21.3二次函数与一元二次方程 同步练习 2026-2027学年沪科版数学九年级上册

**基本信息** 2026-2027学年数学九上沪科版21.3同步练，通过基础、中档、提升三层设计，覆盖二次函数与一元二次方程从概念理解到综合应用，培养数学抽象、推理与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|二次函数与x轴交点、方程根的图像意义|单选直接求交点距离，填空不等式解集，夯实概念| |中档|图像翻折、二次函数与一次函数比较|结合图像分析翻折后性质，解答题求解析式与不等式解集，提升推理能力| |提升|抛物线与线段交点、综合性质判断|多知识点综合题（如矩形与抛物线综合），培养数学建模与创新意识|

2026-2027学年数学九上沪科版21.3二次函数与一元二次方程 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 2．二次函数的部分图象如图所示，则方程根是（　　） A． B． C． D． 3．如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（  ） A． B． C． D． 4．将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（     ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为4 D．当时，的值随值的增大而增大 5．如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，．若二次函数的图象与线段有交点，则该抛物线与轴交点的纵坐标的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 6．二次函数（m是常数且）图象经过点，一次函数的图象经过点，当时，下列结论不一定正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 7．如图，抛物线与直线交于B，C两点，与轴交于点，已知点C的坐标为，点B的横坐标为3，轴．下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．当时， 8．如图，二次函数的图象过和，做出如下判断： ①当时，函数有最小值为0；②若点，在二次函数图象上，则；③将这个二次函数图象向下平移3个单位长度后，对应的二次函数图象的表达式为；④若一次函数的图象与这个二次函数的图象有唯一的公共点，则或．其中说法错误的个数为（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 9．如图，二次函数的图象与直线有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于的不等式的解集为___________． 10．已知抛物线的对称轴是直线，抛物线与x轴的一个交点在点和点之间，其部分图像如上图所示，下列结论：①y的最大值为3；②；③当时，y随x的增大而减小；④．其中正确的序号为__________． 11．如图，二次函数的图像与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，一次函数的图像经过该二次函数图像上的点及点B，则满足的x的取值范围是 ______________ ． 12．如图是二次函数的图象，图象对称轴为直线，与轴的正半轴交点位于与之间，对于这个函数有下列五个结论：①；②；③对任意实数，不等式恒成立；④若方程的两根为，，则；⑤关于的方程的两根之和为．则结论正确的有_____（填写序号） 三、解答题 13．已知二次函数的图象与直线交于点． (1)求a和b的值； (2)当x取何值时，二次函数中的函数值y随x值的增大而增大？ (3)求抛物线与直线的另一个交点 B的坐标． 14．如图，二次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点和点． (1)求二次函数的解析式和另一交点的坐标； (2)根据函数图象，直接写出不等式的解集． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），点在此抛物线上，且横坐标为． (1)求抛物线的顶点的坐标； (2)若点在轴下方，求的取值范围； (3)当时，若抛物线在点和点之间的部分（包含，两点）的最高点与最低点的纵坐标之差是，求的值； (4)连接，以为对角线构造矩形，且矩形的边均与某条坐标轴平行，当抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，的取值范围是______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年数学九上沪科版21.3二次函数与一元二次方程》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B B C D D D D 1．B 【分析】本题先利用轴上点的纵坐标为的性质，求出二次函数与轴的两个交点坐标，再计算两点间的距离即可得到结果． 【详解】解：二次函数图象与轴交点的纵坐标为 令，得方程 解得， ，两点的坐标为和 线段的长为 2．B 【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线经过点，即或得到，所以一元二次方程的两个根为，，把方程看作关于的一元二次方程，则或，然后解一次方程得到方程的根． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，抛物线经过点， 抛物线经过点， 一元二次方程的两个根为，， 把方程看作关于的一元二次方程， 或， 解得， 方程的根是． 3．B 【分析】由一元二次方程根与系数关系可知两根之和为，结合已知根在0.5与之间，可推知另一根在与之间．再取中点缩小范围，确定另一根更接近． 【详解】解：设方程的两个根为，， ，，， 由一元二次方程根与系数关系可知， 已知在0.5与之间， ， 当x在0.5和1之间时， 另一根在与之间， 取， ， 当时，， 在与之间， 到的距离， 到的距离， 到的距离小于到的距离， 与另一根更接近的是． 4．C 【分析】先求出二次函数翻折前图象与轴的交点坐标，即可求解翻折后图象与轴的交点坐标，即可判断选项；根据图象可知函数没有最大值，即可判断选项；求解出二次函数与轴的交点坐标，求解距离即可判断选项；根据函数图象即可判断选项． 【详解】解：选项，对于二次函数，令，解得，原二次函数与轴的交点坐标为，翻折后新函数图象与轴的交点坐标是，故选项错误； 选项，结合图象可知，函数没有最大值，故选项错误； C选项，二次函数，令，则有，即，解得，，所以原二次函数与轴的交点坐标为，，翻折后新函数图象与轴的交点坐标不变，为，，图象与轴两个交点之间的距离为，故选项正确； 选项，二次函数，对称轴为，翻折后新函数图象的对称轴不变，为，由图象可知，函数在时，的值随值的增大而减小，当时，的值随值的增大而增大，故选项错误． 5．D 【分析】根据题意先求得该抛物线的顶点坐标和n的表达式，先根据抛物线的图象与线段 有交点，结合A，B两点的坐标，根据顶点坐标推出且点一定在抛物线的下方，然后分两种情况讨论：①当点在抛物线的上方时一定满足条件，从而得到b的取值范围，进而确定n的取值范围；②当点 在抛物线的下方时，需满足抛物线的对称轴，进而确定n的取值范围，即可解答． 【详解】解：∵， ∴该抛物线开口向上，顶点坐标为；当时，， ∴抛物线与轴的交点纵坐标， ∵，两点的坐标分别为，，抛物线的图象与线段 有交点， ∴该抛物线的顶点的纵坐标，即， 又∵当 时，， ∴点一定在抛物线的下方， ∴①当点在抛物线的上方时一定满足条件， 即当时，， 解得， ∵，是关于的二次函数，抛物线开口向上，对称轴为， ∴在范围内，当时，取得最小值，当时，取得最大值， ∴； ②当点 在抛物线的下方时，需满足抛物线的对称轴， 此时对于，当时，取得最小值0，当时，取得最大值10， ∴， 综上，的取值范围是 ． 6．D 【分析】根据二次函数和一次函数解析式得出两者都恒过定点，与轴的交点都为．当时，画出大致图象，根据选项一一判断即可． 【详解】解：∵，， ∴抛物线与直线都恒过定点，与轴的交点都为． 当时，大致图象如下， 由图可知，当时，，故A正确，不符合题意； 当时，，故B正确，不符合题意； 当时，，故C正确，不符合题意； 当时，若，则，若，则，故选项D不一定正确，符合题意． 7．D 【分析】求出点坐标，待定系数法求出函数解析式，结合函数图象，逐一进行判断即可. 【详解】解：∵点在直线上，且B的横坐标为3， ∴点的纵坐标为3， ∴， ∵轴， ∴， 把，，代入，得 ，解得， ∴， ∴，； 由图象可知，当时，抛物线在直线的下方，故； 即； 综上：只有选项D错误. 8．D 【分析】根据抛物线的开口方向和顶点坐标，即可判断①正确；根据两个点关于抛物线对称轴对称，可判断②正确；待定系数法求出抛物线的函数解析式，再根据抛物线的平移规律可求得平移后的抛物线的解析式，即可判断③错误；联立两函数解析式，可得当一次函数的图像与这个二次函数的图象有唯一的公共点时，方程有两个相等的实数根，即可判断④正确． 【详解】解：根据图象可知，抛物线的顶点坐标为，抛物线的开口向上， ∴①当时，函数有最小值为0，故①正确； ∵抛物线的顶点坐标为， ∴对称轴为直线， ∵点，在二次函数图象上，且， ∴点，关于对称轴对称， ∴，故②正确； ∵抛物线的顶点坐标为， ∴设此抛物线的表达式为， 把点代入得：， ∴此抛物线的表达式为， ∴将这个二次函数图象向下平移3个单位长度后，对应的二次函数图象的表达式为，故③错误； 联立得：， ∵一次函数的图象与这个二次函数的图象有唯一的公共点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：或，故④正确． 综上所述，说法错误的个数为1个． 9． 【分析】将不等式变形为，即求二次函数图象在一次函数图象上方（包括交点）时自变量的取值范围． 【详解】解：关于的不等式可变形为， 该不等式的解集即为二次函数的图象在一次函数的图象上方（包括交点）时自变量的取值范围， 由图象可知，二次函数与一次函数交点的横坐标分别为，， 当时，二次函数的图象在一次函数的图象上方， 关于的不等式的解集为． 10．①②③④ 【分析】根据图象得到抛物线开口向下，顶点纵坐标为3，对称轴是直线，抛物线与x轴的另一个交点在点和点之间，然后逐项判断即可． 【详解】解：由图象可得，抛物线开口向下，顶点纵坐标为3 ∴y的最大值为3，故①正确； ∵对称轴是直线，抛物线与x轴的一个交点在点和点之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点在点和点之间， ∴当时，，故②正确； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而减小，故③正确； ∵对称轴是直线， ∴ ∴，故④正确． 综上所述，正确的序号为①②③④． 11．或 【分析】先将点的坐标代入二次函数解析式求出m的值，从而确定二次函数的解析式及点C的坐标，再根据抛物线的对称轴及轴对称的性质求出点B的坐标，最后观察函数图象，找出二次函数图像在一次函数图像上方（包括交点）时对应的自变量x的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点， ∴， 解得；抛物线的对称轴为直线； ∴二次函数的解析式为， 令，则， ∴点C的坐标为， ∵抛物线的对称轴为直线，且点B与点C关于对称轴对称， ∴点B的横坐标为，纵坐标为3， ∴点B的坐标为， 由图像可知，当或时，二次函数的图像在一次函数的图像上方或相交， ∴满足的x的取值范围是或． 12．①②③⑤ 【分析】本题根据二次函数图像的开口方向、对称轴、与坐标轴交点等特征，结合系数符号、函数取值、最值、图像对称性和平移规律，依次分析并判断各个结论是否成立． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ， 对称轴为， ， ， 抛物线与轴交点在轴正半轴， ， ，①正确； ， ， 令，则， 抛物线与轴的正半轴交点位于与之间，对称轴为， 抛物线与轴的负半轴交点位于与之间， ，②正确； 抛物线顶点坐标为， 抛物线开口向下， 函数在顶点处取得最大值， 对任意实数，不等式恒成立， 对任意实数，不等式恒成立，即恒成立，③正确； ，， ， 对称轴为， ，即， ， ，即，④错误； 方程可看作原抛物线向右平移个单位后与轴的交点方程， 则平移后抛物线的对称轴为， 两根之和为，⑤正确； 综上所述，正确的为①②③⑤． 13．(1)，． (2)当时，二次函数的函数值随的增大而增大． (3)点的坐标为． 【分析】（1）先求出点A的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的性质求解即可； （3）联立两函数解析式，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴，即， 把点A的坐标代入得， ∴； （2）解：由（1）得二次函数的解析式为， ∴对称轴为y轴，函数图象开口向下， ∴当时，二次函数的函数值随的增大而增大； （3）解：联立，解得或， ∴点B的坐标为． 14．(1)， (2) 【分析】（1）将点，点代入求出二次函数解析式，将点代入求出一次函数解析式，将两个解析式联立即可求出点的坐标； （2）由（1）可得，在图象上为二次函数图象在正比例函数图象下方的部分，据此即可求解． 【详解】（1）解：将点，点代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为， 将点代入得：， ∴正比例函数的解析式为， 令， 解得：或， 当时，；当时，； ∵为点的坐标， ∴的坐标为． （2）解：由（1）可得：， ∴，即， ∵，在图象上为二次函数图象在正比例函数图象下方的部分， ∴． 15．(1) (2) (3)的值为或． (4)且 【分析】（1）把抛物线解析式配方，即可求出顶点坐标； （2）令，求出的值，得出，，根据点在轴下方即可求出的取值范围； （3）分和两种情况，根据最高点与最低点的纵坐标之差是，列方程求出的值即可得出答案； （4）分、、三种情况，分别画出图形，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点的坐标为． （2）解：∵， ∴当时，， 解得：，， ∴，， ∵点在轴下方的抛物线上，横坐标为， ∴的取值范围为． （3）解：当时，最大值为，最小值为， ∵在点和点之间的部分（包含，两点）的最高点与最低点的纵坐标之差是， ∴， 解得：， 当时，最大值为，最小值为， ∴， 解得：，（舍去）； 综上所述：的值为或． （4）解：①如图，当时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标都随的增大而减小，符合题意， ②如图，当时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标都随的增大而减小，符合题意， ③如图，当时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标都随的增大而增大，不符合题意， ∵时，点与点、重合，不能构成矩形， ∴， 综上所述：的取值范围是且． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $