第02讲 两直线的位置关系（11核心考点）（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

该高中数学高考复习讲义围绕两条直线的位置关系、交点与方程组解的关系、距离公式及对称问题等核心考点，按“考情分析-知识梳理-重难突破-分层集训”逻辑架构，通过考点归纳、方法指导、典例精讲和真题训练，帮助学生系统构建知识网络，突破高考高频难点。 资料采用分层教学策略，设置基础演练、能力进阶、真题实战三级练习，结合对称问题中光线反射等典例培养数学思维和空间观念。方法技巧总结如两直线交点问题求解策略，助力学生高效解题，为教师把控复习节奏提供清晰路径，提升复习针对性和实效性。

第02讲 两条直线的位置关系 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识点1 两条直线的位置关系 知识点2直线的交点与方程组解的关系 知识点3距离公式 知识点4 对称问题 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测）(含超链接） 考点01 两条直线位置关系的判断 考点06 两平行直线间的距离 考点02 根据两直线的位置关系求参数 考点07 距离相关的最值问题 方法技巧 判断两条直线位置关系的注意点 考点08 对称问题 考点03 根据直线的位置关系求方程 考点09 对称中的最值问题 考点04 直线的交点问题 考点10光线反射问题 方法技巧 两直线的交点问题的求解策略 考点11 距离新定义问题 考点05 点到直线的距离公式 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直. 2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标. 3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离． 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 两条直线的位置关系 上海卷T4，全国Ⅱ卷T11，北京卷T11， 天津卷T12，全国Ⅰ卷T7 北京卷T3 考情解读 两条直线的位置关系在近几年的高考数学中，整体定位可以概括为一句话：基础但高频，单独考查偏少，更多是作为解析几何、圆、圆锥曲线等综合题的“前置工具”出现，选择、填空中出现频率更高，通常属于中低档题。 备考策略 高考对两条直线的位置关系的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，备考时应熟练掌握两条直线的位置关系、距离公式、对称问题等，特别要重视两条直线的位置关系以及点到直线的距离公式这两个考点． 知识・归纳梳理 知识1 两条直线的位置关系 （1）直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一条直线，l2与l4是同一条直线)的位置关系如下表： 位置关系 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件 平行 k1＝k2且b1≠b2 A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0 垂直 k1·k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0 相交 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0 必记结论 (1)两条直线平行或重合的充要条件 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0. (2)两条直线垂直的充要条件 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0. 知识2 两条直线的交点及方程组解的关系 1．两条直线的交点坐标 (1)两条直线的交点坐标 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合. (2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系 设两直线，直线. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 必记结论 过直线与的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0， λ∈R，但不包括直线l2. 知识3 距离公式 1．两点间的距离公式 平面内两点间的距离公式为. 特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=. 2．点到直线的距离公式 (1)定义： 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离. (2)公式： 已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=. 3．两条平行直线间的距离公式 (1)定义 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长. (2)公式 设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=. 必记结论 点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 (1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式． (2)求两平行线之间的距离时，应先将直线方程化为一般式，且x，y的系数对应相等． 知识4 对称问题 1．六种常用对称关系 (1)点(x,y)关于原点(0,0)的对称点为(-x,-y). (2)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y)，关于y轴的对称点为(-x,y). (3)点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x)，关于直线y=- x的对称点为(-y,-x). (4)点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y)，关于直线y=b的对称点为(x,2b-y). (5)点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y). (6)点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y,k-x)，关于直线x-y=k的对称点为(k+y,x-k). 2．对称问题的求解策略 (1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解. (2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题. 重难・核心突破 考点01 两条直线位置关系的判断 典例1．（2026·天津河西·三模）设，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由，若，则、重合，充分性不成立， 由，则必有，必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 典例2．已知直线经过，两点，直线的斜率为，那么与（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】C 【分析】利用两直线的位置关系求解. 【详解】因为直线经过，两点， 所以直线的斜率为，而， 所以，所以与垂直， 故选：C 【考法预测1】（2026·湖南郴州·模拟预测）以，，，为顶点的四边形是（    ） A．矩形 B．菱形 C．直角梯形 D．正方形 【答案】A 【详解】根据斜率公式 ​​，代入四个点坐标，，，， 则， 所以，， 两组对边分别平行，该四边形是平行四边形， 又因为 ，所以，即邻边垂直，则该平行四边形为矩形， 再根据两点间距离公式可得： 由于邻边长度不相等，排除菱形、正方形,故该四边形是矩形. 【考法预测2】（多选）已知直线和直线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则表示与轴平行或重合的直线 B．直线可以表示任意一条直线 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】利用线线平行、线线垂直的性质可直接判断. 【详解】对于A，当时，斜率为0，与轴平行或重合，故A正确； 对于B，当时，斜率不存在，当时，斜率存在，能表示任意直线，故B正确； 对于C，若，且或，则，故C错误； 对于D，若，则由可得斜率之积为-1，故，若，可得，此时满足，此时两条直线一条斜率为0，一条斜率不存在，故，故D正确. 故选：ABD. 【考法预测3】（多选）已知直线，，则（    ） A．直线过定点 B．当时， C．当时， D．当时，两直线，之间的距离为1 【答案】ACD 【分析】逐一分析选项，核心是直线过定点、平行、垂直的判定及平行线间距离公式． 【详解】解：对于A，变形为，令，则 因此直线过定点，故A正确； 对于B，当时，，， 因为，所以两直线不垂直，故B错误； 对于C，当时，，， 因为，所以两直线平行，故C正确； 对于D，当时，则满足，得， 此时，，， 则两直线间的距离为，故D正确． 故答案为：ACD. 考点02 根据两直线的位置关系求参数 典例1．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知直线：与直线：平行，则实数的值为（   ） A．-1 B．0 C．3 D．-1或3 【答案】A 【详解】当时，直线：与直线：，显然直线与不平行； 当时，因为直线：与直线：平行， 所以，解得，检验符合. 典例2．（2026·重庆万州·三模）若直线与直线垂直，则m=（   ） A． B．15 C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线垂直的充要条件求解即可. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，解得. 【考法预测1】（2026·宁夏吴忠·二模）直线：和直线：互相平行，则的值为（   ） A． B．3 C．或3 D．或1 【答案】A 【详解】因为直线：和直线：互相平行， 所以，解得. 【考法预测2】（25-26高三下·江苏泰州·阶段检测）已知直线，向量与该直线的一个法向量垂直，则实数（   ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【详解】的法向量为，因此，故. 【考法预测3】（2026·北京朝阳·二模）已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【详解】已知双曲线方程为，其渐近线方程为. 直线可化为. 因为一条渐近线与该直线平行，所以它们的斜率相等， 即，两边同乘得， 解得（舍去，因），所以. 【考法预测4】（2026·四川达州·二模）若曲线在处的切线与直线垂直，则实数_____. 【答案】 【分析】本题利用导数的几何意义表示出切线的斜率，由斜率存在的两直线垂直时，斜率乘积为，建立等量关系，从而求出实数. 【详解】解：由题可得，所以函数在处的切线斜率为. 已知直线的斜率为，切线与该直线垂直，所以，解得. 方法技巧 判断两条直线位置关系的注意点 (1)斜率不存在的特殊情况． (2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论． 考点03 根据直线的位置关系求方程 典例1．已知平面直角坐标系内两点，，则过点且与直线垂直的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两点确定直线的斜率，再利用两垂直直线间的斜率关系，可求出，最后利用点斜式方程可得解. 【详解】由题意知，，则直线的斜率, 因为直线与直线垂直，根据两直线垂直，若存在斜率，则两斜率乘积为， 所以直线的斜率，再由直线经过点， 则由点斜式方程可得直线的方程为， 即， 故选：A. 典例2（新考法）（2026·山东·二模）已知直线与直线平行，且在轴上的截距是，则直线的方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意设直线的方程为，代入求出参数的值，即可得解. 【详解】因为直线平行于直线，所以直线可设为， 因为在轴上的截距是，则过点，代入直线方程得， 解得，所以直线的方程是. 故选：C 【考法预测1】已知直线的一个方向向量为，则过点且与垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】据直线方向向量求出斜率，由两直线位置关系求与垂直的直线斜率，点斜式表达方程即可得解. 【详解】的方向向量为，则斜率为，因为直线与垂直，所以斜率为 又过点，所以直线方程为，整理可得. 故选：D. 【考法预测2】（25-26高二下·河南驻马店·阶段检测）经过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线 的斜率为 。 因为所求直线与已知直线平行，故设所求直线方程为 。 将点 代入方程得： ， 因此，所求直线方程为：。 【考法预测3】将直线绕点逆时针旋转后所得直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，所得直线与直线垂直，可得出所求直线的斜率，再利用点斜式可得出所求直线的方程. 【详解】由题意可知，所得直线与直线垂直，即所求直线的斜率为， 因此，所求直线的方程为，即. 故选：C. 【考法预测4】（多选）（25-26高二下·四川南充·阶段检测）已知直线，为坐标原点，则下列选项中正确的有（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线在轴上的截距为 C．过且与直线平行的直线方程为 D．过且与直线垂直的直线方程为 【答案】AC 【详解】直线，化为斜截式. A：斜率，倾斜角，正确. B：代入得轴截距为，非，错误. C：过原点直线斜率为，且直线与不重合，所以过且与直线平行的直线方程为，正确. D：直线斜率，所以与其垂直的直线斜率为，而直线方程斜率为，错误. 考点04 直线的交点问题 典例1（2026高三·全国·专题练习）经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设直线方程为，求出其在两坐标轴上的截距，令其相等，解方程即可求出结果. 【详解】解：设直线方程为， 即 令，得， 令，得. 由， 得或. 所以直线方程为或. 故选：C. 【考法预测1】直线和的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】联立方程求解即可. 【详解】由方程组，得，即交点为． 故选：C． 【考法预测2】直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线垂直，求出值，代入方程，联立即可求得交点. 【详解】由直线与互相垂直，可得，解得， 将代入直线，得到， 联立方程组，解得，交点坐标为. 故选：C 【考法预测3】（2026·广东·模拟预测）已知直线，，能构成三角形，设满足条件的k值构成集合A，则的子集个数为（   ） A．8 B．16 C．2 D．1 【答案】A 【详解】因为直线，，能构成三角形， 所以不平行于且不平行于且，，不共点， 当不平行于时，可得， 当不平行于时，可得， 当，，不共点时，由，解得， 所以，解得， 所以且且，所以， 所以的子集个数为. 方法技巧 两直线的交点问题的求解策略 (1)求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程联立组成的方程组，得到的方程组的解，即交点的坐标． (2)求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程. 考点05 点到直线的距离公式 典例1（2026·福建泉州·模拟预测）已知点，向量，若与直线垂直，则到直线的距离等于（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据直线的方向向量与垂直求出，再由点到直线的距离求解. 【详解】因为直线的一个方向向量为， 又与直线垂直，所以， 解得，所以直线， 所以到直线的距离为. 典例2过点引直线，使，两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】就直线与平行或过的中点可求直线的方程. 【详解】若过的直线与平行，因为， 故直线的方程为：即. 若过的直线过的中点，因为的中点为，此时， 故直线的方程为：即. 故选：D. 【考法预测1】（2026·山西忻州·模拟预测）圆的圆心到直线的距离为（  ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】根据题意，求得圆心的坐标，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】将圆，化为，可得圆心为， 圆心到直线的距离为． 【考法预测2】已知，两点到直线的距离相等，则（    ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 【答案】C 【分析】利用点到直线公式结合题目信息列式可得答案. 【详解】点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 由题意得，解得或. 故选：C. 【考法预测3】（2026·北京顺义·二模）已知直线过点，其倾斜角为，设原点到直线的距离为.当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，设直线的方程为，再结合点到直线的距离公式列不等式求解即可. 【详解】由题意，直线过点，且原点到直线的距离， 则直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 则，由，则，解得或， 又，则的取值范围是. 【考法预测4】已知，两点到直线l：的距离相等，则a的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】法一：由点线距离公式列方程求参数值；法二：两点到直线的距离相等，则直线与两定点所在直线平行，或直线过以两定点为端点的线段的中点，列方程求参数值. 【详解】法一：因为点，到直线l：的距离相等， 所以，即， 化简得，解得或； 法二：若，由，，得直线AB的斜率为，又直线l的斜率为，故； 若在两侧，线段AB的中点，代入直线l：，得，则． 经检验，或均符合题意. 故选：C 考点06 两平行直线间的距离 典例1（2026高三·全国·专题练习）若直线与直线：之间的距离是，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】∵直线与直线之间的距离为，   ，，或（负值舍去）． ． 典例2（新考法）（25-26高三下·江西赣州·期中）已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，将问题转化成求两平行直线，间的距离，即可求解. 【详解】由，得到，， 因为表示点到点间的距离， 又点在直线上，点在直线上， 易知直线与直线平行， 则两直线，间的距离为， 所以的最小值为. 【考法预测1】）（2026·吉林白山·一模）直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两平行线间的距离公式即可求解. 【详解】将变形为， 故两直线的距离为， 故选：B 【考法预测2】（2026·北京海淀·二模）若直线与平行，则与的距离为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】由题意得，解得， 当时，不重合，故， 可化为， 所以与的距离为. 【考法预测3】两条平行直线2x－y＋3＝0和ax－3y＋4＝0间的距离为d，则a，d分别为(　　) A．a＝6，d＝ B．a＝－6，d＝ C．a＝－6，d＝ D．a＝6，d＝ 【答案】　D 【解析】　依题意知直线2x－y＋3＝0与直线ax－3y＋4＝0平行， 得2×(－3)－(－1)×a＝0，解得a＝6， 所以两直线分别为2x－y＋3＝0和6x－3y＋4＝0， 即6x－3y＋9＝0和6x－3y＋4＝0， 所以两直线间的距离d＝＝. 考点07 距离相关的最值问题 典例1已知实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【解题思路】为直线上的点到原点距离的平方，利用点到直线的距离公式求解即可. 【解答过程】为直线上的点到原点距离的平方， 所以的最小值为原点到直线的距离的平方， 又原点到直线的距离， 所以的最小值为1． 故选：D. 典例2若动点，分别在直线与上移动，则的中点到原点的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据动点满足的关系式，结合中点公式可得中点满足的方程，利用点到直线的距离求解. 【解答过程】设的中点的坐标为，则有， 又，分别在直线与上， ∴联立得，两式相加得， ∴，即， 即的中点在直线上移动， ∴到原点距离的最小值即原点到直线的距离． 故选：A. 【考法预测1】直线上的动点和直线上的动点，则点与点之间距离的最小值是 ． 【答案】 【解题思路】利用平行线之间的距离公式求解即可. 【解答过程】直线和直线互相平行， 故点与点之间距离的最小值即两条直线间的距离， 且两条直线间的距离：. 故答案为：. 【考法预测2】点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为(　　) A．1 B. C. D．2 【答案】　B 【解析】由y＝k(x＋1)可知直线过定点P(－1,0)，设A(0，－1)，当直线y＝k(x＋1)与AP垂直时，点A到直线y＝k(x＋1)的距离最大， 即为|AP|＝. 【考法预测3】（2026高三·全国·专题练习）直线l1经过点(3,0)，直线l2经过点(0,4)，且l1∥l2，d表示l1和l2之间的距离，则d的取值范围是________． 【答案】　(0,5] 【解析】当直线l1，l2都与过(3,0)，(0,4)两点的直线垂直时， dmax＝＝5； 当直线l1和l2都经过(3,0)，(0,4)两点时，两条直线重合． 所以0<d≤5. 【考法预测4】若点(m，n)在直线l：3x＋4y－13＝0上，则(m－1)2＋n2的最小值为(　　) A．3 B．4 C．2 D．6 【答案】　B 【解】由(m－1)2＋n2的几何意义为点(m，n)到点(1,0)距离的平方， 得其最小值为点(1,0)到直线l：3x＋4y－13＝0的距离的平方， 即d2＝＝4. 考点08 对称问题 典例1点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点关于直线的对称点为，列出方程组，即可求解. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则满足，解得，即. 故选：C. 典例2直线关于点对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，代入已知直线即可求得结果. 【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为， 则其关于点对称的点的坐标为， 因为点在直线上， 所以即. 故选：D. 典例3（2026·新疆·一模）在平面直角坐标系中，直线关于直线对称的直线的方程是（   ） A．3 B．3 C．3 D．3 【答案】A 【分析】先求两直线的交点，再求另一点的对称点根据两点可求方程. 【详解】由可得交点为， 在直线上取一点，设其关于直线的对称点为， 则，解得，即， 由两点式方程可得，即. 故选：A 【考法预测1】直线关于直线对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设所求直线上任意一点的坐标为，利用对称的性质得到点P关于直线对称的点为代入直线即可求得结果. 【详解】设所求直线上任意一点的坐标为，该点关于直线对称的点的坐标为， 则,故对称点坐标为，代入直线上，， 故选：D 【考法预测2】已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线所过定点的坐标，求出点关于点的对称点的坐标，即为所求. 【详解】直线的方程可化为，由得， 所以，直线过定点，点关于点的对称点为， 因此，直线恒过的定点. 故选：C. 【考法预测3】已知直线，若关于对称的直线为，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件判断，可设，利用对称性可知与间的距离等于与间的距离，列方程求解即得. 【详解】因为，所以，设直线的方程为且. 因为直线关于直线对称，所以与间的距离等于与间的距离. 由两平行直线间的距离公式，得，解得或（舍去）. 所以直线的方程为. 故选：D. 【考法预测4】若点和点关于直线对称，则______． 【答案】 【分析】由已知可得是线段的垂直平分线，据此计算可求. 【详解】因为点和点关于直线对称， 所以是线段的垂直平分线，由，可得，解得. 又AB的中点坐标为，，所以，解得， .故. 故答案为：. 考点09 对称中的最值问题 典例1（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）在平面直角坐标系xOy 中，已知点，P 为直线上一动点，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】求出点关于直线的对称点，利用轴对称性质及两点间线段最短求出最小值. 【详解】设点关于直线的对称点， 则，解得，即点， 因此，当且仅当为线段与直线的交点时取等号， 所以的最小值是4. 故选：D 【考法预测1】已知直线和两点，若直线上存在点P使得最小，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断与直线的位置关系为在直线同侧，故先求出点关于直线的对称点的坐标，此时求出直线的方程，则直线与的交点即为点位置. 【详解】 由图可判断在直线的同侧，设点关于的对称点的坐标为， 则有，解得. 所以直线的方程为，直线与的交点即为， 由平面几何知识可知此时最小. 故选：B. 【考法预测2】已知点P在直线上，点，则的最小值为________ 【答案】 【知识点】求点关于直线的对称点后可求线段差的最小值. 【详解】如图，设关于直线的对称点为，则， 解得，则， 于是， 结合图形知，当三点共线时，此时取得最小值， 即取得最小值为 故答案为： 【考法预测3】已知圆及点，点P、Q分别是直线和圆C上的动点，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】首先找到点关于直线的对称点，然后结合两点之间线段最短即可求解. 【详解】如图所示：    设点A于直线的对称点为， 则解得则，因为， 所以的最小值为． 故答案为： 考点10 光线反射问题 典例1（25-26高二上·广东·期末）一束光线从点射出，与直线相交于点．经直线反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出点关于直线的对称点，然后结合点可得直线方程. 【详解】设点关于直线的对称点，则， 解得，即点，故所求直线的斜率为， 所以，所求直线的方程为，即. 故选：A 典例2（2026高三·全国·专题练习）如图所示，已知，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（    ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【详解】由题意，直线的方程为，设关于直线的对称点为， 则，解得，即，又关于轴的对称点为， 所以光线所经过的路程为. 【考法预测1】已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出关于直线的对称点为的坐标，由都在反射光线所在直线上得直线方程. 【详解】设关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以反射光线所在直线方程为，即. 故选：B. 【考法预测2】（25-26高三·全国·一轮复习）光线沿着直线射到直线上，经反射后沿着直线射出，则_______，_______． 【答案】 【分析】根据直线与关于直线对称，可求的值. 【详解】由题意，直线与直线关于直线对称， 所以直线上的点关于直线的对称点在直线上， 所以，所以， 所以直线上的点关于直线的对称点在直线上，所以，所以． 故答案为：； 【考法预测3】如图已知，若光线从点射出，直线反射后到直线上，在经直线反射回原点，则光线所在的直线方程为________． 【答案】 【分析】反射问题的本质还是对称问题，分别求点关于和的对称点，即可求得直线的方程，利用直线方程联立，求得点的坐标，再求直线的方程. 【详解】由题意知直线的方程为， 设光线分别射在上的处， 作出点关于的对称点，作出点关于的对称点， 则∠∠∠，∠∠∠， 共线， 易得点关于轴的对称点， ∠， ，的横坐标为， 由对称性可知，可得的纵坐标为， ， 直线方程，即， 联立，得，，则， 直线：，即光线所在的直线方程为． 考点11 距离新定义问题 典例2（2026·山东菏泽·二模）闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义.设两组数据分别为和，这两组数据间的闵氏距离定义为，其中表示阶数，则下列说法正确的有（） A．若，，则 B．若，，其中，则的最小值为 C．若，，其中，则的最小值为1 D．若，，则对任意实数，都有 【答案】ACD 【分析】A选项直接按1阶曼哈顿距离公式代入数值计算得结果为6判定正确，B选项，举反例取点，判断，进一步得出B错误；C选项把1阶距离最小值问题转化为指数曲线与直线的最短曼哈顿距离，通过切线找切点与垂足代入计算得最小值为1判定正确，D选项换元三角代换化简3阶、4阶距离表达式，利用正弦幂函数单调性比较大小，推得3阶距离恒大于4阶距离判定正确. 【详解】对于A：，故正确. 对于B：， ，，， . 取点在曲线上，点在直线上，，B选项错误. 对于C，点在曲线上运动，点在直线上运动，要使最小， 则两点距离最小.如图，平移直线与曲线相切， 根据切线不等式，当且仅当时等号成立， 则切线为，切点为， 过切点作直线的垂线，则垂线所在直线方程为， ；联立可易得垂足坐标为，故当最小，为，故正确；    对于D：，，，，. 由，得，令. 则， 所以. 因为，所以. 所以， 所以，D正确. 【考法预测1】（2026·湖南怀化·模拟预测）已知点，，定义为A，B的“镜像距离”.若点A，B在曲线上，且的最小值为2，则实数a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据距离新定义，将问题化为求上的点到曲线上点的距离最小时对应参数值，即可得. 【详解】由函数得，即， 的反函数为. 由点在曲线上，知点在其反函数上， 相当于上的点到曲线上点的距离，即， 利用反函数性质可得与关于对称， 当与垂直时，取得最小值为2， 因此A，两点到的距离都为1. 过点作切线平行于直线，斜率为1， 由，得，可得， 所以，即， 点到的距离，解得. 当时，与相交，不合题意； 当时，与不相交，符合题意. 综上，. 【考法预测2】（2026·上海松江·模拟预测）记号表示中取较大的数，如. 在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”. 已知点为坐标原点，点在圆上，点在直线上，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】先利用几何直观判断取最小值的情形，再结合构造出需要优化的目标函数，最后通过分类讨论得到最小值. 【详解】设点，与点的切比雪夫距离为的点构成了一个以点为中心，边长为的正方形， 要让最小，直线应经过正方形的右上角或左下角，即或， 代入直线方程可得或， 于是有，即的最小值为， 由圆的圆心为且半径为可知圆在第一象限，所以有， 则， 因此需要优化的目标函数为，下面分类讨论， 当且时，， 当且时，， 即当时，当且仅当时取等号， 当时，联立和圆的方程得到，解得， 取较小的一组解进行验算得，符合前提条件； 当时，和不可能同时成立（否则）， 因此必定有，所以， 综上所述，的最小值也即的最小值为. 【考法预测3】（2026·江西·二模）如何度量样本间的相似性是人工智能核心领域的基础问题，通常通过计算样本间的“距离”来解决．镜像距离是一种基础且重要的工具．定义两点，的镜像距离为．若，，则的最小值为________． 【答案】 【分析】先根据镜像距离列出 表达式,构造函数求导判断其最小值恒大于 0,消去绝对值,再以 分段讨论目标函数,分别求导得出两段区间内各自最小值,最后通过对数与指数放缩比较两个最小值大小,从而得到 的最小值. 【详解】由题意得，设，则. 当时，，当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 则，即. 所以． 令 当时，， 则， 令，得，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，． 当时，，则. 易知在上恒成立，所以在上单调递减. 所以， . 因为，所以，即. 所以，所以，所以. 所以的最小值为． 拔高・分层集训 基础演练 1．（24-25高二上·陕西渭南·阶段检测）直线与 (不同时为0)的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．与的值有关 【答案】B 【分析】判断两条直线的位置关系，分类讨论，通过计算斜率的乘积来确定即可. 【详解】当、都不为时,直线的斜率为，直线的斜率为.因为两条直线斜率的乘积为：，所以两条直线垂直. 当，时,直线可化为，其斜率不存在. 直线可化为，其斜率为，此时两条直线垂直. 当，时,直线可化为，其斜率为. 直线可化为，其斜率不存在，此时两条直线垂直. 故选：B. 2．（2026·河北邯郸·二模）已知直线，，则“”是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】当时，，，则直线斜率为，截距为， 直线斜率为，截距为，因为两条直线斜率，且在轴上的截距， 所以，此“”是的充分条件； 若，当时，，，显然两条直线有交点， 当时，若，则需满足两条直线斜率相等且在轴上的截距不相等， 即：，解得：，因此“”是的必要条件， 所以“”是的充要条件. 3．（2026·四川绵阳·模拟预测）若直线与直线垂直，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据两直线垂直的条件列出关于的方程,求解的值即可. 【详解】对于直线和直线垂直,则. 已知直线中,直线中. 因为,即. 故选：C. 4．（2026·四川宜宾·一模）抛物线的焦点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】得到抛物线焦点后，利用点到直线距离公式计算即可得. 【详解】抛物线的焦点为， 则该点到直线的距离. 5．以为顶点的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．以为直角顶点的直角三角形 D．以为直角顶点的直角三角形 【答案】D 【分析】通过斜率证明两直线垂直，得到三角形形状. 【详解】直线的斜率，直线的斜率， 由，所以， 故是以为直角顶点的直角三角形． 故选：D 6．（多选）（25-26高二上·江苏泰州·阶段检测）下列说法中，正确的有（　　） A．若直线的斜率越大，则直线的倾斜角就越大 B．直线必过定点 C．直线与直线的距离为 D．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 【答案】BC 【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可判断A；将直线方程化为，再求解即可判断B；根据两平行直线间的距离公式即可判断C；举特例判断D． 【详解】对于A，当斜率为时，倾斜角为， 当斜率为时，倾斜角为，故A错误； 对于B，将直线，化为， 则，解得， 即直线必过定点，故B正确； 对于C，将直线化为， 则这两平行直线间的距离为，故C正确； 对于D，当直线过原点时，也满足在轴，轴上的截距相等， 此时直线的斜率为，则直线方程为，故D错误. 故选：BC． 7．（多选）已知直线，，则（    ） A．直线过定点 B．当时， C．当时， D．当时，两直线，之间的距离为1 【答案】ACD 【分析】逐一分析选项，核心是直线过定点、平行、垂直的判定及平行线间距离公式． 【详解】解：对于A，变形为，令，则 因此直线过定点，故A正确； 对于B，当时，，， 因为，所以两直线不垂直，故B错误； 对于C，当时，，， 因为，所以两直线平行，故C正确； 对于D，当时，则满足，得， 此时，，， 则两直线间的距离为，故D正确． 故答案为：ACD. 8．若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______． 【答案】， 【分析】设正方形一条边所在的直线倾斜角为，则由正方形一条对角线所在直线的斜率为2，结合倾斜角与斜率的关系求出，利用正方形的性质即可得到答案． 【详解】设正方形一条边所在的直线倾斜角为，则， 解得，故， 根据垂直关系可得另一条边的斜率为， 所以该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为，． 故答案为：；． 9．（2026高三·全国·专题练习）点到直线的最大距离是______． 【答案】 【分析】分析直线恒过定点，进而利用几何关系结合两点间距离公式求解最大距离. 【详解】由，得，对任意， 当时，恒成立，即直线恒过定点. 设点到直线的距离，满足：， 当且仅当直线时，等号成立，即最大距离为. ， 因此点到直线的最大距离为. 能力进阶 1．（2026高三·全国·专题练习）若直线：与直线：平行，则（ ） A．4 B． C．1或 D．或4 【答案】D 【分析】根据直线一般方程的平行关系求的值，并代入检验. 【详解】由题可得：直线：与直线：平行， 则，整理可得，解得或， 若，直线：与直线：平行，符合题意； 若，直线：与直线：平行，符合题意； 综上所述：或. 2．（25-26高二上·广东惠州·期中）已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求直线与直线的交点，再在直线上取点关于直线对称的点为，即，解出，利用点斜式即可求解. 【详解】由，解得，所以直线与直线的交点为， 在直线上取点关于直线对称的点为， 所以，解得， 所以点关于直线对称的点为， 所以直线的斜率为， 故对称直线的方程为，即， 故选：B. 3．（2026·广东广州·模拟预测）已知函数，，，（点在直线下方），过点作直线，垂足为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图象可得当抛物线过点的切线与直线平行时，最大．根据导数的几何意义求出切点坐标，结合点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由，，得，直线的方程为，即. 结合二次函数图像可知，当抛物线过点的切线与直线平行时，最大． 已知，则，令，则. 又，故切点坐标，此时. 即的最大值为. 4．（25-26高三下·湖北孝感·开学考试）已知圆与直线相交于两点，当最小时，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由方程确定直线过定点，圆的圆心为，半径为.过圆心作交直线于点，分析可知，当重合时，取得最大值，此时取得最大值，从而取得最大值.由斜率公式及两垂直直线斜率乘积为可得的值. 【详解】，得. ，解得. 所以直线过定点. 由，得. 所以圆心的坐标为，圆的半径为. 过圆心作交直线于点，因为，所以. 所以当最小时，也最小. ，，且在上单调递减， 所以当最小时，最大. 显然，当，即重合时，取得最大值. 此时，直线的斜率为， 所以直线的斜率为，解得. 故选：A. 5．（2026·湖北·一模）已知非负实数，满足，则的最小值为（   ） A．8 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】设，则的几何意义即为，结合对称可求前者的最小值. 【详解】设原点关于直线的对称点为， 则，故，故. 设，因为，为非负实数，且，欲求的最小值， 即求线段上的点到轴的距离与到原点距离之和最小， 即为的最小值，如图，设在轴上的垂足为， 则， 当且仅当共线时等号成立， 故的最小值为. 6．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）点在曲线上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据曲线类型以及表达式的几何意义，利用圆心到直线的距离即可得出结果. 【详解】曲线等价于； 可知其表示为圆的右半部分，圆心，半径为2，上顶点， 表示曲线上的点到直线的距离的倍，如下图： 圆心到直线的距离为， 顶点到直线的距离为. 则的最大值为，的最小值为， 故的取值范围为. 故选：B 7．（25-26高二上·江苏扬州·期末）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出点关于直线的对称点，求出直线与河岸线的交点即可得出饮马的地点坐标. 【详解】设点关于直线的对称点为点, 根据对称点的性质知中点在直线上， 即,可得, 又直线与直线垂直，即,可得, 即可得,即点, 直线的斜率为,得直线方程，即, 将军在河边饮马的地点坐标为直线与河岸线的交点 ， 将代入得,即坐标点为. 则将军在河边的饮马地点为. 故选：C 8．（25-26高二上·四川自贡·期末）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.函数下列结论正确的是（    ） A．的最小值为6 B．的最小值为 C．方程6有两解 D．方程7无解 【答案】B 【分析】将函数变形为，分析出其几何意义是轴上的动点到两个定点和的距离之和，求出的最小值，即可判断A，B，C，D. 【详解】因为，所以的几何意义是轴上的动点到两个定点和的距离之和，，作点关于轴的对称点，，当，，三点共线时，取得最小值， ，所以，故A错误，B正确， 因为，所以无解，故C错误，因为，所以有两解，故D错误. 故选：B. 9．（2026·上海·一模）已知，，方程组无解，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】根据两直线位置关系得且，然后利用基本不等式求解即可． 【详解】原方程组无解等价于直线与直线平行， 所以且． 又，，所以（）， 即取值范围是． 10．（25-26高二上·浙江杭州·期中）我们知道，在平面直角坐标系中，可以用两点之间距离公式刻画两点的距离，事实上，这里的距离属于这两个点的一种“度量”．在拓扑学中，我们规定某一实数满足： ①，当且仅当时等号成立； ②； ③． 其中，为平面直角坐标系内的三个点，我们就称是关于两点的一个“度量”．设：平面直角坐标系（O为坐标原点）内两点的“距离”． (1)求证：两点的“P距离”是关于两点的一个“度量”． (2)设P为平面直角坐标系内任意一点．若，请在下图中定性做出P点的集合组成的图象（不必说明理由，但要求做出特殊点与其特征）． (3)设Q是圆上的动点．求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)作图见解析； (3) 【分析】（1）根据题设定义逐一检验①②③，即可证明结果； （2）根据题设定义，利用得：，进而分段讨论即可得到函数图象； （3）设，根据题设结合三角恒等变换公式化简可得，令，可得，进而结合对勾函数的性质求解即可. 【详解】（1）①显然成立， 令，由于， 故当且仅当时等号成立 令，则单调递增， 得到，即，当且仅当时等号成立， ②易知显然成立， ③由于单调递增，故由可得： ， 故， 即，所以距离是一种度量． （2）设，则由得：， 当时，曲线为，即； 当时，曲线为，即； 当时，曲线为，即； 当时，曲线为，即. 如图： （3）设． 则 ． 令，则．于是． ，且， ． 真题实战 1．（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论. 【详解】由题意， 在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：，    故由图可知， 当时， 圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时， 圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时， 圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 故选：B. 2．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可. 【详解】由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为. 故选：D. 3．（多选）（2026·全国二卷·高考真题）已知圆：，圆：，则下列说法正确的是（     ） A．点的坐标为 B．时，圆与轴相切 C．当时，圆与圆相切 D．当圆与圆相交时，两交点所在的直线方程为 【答案】BC 【分析】对于A，求出的圆心坐标即可判断； 对于B，利用圆心到的距离即可判断； 对于C，求出两个圆的圆心距与半径之差，半径之和比较即可判断； 对于D，将两个圆的方程相减化简即可求解. 【详解】由：，化简可得， 所以，的圆心，半径，故A错误； 对于B，由，得的半径，所以圆心到轴的距离，即与轴相切，故B正确； 对于C，由，得的半径，由于的圆心为，半径，所以，则与内切，故C正确； 对于D，由，化简得：， 所以与两个交点所在直线的方程为，故D错误. 4．（2026·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，点到直线的距离为____________. 【答案】/0.6 【分析】根据点到直线的距离公式求解即可. 【详解】根据点到直线的距离公式可得. 故答案为：. 5．（2026·北京·高考真题）已知直线与圆相切，则________． 【答案】 【详解】圆的圆心为，半径. 由直线与圆相切，则得， 解得. 2 / 43 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 两条直线的位置关系 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识点1 两条直线的位置关系 知识点2直线的交点与方程组解的关系 知识点3距离公式 知识点4 对称问题 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测）(含超链接） 考点01 两条直线位置关系的判断 考点06 两平行直线间的距离 考点02 根据两直线的位置关系求参数 考点07 距离相关的最值问题 方法技巧 判断两条直线位置关系的注意点 考点08 对称问题 考点03 根据直线的位置关系求方程 考点09 对称中的最值问题 考点04 直线的交点问题 考点10光线反射问题 方法技巧 两直线的交点问题的求解策略 考点11 距离新定义问题 考点05 点到直线的距离公式 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直. 2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标. 3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离． 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 两条直线的位置关系 上海卷T4，全国Ⅱ卷T11，北京卷T11， 天津卷T12，全国Ⅰ卷T7 北京卷T3 考情解读 两条直线的位置关系在近几年的高考数学中，整体定位可以概括为一句话：基础但高频，单独考查偏少，更多是作为解析几何、圆、圆锥曲线等综合题的“前置工具”出现，选择、填空中出现频率更高，通常属于中低档题。 备考策略 高考对两条直线的位置关系的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，备考时应熟练掌握两条直线的位置关系、距离公式、对称问题等，特别要重视两条直线的位置关系以及点到直线的距离公式这两个考点． 知识・归纳梳理 知识1 两条直线的位置关系 （1）直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一条直线，l2与l4是同一条直线)的位置关系如下表： 位置关系 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件 平行 k1＝k2且b1≠b2 A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0 垂直 k1·k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0 相交 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0 必记结论 (1)两条直线平行或重合的充要条件 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0. (2)两条直线垂直的充要条件 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0. 知识2 两条直线的交点及方程组解的关系 1．两条直线的交点坐标 (1)两条直线的交点坐标 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合. (2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系 设两直线，直线. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 必记结论 过直线与的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0， λ∈R，但不包括直线l2. 知识3 距离公式 1．两点间的距离公式 平面内两点间的距离公式为. 特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=. 2．点到直线的距离公式 (1)定义： 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离. (2)公式： 已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=. 3．两条平行直线间的距离公式 (1)定义 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长. (2)公式 设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=. 必记结论 点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 (1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式． (2)求两平行线之间的距离时，应先将直线方程化为一般式，且x，y的系数对应相等． 知识4 对称问题 1．六种常用对称关系 (1)点(x,y)关于原点(0,0)的对称点为(-x,-y). (2)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y)，关于y轴的对称点为(-x,y). (3)点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x)，关于直线y=- x的对称点为(-y,-x). (4)点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y)，关于直线y=b的对称点为(x,2b-y). (5)点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y). (6)点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y,k-x)，关于直线x-y=k的对称点为(k+y,x-k). 2．对称问题的求解策略 (1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解. (2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题. 重难・核心突破 考点01 两条直线位置关系的判断 典例1．（2026·天津河西·三模）设，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 典例2．已知直线经过，两点，直线的斜率为，那么与（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 【考法预测1】（2026·湖南郴州·模拟预测）以，，，为顶点的四边形是（    ） A．矩形 B．菱形 C．直角梯形 D．正方形 【考法预测2】（多选）已知直线和直线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则表示与轴平行或重合的直线 B．直线可以表示任意一条直线 C．若，则 D．若，则 【考法预测3】（多选）已知直线，，则（    ） A．直线过定点 B．当时， C．当时， D．当时，两直线，之间的距离为1 考点02 根据两直线的位置关系求参数 典例1．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知直线：与直线：平行，则实数的值为（   ） A．-1 B．0 C．3 D．-1或3 典例2．（2026·重庆万州·三模）若直线与直线垂直，则m=（   ） A． B．15 C． D． 【考法预测1】（2026·宁夏吴忠·二模）直线：和直线：互相平行，则的值为（   ） A． B．3 C．或3 D．或1 【考法预测2】（25-26高三下·江苏泰州·阶段检测）已知直线，向量与该直线的一个法向量垂直，则实数（   ） A．6 B． C． D． 【考法预测3】（2026·北京朝阳·二模）已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则（   ） A． B． C．2 D．4 【考法预测4】（2026·四川达州·二模）若曲线在处的切线与直线垂直，则实数_____. 方法技巧 判断两条直线位置关系的注意点 (1)斜率不存在的特殊情况． (2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论． 考点03 根据直线的位置关系求方程 典例1．已知平面直角坐标系内两点，，则过点且与直线垂直的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 典例2（新考法）（2026·山东·二模）已知直线与直线平行，且在轴上的截距是，则直线的方程是（    ）． A． B． C． D． 【考法预测1】已知直线的一个方向向量为，则过点且与垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【考法预测2】（25-26高二下·河南驻马店·阶段检测）经过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【考法预测3】将直线绕点逆时针旋转后所得直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【考法预测4】（多选）（25-26高二下·四川南充·阶段检测）已知直线，为坐标原点，则下列选项中正确的有（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线在轴上的截距为 C．过且与直线平行的直线方程为 D．过且与直线垂直的直线方程为 考点04 直线的交点问题 典例1（2026高三·全国·专题练习）经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【考法预测1】直线和的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【考法预测2】直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【考法预测3】（2026·广东·模拟预测）已知直线，，能构成三角形，设满足条件的k值构成集合A，则的子集个数为（   ） A．8 B．16 C．2 D．1 方法技巧 两直线的交点问题的求解策略 (1)求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程联立组成的方程组，得到的方程组的解，即交点的坐标． (2)求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程. 考点05 点到直线的距离公式 典例1（2026·福建泉州·模拟预测）已知点，向量，若与直线垂直，则到直线的距离等于（    ） A．1 B． C．2 D． 典例2过点引直线，使，两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【考法预测1】（2026·山西忻州·模拟预测）圆的圆心到直线的距离为（  ） A． B．2 C． D．3 【考法预测2】已知，两点到直线的距离相等，则（    ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 【考法预测3】（2026·北京顺义·二模）已知直线过点，其倾斜角为，设原点到直线的距离为.当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考法预测4】已知，两点到直线l：的距离相等，则a的值为（    ） A． B． C．或 D．或 考点06 两平行直线间的距离 典例1（2026高三·全国·专题练习）若直线与直线：之间的距离是，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 典例2（新考法）（25-26高三下·江西赣州·期中）已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【考法预测1】）（2026·吉林白山·一模）直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【考法预测2】（2026·北京海淀·二模）若直线与平行，则与的距离为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【考法预测3】两条平行直线2x－y＋3＝0和ax－3y＋4＝0间的距离为d，则a，d分别为(　　) A．a＝6，d＝ B．a＝－6，d＝ C．a＝－6，d＝ D．a＝6，d＝ 考点07 距离相关的最值问题 典例1已知实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 典例2若动点，分别在直线与上移动，则的中点到原点的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【考法预测1】直线上的动点和直线上的动点，则点与点之间距离的最小值是 ． 【考法预测2】点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为(　　) A．1 B. C. D．2 【考法预测3】（2026高三·全国·专题练习）直线l1经过点(3,0)，直线l2经过点(0,4)，且l1∥l2，d表示l1和l2之间的距离，则d的取值范围是________． 【考法预测4】若点(m，n)在直线l：3x＋4y－13＝0上，则(m－1)2＋n2的最小值为(　　) A．3 B．4 C．2 D．6 考点08 对称问题 典例1点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 典例2直线关于点对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 典例3（2026·新疆·一模）在平面直角坐标系中，直线关于直线对称的直线的方程是（   ） A．3 B．3 C．3 D．3 【考法预测1】直线关于直线对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【考法预测2】已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【考法预测3】已知直线，若关于对称的直线为，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【考法预测4】若点和点关于直线对称，则______． 考点09 对称中的最值问题 典例1（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）在平面直角坐标系xOy 中，已知点，P 为直线上一动点，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D．4 【考法预测1】已知直线和两点，若直线上存在点P使得最小，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【考法预测2】已知点P在直线上，点，则的最小值为________ 【考法预测3】已知圆及点，点P、Q分别是直线和圆C上的动点，则的最小值为_________． 考点10 光线反射问题 典例1（25-26高二上·广东·期末）一束光线从点射出，与直线相交于点．经直线反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 典例2（2026高三·全国·专题练习）如图所示，已知，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（    ） A． B．6 C． D． 【考法预测1】已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（ ） A． B． C． D． 【考法预测2】（25-26高三·全国·一轮复习）光线沿着直线射到直线上，经反射后沿着直线射出，则_______，_______． 【考法预测3】如图已知，若光线从点射出，直线反射后到直线上，在经直线反射回原点，则光线所在的直线方程为________． 考点11 距离新定义问题 典例2（2026·山东菏泽·二模）闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义.设两组数据分别为和，这两组数据间的闵氏距离定义为，其中表示阶数，则下列说法正确的有（） A．若，，则 B．若，，其中，则的最小值为 C．若，，其中，则的最小值为1 D．若，，则对任意实数，都有 【考法预测1】（2026·湖南怀化·模拟预测）已知点，，定义为A，B的“镜像距离”.若点A，B在曲线上，且的最小值为2，则实数a的值为（   ） A． B． C． D． 【考法预测2】（2026·上海松江·模拟预测）记号表示中取较大的数，如. 在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”. 已知点为坐标原点，点在圆上，点在直线上，则的最小值为__________. 【考法预测3】（2026·江西·二模）如何度量样本间的相似性是人工智能核心领域的基础问题，通常通过计算样本间的“距离”来解决．镜像距离是一种基础且重要的工具．定义两点，的镜像距离为．若，，则的最小值为________． 拔高・分层集训 基础演练 1．（24-25高二上·陕西渭南·阶段检测）直线与 (不同时为0)的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．与的值有关 2．（2026·河北邯郸·二模）已知直线，，则“”是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026·四川绵阳·模拟预测）若直线与直线垂直，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 4．（2026·四川宜宾·一模）抛物线的焦点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 5．以为顶点的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．以为直角顶点的直角三角形 D．以为直角顶点的直角三角形 6．（多选）（25-26高二上·江苏泰州·阶段检测）下列说法中，正确的有（　　） A．若直线的斜率越大，则直线的倾斜角就越大 B．直线必过定点 C．直线与直线的距离为 D．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 7．（多选）已知直线，，则（    ） A．直线过定点 B．当时， C．当时， D．当时，两直线，之间的距离为1 8．若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______． 9．（2026高三·全国·专题练习）点到直线的最大距离是______． 能力进阶 1．（2026高三·全国·专题练习）若直线：与直线：平行，则（ ） A．4 B． C．1或 D．或4 2．（25-26高二上·广东惠州·期中）已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·广东广州·模拟预测）已知函数，，，（点在直线下方），过点作直线，垂足为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·湖北孝感·开学考试）已知圆与直线相交于两点，当最小时，的值为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·湖北·一模）已知非负实数，满足，则的最小值为（   ） A．8 B． C．7 D． 6．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）点在曲线上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·江苏扬州·期末）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）． A． B． C． D． 8．（25-26高二上·四川自贡·期末）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.函数下列结论正确的是（    ） A．的最小值为6 B．的最小值为 C．方程6有两解 D．方程7无解 9．（2026·上海·一模）已知，，方程组无解，则的取值范围为______. 10．（25-26高二上·浙江杭州·期中）我们知道，在平面直角坐标系中，可以用两点之间距离公式刻画两点的距离，事实上，这里的距离属于这两个点的一种“度量”．在拓扑学中，我们规定某一实数满足： ①，当且仅当时等号成立； ②； ③． 其中，为平面直角坐标系内的三个点，我们就称是关于两点的一个“度量”．设：平面直角坐标系（O为坐标原点）内两点的“距离”． (1)求证：两点的“P距离”是关于两点的一个“度量”． (2)设P为平面直角坐标系内任意一点．若，请在下图中定性做出P点的集合组成的图象（不必说明理由，但要求做出特殊点与其特征）． (3)设Q是圆上的动点．求的取值范围． 真题实战 1．（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（2026·全国二卷·高考真题）已知圆：，圆：，则下列说法正确的是（     ） A．点的坐标为 B．时，圆与轴相切 C．当时，圆与圆相切 D．当圆与圆相交时，两交点所在的直线方程为 4．（2026·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，点到直线的距离为____________. 5．（2026·北京·高考真题）已知直线与圆相切，则________． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $