暑假预习：整式的混合运算、乘法公式在几何图形中的应用专项训练 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦整式运算与乘法公式几何应用，以“算两次”原理和数形结合为核心方法，构建从代数运算到几何直观的逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |整式的混合运算|3例+3变式（含化简求值）|先化简再求值步骤、运算法则综合应用|从单一运算到综合化简，培养运算能力与符号意识| |乘法公式几何应用|3例+3变式（含图形面积问题）|“算两次”原理（面积双解法建等量）、公式变形技巧|以几何图形为载体，实现代数公式与空间观念的转化，发展几何直观与推理意识|

暑假预习：整式的混合运算、乘法公式在几何图形中的应用专项训练 暑假预习：整式的混合运算、乘法公式在几何图形中的应用专项训练 考点目录 整式的混合运算 乘法公式在几何图形中的应用 考点一 整式的混合运算 例1．（25-26八年级上·广东中山·期中）计算下列各题： (1)． (2)先化简，再求值：，其中 例2．（25-26八年级上·山东临沂·期末）计算： (1)； (2)． 例3．（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段检测）先化简，再求值： ，其中． 变式1．（25-26八年级上·山东临沂·期末）（1）计算：； （2）先化简，再求值：．其中，． 变式2．（25-26八年级上·河北邢台·期末）计算下列各小题． (1)； (2)． 变式3．（25-26八年级上·福建漳州·期末）先化简，再求值：，其中． 考点二 乘法公式在几何图形中的应用 例1．（25-26八年级上·重庆酉阳·期末）如图1，是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后拼成一个大正方形（如图2，阴影部分是一个小正方形）． (1)用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积，完成下面的填空（列式即可）：由大正方形的面积减去4个小长方形的面积可得________；由正方形的面积公式可得________； (2)写出三个代数式，，之间的等量关系式________． (3)已知，，请利用发现的结论，求的值． 例2．（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）在学习“完全平方公式”时，某学习小组发现：已知，可以在不求a，b的值的情况下求出的值：； 仿照上面的方法计算；已知，，求． “若m满足，求的值”，同样可以用上述方法解决，具体操作如下： 设，， 则，， ． 请参照上述方法解决下列问题： (1)若，求的值． (2)边长分别为a，b的大小两个正方形按如图所示放置在同一直线上，已知，求图中阴影部分的面积． 例3．（25-26八年级上·湖北咸宁·期末）我们知道，图形是一种重要的数学语言，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式． (1)初步感知：如图1，写出一个我们熟悉的数学公式 ； (2)解决问题： ①若，，则的值为________； ②如图2，为上一点，分别以，为边作正方形，，连接，，．若与的面积和为，的面积为，求的长； (3)类比探究：如图3，将一长方形纸片按图裁剪，其阴影部分是两种大小不同，边长分别为与的正方形，其余空白部分均为长方形，观察图形，发现整式可以分解因式为 ； 变式1．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）【阅读理解】数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”这就是“算两次”原理．例如：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．如图1可以得到． 【类比应用】 （1）如图2，可以得到的代数恒等式是：　　； 【结论应用】 （2）若满足，求的值； 【迁移应用】 （3）两块完全相同的特制直角三角板()如图3所示放置，其中，，在一直线上，连接，，若一块直角三角板的面积为，与面积之和为，求线段的长． 变式2．（25-26八年级上·吉林白山·期末）“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图（1）是一个大正方形被分割成了边长分别为a、b的两个正方形和长、宽分别为a、b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式______； 利用上述公式解决下列问题： 【直接应用】 （2）若，，则______； 【类比应用】 （3）若，求的值； 【知识迁移】 （4）如图（2），点在线段上，四边形、都是正方形，连接、、．若阴影部分的面积和为11，的面积为7，求的长度． 变式3．（25-26八年级上·陕西西安·期末）将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若，，求的值． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，则______； (2)为推动学生劳动实践的有效进行，某学校在校园开辟了劳动教育基地，培养学生劳动品质．如图，校园内有两个正方形场地，（），它们面积和为，为（B，A，G在同一直线上），学校计划在中间阴影部分摆放花卉，其余地方分配给各班作为种植基地．请求出摆放花卉场地的面积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：整式的混合运算、乘法公式在几何图形中的应用专项训练 暑假预习：整式的混合运算、乘法公式在几何图形中的应用专项训练 考点目录 整式的混合运算 乘法公式在几何图形中的应用 考点一 整式的混合运算 例1．（25-26八年级上·广东中山·期中）计算下列各题： (1)． (2)先化简，再求值：，其中 【答案】(1)； (2)；． 【分析】（1）先去小括号，合并同类项，再按照多项式除以单项式的法则计算即可； （2）先去括号，再合并同类项即可化简，再将代入计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：原式 ， 当时，原式． 例2．（25-26八年级上·山东临沂·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算多项式除以单项式和多项式乘以多项式，再去括号、合并同类项即可； （2）把当作一个整体，原式可化为，然后利用平方差公式和完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 例3．（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段检测）先化简，再求值： ，其中． 【答案】； 【分析】根据完全平方公式和平方差公式化简，再将的值代入求解即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 变式1．（25-26八年级上·山东临沂·期末）（1）计算：； （2）先化简，再求值：．其中，． 【答案】（1）；（2）， 【分析】对于本题，重点掌握完全平方公式，平方差公式． （1）根据完全平方公式计算即可； （2）先由完全平方公式和平方差公式计算中括号，再计算多项式除以单项式，最后代入求值即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当，时， 原式． 变式2．（25-26八年级上·河北邢台·期末）计算下列各小题． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）先计算单项式乘以多项式，多项式除以单项式，再合并同类项即可； （2）先计算完全平方公式，平方差公式，再去括号，合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式3．（25-26八年级上·福建漳州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【分析】本题考查了整式混合运算及求值；先在括号内利用完全平方公式、平方差公式进行运算，再进行加减运算，然后进行除法运算，最后代值计算，即可求解． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 考点二 乘法公式在几何图形中的应用 例1．（25-26八年级上·重庆酉阳·期末）如图1，是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后拼成一个大正方形（如图2，阴影部分是一个小正方形）． (1)用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积，完成下面的填空（列式即可）：由大正方形的面积减去4个小长方形的面积可得________；由正方形的面积公式可得________； (2)写出三个代数式，，之间的等量关系式________． (3)已知，，请利用发现的结论，求的值． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】（1）根据分割法和正方形的面积公式作答即可； （2）根据等积法即可得出结果； （3）利用（2）中结论，利用整体代入法进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由上面的结论可知， ，， 原式． 例2．（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）在学习“完全平方公式”时，某学习小组发现：已知，可以在不求a，b的值的情况下求出的值：； 仿照上面的方法计算；已知，，求． “若m满足，求的值”，同样可以用上述方法解决，具体操作如下： 设，， 则，， ． 请参照上述方法解决下列问题： (1)若，求的值． (2)边长分别为a，b的大小两个正方形按如图所示放置在同一直线上，已知，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，得到，根据题意得到进行计算即可． （2）先根据完全平方公式求出，再根据即可得到答案． 【详解】（1）解：设， 则，， ∴； （2）解：，， ， ． 例3．（25-26八年级上·湖北咸宁·期末）我们知道，图形是一种重要的数学语言，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式． (1)初步感知：如图1，写出一个我们熟悉的数学公式 ； (2)解决问题： ①若，，则的值为________； ②如图2，为上一点，分别以，为边作正方形，，连接，，．若与的面积和为，的面积为，求的长； (3)类比探究：如图3，将一长方形纸片按图裁剪，其阴影部分是两种大小不同，边长分别为与的正方形，其余空白部分均为长方形，观察图形，发现整式可以分解因式为 ； 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题考查乘法公式在几何图形中的应用，运用整体思想和数形结合思想是关键． （1）根据题意，图形符合完全平方公式，写出即可； （2）①根据完全平方公式的变形进行计算即可； ②设正方形的边长为，正方形的边长为，由题意可得，，通过构造完全平方公式可得，因此； （3）分析图形可得大长方形的长为，宽为，大正方形的面积为，小正方形的面积为，其余的小长方形的面积均为，根据面积相等写出等式即可． 【详解】（1）解：由图可知，大正方形的面积为，两个小正方形的面积分别为和，长方形的面积为， ∴数学公式为； （2）解：①∵， ∴； ②设正方形的边长为，正方形的边长为， ∴，，， 由题意可知，，， 将，得， ， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴； （3）解：由图可知，大长方形的长为，宽为， 由面积相等可得，． 变式1．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）【阅读理解】数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”这就是“算两次”原理．例如：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．如图1可以得到． 【类比应用】 （1）如图2，可以得到的代数恒等式是：　　； 【结论应用】 （2）若满足，求的值； 【迁移应用】 （3）两块完全相同的特制直角三角板()如图3所示放置，其中，，在一直线上，连接，，若一块直角三角板的面积为，与面积之和为，求线段的长． 【答案】【小问1】； 【小问2】； 【小问3】 【分析】（1）通过两种方法计算图2中长方形的面积，一种是直接用长乘宽，另一种是将其分割为小正方形和小矩形后求和，从而推导出对应的代数恒等式． （2）利用完全平方公式的变形，通过设元将已知条件转化为和的具体值，再代入变形公式即可求出所求代数式的值． （3）设出直角三角板的直角边，利用三角板的面积和与的面积和这两个条件，结合完全平方公式求出直角边的和，得到线段的长度． 【详解】（1）解：图2中，大长方形的长为，宽为，面积为； 同时，大长方形可分割为一个边长为的正方形、三个长为宽为的矩形和两个边长为的正方形，面积和为， 故恒等式为； （2）解：设，， 则，． ∵， ∴； （3）解：设，． ∵，、、共线， ∴，． ∵三角板的面积为， ∴，即． ∵， ∴，即． ∵， ∴， ∴，即． 变式2．（25-26八年级上·吉林白山·期末）“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图（1）是一个大正方形被分割成了边长分别为a、b的两个正方形和长、宽分别为a、b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式______； 利用上述公式解决下列问题： 【直接应用】 （2）若，，则______； 【类比应用】 （3）若，求的值； 【知识迁移】 （4）如图（2），点在线段上，四边形、都是正方形，连接、、．若阴影部分的面积和为11，的面积为7，求的长度． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）用2种方法表示出大正方形的面积即可得出结果； （2）利用完全平方公式进行计算即可； （3）利用完全平方公式变形计算即可； （4）设正方形的边长为，正方形的边长为，利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】解：（1）由图可知：． （2）∵，， ∴． （3）由题意，得： ． （4）设正方形的边长为，正方形的边长为， 则，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 变式3．（25-26八年级上·陕西西安·期末）将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若，，求的值． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，则______； (2)为推动学生劳动实践的有效进行，某学校在校园开辟了劳动教育基地，培养学生劳动品质．如图，校园内有两个正方形场地，（），它们面积和为，为（B，A，G在同一直线上），学校计划在中间阴影部分摆放花卉，其余地方分配给各班作为种植基地．请求出摆放花卉场地的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可得，再将代入求值即可； （2）设大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，由已知条件得，，同理可求，由，可求得，从而可求得，由，再代入相关结论即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，解得：． （2）解：设大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，它们面积和为，为（B，A，G在同一直线上）， ∴，， ， ，解得：， ∵， ∴， ②， 联立，解得：， ∴ ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $