1.1.2空间向量的数量积运算课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量的数量积运算，涵盖向量夹角、数量积定义、性质、运算律及垂直、夹角、距离问题应用。通过回顾平面向量数量积导入，衔接空间向量，构建从平面到空间的知识支架，助力学生迁移学习。 其亮点是结合“AI·思考辨析”“重难探究”等环节，引导学生用数学眼光观察空间与平面向量夹角差异，用数学思维推理数量积应用（如正四面体向量运算），用数学语言规范表达。例题变式训练助学生深化理解，教师可提升教学效率。

第一章　空间向量与立体几何 1.1.2　空间向量的数量积运算 学 习 目 标 1.理解空间两个向量夹角的定义. 2.掌握空间向量数量积的定义、性质、运算律,会求空间向量的数量积. 3.能够运用空间向量的数量积解决空间中的垂直、夹角与距离问题. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 目 录 索 引 基础落实·必备知识全过关 知识点1 空间向量的夹角 1.定义:如图,已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,则∠AOB叫做向量a,b的夹角,记作　　　　　. a与b始点相同,为点O  <a,b> 2.范围:0≤<a,b>≤π. 特别地,当<a,b>=时,向量a,b互相垂直,记作　　　　　; 当<a,b>=0时,a与b方向相同;当<a,b>=π时,a与b方向相反.  a⊥b AI·思考辨析 空间中两向量的夹角与空间中两直线夹角的范围有何区别? 体验新知 1.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各组向量的夹角为45°的是(　　) A. B. C. D. A 解析 对于A,因为,且<>=45°,所以<>=45°,故A正确; 对于B,因为,且<>=135°,所以<>=135°,故B错误; 对于C,因为,且<>=90°,所以<>=90°,故C错误; 对于D,因为,且<>=180°,所以<>=180°,故D错误.故选A. 2.(北师大版教材习题)对于非零向量a,b,根据下列条件求<a,b>: (1)cos<a,b>=1; (2)cos<a,b>=-1; (3)cos<a,b>=0. 知识点2 空间向量的数量积 1.定义:已知两个非零向量a,b,则　　　　　 　叫做a,b的数量积,记作　　　　.  即a·b=|a||b|cos<a,b>. 特别地,零向量与任意向量的数量积为　　　　.  |a||b|cos<a,b> a·b 0 2.数量积的运算性质 当a≠0,b≠0时, (1)a⊥b⇔　　　　　;  (2)a·a=|a||a|cos<a,a>=　　　　;  也记作a2 (3)若θ为向量a,b的夹角,则cos θ=　　　　　.  a·b=0 |a|2 3.投影向量的概念 分类 作法 图形表示 符号表示 向量a在向量b上的投影向量 将向量a,b(直线l)平移到同一个平面α内,利用平面上向量的投影,得到与向量b(直线l的方向向量)共线的向量c   c=    向量a在直线l上的投影向量   平面β 4.数量积的运算律 (λa)·b=　　　　,λ∈R;  a·b=　　　　(交换律);  (a+b)·c=　　　　　　(分配律).  λ(a·b) b·a a·c+b·c AI·思考辨析 1.(a·b)c与向量c之间什么关系? 2.若a·b>0,则<a,b>一定是锐角吗? 提示 共线. 提示 当<a,b>=0时,也有a·b>0,故当a·b>0时,<a,b>不一定是锐角. 体验新知 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)对于向量a,b,若a·b=0,则一定有a=0或b=0.(　　) (2)对于非零向量b,由a·b=b·c,可得a=c.(　　) (3)若a·b<0,则<a,b>是钝角.(　　) (4)已知e1,e2是夹角为120°的两个单位向量,则向量e1在向量e2上的投影向量为-e2.(　　) × × × √ 2.若非零空间向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则向量a与b的夹角为(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° C 解析 设向量a与b的夹角为θ,则由(2a+b)·b=0,得2|a||b|cos θ+|b|2=0. 又因为|a|=|b|,所以cos θ=-,所以θ=120°. 3.已知|a|=3,|b|=5,a·b=-12,且e是与b方向相同的单位向量,则a在b上的投影 向量为　　　　　.  -e 解析 设a与b的夹角为θ,则cos θ==-, 所以a在b上的投影向量为|a|cos θe=3×e=-e. 4.已知|a|=4,|b|=5,分别求下列条件下a与b的数量积. (1)a与b的夹角为60°; (2)a与b的夹角为150°; (3)a⊥b; (4)a∥b. 解 (1)a·b=|a||b|cos 60°=4×5×=10. (2)a·b=|a||b|cos 150°=4×5×=-10. (3)当a⊥b时,a·b=0. (4)当a∥b时,<a,b>=0或π,则a·b=|a||b|cos<a,b>=±20. 重难探究·能力素养速提升 能力提升点一 求空间向量的数量积 【例1】 如图,已知正四面体OABC的棱长为1,E,F分别是OA,OC的中点.求下列向量的数量积: (1); (2); (3)()·(). 思路分析 求出每个向量的模及它们的夹角,然后按照数量积的定义求解,必要时,对向量进行分解. 解 (1)因为正四面体的棱长为1,则||=||=1. 因为△OAB为等边三角形,∠AOB=60°, 所以=||||cos<>=||||cos∠AOB=1×1×cos 60° =. (2)由于E,F分别是OA,OC的中点,所以EF∥AC,EF=AC, 于是=||||cos<>=|||cos<> =×1×1×cos<>=×1×1×cos 120°=-. (3)()·()=()·() =()·(-2) =-2-2 =1+-2×+1-2×=1. 例题探究　(变条件,变问法)若H为BC的中点,其他条件不变,求. 解 由题意知),, 所以)=). 易知,AB与OC垂直,则=0, 所以)·|2=. 能力提升点二 利用数量积求夹角 【例2】 如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=BB1,求所成角的大小. 解 在正三棱柱ABC-A1B1C1中,向量不共面, . 令||=a,则||=||=a. 又, 所以=()·() = =a2-a×acos 60°=0, 故,所以所成角为90°. 变式训练1　已知四面体OABC的所有棱长都等于2,E,F分别为AB,OC的中 点,则向量与向量所成角的余弦值为　 .  能力提升点三 利用数量积证明垂直问题 【例3】 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是a,CD1与DC1相交于点O. (1)求; (2)判断是否垂直. 解 (1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,CD1=a,<>=, 则a×a×cos=a2. (2)垂直.由题意得,=0,=0,=0, )=), , 则=[)]·()==0, 故垂直. 变式训练2 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是DD1的中点,O是底面ABCD的中心.求证:OB1⊥平面PAC. 证明 取=a,=b,=c,令|a|=|b|=|c|=1, 则有=a+b, )+a-b+c, ∴=(a+b)·|a|2+a·b-a·b-|b|2+a·c+b·c==0, ∴,即AC⊥OB1. ∵=b+c, ∴ a·b-|b|2+c·b+a·c-b·c+|c|2=-=0,∴,即OB1⊥AP. ∵AC∩AP=A,AC,AP⊂平面PAC,∴OB1⊥平面PAC. 能力提升点四 利用数量积求距离或长度 【例4】 如图,在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,AB=4,AD=3,AA'=5, ∠BAD=90°,∠BAA'=∠DAA'=60°.求: (1);(2)AB'的长;(3)AC'的长. 解 (1)=||||cos 60°=5×4×=10. (2)∵, ∴=()2=+2=52+2×5×4×+42=61, 则||=,即AB'的长为. (3)∵, ∴=()2 =+2() =16+9+25+2×(0+5×4×+3×5×)=85, ∴||=,即AC'的长为. 变式训练3 (北师大版教材习题)如图,已知PA⊥平面ABC,垂足为点A, ∠ABC=,PA=AB=BC=6,则||=(　　) C 本节要点归纳 1.知识清单: (1)空间向量的夹角、投影; (2)空间向量数量积的概念; (3)空间向量数量积的性质及运算律. 2.方法归纳:转化化归. 3.常见误区:(1)数量积的符号由夹角的余弦值决定; (2)当a≠0时,由a·b=0可得a⊥b或b=0. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 6 1.已知|a|=1,|b|=,且a-b与a垂直,则a与b的夹角为(　　) A.60° B.30° C.135° D.45° D 解析 由题知,(a-b)·a=a2-a·b=0, 则a·b=a2=1,所以cos<a,b>=. 而0°≤<a,b>≤180°,所以<a,b>=45°.故选D. 1 2 3 4 5 6 2.(北师大版教材习题)已知a,b,c是两两垂直的单位向量,则|a-2b+3c|=(　　) B 解析 ∵|a|=|b|=|c|=1,a·b=b·c=a·c=0, ∴|a-2b+3c|= = =. 1 2 3 4 5 6 3.已知向量a,b的夹角为,|a|=2,|b|=3,则a·(a+3b)=　　　　　.  13 解析 由题知,向量a,b的夹角为,|a|=2,|b|=3, 则a·(a+3b)=a2+3a·b=|a|2+3|a||b|cos=22+3×2×3×=13. 1 2 3 4 5 6 4.已知|a|=4,空间向量e为单位向量,<a,e>=,则空间向量a在向量e方向上投影向量的模为　　　　　.  2 解析 由题可知,空间向量a在向量e方向上的投影向量为|a|cos<a,e>e=-2e,则投影向量的模为2. 5.(人教B版教材习题)已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,求: 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 解 (1)∵,∴=0. (2)∵<>=0,∴=1×1×cos 0=1. (3)∵<>=45°,且||=, ∴=1××cos 45°=1. (4)在Rt△B'A'D中,cos∠A'B'D=,∴=||||cos(π-∠A'B'D)=×1×(-)=-1. 1 2 3 4 5 6 6.如图,正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为a. (1)求cos<>; (2)求证:A'B⊥AC'. 1 2 3 4 5 6 (1)解 设=a,=b,=c. ∵正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为a, ∴|a|=|b|=|c|=a,且<a,b>=90°,<a,c>=90°,<b,c>=90°. ∵=a-c,=b-c, ∴=(a-c)·(b-c)=a·b-a·c-b·c+c2=0-0-0+a2=a2. 又||=a,||=a, ∴cos<>=. 1 2 3 4 5 6 (2)证明 由(1)知,=a-c,=a+b+c, ∴=(a-c)·(a+b+c)=a2+a·b+a·c-c·a-c·b-c2=a2+0+0-0-0-a2=0, ∴,即A'B⊥AC'. 本 课 结 束 提示 两向量夹角的范围为[0,π],两直线夹角的范围为. 解 (1)<a,b>=0.(2)<a,b>=π.(3)<a,b>=. |a|cos<a,b> 分类 作法 图形表示 符号表示 向量a在平面β上的投影向量 分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线,垂足分别为A',B',得到向量 (向量a,的夹角就是向量a所在直线与 　　　所成的角) - 解析 由已知得),, 因此||=|=, ||=. 又因为)·×2-×2+×2-2=-2, 所以向量与向量所成角的余弦值cos θ==-. A.6 B.6 C.12 D.144 解析 因为||2 =+2+2+2 =||2+||2+||2+2||||cos<>=62+62+62+2×6×6×=4×62, 所以||=12. A.14 B. C.4 D.2 (1); (2); (3); (4). $