1.5.2 全称量词命题与存在量词命题的否定·教案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.5.2 全称量词命题与存在量词命题的否定·教案

人教A版必修第一册　第一章　1.5 第二课时　45分钟

一、教材分析

1.5节共2课时，本课时是第二课时，学教材1.5.2全称量词命题与存在量词命题的否定；上一课时已学两类量词命题及真假判断（1.5.1）。本课时是1.5节、也是第一章的收尾，把两类命题各自求否定，得到一条对称的规律：全称命题的否定是存在命题，存在命题的否定是全称命题。落点是三件事：掌握否定规律（换量词、否结论、范围不变），会规范写出否定；会判断原命题与否定的真假（必一真一假）；会处理不等号的否定。

本课时承接上一课时的对称性：上节课"全称判假找反例、存在判真找一例"，本节课把它写成规范的否定运算——全称命题的否定就是"存在一个反例"。命题否定是恒成立/能成立问题、反证法的通用工具，往后要反复用。难点在"否结论"：不等号方向（≥的否定是＜）、范围不变，都容易出错。

二、学情分析

学生上一课时已掌握两类量词命题及真假判断，对"举一个反例可否定全称命题"有直觉。预计困难有三处：一是忘换量词，只否定结论（"所有正方形是平行四边形"错否定成"所有正方形都不是平行四边形"），对策是固定"换量词、否结论、范围不变"三步流程；二是不等号方向，≥的否定错写成≤，对策是"带等与不带等互换、方向相反"一句话加口答过关；三是把范围也一起否定掉，对策是强调"否定的是结论不是范围"。两班差异：命题否定中真命题个数（题型五）为★，普通班要求会写基本的全称/存在否定，优生班加练判断真假与个数统计。

三、教学目标

1．理解一个命题的否定￢p，知道￢p与p真假相反。

2．掌握全称命题、存在命题否定的规律：换量词（∀↔∃）、否结论（p→￢p）、范围不变，会规范写出否定。

3．会判断原命题与其否定的真假，用"必一真一假"自查。

4．★会统计一组命题的否定中真命题的个数。

四、教学重难点

重点：两类命题否定的规律与规范书写。

难点：否结论中的不等号方向、范围不变，以及"换量词"不能遗漏。

五、教学方法与教具准备

实例归纳、对照辨析与练习落实。课件38页，问答同页、答案单击浮入；学案一份（附参考答案）；课时作业一份（A组全体必做，B组优生班必做、普通班选做，附详解，题目选自题库）。板书主板面写"换量词、否结论、范围不变"三步与不等号否定对照表，副板面写例题的否定过程与真假判断。

六、教学过程

环节一　复习与引入（约5分钟）

师生活动：课前口答复习上一课时：判断"所有的素数都是奇数"的真假，并说明理由。指名一生（假，反例2）。

引入语：上节课我们说，全称命题判假只需举一个反例。"所有素数都是奇数"因为有2这个反例而为假。

问题1　那么，这个命题的否定该怎么说？是"所有素数都不是奇数"吗？

师生活动：学生讨论。预设：有人答"所有素数都不是奇数"，教师引导——只要有一个素数不是奇数就够了，不需要"所有都不是"。

明确：否定是"存在一个素数不是奇数"。量词从"所有"变成了"存在"，结论"是奇数"变成"不是奇数"。这就是今天要学的——量词命题的否定。

环节二　命题的否定与全称命题的否定（约10分钟）

讲授并板书：对命题p进行否定，得到新命题￢p，读作"非p"，￢p与p真假相反。如"56是7的倍数"的否定是"56不是7的倍数"。

讲授并板书：全称命题∀xM，p(x)的否定是存在命题：￢p为∃xM，￢p(x)。文字：全称命题的否定是存在命题——把"所有"换成"存在"，结论p(x)换成￢p(x)，范围M不变。

明确：这和上节课"判假找反例"是一回事：全称命题的否定，就是"存在一个反例"。

例1　写出否定并判断真假：(1)所有实数的绝对值都是正数；(2)每一个平行四边形都是菱形；(3)∀xZ，x²的个位数字不等于3。

师生活动：教师板演(1)，学生完成(2)(3)。

解：(1)否定：存在一个实数，它的绝对值不是正数。真——0的绝对值是0，不是正数。

　　(2)否定：存在一个平行四边形不是菱形。真——一般的长方形不是菱形。

　　(3)否定：∃xZ，x²的个位数字等于3。假——完全平方数个位只能是0,1,4,5,6,9。

明确：写完否定判一次真假，原命题与否定必一真一假，可用来自查。

板演细节：(1)在黑板上把"所有实数的绝对值都是正数"分三部分标注——量词"所有"、范围"实数"、结论"绝对值是正数"；否定时圈出量词改"存在"、结论改"不是正数"，范围"实数"下面画横线表示不动。这个"三部分标注法"让学生看清改哪里、不改哪里，后面每道题都照此做。

环节三　存在命题的否定（约8分钟）

问题2　"有些平行四边形是菱形"怎么否定？

师生活动：学生思考。预设：否定是"所有平行四边形都不是菱形"。

讲授并板书：存在命题∃xM，p(x)的否定是全称命题：￢p为∀xM，￢p(x)。文字：存在命题的否定是全称命题——"存在"换"所有"，结论换否定，范围不变。

例2　写出否定并判断真假：(1)存在一个实数，它的绝对值不是正数；(2)有的三角形是等边三角形；(3)有一个偶数是素数。

师生活动：学生独立完成，指名回答。

解：(1)否定：所有实数的绝对值都是正数。假（0的绝对值不是正数）。

　　(2)否定：所有三角形都不是等边三角形。假（等边三角形存在）。

　　(3)否定：任意一个偶数都不是素数。假（2是偶数也是素数）。

明确并板书：两条规律合起来：换量词（∀↔∃）、否结论（p→￢p）、范围M不变。全称的否定必是存在，存在的否定必是全称。

设计意图：例1例2对照，让学生看到两类否定是对称的一对，规律靠对照记牢。

环节四　否结论：不等号与范围（约10分钟）

讲授并板书："否结论"最易错，逐类说清。不等号否定：＞↔≤，＜↔≥，≥↔＜，≤↔＞，＝↔。要点：带等与不带等互换、方向相反——≥的否定是＜，不是≤。