分， ． ， ． ． ． 点为中点， ， 在和中， ， ． ③添加点为中点， 证明过程如下：平分， ． ， ． ． ． 点为中点， ， 在和中， ， ． ④添加为的角平分线， 证明过程如下：平分， ． ， ． ． ． 为的角平分线， ， 在和中， ， ． 【分析】①添加，利用角角边证明三角形全等；②添加点为中点，利用边角边证明三角形全等；③添加点为中点，利用边边边证明三角形全等；④添加为的角平分线，利用角边角证明三角形全等． 解：略 【变式1】（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，某桥梁的钢架结构中，和的顶点，，，在同一直线上．已知，且，同时点是的中点，点是的中点．则判定的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 解：∵， ∴， ∵点是的中点，点是的中点， ∴， ∵， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，点、、、在同一条直线上，点、在线段的上方，连接、、、，且，，若要用“”直接证明≌，则可以添加条件是________（只写一个）． 【答案】或（写一个即可） 【分析】先证明，结合，再进一步求解即可． 解：∵， ∴，即， 添加：，而， 在和中， ， ∴， 添加：，而， 在和中， ， ∴． 【变式3】（24-25七年级下·江苏·阶段检测）如图，B，F，C，E在同一直线上，有下列四个条件：①，②，③，④．请你在其中选三个作为已知条件，余下的一个作为结论，写出一个由三个条件能推出结论成立的式子（用序号的形式），并说明理由． 【答案】，理由见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定定理即可求解． 解：有三种组合是成立的：或或． 对于，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 对于，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 对于，理由如下： ∵，∴， ∵，， ∴， ∴ 【题型 4】全等三角形证明求值（基础） 【例题4】（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）如图，点B、E、C、F在直线l上（C、F之间有一水坑），点A、D在l异侧，测得，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2） 【分析】（1）根据平行线的性质得，再根据即可证得结论； （2）结合（1）利用线段的和差即可解决问题． 解：（1）略 （2）解：∵， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·山东临沂·期末）按如下步骤（1）画；（2）以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，：（3）分别以点和点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接，，．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：由作图可知， ，，， ， ． 【变式2】（25-26七年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，，，则________． 【答案】/99度 【分析】先证明，再结合邻补角互补列式计算，即可作答． 解：∵，，， ∴， 则， 即． 【变式3】（23-24八年级上·浙江宁波·开学考试）如图所示，已知，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）证明出，即可得到； （2）由全等三角形对应角相等求解． 解：（1）解：， ，即， 又∵，， ； （2）解：，， ． 【题型 5】线段垂直平分线与角平分线性质求值证明 【例题5】（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，于点，于点F．若，． （1）求证：平分． （2）已知，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）． 【分析】（）由垂直定义可得，然后证明，所以，再由角平分线的判定方法即可求证； （）证明，所以，然后通过即可求解． 解：（1）证明：∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分； （2）解：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，是的平分线，若，则点到的距离是（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】作，根据角平分线的性质得到，即可求解． 解：作，如图所示： ∵，是的平分线， ∴ ∵， ∴ ∴点D到的距离是． 【变式2】（25-26七年级下·河南开封·期末）如图，是 的平分线，过上一点D作，分别交于E，F，若， ，则 的面积为______． 【答案】 【分析】过作 于点 ，由角平分线性质可得，然后代入即可求出 的面积，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：如图，过作 于点 ， ∵ 是 的平分线，， ∴， ∴ 的面积为 【变式3】（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，平分． （1）作出的边上的高（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，求的度数； 【答案】（1）解：如图，即为所求； （2） 【分析】（1）利用尺规作垂线的方法作图即可； （2）根据角平分线的定义，三角形的内角和定理进行求解即可. 解：（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴. 【题型 6】利用直角三角形性质求值证明 【例题6】（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，在池塘两岸有四个点、、、，且它们在同一直线上（、之间不能直接测量），点、在直线异侧，测得，，． （1）求证：； （2）若连接、，则与的数量关系是； （3）现测得，，求池塘两岸的宽度． 【答案】（1）证明：， ， 在和中，， ； （2）； （3）． 【分析】（1）先由平行线性质得到，再结合题中所给条件通过“”证明全等； （2）根据证明，即可得到与的数量关系； （3）根据得到，根据30度角的性质作答即可． 解：（1）略； （2）解：如图， ∵， ∴，，， ∴，， ∴ ∴； （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查垂直平分线的性质，角的直角三角形的对边等于斜边的一半，解题关键是理解这些图形的性质． 解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， 即． 【变式2】（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）如图，在中，点在边上，，点，点分别是，的中点，，连接，则的长为_____． 【答案】 【分析】首先利用三线合一性质得到，然后根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半求解即可． 解：∵，点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，于点，点在线段上，连接，，点是的中点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， 在与中，，， ∴， ∴． （2）2 【分析】（1）证明是等腰直角三角形，求得，再利用证明即可推出； （2）先求得，证明是等边三角形，可得，即可求解． 解：（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 三.题型精析（夯实基础） 【题型 7】全等三角形证明大题（必考） 【例题7】（2026·河北张家口·一模）【操作】在中，，D是边上一点（不含点B、C），将沿折叠，点C落在点E处，点F是点B关于的对称点，连接、． （1）【作图】如图1，当点E在上时，请用尺规作图作出点F（保留作图痕迹，不写作法），并补全图形． 【发现】结论：经过“操作”后，可得点E、D、F在一条直线上，且． （2）【验证】请你利用图2，验证“发现”的结论． 【答案】（1）解：如图，即为所求； （2）解：由折叠的性质可知，，，，， ， 在和中， ， ， ， ， 点 、D、F在一条直线上， 【分析】（1）由题意可知，当点E在上时，，延长，在射线上取点，使得，点F即为点B关于的对称点，连接、； （2）根据折叠的性质证明，，从而推出，即可得出点E、D、F在一条直线上． 解：（1）略 （2）略 【变式1】（25-26八年级上·宁夏吴忠·期末）如图，，，，垂足分别为E，F，与交于点D，有下列结论：①；②；③点D在的平分线上；④．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据垂直的定义得到，根据三角形的内角和得到，由全等三角形的判定定理得到，故①选项正确，由，得，于是得到，选项④正确；同时可证明，选项②正确，根据全等三角形的性质得到， 则，选项④正确连接，证得，根据全等三角形的性质得到，即点D在的平分线上，选项③正确， 解：∵， ， 在中，，在中， ， 在和中， ， ∴，故①选项正确； ， ， 得， ∴，选项④正确； 在和中， ， ∴，选项②正确； 连接， 在和中， ， ∴， ，即点D在的平分线上，选项③正确； 故正确的为①②③④． 【变式2】（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且．当，，时，的周长等于__________． 【答案】17 【分析】在上截取，先证，再证，可得，再由的周长即可解答． 解：在上取点G，使， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． ∴ ∴的周长等于， ∵，，， ∴的周长等于． 【变式3】（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测），点，，，在同一条直线上，，过点，分别作，，，连接，与交于点． （1）求证：是的中点． （2）若将沿移动到如图所示的位置，其余条件不变，则（1）中结论是否仍然成立请说明理由． 【答案】（1）证明：， 即 在和中， 在和中， ，即是的中点； （2）解：成立，理由如下： ， ，即 ， 在和中， 在和中， ，即是的中点． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、垂线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据垂线的性质得到，进而得到，证得，根据全等三角形的性质得到，再证得，根据全等三角形的性质得到，从而得到结论； （2）根据，结合，得到，同（1）可证是的中点． 解：（1）略 （2）略 【题型 8】等腰三角形性质与判定综合 【例题8】（25-26七年级下·山西运城·期末）综合与探究：如图1，是等腰三角形，，，过点B作于点C，在上截取，连接、并延长交于点P； （1）求证：； （2）试说明平分； （3）如图2，将绕着点C旋转一定的角度，那么与的位置关系是否发生变化，说明理由． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴ （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴平分（等腰三角形的三线合一） （3）不发生变化； 理由如下：∵，， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）由条件推出，即可求证，再根据全等三角形的性质即可得出答案． （2）由推出，即可求证； （3）根据证，再得出即可求解． 解：（1）略 （2）略 （3）略 【变式1】（25-26七年级下·山东济南·期末）已知：如图，在，中，，，，点，，三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论： ①；②；③；④；⑤平分． 其中结论正确的个数是（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】利用等腰直角三角形，，全等三角形性质，等量关系，角平分线定义推导判断即可． 解：，，， 和是等腰直角三角形，，故④正确， ，， 在和中， ， ， ，，，故①正确， ，，故②正确， ，平分，故⑤正确， ，故③正确． 【变式2】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，作直线交于点，若，，则的周长为___________． 【答案】 【分析】根据作图可得，是的垂直平分线，得到，再通过线段等量代换将的周长转化为，进而求出三角形周长． 解：由作图可知，， ， ， 由作图可知，直线是的垂直平分线， 点在直线上， ， ， 将代入得，， ，， ． 【变式3】（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，是的一条角平分线，点E在边上，． （1）与平行吗？请说明理由； （2）过点E作交于点F，垂足为O，若，，求的长． 【答案】（1）与平行，理由如下： ∵是的一条角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）． 【分析】（1）利用角平分线的定义结合等边对等角求得，即可判断； （2）利用证明，即可得到，，据此计算即可求解． （1）解：略 （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴． 【题型 9】垂直平分线、角平分线综合应用 【例题9】（25-26七年级下·江西吉安·期末）已知是的平分线，点是射线上一点，点，分别在射线，上，连接，． 【发现问题】 （1）如图①，当，时，则与的数量关系相等吗？说明理由． 【探究问题】 （2）如图②，点，在射线，上滑动，且，当时，与在【发现问题】中的数量关系还成立吗？说明理由． 【答案】（1）解：，理由： 是的平分线，， ； （2）解：成立，理由： 如图，过点作于，于， ， 是的平分线， ． ，， ． ， ． 在和中， ， ． 【分析】（1）根据“角平分线上的点到这个角的两边距离相等”即可判断； （2）根据（1）的解题方法，首先过点作于，于，进而有，再证明即可． 解：（1）略 （2）略 【变式1】（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在中，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线，交于点．若的周长为，，则的长为（     ） A． B． C．7 D．6 【答案】C 【分析】由题意可得：垂直平分，则，即可求解 解：由题意可得∶ 垂直平分，则． 的周长． ， ． 【变式2】（25-26七年级下·重庆·期末）如图，在中，，为上的点，连接，点关于的对称点恰好是中点，连接，，若，则点到的距离为________． 【答案】 【分析】作于点G，作于点H，由轴对称的性质得，，由角平分线的性质得，然后根据求解即可． 解：作于点G，作于点H， ∵点关于的对称点恰好是中点， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，即点到的距离为4． 【变式3】（25-26八年级下·山西运城·期末）如图，已知，垂直平分，交于点，交于点，垂直平分，交于点，交于点，连接． （1）连接，，若，求的周长； （2）若，求证：平分． 【答案】（1）的周长； （2）证明：，垂直平分，垂直平分， ，， ， 平分． 【分析】（1）证明，，进一步求解即可； （2）证明，结合角平分线的判定可得答案． 解：（1）解：如图，连接， ∵垂直平分， ， 同理：， 的周长． （2）略 【题型 10】等腰三角形、全等三角形动点问题 【例题10】（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图1，直线，平分，过点B作交于点C；动点E、D同时从A点出发，其中动点E以的速度沿射线方向运动，动点D以的速度沿射线方向运动；已知，设动点D，E的运动时间为t． （1）求的度数； （2）当点D在射线上运动时满足，求点D，E的运动时间t的值； （3）当动点D在射线上运动，点E在射线上运动过程中，是否存在某个时间t，使得与全等？若存在，请求出此时的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）或秒；（3）存在，的值为时， 【分析】（1）根据角平分线的定义、直角三角形的锐角互余即可解决问题． （2）根据题意：，，则，由，列出方程解方程即可解决问题； （3）存在．由，，可知当时，，列出方程即可解决问题． 解：（1）解：如图1中， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：根据题意：，， ∴， ∵， ∴， 解得：或秒； （3）存在．∵，， ∴当时，此时，点E在线段上， ∴， ， ∴， ∴， ∴满足条件的的值为． 此时，，， 如图，连接， ∴ ∵ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点拨】此题考查三角形综合题、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，三角形的面积，解题的关键是学会构建方程解决问题． 【变式1】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，的两条高与交于点O，，点F在射线上，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．分情况讨论点在延长线上或点在之间时，，根据对应边相等，解一元一次方程求得值即可选出结果． 解：①当点在延长线上时：设秒时，、分别运动到如图位置，， ，， 当时，， ， ，， 解得； ②当点在之间时：设秒时，、分别运动到如图位置，， ，， 当时，， ， ，， 解得； 综上，或， 故选：D． 【变式2】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·单元测试）如图，点E在等边的边上，，射线于点B，P是射线上一动点，F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为_______． 【答案】16 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题、等边三角形的性质、直角三角形30度所对的直角边是斜边的一半等内容，作E关于直线的对称点，连接时最小，此时也是最小，再求解即可． 解：作E关于直线的对称点，连接则， 当、P、F三点共线时取等， 而时最小，此时也是最小， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：16． 【变式3】（25-26七年级下·山东济南·期中）如图在中已知，，是的高，，，直线，动点从点开始沿射线方向以的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以的速度向远离点的方向运动，连接、，设运动时间为s． （1）当点在线段上时， （用含的代数式表示）； （2）当的面积为时，求的值； （3）当时，求的值． 【答案】（1）；（2）为秒或秒；（3）或 【分析】本题考查了线段的和与差、三角形全等的判定定理与性质，熟记判定定理与性质是解题关键．需注意的一点是：动点D的位置要分情况讨论，避免漏解． （1）根据求解即可． （2）根据可求出的长，因为要求t则需要求出的长，由点D的位置可知，需分点D在点B右侧和点D在点B左侧两种情况，根据线段的和与差分别讨论即可； （3）先假设，则有，同（2）分两种情况讨论解出t的值，再检验两种情况下的t值，能否使得即可． 解：（1）解：当点在线段上时，， ． （2）解：， ， 求的长分以下两种情况： 若在点右侧，，即，则； 若在点左侧，，即，则. 综上所述：当为或时，的面积为； （3）解：如果，则有 同（2）分两种情况： ①若在点右侧，当E在射线上时，D必在上，如下图： 则 由，即可得： 检验： 因此，由定理可得， ②若在点左侧，当E在的反向延长线上时，D必在延长线上，如下图： 则，， 由，即可得： 检验： ， ∴由定理可得， 综上，秒或4秒时，． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期末）以下列线段为边能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形三边关系逐项判断即可． 解：A. ，不能组成三角形； B. ，不能组成三角形； C. ，不能组成三角形； D. ，能组成三角形． 2．（2024安徽马鞍山·模拟预测）如图，点A、D、B、E在同一直线上，，，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质得出，再根据线段间数量关系，求出结果即可． 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）调皮的小明不小心把一块三角形玻璃打碎成如图所示的三部分，认识到错误的他想去配制一块与原来相同的三角形玻璃，那么应带下列选项中哪片碎玻璃（    ） A．① B．①② C．③ D．①②或者③都可以 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定方法“角边角”可以判定应当带③去． 解：①只保留了一个角及部分边，不能配成和原来一样的三角形玻璃； ①②只保留了一个角及部分边，不能配成和原来一样的三角形玻璃； ③不但保留了一个完整的边还保留了两个角，根据全等三角形判定“角边角”可以配出一块和原来一样的三角形玻璃，所以应该带去③． 4．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，．若的周长为，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 解：∵的垂直平分线分别交，于点， ∴ ∵的周长为 ∴ ∴的周长为． 5．（25-26八年级下·广东清远·期末）如图，在中，，平分，若，则点D到的距离为（     ） A．4.5 B．4 C．3.5 D．3 【答案】D 【分析】先作，再根据角平分线的性质定理解答即可． 解：过点D作，交于点E， ∵平分，， ∴， 所以点D到的距离是3． 6．（25-26七年级下·山西运城·期末）工人师傅用一把等腰三角板来检测搭建的横梁是否水平，如图所示，在底边中点处做一个记号D，再从顶点悬下铅锤，把这把等腰三角板的底边放在屋梁上，看铅垂线是不是通过记号D，就能检查屋梁是不是水平，这其中蕴含的数学道理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．等腰三角形的两个底角相等 D．等腰三角形的“三线合一” 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的“三线合一”和重力方向是竖直向下的解答即可． 解：∵等腰三角形底边上的中线与高线重合，而铅垂线方向始终竖直向下，当铅垂线通过底边中点时，说明底边与铅垂线垂直，即底边水平，从而判断屋梁是不是水平， ∴这其中蕴含的数学道理是等腰三角形的“三线合一”． 7．（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，在中，，为边延长线上的一点，，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用直角三角形两锐角互余求出的度数，再根据两直线平行，内错角相等，得到与相等，进而算出的大小。 解：∵，， ∴， ∵， ∴． 8．（25-26七年级下·河南驻马店·期末）若，是等腰三角形，且它的周长是，，则必有一条边等于（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】本题需分情况讨论为等腰三角形的腰或底，结合三角形三边关系舍去不能构成三角形的情况，再利用全等三角形对应边相等得到结论． 解：∵是等腰三角形，周长为，，分两种情况讨论： 情况1：若为腰，则另一腰长为，底边长为， ∵，不满足三角形三边关系， ∴此情况不成立，舍去； 情况2：若为底，则两腰长相等， ∴腰长为，此时三边长为，，，满足三角形三边关系， ∵， ∴的边长与对应相等， ∴必有一条边等于或， 综上，必有一条边等于或，没有一条边等于， 故选项A符合题意． 9．（25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）如图，在中，，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，交于点D，交于点E；分别以点D、E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点F，作射线，交于点G；以点A为圆心，以的长为半径作弧，交于点H，连接，则的周长为（     ） A．8 B．9 C．11 D．14 【答案】A 【分析】直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定与性质进而得出，即可得出答案． 解：由作法可知，， ， 由作图方法可得：平分， ， 在和中 ， ， ， 的周长为：． 10．（23-24八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，点P是平分线上的一点，，，，则的长不可能是（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】在上取，然后证明，根据全等三角形对应边相等得到，再根据三角形的任意两边之差小于第三边即可求解. 解：在上截取连接,    ， ， ∵点是平分线上的一点， ， 在和中, ， ， ， ， 解得 故选A. 【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系； 通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键. （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·山西临汾·期末）在中，，是的高，，则__________． 【答案】或 【分析】分两种情况：①当在的内部时，②当在的外部时，根据角的和差求解即可． 解：①如图，当在的内部时， ∵，， ∴； ②如图，当在的外部时， ∵，， ∴； 综上，或． 12．（24-25八年级上·河北沧州·阶段检测）如图是由16个大小相同的小正方形组成的网格图形，图形的各个顶点均为格点，则的度数为________；度数为_______． 【答案】 /90度 /45度 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，网格的特点， 首先证明出，得到，然后等量代换得到，即可求出；然后由得到． 解：如图所示， ∵由网格特点得，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴． 故答案为：，． 13．（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图，，要使，只需添加的一个条件是_______．（填一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】已知，是和的公共边，即．结合全等三角形判定定理、，补充一组对应边相等或两边的夹角相等，即可证明． 解：由题意可知： 是两个三角形公共边， ， 又已知， 添加条件： 在和中： ， ； 添加条件： 在和中： ， ， 综上，可填：（答案不唯一）． 14．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，平分，若，，则的面积是___________． 【答案】 【分析】如图，过作于点，首先根据角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式即可求解． 解：如图，过作于点， ∵，平分， ∴， ∴的面积是． 15．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，在中，，，以点C为圆心，适当长度为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M、N为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D，则______． 【答案】/36度 【分析】利用等边对等角求出，再利用角平分线的定义求解． 解：∵，， ∴， 根据尺规作图可得，平分， ∴． 16．（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角是________． 【答案】或 【分析】要分类讨论，当等腰三角形的顶角是钝角或等腰三角形的顶角是锐角两种情况，然后作出示意图，在锐角三角形中，由可得，结合，即可求出顶角度数；在钝角三角形中，由可得，根据邻补角的性质即可解答． 解：①当为锐角三角形时，如图： ∵ ∴， ②当为钝角三角形时，如图： ∵， ∴ ∴， 综上所述，等腰三角形的顶角度数为或． 17．（25-26七年级下·江西萍乡·期末）如图，把一张长方形纸片沿折叠，若，则的度数为_____． 【答案】 【分析】根据折叠的性质得，，由对顶角相等得，由直角三角形两锐角互余得，则，再根据列方程求解即可． 解：如图， ， ， 又∵， ∴， ， 又， ， 又∵， ∴， 解得． 18．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，为的中线，过点作，交的延长线于点，过点作交于点，若，则的长为________． 【答案】 【分析】利用判定，从而得出对应边相等． 解：是的中线， ， ，， ， 在和中， ， ， ． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在和中，点A、B、C、D在一条直线上，已知，，，若用“”证明，需添加什么条件？写出来并证明． 【答案】解：条件是，证明如下： ，， ， 和是直角三角形， 在和中， ， ． 【分析】根据判断出添加条件，进而证明即可． 解：略． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，． （1）在边上求作一点D，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接，求证：平分． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】（1）作线段的垂直平分线，由此可得； （2）先求解的度数，再根据等边对等角可得，再求解出的度数，由此可证明． 解：（1）解：分别以点A，点B为圆心，大于线段的长度的一半为半径画弧， 两弧相交于点E，点F，连接， 直线与的交点即为点D，点D即为所求，如图： （2）证明：∵在中，，， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴，即， ∴平分． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·山东青岛·阶段检测）如图，已知中，，求证：． 证明：由，可在上截取，连接． …… 请你完成证明过程． 【答案】见分析 【分析】在上截取，连接，利用三角形的外角定理进行证明． 解：证明：在上截取，连接， ， 是的外角， ， ， ， ． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点F，E，，是的一条角平分线． （1）与垂直吗？请说明理由． （2）若的周长为26，，求的长． 【答案】（1）垂直，理由如下： ∵垂直平分 ∴ ∵ ∴ ∵是的一条角平分线 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）8 【分析】（1）先由线段垂直平分线的性质结合得到，再证明即可； （2）由全等三角形可得，而，，再由三角形周长公式求解即可． 解：（1）略 （2）解：∵ ∴ 由题意得，， 由（1）可得， ∵的周长为26 ∴ ∴ ∴． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·贵州遵义·期中）如图，，相交于点，连接，，平分，交延长线于． （1）给出下列三个事项：①，②，③， 请你从其中选取两个事项作为条件，另一个事项作为结论组成命题，并证明你的结论； 你选的条件：___________，结论：___________．（填序号） 证明： （2）在（1）中的条件下，若，求的度数． 【答案】（1）当选①②为条件，③为结论时， 证明：∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴； 当选①③为条件，②为结论时， 同理可证明， ∴； 当选②③为条件，①为结论时， 在和中，， ∴ ∴， ∴． （2） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定方法有：、、、及，熟练掌握并灵活运用适当的判定方法是解题关键． （1）分别选择①②，③、①③，②、②③，①，利用、、证明，即可得答案； （2）由（1）可知三个条件都成立，根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出，再利用平行线的性质即可得答案． 解：（1）略 （2）解：由（1）可知，无论怎么选择，三个条件都成立， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）综合与实践课上，李老师以“发现—探究—拓展”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维．以下是李老师的课堂主题展示： （1）如图，在等腰中，，点D为线段上的一动点（点D不与A，B重合），以为边作等腰，，，连接． 解答下列问题： 【观察发现】 ①如图1，当时，线段，的数量关系为______， ______°； 【类比探究】 ②如图2，当时，试探究线段与的位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图3，四边形中，，，连接，若，则四边形的面积为多少？（直接写出结果）． 【答案】（1）①，90； ②，理由如下： ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）50 【分析】（1）①先证明，再利用证明，由全等三角形的性质可得出，，由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得出，再根据角的和差关系即可得出． ②同①，由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得出，用证明，用全等三角形的性质可得出，即可得出，根据内错角相等，两直线平行得出． （2）过A作交延长线于G，先证明，再根据角的和差关系得出，利用证明，由全等的性质得出，，根据得出，计算即可． 解：（1）①∵， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：，90． ②略 （2）如图，过A作交延长线于G， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴ 即 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，以及平行线的判定，掌握全等三角形的判定以及性质是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $