专题 1.3 全等三角形的判定（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年苏科版八年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦全等三角形的判定核心知识点，系统梳理“边角边”“角边角/角角边”“边边边”“斜边直角边”四个判定方法，通过定理、图示与数学语言结合的方式构建知识支架，衔接基础证明题型与综合应用题型，形成完整学习脉络。 资料特色在于知识呈现直观（如表格对比判定条件与反例），题型设计分层（例题搭配变式题，选自多地期末及模拟考题），培养学生几何直观与推理意识。课中辅助教师系统授课，课后通过同步检测帮助学生查漏补缺，提升应用能力。

专题 1.3 全等三角形的判定（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】三角形全等的基本事实——“边角边” 1 【题型 1】利用“边角边”证明三角形全等 2 【题型 2】全等三角形（“边角边”）与全等性质综合 3 【知识点二】三角形全等的基本事实——“角边角”或“角角边” 4 【题型 3】利用“角边角”或“角角边”证明三角形全等 5 【题型 4】全等三角形（“角边角”或“角角边”）与全等性质综合 6 【知识点三】三角形全等的基本事实——“边边边” 7 【题型 5】利用“边边边”证明三角形全等 7 【题型 6】全等三角形（“边边边”）与全等性质综合 8 【知识点四】三角形全等的基本事实——“斜边、直角边” 9 【题型 7】利用“斜边、直角边”证明三角形全等 10 【题型 8】全等三角形（“斜边、直角边”）与全等性质综合 11 二.综合培优题型精析 12 【题型 9】选择合适的方法证明三角形全等 12 【题型 10】全等三角形综合 13 三.同步检测 14 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 14 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 16 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 18 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】三角形全等的基本事实——“边角边” 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）. 定理 图示 数学语言 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”） 在和中 【要点提示】两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等。 类型 图示 举反列说明 两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，即“边边角”或“SSA”不能用来证明三角形全等。 和满足两边和其中一边的对角分别相等。即但和显然不全等。 【题型 1】利用“边角边”证明三角形全等 【例题1】（26-27八年级·江苏·暑假作业）如图，E、F是四边形的对角线上的两点，，，．求证： （1）； （2）． 【变式1】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，点，，，在一条直线上，，连接，，．若要使，则需要添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·暑假作业）如图所示，有①，②，③三个直角三角形，其中全等的两个直角三角形是________．（填序号） 【变式3】（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，已知：点、分别在线段、上，，． （1）求证：； （2）不添加任何字母，请你连接图中两点，得到一组全等的三角形是：________并给出证明． 【题型 2】全等三角形（“边角边”）与全等性质综合 【例题2】（25-26七年级下·重庆奉节·期末）如图，在中，点为边上一点，点为边的中点，连接并延长，交的平行线于点，连接． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【变式1】（2026·河南平顶山·三模）如图，点G，H分别是正六边形的边，上的点，且，连接，相交于点P．若，则的长为（     ） A．2 B．3 C．6 D．7 【变式2】（26-27八年级·江苏·暑假作业）如图，已知，垂足为点，，垂足为点，若，，则__________． 【变式3】（25-26七年级下·江苏淮安·期末）已知：如图，在同一直线上，． （1）求证：； （2）判断线段与满足的数量关系和位置关系，并给出证明． 【知识点二】三角形全等的基本事实——“角边角”或“角角边” 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”). 定理 图示 数学语言 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”). 在和中 【推论】两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）. 推论 图示 数学语言 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 在和中 【题型 3】利用“角边角”或“角角边”证明三角形全等 【例题3】（2026·浙江杭州·二模）如图，点A在线段上，已知，，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【变式1】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，太阳光线与是平行的，在同一时刻将两根高度相同的木杆竖直插在地面上，在太阳光照射下的影子一样长吗？这里判断影子长相等利用全等三角形的性质，其中判断的依据是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·黑龙江佳木斯·一模）如图：点在同一直线上，，，请添加一个条件______，使得（填一个即可）． 【变式3】（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，点、、、是同一直线上顺次四点，，，． （1）求证：； （2）添加一个与有关的条件，使得．（不需要证明） 【题型 4】全等三角形（“角边角”或“角角边”）与全等性质综合 【例题4】（25-26七年级下·陕西西安·期末）唐朝王湾的《次北固山下》颔联：“潮平两岸阔，风正一帆悬”，强调了一个人生信念：只有秉持正气，坚定信念，才能在人生的海洋中乘风破浪．如图是小江同学作的一个帆船模型的几何图形，点、点在线段上，，，且．求证：． 【变式1】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图所示，在中，，为的平分线，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·上海奉贤·期末）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．如图，与为偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数．过点C作交的延长线于点E，则的长为_______． 【变式3】（25-26七年级下·全国·单元复习）如图，，． （1）求证：． （2）求证：． 【知识点三】三角形全等的基本事实——“边边边” 三边分别相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”） 定理 图示 数学语言 三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”） 在和中 【题型 5】利用“边边边”证明三角形全等 【例题5】（25-26九年级下·福建南平·阶段检测）已知，如图，，，， 求证：． 【变式1】（25-26七年级下·福建宁德·期末）如图，小明利用尺规作，在作图过程中，得到的依据是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级下·黑龙江大庆·阶段检测）下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法． （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则． 上述方法通过判定得到，其中判定的依据是__________．（填“”或“”或“”或“”） 【变式3】（2026·云南·中考真题）如图，，，点是线段的中点．求证：． 【题型 6】全等三角形（“边边边”）与全等性质综合 【例题6】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，已知，求证：． 【变式1】（25-26八年级上·云南曲靖·期末）小明在做一个角等于已知角时，做法如下： （1）以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，； （2）作一条射线，以点为圆心，为半径作弧，交于点； （3）以点为圆心，为半径作弧，与上一步作的弧相交于点； （4）过点作射线． 由此可得，其依据是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，，，．若，则_____． 【变式3】（25-26八年级上·北京丰台·期末）如图，从以下三个条件中选择两个条件作为已知，第三个条件作为结论，构成一个真命题，并证明． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 【知识点四】三角形全等的基本事实——“斜边、直角边” 斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”). 定理 图示 数学语言 斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”). 在和中， 【题型 7】利用“斜边、直角边”证明三角形全等 【例题7】（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图，已知，其中，的延长线与相交于点，连接． （1）求证：； （2）若， ，求的长． 【变式1】（2026·全国·一模）用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知的两边上分别取点，，使，再过点画的垂线，过点画的垂线，两垂线交于点，那么射线就是的平分线．验证这一结论的过程中，与全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·单元测试）如图所示的是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于地面的垂线上．若，在某次运动过程中，秋千向前和向后的最高点分别为点和点，点到的距离为，点到的距离为，，则点到地面的距离为____________． 【变式3】（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）如图，是两个长度相同的梯子与靠在一面竖直墙上的示意图，已知左边梯子的高度与右边梯子水平方向的长度相等． （1）与全等吗？请说明理由． （2）若，，，求线段的长度． 【题型 8】全等三角形（“斜边、直角边”）与全等性质综合 【例题8】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，在中，，点在边上，，过点作，连接，． 求证：． 【变式1】（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，点在边上，延长到点，使，连接．若，且的面积为，则的长为（    ） A．4 B．7 C． D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，于点，．如果，那么______． 【变式3】（25-26八年级下·全国·单元复习）已知：如图，，M，与相交于点P．求证：． 二.综合培优题型精析 【题型 9】选择合适的方法证明三角形全等 【例题9】（26-27七年级·全国·暑假作业）已知：． （1）如图1，试说明：； （2）如图2，连接，若，不添加任何辅助线，直接写出图中所有的全等三角形． 【变式1】（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，于，于，和交于，的延长线交于，则图中全等的直角三角形有（    ） A．5对 B．6对 C．7对 D．8对 【变式2】（25-26八年级上·全国·单元测试）已知和，，，，已知，则________． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在和中，、、、在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选择个作为题设，余下的个作为结论，写一个真命题，并加以证明．，，，． 【题型 10】全等三角形综合 【例题10】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图， 中 ，D 是延长线上一点，满足，过点C作 且，连接并延长，分别交、于点F 、G． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【变式1】（25-26八年级上·重庆渝北·期末）如图，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，下列结论中①， ②， ③平分，④平分， ⑤．其中正确的结论是（ ） A．④⑤ B．①② C．③⑤ D．①②③ 【变式2】（2025八年级上·河南·专题练习）如图，，，动点从点（不含点），以 个单位长度秒的速度沿射线运动，点为射线 上一动点，且始终保持，当点运动___秒时，与以点，，为顶点的三角形全等． 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在与中，点，，，在同一条直线上，，，连接交于点，． 求证： （1）； （2）． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级上·江西赣州·期中）如图，将两根钢条，的中点O钉在一起，使，能绕点O自由转动，就做成一个测量工具， 测的长即等于内槽宽， 那么判定的理由是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，有一池塘，要测池塘两端A，B间的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连接并延长至D，使，连接并延长至E，使，连接．若量出米，则A，B间的距离为（   ）米． A．25 B．22.5 C．12.5 D．20 3．（25-26七年级下·山西晋中·期中）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的五块（即图中标有1，2，3，4，5的五块），现要到玻璃店配一块与原来一样大小的三角形玻璃，你认为应该带去的一块是（   ） A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 4．（24-25八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，AD＝BC，AE＝CF．E、F是BD上两点，BE＝DF，∠AEB＝100°，∠ADB＝30°，则∠BCF的度数为（    ） A．30° B．60° C．70° D．80° 5．（25-26八年级下·河南开封·期中）如图，两个直角三角形全等的是（    ） A．③④ B．①③ C．①② D．①④ 6．（第4课全等三角形-【帮课堂】2022-2023学年八年级数学上册同步精品讲义（浙教版））如图，在2×2的方格纸中，∠1+∠2等于（　　） A．60° B．90° C．120° D．150° 7．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）根据下列已知条件，能唯一画出的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．， 8．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，的两条高与交于点O，，点F在射线上，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，的值为（   ） A． B． C．或 D．或 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，，，添加条件__________，可以根据“”得到． 10．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是带___________去． 11．（25-26七年级下·北京·阶段检测）如图，下面是“作一个，使得”的尺规作图方法． （1）作一条线段； （2）以为圆心，长为半径画弧，以为圆心，长为半径画弧，两弧在线段上方交于点； （3）连接，，则． 上述判定的依据是________． 12．（21-22七年级下·山东枣庄·期中）如图，已知，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点，，再以点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，若，则的度数为______． 13．（25-26七年级下·全国·随堂练习）如图，公路上，两站相距，，为两所学校，于点，于点．已知在公路上有一座报亭，且，两所学校到报亭的距离相等，，则__________． 14．（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，的边与的边相交于点，，过点作，交于点，且，，若，，则的面积是___________． 15．（24-25九年级下·全国·一轮复习）如图，在中，，，延长到点B，连接，在上找一点F，延长交于点E，若，，的面积为，则的长为__________． 16．（25-26七年级下·吉林长春·期中）两个大小不同的等边三角形三角板按图①所示摆放．将两个三角板抽象成如图②所示的和，点、、依次在同一条直线上，连接．给出下面四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，正确结论的序号有______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级下·重庆·阶段检测）在学习了三角形的相关知识以后，某数学兴趣小组进行了更深入的探究与思考．如图所示，在中，平分交于点． （1）用直尺和圆规，在线段的上方作，使得，与交于点（不写作法和结论，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，试说明：，并按下列思路完成填空． 证明：平分， （___________①___________）． 在和中 ． （___________④___________）． ， ． （___________⑤___________）． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级下·全国·课后作业）已知：如图所示，，． （1）请你只加一个条件，使，你添加的条件是______． （2）根据你添加的条件，说明． 21．（本小题满分10分）（26-27八年级·江苏·暑假作业）如图，在四边形ABCD中，，E为的中点，连接，延长交的延长线于点F． （1）和全等吗？请说明理由． （2）若，试说明： 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·全国·期末）综合与实践 数学活动课上，老师带领同学们以三角形为背景，探究线段之间的关系， 【问题情境】 已知，在中，，是射线上一动点，点在的右侧，线段，且． 【实践探究】 （1）如图1，这是“团结小组”探究画出的图形，并得到的数量关系，请给予证明． （2）如图2，这是“雄鹰小组”探究画出的图形，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由． 【拓展应用】 （3）“钻研小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点运动的过程中，请直接写出线段，，之间的数量关系． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.3 全等三角形的判定（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】三角形全等的基本事实——“边角边” 1 【题型 1】利用“边角边”证明三角形全等 2 【题型 2】全等三角形（“边角边”）与全等性质综合 6 【知识点二】三角形全等的基本事实——“角边角”或“角角边” 9 【题型 3】利用“角边角”或“角角边”证明三角形全等 10 【题型 4】全等三角形（“角边角”或“角角边”）与全等性质综合 12 【知识点三】三角形全等的基本事实——“边边边” 15 【题型 5】利用“边边边”证明三角形全等 16 【题型 6】全等三角形（“边边边”）与全等性质综合 18 【知识点四】三角形全等的基本事实——“斜边、直角边” 21 【题型 7】利用“斜边、直角边”证明三角形全等 22 【题型 8】全等三角形（“斜边、直角边”）与全等性质综合 25 二.综合培优题型精析 27 【题型 9】选择合适的方法证明三角形全等 27 【题型 10】全等三角形综合 32 三.同步检测 37 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 37 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 42 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 48 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】三角形全等的基本事实——“边角边” 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）. 定理 图示 数学语言 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”） 在和中 【要点提示】两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等。 类型 图示 举反列说明 两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，即“边边角”或“SSA”不能用来证明三角形全等。 和满足两边和其中一边的对角分别相等。即但和显然不全等。 【题型 1】利用“边角边”证明三角形全等 【例题1】（26-27八年级·江苏·暑假作业）如图，E、F是四边形的对角线上的两点，，，．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴，即． ∵，，， ∴． （2）证明：∵， ∴． 【分析】（1）首先利用平行线的性质得出，然后由进而得出； 接下来根据即可判定． （2）根据即可证明． 解：（1）略 （2）略 【变式1】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，点，，，在一条直线上，，连接，，．若要使，则需要添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键； 注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角，根据全等三角形的判定方法一一判断即可． 解：∵， ∴， 当添加， ∵，，，不能证明， ∴A选项不符合题意； 当添加，那么，即， ∵，，，不能证明， ∴B选项不符合题意； 当添加， ∵，，，满足， ∴可证， ∴C选项符合题意； 当添加，不能证明， ∴D选项不符合题意； ∴需要添加的条件可以是， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级下·全国·暑假作业）如图所示，有①，②，③三个直角三角形，其中全等的两个直角三角形是________．（填序号） 【答案】①③ 【分析】根据全等三角形中边角边的证明方法即可得到全等的两个直角三角形． 解：①③两条直角边分别为1与2，满足边角边的证明方法， ②中一条直角边为1，一条斜边为2，不满足边长对应相等， 故全等的两个直角三角形是①③． 【变式3】（25-26七年级下·上海金山·期末）如图，已知：点、分别在线段、上，，． （1）求证：； （2）不添加任何字母，请你连接图中两点，得到一组全等的三角形是：________并给出证明． 【答案】（1）证明：在和中， ， ∴ （2）方法一：如图，连接，得到， 证明：∵， ∴，， 又∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； 方法二：如图，连接，得到， ∵， ∴，， 又∵， ∴，即， 在和中， ， ∴ 【分析】（1）在和中，结合已知的、公共角与，依据即可证明两三角形全等； （2）可连接，得到；由（1）得，由全等性质可知、，结合推得，再根据三边对应相等，依据即可证明；也可连接，得到，同上得、，依据即可证明． 解：（1）略 （2）略 【题型 2】全等三角形（“边角边”）与全等性质综合 【例题2】（25-26七年级下·重庆奉节·期末）如图，在中，点为边上一点，点为边的中点，连接并延长，交的平行线于点，连接． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵E为中点， ∴， ∵ ∴ 在和中 ， ∴ （2） 【分析】（1）根据平行线的性质可得，根据E为中点，可得，进而根据，证明； （2）证明，得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 解：（1）略 （2）解：∵， ∴， 在和中， ， ∴； ∴， 由（1）知：， ∴， ∴． 【变式1】（2026·河南平顶山·三模）如图，点G，H分别是正六边形的边，上的点，且，连接，相交于点P．若，则的长为（     ） A．2 B．3 C．6 D．7 【答案】C 【分析】由正六边形的性质可得，，再证明，即可得出结果． 解：∵多边形为正六边形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式2】（26-27八年级·江苏·暑假作业）如图，已知，垂足为点，，垂足为点，若，，则__________． 【答案】/90度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先结合，，，，证明，则，即，故． 解：∵，， ∴， ∵，， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级下·江苏淮安·期末）已知：如图，在同一直线上，． （1）求证：； （2）判断线段与满足的数量关系和位置关系，并给出证明． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 即． 在和中： ， ∴． （2），且，证明如下： 由（1）得， ∴，． ∴， ∴． 综上，，且． 【分析】（1）因为已知，所以先对该等式同时减去公共线段，推导得到，结合已知的、，用全等判定定理证明． （2）和的关系，先根据全等三角形的性质得到对应边相等，直接确定数量关系；再由全等得到对应角，推导其补角，根据平行线的判定定理确定位置关系． 解：（1）略． （2）略． 【知识点二】三角形全等的基本事实——“角边角”或“角角边” 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”). 定理 图示 数学语言 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”). 在和中 【推论】两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）. 推论 图示 数学语言 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 在和中 【题型 3】利用“角边角”或“角角边”证明三角形全等 【例题3】（2026·浙江杭州·二模）如图，点A在线段上，已知，，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ∴； （2）7 【分析】（1）根据平行线的性质得到，再利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到，，再利用线段的和差即可求解． 解：（1）略 （2）解：∵， ∴，， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，太阳光线与是平行的，在同一时刻将两根高度相同的木杆竖直插在地面上，在太阳光照射下的影子一样长吗？这里判断影子长相等利用全等三角形的性质，其中判断的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等三角形判定条件分析即可． 解：由题可得：，， ， ， ． 【变式2】（2026·黑龙江佳木斯·一模）如图：点在同一直线上，，，请添加一个条件______，使得（填一个即可）． 【答案】（答案不唯一 、 ） 【分析】根据全等三角形的判定方法即可解决问题． 解：∵点在同一直线上，， ∴， ∴； 又∵， 根据平行线的性质，得 此时已经具备一边一角对应相等，根据三角形全等判定定理，添加条件即可： 添加，可由判定全等； 添加，可由判定全等； 添加，可由判定全等，以上均正确 综上， 答案不唯一，，、 都正确． 【变式3】（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，点、、、是同一直线上顺次四点，，，． （1）求证：； （2）添加一个与有关的条件，使得．（不需要证明） 【答案】（1）证明：， ， 在与中， ，，， ， ． （2） 【分析】（1）先由推出一组同位角相等，结合已知、，利用证明，再根据全等三角形对应边相等得到； （2）要使，结合的角相等关系，构造直角条件，写出一个和相关的条件即可． 解：（1）略 （2）解：添加条件：， 理由：若，则是直角三角形，， 由得， 等量代换得， 因此． 【题型 4】全等三角形（“角边角”或“角角边”）与全等性质综合 【例题4】（25-26七年级下·陕西西安·期末）唐朝王湾的《次北固山下》颔联：“潮平两岸阔，风正一帆悬”，强调了一个人生信念：只有秉持正气，坚定信念，才能在人生的海洋中乘风破浪．如图是小江同学作的一个帆船模型的几何图形，点、点在线段上，，，且．求证：． 【答案】证明：， ， ∵，， ， 即， 在和中， ， ， ． 【分析】根据平行线的性质得到，根据线段的和差得到，证明，即可证明． 解：略． 【变式1】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图所示，在中，，为的平分线，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明出，得到，进而求解即可． 解：∵为的平分线 ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴． 【变式2】（25-26七年级下·上海奉贤·期末）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．如图，与为偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数．过点C作交的延长线于点E，则的长为_______． 【答案】 【分析】先证，得，再根据在中利用三角形三边关系求出的取值范围，结合为正整数即可求解． 解：与为偏等积三角形， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 即， ， ， 线段的长度为正整数， ． 【变式3】（25-26七年级下·全国·单元复习）如图，，． （1）求证：． （2）求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了全等的性质和综合（），全等的性质和综合（）等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）利用证明； （2）利用证明，再得出． 解：（1）证明：在与中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 【知识点三】三角形全等的基本事实——“边边边” 三边分别相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”） 定理 图示 数学语言 三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”） 在和中 【题型 5】利用“边边边”证明三角形全等 【例题5】（25-26九年级下·福建南平·阶段检测）已知，如图，，，， 求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即， 在 和中， ∴ ∴． 【分析】先由“”判定，即可证明． 解：略 【变式1】（25-26七年级下·福建宁德·期末）如图，小明利用尺规作，在作图过程中，得到的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：由作法易得，， 在和中， ， ，即选项B符合题意． 【变式2】（25-26九年级下·黑龙江大庆·阶段检测）下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法． （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则． 上述方法通过判定得到，其中判定的依据是__________．（填“”或“”或“”或“”） 【答案】 【分析】根据题意可知，从而利用“”即可证． 解：由作图可得，， ， 判定的依据是． 故答案为：． 【变式3】（2026·云南·中考真题）如图，，，点是线段的中点．求证：． 【答案】证明：∵点是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】利用判定方法“”证明即可． 解：略 【题型 6】全等三角形（“边边边”）与全等性质综合 【例题6】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，已知，求证：． 【答案】见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定， 先根据“边边边”证明，再根据全等三角形的对应角相等得出答案． 解：连接， 在和中， ， ∴， （全等三角形的对应角相等）． 【变式1】（25-26八年级上·云南曲靖·期末）小明在做一个角等于已知角时，做法如下： （1）以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，； （2）作一条射线，以点为圆心，为半径作弧，交于点； （3）以点为圆心，为半径作弧，与上一步作的弧相交于点； （4）过点作射线． 由此可得，其依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，尺规作图，熟练掌握不同三角形全等的判定条件是解决本题的关键． 由基本作图得到，，根据“”可证明，然后根据全等三角形的性质得到，即． 解：由作图可知，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故选D． 【变式2】（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，，，．若，则_____． 【答案】/125度 【分析】本题主要运用全等三角形的判定定理以及全等三角形的性质来求解．先通过线段的等量关系证明三角形全等，再利用全等三角形对应角相等求出角度． 解：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·北京丰台·期末）如图，从以下三个条件中选择两个条件作为已知，第三个条件作为结论，构成一个真命题，并证明． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 【答案】见分析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握“”、“”证明三角形全等是解题的关键，同时熟记“”不能证明三角形全等． 根据题意可选择①②为条件，③作为结论，利用“”证明即可得出结论；选择②③为条件，①作为结论，利用“” 证明即可得出结论． 解：选择①②为条件，③作为结论． 在和中， ， ， ； 选择②③为条件，①作为结论． 在和中， ， ， ； 选择①③为条件，②作为结论则无法得出． 【知识点四】三角形全等的基本事实——“斜边、直角边” 斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”). 定理 图示 数学语言 斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”). 在和中， 【题型 7】利用“斜边、直角边”证明三角形全等 【例题7】（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图，已知，其中，的延长线与相交于点，连接． （1）求证：； （2）若， ，求的长． 【答案】（1）证明：， ， ， ， 在和中， ， ； （2）3 【分析】（1）根据，得，即可证明； （2）根据全等三角形的性质及线段的和差即可求得的长． 解：（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式1】（2026·全国·一模）用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知的两边上分别取点，，使，再过点画的垂线，过点画的垂线，两垂线交于点，那么射线就是的平分线．验证这一结论的过程中，与全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂线的性质得到和都是直角三角形，根据全等直角三角形的判定定理解答即可． 解：根据题意得：、 在和中 ． 【变式2】（25-26八年级下·全国·单元测试）如图所示的是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于地面的垂线上．若，在某次运动过程中，秋千向前和向后的最高点分别为点和点，点到的距离为，点到的距离为，，则点到地面的距离为____________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 由题意可知，，，，通过定理可证明，得出，最后通过线段的和差求出的长即可得出答案． 解：由题意可知，，，． 在和中， ， ． ， ， 即点到地面的距离为． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）如图，是两个长度相同的梯子与靠在一面竖直墙上的示意图，已知左边梯子的高度与右边梯子水平方向的长度相等． （1）与全等吗？请说明理由． （2）若，，，求线段的长度． 【答案】（1）全等，理由见详解；（2） 【分析】（1）由两个直角三角形全等的判定定理判定即可； （2）由全等的性质得到长，数形结合表示出求解即可． 解：（1）解：全等，理由如下： 由题意可知，，，， 在和中， ， ； （2）解：由（1）知， ， ，， 线段． 【题型 8】全等三角形（“斜边、直角边”）与全等性质综合 【例题8】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，在中，，点在边上，，过点作，连接，． 求证：． 【答案】详见分析 【分析】根据平行线的性质得到，证明，即可得到． 解：证明：， 在和中，， ． 【变式1】（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，点在边上，延长到点，使，连接．若，且的面积为，则的长为（    ） A．4 B．7 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形中求线段长，涉及直角三角形面积、两个直角三角形全等的判定与性质，熟记两个三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． 先由题中已知条件，得到，求出，再由直角三角形的判定与性质得到即可确定答案． 解：在中，，，且的面积为，则， 解得， ， ， 在和中， ， ， ， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，于点，．如果，那么______． 【答案】6 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等判定的方法是解题的关键； 先证明推出，则，即可推出结果． 解：在和中， ∴ ∴ ∴ 故答案为：6 ． 【变式3】（25-26八年级下·全国·单元复习）已知：如图，，M，与相交于点P．求证：． 【答案】见分析 【分析】连接 利用证明从而可得结论． 解：证明：如图，连接 ， ， ． 二.综合培优题型精析 【题型 9】选择合适的方法证明三角形全等 【例题9】（26-27七年级·全国·暑假作业）已知：． （1）如图1，试说明：； （2）如图2，连接，若，不添加任何辅助线，直接写出图中所有的全等三角形． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质定理，能灵活运用全等三角形的判定和性质定理进行推理是解此题的关键． （1）先求出，根据“”推出，根据全等三角形的性质即可解答； （2）根据全等三角形的性质和判定进行分析即可解答． 解：（1）证明：∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴． （2）解：图中的全等三角形有，理由如下： 由（1）知：， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∵在和中， ， ∴； ∵在和中， ， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，于，于，和交于，的延长线交于，则图中全等的直角三角形有（    ） A．5对 B．6对 C．7对 D．8对 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质可得，根据全等三角形的判定证明相关三角形全等进而可得答案． 解：，， ， ， ∴， ①在和中 ∵ ∴ ，， ∵ ， ②在和中 ∵ ∴ ， ③在和中 ∵ ∴ ∴， ④在和中 ∵ ∴ ⑤在和中 ∵ ∴ ∴， ⑥在和中 ∵ ∴ ∴共有6对全等的直角三角形． 【变式2】（25-26八年级上·全国·单元测试）已知和，，，，已知，则________． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解答关键是根据题意选择适当方法证明全等，讨论当时，可得，则，当时，由可得，则问题可解 解：当时，， ∴， 当时，如图， ∵， ∴， ∴， 故答案为：或 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在和中，、、、在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选择个作为题设，余下的个作为结论，写一个真命题，并加以证明．，，，． 【答案】见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，本题是一道开放性试题，需要把所有可能出现的情况都考虑到，证明全等三角形的方法有：、、、，本题共有四种情况，、、、均可以作为命题的结论，当或作结论时，其余三个条件的位置关系是不能证明三角形全等，所以不能得到真命题，只有把、作为结论时，得到的是真命题． 解：情况一、当取作为题设，作为结论时， 即如果，，，那么， 已知：，，，求证：， 证明：， ， ， 在和中，， ， ； 情况二、当取作为题设，作为结论时， 即如果，，，那么， 已知：，，，求证：， 证明：， ， ， 在和中，， ， ． 【题型 10】全等三角形综合 【例题10】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图， 中 ，D 是延长线上一点，满足，过点C作 且，连接并延长，分别交、于点F 、G． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2）； 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，外角的性质和平行线的性质，解决此题的关键是熟练掌握判定三角形全等方法； （1）根据平行线的性质得到角相等，即可判定三角形全等； （2）根据三角形全等的性质得到相关角度，再根据三角形的内角和和外角即可得到答案； 解：（1）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故的度数为． 【变式1】（25-26八年级上·重庆渝北·期末）如图，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，下列结论中①， ②， ③平分，④平分， ⑤．其中正确的结论是（ ） A．④⑤ B．①② C．③⑤ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定，正确地作出辅助线并且证明△△是解题的关键． 由、分别是、上的任意点，可知与不一定相等，△与△也不一定全等，可判断①错误，②错误；延长到点，使，连接，先证明△△，得，，，由，，可以推导出，则，即可证明△△，得，因为，所以，可判断③正确，因为，所以，可判断⑤正确；由平分结合，推出与题干互相矛盾，可得④错误． 解：、分别是、上的任意点， 与不一定相等，故①错误； 于点，于点， ， ， △△的另一个条件是， 与不一定相等， △与△不一定全等，故②错误； 延长到点，使，连接，则， ， 在△和△中， ， △△， ，，， ，， ， ， 在△和△中， ， △△， ，，， ，， 平分，故③⑤正确； 若平分，而， ，与题干信息矛盾，故④错误； 故选：． 【变式2】（2025八年级上·河南·专题练习）如图，，，动点从点（不含点），以 个单位长度秒的速度沿射线运动，点为射线 上一动点，且始终保持，当点运动___秒时，与以点，，为顶点的三角形全等． 【答案】或或 【分析】本题考查直角三角形全等的判定，关键是找到所有符合题意的情况．设点运动时间为秒，根据已知条件分，，两种情况，根据和列方程求出值即可． 解：， ， 设点运动时间为秒， ，， 当时， ， ， 解得：（舍）或； 当时， ， ， 解得：或； 综上：秒或秒或秒时，与以点，，为顶点的三角形全等， 故答案为：或或． 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在与中，点，，，在同一条直线上，，，连接交于点，． 求证： （1）； （2）． 【答案】（1）证明见分析；（2）证明见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角的等量关系转换以及线段中点的定义． （1）两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，根据，，，即可证明； （2）由（1）知，则有，，进而推得，再通过寻找相等的边和角，利用判定定理证明，利用全等三角形的性质得到对应边和角相等，从而得到，即证． 解：（1）证明：在与中， ， ； （2）证明：由（1）知， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即， 又， ． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级上·江西赣州·期中）如图，将两根钢条，的中点O钉在一起，使，能绕点O自由转动，就做成一个测量工具， 测的长即等于内槽宽， 那么判定的理由是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用证明三角形全等（），解题关键是掌握上述知识点并能运用它来求解． 根据求解即可得出，从而可确定判定的理由． 解：如图， ∵O是、的中点， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴那么判定的理由是， 故选：C 2．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，有一池塘，要测池塘两端A，B间的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连接并延长至D，使，连接并延长至E，使，连接．若量出米，则A，B间的距离为（   ）米． A．25 B．22.5 C．12.5 D．20 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，利用证明，则可得到米． 解：在和中， ， ∴， ∴米， ∴A，B间的距离为25米， 故选：A． 3．（25-26七年级下·山西晋中·期中）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的五块（即图中标有1，2，3，4，5的五块），现要到玻璃店配一块与原来一样大小的三角形玻璃，你认为应该带去的一块是（   ） A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 【答案】B 解：1、3、4、5这几块玻璃不同时具备包括一个完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去， 只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的． 4．（24-25八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，AD＝BC，AE＝CF．E、F是BD上两点，BE＝DF，∠AEB＝100°，∠ADB＝30°，则∠BCF的度数为（    ） A．30° B．60° C．70° D．80° 【答案】C 【分析】由SSS证明△AED≌△CFB，得到∠BCF＝∠DAE，利用三角形的外角的性质得∠DAE＝∠AEB −∠ADB＝70°． 解：∵BE＝DF， ∴BE+EF＝DF+EF， ∴BF=DE 又∵AD＝BC，AE＝CF． ∴△AED≌△CFB（SSS）， ∴∠BCF＝∠DAE， ∵∠DAE＝∠AEB −∠ADB＝100°-30°=70° ∴∠BCF＝70°． 故选C． 【点拨】此题考查全等三角形的判定与性质，三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和等知识． 5．（25-26八年级下·河南开封·期中）如图，两个直角三角形全等的是（    ） A．③④ B．①③ C．①② D．①④ 【答案】B 解：①和②无法确定是否有相等的锐角，无法得到全等； ①和③两个直角三角形满足“”，可证明两个三角形全等； ③和②无法确定是否有相等的锐角，无法得到全等； ①②的一条直角边等于④的斜边，无法得到全等； ③和④无法确定是否有相等的锐角，无法得到全等， 则满足题意的为选项B． 6．（第4课全等三角形-【帮课堂】2022-2023学年八年级数学上册同步精品讲义（浙教版））如图，在2×2的方格纸中，∠1+∠2等于（　　） A．60° B．90° C．120° D．150° 【答案】B 【分析】首先利用“边角边”求出△和△全等，根据全等三角形对应角相等可得，再根据直角三角形两锐角互余求解． 解：如图，在△ABC和△DEA中， ， ∴△ABC≌△DEA（SAS）， ∴∠2＝∠3， 在Rt△ABC中，∠1+∠3＝90°， ∴∠1+∠2＝90°． 故选：B． 【点拨】本题考查了全等图形，主要利用了网格结构以及全等三角形的判定与性质，准确识图并确定出全等三角形是解题的关键． 7．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）根据下列已知条件，能唯一画出的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．， 【答案】B 【分析】本题考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系和确定三角形的条件是解题的关键，根据三角形的三边关系对各项逐一判断即可得到答案． 解：A、，不能构成三角形，此项错误，不符合题意； B、已知两角夹边，三角形即可确定，此项正确，符合题意； C、边边角不能确定三角形，此项错误，不符合题意； D、两角不能确定三角形，此项错误，不符合题意； 故选：B． 8．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，的两条高与交于点O，，点F在射线上，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．分情况讨论点在延长线上或点在之间时，，根据对应边相等，解一元一次方程求得值即可选出结果． 解：①当点在延长线上时：设秒时，、分别运动到如图位置，， ，， 当时，， ， ，， 解得； ②当点在之间时：设秒时，、分别运动到如图位置，， ，， 当时，， ， ，， 解得； 综上，或， 故选：D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，，，添加条件__________，可以根据“”得到． 【答案】 【分析】此题考查了添加条件证明两个三角形全等，正确掌握全等三角形的判定定理是解题的关键，根据两直线平行内错角相等推出，结合已知条件，若根据“”得到，则应添加的条件为． 解：∵， ∴， 若，则 在和中 ∴， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是带___________去． 【答案】③ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，掌握三角形的判定方法是解题的关键． 利用全等三角形的判定定理即可解答． 解：第③块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据来配一块一样的玻璃． 故答案为：③． 11．（25-26七年级下·北京·阶段检测）如图，下面是“作一个，使得”的尺规作图方法． （1）作一条线段； （2）以为圆心，长为半径画弧，以为圆心，长为半径画弧，两弧在线段上方交于点； （3）连接，，则． 上述判定的依据是________． 【答案】三边分别相等的两个三角形全等（） 【分析】根据尺规作图的步骤，可得，，，根据“三边分别相等的两个三角形全等”，可判定． 解：根据题意可知，，， 在和中， ， ． 12．（21-22七年级下·山东枣庄·期中）如图，已知，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点，，再以点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，若，则的度数为______． 【答案】/26度 【分析】连接，结合作图过程证明，再利用全等三角形性质分析求解，即可解题． 解：连接， 由作图过程可知，， 又， ， ， ． 13．（25-26七年级下·全国·随堂练习）如图，公路上，两站相距，，为两所学校，于点，于点．已知在公路上有一座报亭，且，两所学校到报亭的距离相等，，则__________． 【答案】10 【分析】本题考查了全等三角形的应用，全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法证明两三角形全等是解题的关键． 通过已知条件利用定理证明，根据全等三角形的对应边相等得到，最后通过线段的和差关系得到结论． 解：∵于点，于点， ∴， ∵，两所学校到报亭的距离相等， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵ ∴， 故答案为：． 14．（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，的边与的边相交于点，，过点作，交于点，且，，若，，则的面积是___________． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质：通过“角边角（）”判定和全等，利用全等三角形对应边相等的性质得出；再根据三角形面积公式的应用：将的面积拆分为和的面积之和，再根据三角形面积公式进行计算即可解答． 解：∵，， ∴， 在和中：， ∴， 又∵，， ∴，， ∵， ∴ ∴， ， ， ∴． 故答案为：． 15．（24-25九年级下·全国·一轮复习）如图，在中，，，延长到点B，连接，在上找一点F，延长交于点E，若，，的面积为，则的长为__________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握相关知识是解题的关键．由题可知，由的面积为易得，则，再证，即可求解． 解：由题可知， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：2． 16．（25-26七年级下·吉林长春·期中）两个大小不同的等边三角形三角板按图①所示摆放．将两个三角板抽象成如图②所示的和，点、、依次在同一条直线上，连接．给出下面四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，正确结论的序号有______． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及平行线的判定． 利用等边三角形的性质得到对应边和角的相等，得证，再根据全等三角形的性质和平行线的判定定理来判断其他结论是否正确． 解：∵和都是等边三角形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴，故结论①正确； ∵， ∴，故结论②正确； ∵， ∴，故结论③正确； ∵， ∴， ∵根据已知条件不能得出， ∴不能得出，故结论④错误． 综上，正确结论的序号有①②③． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级下·重庆·阶段检测）在学习了三角形的相关知识以后，某数学兴趣小组进行了更深入的探究与思考．如图所示，在中，平分交于点． （1）用直尺和圆规，在线段的上方作，使得，与交于点（不写作法和结论，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，试说明：，并按下列思路完成填空． 证明：平分， （___________①___________）． 在和中 ． （___________④___________）． ， ． （___________⑤___________）． 【答案】（1）图见分析；（2）见分析 【分析】（1）根据尺规作一个角等于已知角的方法作图即可； （2）根据全等三角形的判定方法和性质，进行作答即可． 解：（1）解：由题意，作图如下： （2）证明：平分， （角平分线的定义）． 在和中 ． （全等三角形的对应角相等）． ， ． （垂直的定义）． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级下·全国·课后作业）已知：如图所示，，． （1）请你只加一个条件，使，你添加的条件是______． （2）根据你添加的条件，说明． 【答案】（1）（答案不唯一）；（2）说明见分析 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理添加条件即可； （2）根据全等三角形的判定定理证明即可． 解：（1）解：添加条件（答案不唯一）； （2）∵ ∴ ∴ ∵， ∴． 21．（本小题满分10分）（26-27八年级·江苏·暑假作业）如图，在四边形ABCD中，，E为的中点，连接，延长交的延长线于点F． （1）和全等吗？请说明理由． （2）若，试说明： 【答案】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵E为的中点， ∴， 又∵， ∴； （2）由（1）可得，， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，即． 【分析】（1）根据可得，再根据E为的中点可得，即可通过判定两个三角形全等； （2）由（1）可得，，，再根据可以得到，利用可以得到，即可求解． 解：（1）略 （2）略 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的有关判定方法． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·全国·期末）综合与实践 数学活动课上，老师带领同学们以三角形为背景，探究线段之间的关系， 【问题情境】 已知，在中，，是射线上一动点，点在的右侧，线段，且． 【实践探究】 （1）如图1，这是“团结小组”探究画出的图形，并得到的数量关系，请给予证明． （2）如图2，这是“雄鹰小组”探究画出的图形，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由． 【拓展应用】 （3）“钻研小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点运动的过程中，请直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）证明见分析；（2）成立，理由见分析；（3）或 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，结合图形正确找出全等三角形并证明是解题的关键． （1）根据，可知，再利用证明，再由全等三角形的性质即可证明； （2）根据，可知，再利用证明，再由全等三角形的性质即可证明； （3）分两种情况讨论：情况一：当在线段上时，情况二：当在点右边时，利用证明，再由全等三角形的性质和线段的和差即可求解． 解：（1）证明：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：（1）中的结论成立，理由如下： ∵，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：分两种情况讨论： 情况一：当在线段上时，如图， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； 情况二：当在点右边时，如图， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． ∴综上所述，或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $