专题 2.3 实数（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年苏科版八年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本初中数学讲义聚焦“实数”核心知识点，系统梳理无理数的定义与识别、实数的概念分类及与数轴的一一对应关系，延伸至实数的相反数、绝对值、倒数等相关概念，以及运算与估算方法，构建从有理数到实数的完整知识支架。 该资料以“知识梳理+题型精析+同步检测”为框架，突出无理数与有理数的本质区别及易错警示，通过基础题型（如识别有理数无理数）和综合题型（如夹逼法估算、大小比较）分层训练，培养学生抽象能力、运算能力与推理意识。课中辅助教师精准教学，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

专题 2.3 实数（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 1 （一）学习目标 1 （二）重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】无理数 2 【知识点二】实数的概念与分类 2 【知识点三】实数与数轴 2 【知识点四】实数的相关概念（和有理数一致） 3 【知识点五】实数运算与估算 3 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型 1】识别有理数、无理数 3 【题型 2】夹逼法估算无理数范围 4 【题型 3】实数的相反数、绝对值、倒数 4 四.题型精析（综合提升） 5 【题型 4】实数大小比较 5 【题型 5】实数概念辨析易错题 5 五.同步检测 6 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 6 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 7 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 8 一.学习目标与重难点 （一）学习目标 1. 理解无理数、实数的定义，能够正确区分有理数与无理数，掌握实数两种分类方式。 2. 理解实数与数轴上的点一一对应的关系，能在数轴上表示简单无理数。 3. 掌握实数范围内相反数、绝对值、倒数的含义，和有理数规则保持一致。 4. 学会用“夹逼法”估算无理数大小，能够比较实数之间的大小。 5. 了解实数范围内运算法则、运算律依然成立，会使用计算器进行实数近似计算。 （二）重难点 重点：无理数识别；实数分类；实数与数轴一一对应；实数大小比较。 难点：准确辨别无理数；夹逼法估算无理数范围；实数概念综合辨析。 二.知识梳理与解读 【知识点一】无理数 1. 定义：无限不循环小数叫做无理数。 2. 有理数与无理数的本质区别 所有有理数都可以化为分数形式 （ 为整数，）；无理数是无限不循环小数，不能化成分数形式。 3. 苏科版常考三类无理数 （1）含的数：等； （2）开方开不尽的数：等； （3）特殊构造无限不循环小数：（相邻两个1之间依次多一个0）。 4. 易错警示：带根号的数不一定是无理数，若开方能得到整数、分数，则为有理数。例：、 均为有理数。 【知识点二】实数的概念与分类 1. 核心性质：实数与数轴上的点一一对应。 （1）任意一个实数都可以用数轴上唯一的点表示； （2）数轴上任意一个点都对应唯一的实数。 2. 大小比较规律：数轴上右边的点表示的实数，始终大于左边的点表示的实数。 【知识点三】实数与数轴 核心结论：实数与数轴上的点一一对应。 1. 任意一个实数都可以用数轴上唯一的点表示； 2. 数轴上任意一个点都对应唯一的实数。 大小规律：数轴上右边的点表示的实数大于左边的点表示的实数。 【知识点四】实数的相关概念（和有理数一致） 实数范围内，相反数、绝对值、倒数的定义与有理数完全一致，设实数为： 1. 相反数：，互为相反数的两个数和为0； 2. 绝对值：，绝对值表示数在数轴上到原点的距离； 3. 倒数：，0没有倒数，互为倒数的两个数积为1。 【知识点五】实数运算与估算 1. 有理数的运算法则、运算律（加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律），在实数范围内全部适用； 2. 无理数估算（夹逼法）：通过平方、立方运算，锁定无理数的整数范围。 示例：，可得 。 三.题型精析（夯实基础） 【题型 1】识别有理数、无理数 【例题1】（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）一组实数：，，，，，0，，， 将它们分类，填在相应的大括号内： 有理数：{____________________________________________…}； 无理数：{____________________________________________…}． 【变式1】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列各数，，，，，…（两个1之间依次多1个0）中，无理数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（25-26七年级下·黑龙江绥化·期末）在，，，，，，这个数中，无理数共有________个． 【变式3】（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和． （1）求这个正数； （2）请估算的算术平方根在哪两个连续整数之间． 【题型 2】夹逼法估算无理数范围 【例题2】（25-26七年级下·吉林·期末）已知的平方根是，c是的整数部分，求的值． 【变式1】（25-26七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知若n为整数且则n的值为（     ） A．43 B．44 C．45 D．46 【变式2】（25-26七年级下·内蒙古通辽·期末）若为正整数，且满足，的值是_____． 【变式3】（25-26七年级下·四川绵阳·期中）阅读下列材料： ∵ ，即：； ∴ 的整数部分为1，小数部分为． 请根据材料提示，进行解答： （1）的整数部分是________，小数部分是_________； （2）若，其中：a是整数，．求的值． 【题型 3】实数的相反数、绝对值、倒数 【例题3】（25-26七年级下·全国·课后作业）求下列各数的相反数、倒数和绝对值． （1）； （2）； （3）． 【变式1】（25-26七年级下·安徽滁州·期末）下列关于的说法错误的是（     ） A．的绝对值是 B．的相反数是 C．的倒数是 D．是有理数 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）的倒数是__________． （2）相反数和绝对值都为的实数是_____________． （3）的相反数是__________，绝对值是__________，倒数是__________． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各数的相反数与绝对值：． 四.题型精析（综合提升） 【题型 4】实数大小比较 【例题4】（25-26七年级下·河北沧州·期末）已知，，，d是2的算术平方根． （1）求a，b，c，d的值； （2）将a，b，c，d的值按照从小到大的顺序用“<”连接． 【变式1】（25-26七年级下·安徽合肥·期末）实数，，0，中，最小的是（    ） A． B．0 C． D． 【变式2】（25-26七年级下·北京·期末）比较大小：__________，__________ （填“”，“”或“”）． 【变式3】（25-26七年级下·陕西渭南·期中）在如图所示的数轴上表示下列各数：，，，，并用“”把它们连接起来． 【题型 5】实数概念辨析易错题 【例题5】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）数轴上有A，B两点分别表示实数a和b，且满足． （1）______；______； （2）点P以每秒1个单位长度的速度从点A向右匀速运动，多长时间它与点B相距2个单位长度？ 【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．有理数是有限小数 B．无理数是无限小数 C．无限小数是无理数 D．是分数 【变式2】（25-26七年级下·重庆荣昌·期末）若实数，同时满足，，则的值是_________． 【变式3】（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知实数a，b满足． （1）求a、b的值． （2）求的平方根． 五.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（24-25七年级下·吉林·阶段检测）数，，，，，中，无理数的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）实数a，b是连续整数，如果 那么的值是（     ） A．9 B．7 C．8 D．11 3．（25-26七年级下·广西桂林·期末）如图，数轴上点M表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）的相反数是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·湖南娄底·期末）下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 6．（2024·贵州黔西南·模拟预测）在实数，，0，1中，最小的是（     ） A． B． C．0 D．1 7．（24-25七年级下·四川德阳·期中）如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）下列关于“”的说法： ①它是一个无理数； ②在数轴上距离原点个单位长度的点所表示的数是； ③若，则整数为2； ④它表示面积为的正方形的边长． 其中正确的是（     ） A．① B．②④ C．①③④ D．①②③④ （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26七年级下·广西梧州·期末）比较大小：_____ 3． 10．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）在实数、、中，无理数有________个． 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）的相反数是______，的倒数是______，______． 12．（25-26七年级下·甘肃陇南·期末）数据，，，，（每相邻两个之间增加一个），这个实数中无理数有______个． 13．（2026·贵州贵阳·二模）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则____0．（填“＞”“＜”或“=”） 14．（25-26七年级下·重庆潼南·期末）将四个数，，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是______． 15．（25-26八年级上·广东茂名·期中）如图，数轴上点表示，点表示，点是线段的中点，则点表示的数是_______． 16．（2024·湖南娄底·模拟预测）公元3世纪，我国古代数学家就能利用近似公式得到无理数的近似值，例如：化为，再由近似公式得到，若利用此公式计算的近似值时，取正整数，且取尽可能大的正整数，则___________． （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26七年级下·广东东莞·阶段检测）把下列各数填在相应的大括号内： ，，，，，， （1）有理数集合：{　　　　　　　　…}； （2）无理数集合：{　　　　　　　　…}； （3）分数集合：{　　　　　　　　 …}； 18．（25-26七年级下·广东湛江·期中）已知的算术平方根是，的立方根是，是小于的最大整数． （1）求，，的值． （2）求的平方根． 19．（25-26七年级下·四川广元·期末）有理数与无理数之间的运算有着某种规律性，例如：若和是有理数，，则，．已知和是有理数． （1）若，试求出的立方根； （2）若，其中，是的平方根，求的值． 20．（25-26七年级下·江苏南通·期末）【结论初探】小谢利用数形结合的方式探究的近似值，过程如下： ∵面积为的正方形的边长是，且， ∴可以设为以下两种形式： ①；②． 小谢展示了利用②探究近似值的过程． 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图． ， 整理得， ∵， ∴较小，可忽略不计． ∴，， ∴． 【方法运用】 （1）请写出在哪两个连续整数之间： ； （2）类比上述方法，选择其中一种形式，画出示意图，探究的近似值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.3 实数（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 1 （一）学习目标 1 （二）重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】无理数 2 【知识点二】实数的概念与分类 2 【知识点三】实数与数轴 2 【知识点四】实数的相关概念（和有理数一致） 3 【知识点五】实数运算与估算 3 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型 1】识别有理数、无理数 3 【题型 2】夹逼法估算无理数范围 5 【题型 3】实数的相反数、绝对值、倒数 7 四.题型精析（综合提升） 9 【题型 4】实数大小比较 9 【题型 5】实数概念辨析易错题 10 五.同步检测 12 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 12 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 16 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 18 一.学习目标与重难点 （一）学习目标 1. 理解无理数、实数的定义，能够正确区分有理数与无理数，掌握实数两种分类方式。 2. 理解实数与数轴上的点一一对应的关系，能在数轴上表示简单无理数。 3. 掌握实数范围内相反数、绝对值、倒数的含义，和有理数规则保持一致。 4. 学会用“夹逼法”估算无理数大小，能够比较实数之间的大小。 5. 了解实数范围内运算法则、运算律依然成立，会使用计算器进行实数近似计算。 （二）重难点 重点：无理数识别；实数分类；实数与数轴一一对应；实数大小比较。 难点：准确辨别无理数；夹逼法估算无理数范围；实数概念综合辨析。 二.知识梳理与解读 【知识点一】无理数 1. 定义：无限不循环小数叫做无理数。 2. 有理数与无理数的本质区别 所有有理数都可以化为分数形式 （ 为整数，）；无理数是无限不循环小数，不能化成分数形式。 3. 苏科版常考三类无理数 （1）含的数：等； （2）开方开不尽的数：等； （3）特殊构造无限不循环小数：（相邻两个1之间依次多一个0）。 4. 易错警示：带根号的数不一定是无理数，若开方能得到整数、分数，则为有理数。例：、 均为有理数。 【知识点二】实数的概念与分类 1. 核心性质：实数与数轴上的点一一对应。 （1）任意一个实数都可以用数轴上唯一的点表示； （2）数轴上任意一个点都对应唯一的实数。 2. 大小比较规律：数轴上右边的点表示的实数，始终大于左边的点表示的实数。 【知识点三】实数与数轴 核心结论：实数与数轴上的点一一对应。 1. 任意一个实数都可以用数轴上唯一的点表示； 2. 数轴上任意一个点都对应唯一的实数。 大小规律：数轴上右边的点表示的实数大于左边的点表示的实数。 【知识点四】实数的相关概念（和有理数一致） 实数范围内，相反数、绝对值、倒数的定义与有理数完全一致，设实数为： 1. 相反数：，互为相反数的两个数和为0； 2. 绝对值：，绝对值表示数在数轴上到原点的距离； 3. 倒数：，0没有倒数，互为倒数的两个数积为1。 【知识点五】实数运算与估算 1. 有理数的运算法则、运算律（加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律），在实数范围内全部适用； 2. 无理数估算（夹逼法）：通过平方、立方运算，锁定无理数的整数范围。 示例：，可得 。 三.题型精析（夯实基础） 【题型 1】识别有理数、无理数 【例题1】（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）一组实数：，，，，，0，，， 将它们分类，填在相应的大括号内： 有理数：{____________________________________________…}； 无理数：{____________________________________________…}． 【答案】有理数：；无理数． 【分析】根据定义，无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，逐个判断即可． 解：略． 【变式1】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列各数，，，，，…（两个1之间依次多1个0）中，无理数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先明确无理数的定义：无理数是无限不循环小数，再逐个判断给出的数，统计无理数的个数即可． 解：∵，是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 是无限循环小数，属于有理数； 是开立方开不尽的数，是无限不循环小数，是无理数； 中是无理数，因此是无理数；（两个1之间依次多1个0）是无限不循环小数，是无理数． ∴无理数一共3个． 【变式2】（25-26七年级下·黑龙江绥化·期末）在，，，，，，这个数中，无理数共有________个． 【答案】 解：是有限小数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； 开方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数； 是整数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； 中是无限不循环小数，因此也是无理数； 综上，无理数共有个． 【变式3】（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和． （1）求这个正数； （2）请估算的算术平方根在哪两个连续整数之间． 【答案】（1）81；（2）的算术平方根在之间 【分析】本题考查了平方根及算术平方根： （1）根据题意得，进而可解得，则可得，再根据平方根的定义即可求解； （2）由（1）得，进而可得，再利用算术平方根的估算方法即可求解； 熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 解：（1）解：由题意得， 解得：， ∴， 这个正数是81． （2）由（1）得：， ， ∵， ∴， 的算术平方根在之间． 【题型 2】夹逼法估算无理数范围 【例题2】（25-26七年级下·吉林·期末）已知的平方根是，c是的整数部分，求的值． 【答案】11 【分析】根据平方根的定义可得，估算的大小可得，代入代数式求值即可． 解：由题意得：，则， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知若n为整数且则n的值为（     ） A．43 B．44 C．45 D．46 【答案】D 【分析】本题根据已知平方数确定的范围，结合题目给出的不等式即可求出整数的值，用到正数大小比较与算术平方根大小比较的关系：若正数，则． 解：∵ ，， 又∵ ， ∴ ， 即 ． ∵ ，且为整数， ∴ ． 【变式2】（25-26七年级下·内蒙古通辽·期末）若为正整数，且满足，的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查无理数大小的估算，有理数的乘方计算，确定所在的整数范围是解题关键，通过比较相邻完全平方数得到的范围，进而求出的值，再计算即可． 解：，， ， ，且为正整数， ， 则． 【变式3】（25-26七年级下·四川绵阳·期中）阅读下列材料： ∵ ，即：； ∴ 的整数部分为1，小数部分为． 请根据材料提示，进行解答： （1）的整数部分是________，小数部分是_________； （2）若，其中：a是整数，．求的值． 【答案】（1）3，3；（2） 【分析】（1）根据，求解即可； （2）根据文中的方法求解即可； 解：（1）解：∵，即； ∴的整数部分是3，小数部分是； （2）解：∵，即； ∴ 故的整数部分是15，小数部分是； 故； 故． 【题型 3】实数的相反数、绝对值、倒数 【例题3】（25-26七年级下·全国·课后作业）求下列各数的相反数、倒数和绝对值． （1）； （2）； （3）． 【答案】（1），，；（2），，；（3），， 【分析】（1）（2）直接利用相反数、倒数、绝对值的性质分别得出答案； （3）利用立方根的定义化简，再利用相反数、倒数、绝对值的性质分别得出答案． 本题考查了实数的相反数、倒数的定义和绝对值的非负性，解题关键在于掌握各性质和定义． 解：（1）的相反数是，倒数是，绝对值是； （2）的相反数是，倒数是，绝对值是； （3）的相反数是，倒数是，绝对值是． 【变式1】（25-26七年级下·安徽滁州·期末）下列关于的说法错误的是（     ） A．的绝对值是 B．的相反数是 C．的倒数是 D．是有理数 【答案】D 【分析】根据绝对值，相反数，倒数，有理数和无理数的定义逐一判断选项，找出错误说法. 解：∵ 负数的绝对值是它的相反数，，A选项说法正确； ∵ 只有符号不同的两个数互为相反数，的相反数是，B选项说法正确； ∵ 乘积为的两个数互为倒数，，的倒数是，C选项说法正确； ∵ 是开方开不尽的数，属于无理数，是无理数，不是有理数，D选项说法错误. 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）的倒数是__________． （2）相反数和绝对值都为的实数是_____________． （3）的相反数是__________，绝对值是__________，倒数是__________． 【答案】 【分析】本题考查实数的性质，包括倒数、相反数和绝对值的定义和计算． （1）根据倒数的定义求解即可； （2）根据相反数和绝对值的定义求解即可； （3）先化简，再根据相反数、倒数和绝对值的定义求解即可． 解：（1）的倒数是 ； 故答案为：； （2）设该实数为，则相反数为，绝对值为，且，由于， ∴； 故答案为：； （3）=，其相反数为，绝对值为，倒数为； 故答案为：，，． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各数的相反数与绝对值：． 【答案】解：的相反数是，的绝对值是 的相反数是，的绝对值是 的相反数是，的绝对值是 的相反数是，的绝对值是 的相反数是，的绝对值是 的相反数是，的绝对值是 【分析】对于每个数，先根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数，的相反数是 ）求出其相反数；再依据绝对值的性质（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是 ）判断数的正负性，进而求出绝对值．分别对，，，，，这几个数进行分析计算．本题主要考查了实数的相反数和绝对值的求解，熟练掌握相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数，的相反数是 ）和绝对值的性质（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是 ）是解题的关键． 解：略 四.题型精析（综合提升） 【题型 4】实数大小比较 【例题4】（25-26七年级下·河北沧州·期末）已知，，，d是2的算术平方根． （1）求a，b，c，d的值； （2）将a，b，c，d的值按照从小到大的顺序用“<”连接． 【答案】（1），，，；（2） 【分析】（1）根据算术平方根，绝对值，立方根进行求解即可； （2）根据实数的大小比较法则进行比较即可． 解：（1）解：，，， ∵d是2的算术平方根， ∴； （2）解：∵，，，， ∴， 即． 【变式1】（25-26七年级下·安徽合肥·期末）实数，，0，中，最小的是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】先化简题目中的各数，再根据实数大小比较规则，即可找出最小的数． 解：∵，， ∴四个数化简后为，，，， ∵， ∴最小的数是． 【变式2】（25-26七年级下·北京·期末）比较大小：__________，__________ （填“”，“”或“”）． 【答案】 解：∵， ∴， ∵， ∴； ∵ ∴ ∴ ∴ 【变式3】（25-26七年级下·陕西渭南·期中）在如图所示的数轴上表示下列各数：，，，，并用“”把它们连接起来． 【答案】，在数轴上表示见详解 【分析】将各数化简后在数轴上表示出来，再将各数用“”连接起来即可． 解：，，，， 在数轴上表示各数： ∴． 【题型 5】实数概念辨析易错题 【例题5】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）数轴上有A，B两点分别表示实数a和b，且满足． （1）______；______； （2）点P以每秒1个单位长度的速度从点A向右匀速运动，多长时间它与点B相距2个单位长度？ 【答案】（1），；（2）或 【分析】本题考查了非负数的性质，一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离等知识，解题的关键是： （1）根据绝对值和偶次方的非负性求解即可； （2）设经过t秒，根据列出关于t的方程，然后解方程即可； 解：（1）解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：设经过t秒，则点P表示的数为， 根据题意，得， 解得或， ∴经过或秒，点P与点B相距2个单位长度 【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．有理数是有限小数 B．无理数是无限小数 C．无限小数是无理数 D．是分数 【答案】B 【分析】本题考查了实数的相关概念． 无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．． 解：A．有理数也包括无限循环小数（如），原说法错误，本选项不符合题意； B．无理数是无限不循环小数，原说法正确，本选项符合题意； C．无限小数也包括无限循环小数，而无限循环小数是有理数，故原说法错误，本选项不符合题意； D．是无理数，分数属于有理数，原说法错误，本选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】（25-26七年级下·重庆荣昌·期末）若实数，同时满足，，则的值是_________． 【答案】 【分析】对分两种情况进行讨论，解方程组代入求值即可． 解：对于， 当时，， 解方程组，解得， ； 当时，， 解方程组，解得， ， 不存在这种情况， 故的值是2． 【变式3】（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知实数a，b满足． （1）求a、b的值． （2）求的平方根． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查算术平方根的非负性，平方根及实数的定义，熟练掌握算术平方根的非负性，平方根及实数的定义是解题的关键； （1）根据算术平方根的非负性可进行求解； （2）由（1）可得的值，然后问题可求解． （1）解：∵，且， ∴， ∴； （2）解：把代入得：， ∵的平方根是， ∴的平方根是． 五.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（24-25七年级下·吉林·阶段检测）数，，，，，中，无理数的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的定义：无限不循环小数称为无理数，逐一判断每个实数是否为无理数． 解：． 、、、是有理数．、是无理数，共2个． 2．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）实数a，b是连续整数，如果 那么的值是（     ） A．9 B．7 C．8 D．11 【答案】D 【分析】找到与26相邻的两个完全平方数，确定的范围，进而得到连续整数和的值，计算即可． 解：， ，即 ， ，且，是连续整数， ，， ． 3．（25-26七年级下·广西桂林·期末）如图，数轴上点M表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：设表示的数为，由图可知，点 在 和 之间，且靠近 ， ， ， ，故排除 C， D ； ， ， 点 表示的数可能是 ． 4．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）的相反数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，任意数的相反数为． 解：的相反数是． 5．（25-26七年级下·湖南娄底·期末）下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用绝对值性质，求一个数的算术平方根，无理数估算，立方根定义等初中知识点逐项判定即可． 解：A选项：，A结论正确； B选项：举反例，如，B结论错误； C选项：∵，，且， ∴，即，C结论正确； D选项：∵， ∴，D结论正确． 6．（2024·贵州黔西南·模拟预测）在实数，，0，1中，最小的是（     ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 解：， ， ， 、， ， ， 最小的是． 7．（24-25七年级下·四川德阳·期中）如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据正方形面积公式求出边长，由得出长度，结合点坐标及点位置求解． 解：∵正方形的面积为， ∴， ∵， ∴， ∵点表示的数为，且由图可知点在点左侧， ∴点表示的数为． 8．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）下列关于“”的说法： ①它是一个无理数； ②在数轴上距离原点个单位长度的点所表示的数是； ③若，则整数为2； ④它表示面积为的正方形的边长． 其中正确的是（     ） A．① B．②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题根据无理数的定义，实数与数轴的对应关系，无理数估算，算术平方根的几何意义，逐一判断各说法的正误即可得到答案. 解：①是开方开不尽的数，属于无理数，故①正确； ②数轴上距离原点个单位长度的点有两个，所表示的数是和，故②错误； ③因为，所以，结合，可得整数，故③正确； ④正方形的面积等于边长的平方，因此面积为的正方形的边长为，故④正确； 综上，正确的说法是①③④． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26七年级下·广西梧州·期末）比较大小：_____ 3． 【答案】 【分析】对两个数同时立方，通过比较立方后的结果判断原数的大小． 解：∵ ，， ∵ ， ∴ ． 10．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）在实数、、中，无理数有________个． 【答案】2 解：，是整数，属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数； 开立方后是无限不循环小数，属于无理数， 因此无理数共有个． 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）的相反数是______，的倒数是______，______． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了实数的概念，相反数，倒数的定义，化简绝对值，根据相反数，倒数的定义，化简绝对值进行求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：的相反数是，的倒数是，， 故答案为：，，． 12．（25-26七年级下·甘肃陇南·期末）数据，，，，（每相邻两个之间增加一个），这个实数中无理数有______个． 【答案】 【分析】先化简题目中的根式，再根据无理数的定义判断每个实数，然后统计无理数的个数即可． 解：先对各实数进行化简判断：，是整数，属于有理数； 中是无限不循环小数，因此是无理数； 是分数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； （每相邻两个之间增加一个）是无限不循环小数，属于无理数， 综上，无理数共有个． 13．（2026·贵州贵阳·二模）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则____0．（填“＞”“＜”或“=”） 【答案】 【分析】根据数轴上点的位置得到，再利用不等式的性质求解即可． 解：由数轴可得， ∴． 14．（25-26七年级下·重庆潼南·期末）将四个数，，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是______． 【答案】 【分析】由数轴得被墨迹覆盖的数，再估算出各无理数的取值范围即可求解． 解：由数轴得，被墨迹覆盖的数， ∵，，，， ∴能被墨迹覆盖的数是． 15．（25-26八年级上·广东茂名·期中）如图，数轴上点表示，点表示，点是线段的中点，则点表示的数是_______． 【答案】 【分析】设点表示的数为，结合题意可得，进一步可得答案． 解：设点表示的数为， ∵数轴上点表示，点表示，点是线段的中点， ∴，即， ∴． 16．（2024·湖南娄底·模拟预测）公元3世纪，我国古代数学家就能利用近似公式得到无理数的近似值，例如：化为，再由近似公式得到，若利用此公式计算的近似值时，取正整数，且取尽可能大的正整数，则___________． 【答案】 【分析】将整理为的形式，根据要求确定和的值，代入给定近似公式计算即可． 解：∵，， ∴中，，． ∴． （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26七年级下·广东东莞·阶段检测）把下列各数填在相应的大括号内： ，，，，，， （1）有理数集合：{　　　　　　　　…}； （2）无理数集合：{　　　　　　　　…}； （3）分数集合：{　　　　　　　　…}； 【答案】（1），，，，；（2），；（3），， 【分析】先化简，再根据有理数，无理数，分数的定义对各数逐一判断，即可完成分类． （1）解： 有理数集合：{，，，，…}； （2）解：无理数集合：{，…}； （3）解：分数集合：{，，…}． 18．（25-26七年级下·广东湛江·期中）已知的算术平方根是，的立方根是，是小于的最大整数． （1）求，，的值． （2）求的平方根． 【答案】（1），，；（2） 【分析】（1）由题意易得，，，然后问题可求解； （2）由（1）可知，然后问题可求解． 解：（1）解：的算术平方根是，的立方根是2， ，， 解得：，， ， 小于的最大整数为； （2）解：由（1）可知，，， ， 的平方根是． 19．（25-26七年级下·四川广元·期末）有理数与无理数之间的运算有着某种规律性，例如：若和是有理数，，则，．已知和是有理数． （1）若，试求出的立方根； （2）若，其中，是的平方根，求的值． 【答案】（1）2；（2） 【分析】（1）根据题意可得，，从而可得，，代入所求式子，最后结合立方根的定义计算即可得出结果； （2）先将式子整理为，再结合题意求得，最后由平方根的定义计算即可得出结果． 解：（1）解：∵，m和n是有理数， ∴，， 解得，， ∴， ∴的立方根为； （2）解：∵， ∴， ∴ ∴， ∵m和n是有理数， ∴， 解得， ∵m，n是x的平方根， ∴． 20．（25-26七年级下·江苏南通·期末）【结论初探】小谢利用数形结合的方式探究的近似值，过程如下： ∵面积为的正方形的边长是，且， ∴可以设为以下两种形式： ①；②． 小谢展示了利用②探究近似值的过程． 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图． ， 整理得， ∵， ∴较小，可忽略不计． ∴，， ∴． 【方法运用】 （1）请写出在哪两个连续整数之间： ； （2）类比上述方法，选择其中一种形式，画出示意图，探究的近似值． 【答案】（1）5；6；（2）方法一：如图， ， 整理得， ∵， ∴较小，可忽略不计， ∴，， ∴． 方法二：如图， ， 整理得， ∵， ∴较小，可忽略不计． ∴，， ∴． 【分析】（1）根据即可得出； （2）根据题干提供的方法，进行求解即可． （1）解：∵， ∴， 即； （2）略 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $