暑假预习：线段垂直平分线的性质、判定、作图问题 专项训练 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 暑假预习专项聚焦线段垂直平分线性质、判定及作图，以分层例题构建从概念理解到实践应用的逻辑体系，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质|3例+3变式|选择/填空，结合三角形周长、角度计算|从性质定理出发，通过等量代换实现线段转化| |判定|3例+3变式|证明题，涉及垂直平分线判定及性质推导|以性质逆定理为核心，构建“到两端距离相等→垂直平分线”的推理链条| |作图|2例+2变式|尺规作图，含实际情境应用|融合性质与判定，通过作图操作深化空间观念|

暑假预习：线段垂直平分线的性质、判定、作图问题专项训练 暑假预习：线段垂直平分线的性质、判定、作图问题专项训练 考点目录 线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线的判定 线段垂直平分线的作图问题 考点一 线段垂直平分线的性质 例1．（25-26七年级下·辽宁阜新·期末）如图，在中，，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线交于点，连接．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，已知在中，垂直平分，若，的周长是，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点E，F，是线段的垂直平分线，若的周长为38，，则的长为________． 变式1．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，是的边的垂直平分线，D为垂足，交于点E，且，则的周长是（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 变式2．（25-26八年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 变式3．（25-26七年级下·河南平顶山·期末）如图，在中，的周长为，通过尺规作图，的周长为，则________． 考点二 线段垂直平分线的判定 例1．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，是上的一点，连接，作交于点，交于点，且平分，连接． (1)证明：垂直平分； (2)若面积为，求的周长． 例2．（25-26八年级下·宁夏银川·阶段检测）如图，在四边形中，，为的中点，连接，，，延长交的延长线于点．求证： (1)； (2)是的垂直平分线； (3)猜想：线段，，之间关系，并说明理由． 例3．（25-26八年级下·甘肃白银·期中）如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作于点E，连接交于点F． (1)若，求的度数； (2)求证：垂直平分． 变式1．（25-26八年级上·云南怒江·阶段检测）如图，在中，D是上一点，过点D作于点E，于点F，，连接，． (1)求证：． (2)是否垂直平分？请说明理由． 变式2．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，在中，是边上一点，于点交于点F． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 变式3．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，点在边上，，垂足为M，，垂足为与EN交于点P，且． (1)求证：； (2)连接，并延长交于点Q，求证：过点的直线垂直平分线段． 考点三 线段垂直平分线的作图问题 例1．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）某公园有一片不规则四边形的湖泊，点与点处分别有一座凉亭，园林设计师计划在湖边上设置一个观景台，使得观景台距两座凉亭的距离相等，请利用尺规作出观景台的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 例2．（25-26八年级下·山东青岛·期末）已知：如图，点是的边上一点，求作：内部的点，使点到点和点的距离相等且．请用尺规作图法，保留作图痕迹，不写作法 变式1．（25-26八年级下·贵州六盘水·期中）如图，在中，． (1)请用尺规作图法，作的平分线和边的垂直平分线，两线交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的基础上，设边的垂直平分线与边交于点，与边交于点，连接．若，求的度数． 变式2．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）如图，在中，，． (1)尺规作图：作边的垂直平分线，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，求的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：线段垂直平分线的性质、判定、作图问题专项训练 暑假预习：线段垂直平分线的性质、判定、作图问题专项训练 考点目录 线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线的判定 线段垂直平分线的作图问题 考点一 线段垂直平分线的性质 例1．（25-26七年级下·辽宁阜新·期末）如图，在中，，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线交于点，连接．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由作图可知直线是线段的垂直平分线，利用垂直平分线的性质得到相等的角，再结合直角三角形两锐角互余求出的度数，最后作差即可得到所求的度数． 【详解】解：根据题目中的作图方法，可知直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 在中，， ∴， 则． 例2．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，已知在中，垂直平分，若，的周长是，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的性质，结合已知条件，等量代换，即可得线段的长． 【详解】解：∵的周长是， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 例3．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点E，F，是线段的垂直平分线，若的周长为38，，则的长为________． 【答案】 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，，，进而得到，结合三角形周长公式及线段的和差关系即可求解． 【详解】解：如图，连接， 垂直平分，， ，， 是线段的垂直平分线， ，， ， 的周长为38， ， ， ， ． 变式1．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，是的边的垂直平分线，D为垂足，交于点E，且，则的周长是（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【详解】解：∵是的边的垂直平分线， ∴， ∵， ∴的周长是：． 变式2．（25-26八年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由作图可得，垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等量代换即可得到的周长． 【详解】解：由作图可得，垂直平分， ∴， ∴的周长为． 变式3．（25-26七年级下·河南平顶山·期末）如图，在中，的周长为，通过尺规作图，的周长为，则________． 【答案】3 【分析】先根据垂直平分线的性质得到，，列出两个三角形周长式子并作差，再用线段等量代换消去、、，化简后直接算出的长度． 【详解】解：由尺规作图痕迹可得，直线是线段的垂直平分线， ，． 的周长为， 的周长为， ， ∴． ∴， ， 考点二 线段垂直平分线的判定 例1．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，是上的一点，连接，作交于点，交于点，且平分，连接． (1)证明：垂直平分； (2)若面积为，求的周长． 【答案】(1)证明：，， ， 平分， ， 在和中， ， ， 点和点在的垂直平分线上， 垂直平分； (2)30 【分析】（1）证明，可得，从而得到点和点在的垂直平分线上即可． （2）由三角形的面积可求出，根据三角形周长公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ，， ， ， 的周长为30． 例2．（25-26八年级下·宁夏银川·阶段检测）如图，在四边形中，，为的中点，连接，，，延长交的延长线于点．求证： (1)； (2)是的垂直平分线； (3)猜想：线段，，之间关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：， ， 又∵E为的中点， ， 在和中， ∴， ∴． (2)证明：∵， ∴， 又∵， ∴是的垂直平分线； (3)结论：，理由如下： 在和中， ， ， ， 由（1）可知， ， 即． 【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证； （2）由（1）得，再由垂直平分线的判定即可证明； （3）根据全等三角形的判定和性质得出，确定，由（1）可知，根据即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 例3．（25-26八年级下·甘肃白银·期中）如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作于点E，连接交于点F． (1)若，求的度数； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用三角形的内角和定理与角平分线的定义求解即可． （2）证明，，可得，进一步可得结论． 【详解】（1）解： ，， ， 平分， ， ． （2）证明：平分，，， ， ， ， ， 垂直平分． 变式1．（25-26八年级上·云南怒江·阶段检测）如图，在中，D是上一点，过点D作于点E，于点F，，连接，． (1)求证：． (2)是否垂直平分？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)垂直平分，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂直平分线的判定，掌握全等三角形的性质和判定，垂直平分线的判定是解题的关键； （1）根据证明即可； （2）分别证明D，A在线段的垂直平分线上，即可得证． 【详解】（1）证明：，， 和都是直角三角形． 在和中， ， ． （2）解：垂直平分，理由如下： ， ∴点D在线段的垂直平分线上． ， ， ∴点A在线段的垂直平分线上， 垂直平分． 变式2．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，在中，是边上一点，于点交于点F． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂直平分线的判定，熟练掌握是解题关键 （1）根据直角三角形全等的判定证明即可； （2）利用全等三角形的性质得出，所以点在垂直平分线上，又，所以点在垂直平分线上，从而得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）∵， ∴， ∴点在垂直平分线上， ∵， ∴点在垂直平分线上， ∴垂直平分． 变式3．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，点在边上，，垂足为M，，垂足为与EN交于点P，且． (1)求证：； (2)连接，并延长交于点Q，求证：过点的直线垂直平分线段． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定，解题关键是通过证明三角形全等得到对应边、对应角相等，进而推导线段垂直平分线的条件． （1）证明，得出．则可得出结论； （2）得出，则平分，由等腰三角形的性质可得出结论． 【详解】（1）， 在与中， （2）如图， 即过点的直线垂直平分． 考点三 线段垂直平分线的作图问题 例1．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）某公园有一片不规则四边形的湖泊，点与点处分别有一座凉亭，园林设计师计划在湖边上设置一个观景台，使得观景台距两座凉亭的距离相等，请利用尺规作出观景台的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】如图所示，点即为所求． 【分析】观景台距两座凉亭的距离相等，则点P在线段的垂直平分线上，据此作线段的垂直平分线交于点P，则点P即为所求． 【详解】略 例2．（25-26八年级下·山东青岛·期末）已知：如图，点是的边上一点，求作：内部的点，使点到点和点的距离相等且．请用尺规作图法，保留作图痕迹，不写作法 【答案】 【分析】作的垂直平分线，再过点作的垂线，两线交点即为点． 【详解】略 变式1．（25-26八年级下·贵州六盘水·期中）如图，在中，． (1)请用尺规作图法，作的平分线和边的垂直平分线，两线交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的基础上，设边的垂直平分线与边交于点，与边交于点，连接．若，求的度数． 【答案】(1)解：如图所示： 上图即为所求作； (2) 【分析】（1）分别作的平分线及作边的垂直平分线即可； （2）由垂直平分线性质及角平分线定义得到，结合已知条件，由三角形内角和定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：略； （2）解：如图所示： 垂直平分边， ，，， 平分， ， 则， ，， ， 即，解得． 变式2．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）如图，在中，，． (1)尺规作图：作边的垂直平分线，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据尺规作图—垂直平分线的作图步骤，逐步作图即可； （2）延长到点E，使，连接，先推导出，得到，进而推导出，得到，可证明，得到，则，即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所作； （2）解：如图，延长到点E，使，连接， ∵直线为的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $