第51讲　随机事件与概率课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“随机事件与概率”专题，依据高考评价体系梳理了随机事件关系、古典概型、概率性质三大核心考点，结合2023全国乙卷及2025多省市模拟题，明确古典概型计算占比45%、互斥对立事件判断占30%的高频考向，归纳选择、填空、解答三类常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题解析+变式训练+素养提升”策略，如以2023全国乙卷“不同主题抽取”题为例，详解“样本空间列举”与“对立事件间接求概率”法，培养逻辑推理与数学建模素养。特设易错点警示（如互斥与对立混淆）和答题模板，助力学生掌握得分技巧，教师可据此精准教学，实现高效冲刺。

第十章 第51讲　随机事件与概率 计数原理、概率及其分布 1 1．(教材经典题)某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立事件的是 (　　) A．至多一次中靶　 B．两次都中靶 C．只有一次中靶　 D．两次都没中靶 D 2．(教材经典题)抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A＝“第一枚硬币正面朝上”，事件B＝“第二枚硬币反面朝上”，下列结论正确的是 (　　) A．A与B互为对立事件 B．A与B互斥 C．A与B相等 D．P(A)＝P(B) 【解析】 　　　　抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)．事件A包含的结果有(正，正)，(正，反)，事件B包含的结果有(正，反)，(反，反)，显然事件A，事件B都含有“(正，反)”这一结果，即事件A，事件B能同时发生，因此，事件A与事件B既不互斥也不对立，故A，B错误； 因为事件A，事件B中有不同的结果，所以事件A与事件B不相等，故C错误； D 3．(教材经典题)已知P(A)＝0.5，P(B)＝0.3． (1) 如果B⊆A，那么P(A∪B)＝_______，P(AB)＝_______； 【解析】 　　　　如果B⊆A，那么A∪B＝A，A∩B＝B，所以P(A∪B)＝P(A)＝0.5，P(AB)＝P(B)＝0.3． 0.5 0.3 (2) 如果A，B互斥，那么P(A∪B)＝_______，P(AB)＝_____． 【解析】 　　　　如果A，B互斥，那么A∩B＝∅，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8，P(AB)＝0． 0.8 0 4．(教材经典题)从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构 成一个三角形的概率是______． 【解析】 5．(教材经典题)从0～9这10个数中随机选择一个数，则这个数的平方的个位数字 为1的概率是______；这个数的四次方的个位数字为1的概率是______． 【解析】 1．样本空间和随机事件 (1) 样本点和有限样本空间 ①样本点：随机试验E的每个可能的____________称为样本点，常用ω表示． 全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示． ②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间． (2) 随机事件 ①定义：将样本空间Ω的________称为随机事件，简称事件． ②表示：大写字母A，B，C，…． ③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件． 基本结果 子集 2．两个事件的关系和运算   含义 符号表示 包含关系 A发生导致B发生 __________ 相等关系 B⊇A且A⊇B __________ 并事件(和事件) A与B至少一个发生 A∪B或A＋B 交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB 互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B＝∅ 互为对立 A与B有且仅有一个发生 ____________，_____________ A⊆B A＝B A∩B＝∅ A∪B＝Ω 3．古典概型 (1) 有限性：样本空间的样本点只有__________； (2) 等可能性：每个样本点发生的可能性________． 4．古典概型的概率公式 有限个 相等 5．概率的性质 性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0． 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0． 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝__________________． 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝_________． 性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1． 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，则P(A∪B)＝____________________________． P(A)＋P(B) 1－P(B) P(A)＋P(B)－ P(A ∩B) 目标 1 随机事件的关系与运算 视角1　事件的运算 　　　　　(多选)某家商场举行抽奖活动，小聪、小明两人共同前去抽奖，设事件A＝“两人都中奖”，B＝“两人都没中奖”，C＝“恰有一人中奖”，D＝“至少一人没中奖”．下列关系正确的是 (　　　) A．B∪C＝D　 B．A∩C≠∅ C．C⊆D　 D．B∩D＝B 1－1 【解析】 　　　　对于A，事件B∪C为“至多一人中奖”，即“至少一人没中奖”，所以B∪C＝D，故A正确； 对于B，事件A∩C表示两人都中奖且恰有一人中奖，没有这样的事件，所以A∩C＝∅，故B错误； 对于C，“至少一人没中奖”包括“恰有一人中奖”和“两人都没中奖”两种情况，所以C⊆D，故C正确； 对于D，由C选项可知B⊆D，所以B∩D＝B，故D正确． 【答案】ACD 事件间运算的方法： (1) 利用定义：列出试验所有可能出现的结果； (2) 利用Venn图：借助集合间运算的思想． 视角2　事件的关系 　　　　　(多选)从3名女生和2名男生中任选两人组成学习小组，记“至少1名女生”为事件A，“至少1名男生”为事件B，“恰有1名女生”为事件C，“2名都是男生”为事件D，则下列结论正确的有 (　 　) A．事件A和D是对立事件 B．事件B和C是对立事件 C．事件A和B是互斥事件 D．事件C和D是互斥事件 1－2 【解析】 　　　　将3名女生设为a，b，c，两名男生设为A，B，任选两人组成学习小组，样本空间Ω包含的基本事件为(a，b)，(a，c)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，(A，B)，其中事件A包含(a，b)，(a，c)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，事件B包含(a，A)，(a，B)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，(A，B)，事件C包含(a，A)，(a，B)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，事件D包含(A，B)．因为A∩D＝∅，且A∪D＝Ω，所以事件A和D是对立事件，A正确； 因为B∩C＝{(a，A)，(a，B)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)}，所以事件B和C不是互斥事件，也不是对立事件，B错误； 因为A∩B＝{(a，A)，(a，B)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)}，所以事件A和B不是互斥事件，C错误； 因为C∩D＝∅，所以事件C和D是互斥事件，D正确． 【答案】AD 判断互斥事件、对立事件一般用定义，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；若两个事件中有且仅有一个发生，则这两个事件互为对立事件．对立事件一定是互斥事件． 变式 1－2　(2025·潍坊期末)从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的两个事件是 (　　) A．至少一个红球和都是红球 B．至少一个黑球和都是红球 C．至少一个黑球和至少一个红球 D．恰有一个红球和恰有一个黑球 【解析】 　　　　对于A，至少一个红球和都是红球不互斥，同时发生的情况是都是红球，A错误； 对于B，至少有一个黑球和都是红球互斥并对立，所以B错误； 对于C，至少一个黑球和至少一个红球，都包含一个黑球两个红球，可以同时发生，不互斥，C错误； 对于D，恰有一个红球和恰有一个黑球，互斥但不对立，D正确． 视角3　利用事件的互斥、对立关系求概率 【答案】D 　　　　　(多选)甲袋中有5个红球，15个白球，乙袋中有5个红球，5个白球，从两袋中各摸出一个球．下列结论正确的是 (　 　) 【解析】 1－3 【答案】AC 求复杂互斥事件的概率的两种方法 (1) 直接法 (2) 间接法(正难则反，特别是“至多”“至少”型题目，用间接法求解更简单)． 【解析】 C 【解析】 【答案】B 目标 2 古典概型 　　　(1)(2023·全国乙卷文)某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为(　　) 2 【解析】 A 　　　(2)(2025·武汉二模)一个不透明的袋中装有2个红球，2个黑球，1个白球，这些球除颜色外，其他完全相同．现从袋中一次性随机抽取3个球，则这3个球的颜色各不相同的概率为 (　　) 【解析】 2 D 求古典概型的概率的关键是求试验的样本点的总数和事件A包含的样本点的个数，这就需要正确列出样本点，样本点的表示方法有列举法(列表法、树状图法)以及排列、组合法． 变式2　(1)(2025·郑州二检)某高校计划安排甲、乙、丙、丁、戊、己6名教师到4所不同的高中学校进行宣讲，每个学校至少安排1人，其中甲、乙必须安排在同一个学校的概率为 (　　) 【解析】 【答案】A 变式2　(2)(2025·广州二模)一个袋子里有大小和质地相同的4个球，标号为1，2，3，4，从中有放回地随机取球，每次取1个球，共取4次，把每次取出的球的标 号排成一列数，则这列数中恰有3个不同整数的概率为______． 【解析】 【解析】 A 2．口袋中装有编号为1，2的两个红球和编号为1，2，3，4，5的五个黑球，小球除颜色、编号外，形状、大小完全相同，现从中取出1个小球，记事件A为“取到的小球的编号为1”，事件B为“取到的小球是黑球”，则下列说法正确的是 (　　) A．A与B互斥　 B．A与B对立 【解析】 　　　　依题意，事件AB为取到编号为1的黑球，事件A与B能同时发生，则A与B不互斥，也不对立，故A，B都不正确； C 3．(2025·安阳三模)某校从2名女生和4名男生中选出3人去参加一项创新大赛，则选出的3人中至少有1名女生的概率为 (　　) 【解析】 C 4．(2025·茂名一模)在一个箱子中放5个白球，3个红球，摇匀后采用不放回方式随机摸球3次，每次一个，第3次摸到红球的概率是 (　　) 【解析】 A 配套练习题 一、单项选择题 1．(2023·全国甲卷文)某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为 (　　) 【解析】 D 2．(2025·佛山二模)学校举办篮球赛，将6支球队平均分成甲、乙两组，则两支最强的球队被分在不同组的概率为 (　　) 【解析】 C 3．(2025·辽宁省二调)设集合S中有10个元素，从S中每次随机选取1个元素，取出后还放回到S中，则取5次后所取出的元素有重复的概率是(保留两位有效数字) (　　) A．0.50　 B．0.55 C．0.70　 D．0.85 【解析】 C 【解析】 　　　　对于A，B，一个密封的盒子中有标号为1，2，3，4，5的5个小球，从中任取1球，记事件A为“从中取出球的标号为1，2”，事件B为“从中取出球的标号为1，2，3”，则P(A)＝0.4，P(B)＝0.6，满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是对立事件，故A错误； 由上例可知P(A∪B)＝P(B)＝0.6，故B错误； 对于C，P(AB)＝P(A)P(B)仅在事件A，B相互独立时才成立，而不知道事件A，B的关系，则不确定P(AB)的值，故C错误； 【答案】D 二、多项选择题 5．有甲、乙两种报纸供市民订阅，记事件E为“只订甲报纸”，事件F为“至少订一种报纸”，事件G为“至多订一种报纸”，事件H为“不订甲报纸”，事件I为“一种报纸也不订”．下列说法正确的是 (　 　) A．E与G是互斥事件 B．F与I是互斥事件，且是对立事件 C．F与G不是互斥事件 D．G与I是互斥事件 【解析】 　　　　对于A，E与G有可能同时发生，不是互斥事件，故A错误； 对于B，F与I不可能同时发生，且发生的概率之和为1，是互斥事件，且是对立事件，故B正确； 对于C，F与G可以同时发生，不是互斥事件，故C正确； 对于D，G与I可以同时发生，不是互斥事件，故D错误． 【答案】BC 6．某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表：     记该篮球运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率，则下述结论正确的是 (　　　) A．P(A)＝0.55　　B．P(B)＝0.18　　C．P(C)＝0.27　　D．P(B＋C)＝0.55 【解析】 投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次 数 100 55 18 ABC 三、填空题 7．(2025·八省联考)有8张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之 和相等的概率为______． 【解析】 8．(2025·保定期末)随机数选择器每次只能从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中选一个数，且以相等的概率做选择，那么在2次选择后，选出的2个数的乘积 能被10整除的概率为______． 【解析】 【解析】 10．(2026·苏州期初)在1，2，3，…，9中随机选出一个数a，在－1，－2，－3， …，－9中随机选出一个数b，则a2＋b被3整除的概率为______． 【解析】 　　　　由题意，数组(a，b)共有9×9＝81种不同的选法．若a能被3整除，则b也能被3整除，此时a，b各有3种选法，即这样的(a，b)有3×3＝9个． 四、解答题 11．4月23日是世界读书日，其设立的目的是推动更多的人去阅读和写作．某市教育部门为了解全市中学生课外阅读的情况，从全市随机抽取1 000名中学生进行调查，统计他们每日课外阅读的时间，如图是根据调查结果绘制的频率分布直方图． (1) 求频率分布直方图中a的值，并估计1 000名学生每日的平均阅读时间(同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据的平均值)； 【解答】 　　　　由(0.002 5＋0.010 0＋a＋0.015 0＋0.010 0)×20＝1，得a＝0.012 5，则这 1 000名学生每日的平均阅读时间为10×0.05＋30×0.2＋50×0.25＋70×0.3＋90 ×0.2＝58(min)． 11．4月23日是世界读书日，其设立的目的是推动更多的人去阅读和写作．某市教育部门为了解全市中学生课外阅读的情况，从全市随机抽取1 000名中学生进行调查，统计他们每日课外阅读的时间，如图是根据调查结果绘制的频率分布直方图． (2) 若采用分层随机抽样的方法从样本在[60，80)，[80，100]内的学生中共抽取5人来进一步了解阅读情况，再从中选取2人进行跟踪分析，求抽取的这2名学生来自不同组的概率． 【解答】 12．(2025·北京卷)某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试．为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75．假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率． (1) 估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率p． 【解答】 12．(2025·北京卷)某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试．为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75．假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率． (2) 从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计X＝1的概率及X的数学期望． 【解答】 X 0 1 2 P 0.05 0.35 0.6 故E(X)＝1×0.35＋2×0.6＝1.55． 12．(2025·北京卷)某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试．为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75．假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率． (3) 假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为100%，乙校学生选择正确的概率为85%．设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为p1，p2，判断p1与p2的大小(结论不要求证明)． 【解答】 $