1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦全称量词命题和存在量词命题的否定，通过实例问题导入，结合命题否定定义及常见词语否定表，构建从具体到抽象的学习支架，帮助学生掌握否定形式变化规律。 其亮点在于以问题链驱动探究，通过“改变量词，否定结论”规律总结，培养数学思维中的逻辑推理能力。例题涵盖基础与综合应用，如参数范围问题，结合随堂演练，提升学生用数学语言表达命题否定的能力，助力教师系统教学与学生解题能力提升。

1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定 1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律. 2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.(重点) 学习目标 1 命题的否定 （1）定义：一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题 称为原命题的否定. （2）命题的否定与原命题的真假关系 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假. 3 2.常见词语的否定形式 原词语 否定词语 原词语 否定词语 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n个 至多有(n-1)个 小于 不小于 至多有n个 至少有(n+1)个 任意的 某个 能 不能 所有的 某些 等于 不等于 知识梳理 全称量词命题的否定 写出下列命题的否定： (1)所有的矩形都是平行四边形； (2)每一个素数都是奇数； (3)∀x∈R，x+|x|≥0. 它们与原命题在形式上有什么变化？ 问题1 提示　上面三个命题都是全称量词命题，即具有“∀x∈M，p(x)”的形式.其中命题(1)的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形”，也就是说，存在一个矩形不是平行四边形； 命题(2)的否定是“并非每一个素数都是奇数”，也就是说，存在一个素数不是奇数； 命题(3)的否定是“并非所有的x∈R，x+|x|≥0”，也就是说，∃x∈R，x+|x|<0. 从命题形式看，这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题. 1.全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否定： .也就是说，全称量词命题的否定是 命题. ∃x∈M，¬p(x) 存在量词 知识梳理 总结起来八个字“改变量词，否定结论”，从集合的角度来看，x的范围没有变，只是对结论进行了否定.一个命题和它的否定不能同时为真，也不能同时为假，只能一真一假. 注 意 点 <<< 9 (1)全称量词命题的否定既要改变量词，又要否定结论，所以找出全称量词，明确结论是关键. (2)全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定. 全称量词命题否定的关注点 反 思 感 悟 存在量词命题的否定 写出下列命题的否定： (1)存在一个实数的绝对值是正数； (2)有些平行四边形是菱形； (3)∃x∈R，x2-2x+3=0. 它们与原命题在形式上有什么变化？ 问题2 提示　这三个命题都是存在量词命题，即具有“∃x∈M，p(x)”的形式.其中命题(1)的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也就是说，所有实数的绝对值都不是正数； 命题(2)的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，每一个平行四边形都不是菱形； 命题(3)的否定是“不存在x∈R，x2-2x+3=0”，也就是说，∀x∈R，x2-2x+3≠0. 从命题形式看，这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题. 存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定： .也就是说，存在量词命题的否定是 命题. ∀x∈M，¬p(x) 全称量词 知识梳理 (1)存在量词命题的否定是全称量词命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和结论.即∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，¬p(x). (2)存在量词命题的否定是全称量词命题，对省略存在量词的存在量词命题可补上量词后进行否定. 存在量词命题否定的关注点 反 思 感 悟 AI·思考辨析 如果一个命题是真命题,那么它的否定是真命题还是假命题? 提示 假命题. 例1 (2026·广东省揭阳华侨高级中学开学考试)命题“对于任意的 , ”的否定是( ) D A.不存在, B.存在, C.对任意的, D.存在, 【解析】全称量词命题的否定是存在量词命题，故排除A,C；由命题的否定要否定结 论，且“ ”的否定为“ ”，可排除B.故选D. 对于整式不等式，“ ”的否定为“ ”，“ ”的否定为“ ”；而对于分式不等 式则并非如此.例如，，即，其否定是,而非 .因此，对于分式不 等式，要注意分母不为0这一特殊条件，即的否定为或 . 17 例2 命题“∃x∈(1,+∞),x2-8=0”的否定为(　　) A.∀x∈(-∞,1],x2-8≠0 B.∀x∈(-∞,1],x2-8=0 C.∀x∈(1,+∞),x2-8≠0 D.∀x∈(1,+∞),x2-8=0 C 解析 存在量词命题的否定格式:首先存在量词改为全称量词,然后对原结论否定,故原命题的否定为∀x∈(1,+∞),x2-8≠0.故选C. 例3 写出下列命题的否定: (1)所有的无理数都是实数; (2)∀x∈R,x2+x+1>0; (3)菱形不是矩形; (4)∃x∈R,x2-x+1=0. 解 (1)“所有的无理数都是实数”的否定是“有的无理数不是实数”. (2)“∀x∈R,x2+x+1>0”的否定是“∃x∈R,x2+x+1≤0”. (3)“菱形不是矩形”是指“任意一个菱形都不是矩形”,它的否定是“存在一个菱形,它是矩形”,或“存在是矩形的菱形”. (4)“∃x∈R,x2-x+1=0”的否定是“∀x∈R,x2-x+1≠0”. 例4 写出下列全称量词命题p的否定¬p,并判断p与¬p的真假. (1)p:∀x∈R,2x+1>0; 解 ¬p:∃x∈R,2x+1≤0.因为∃x=-1,2x+1=-1≤0,所以¬p为真命题,p为假命题. (2)p:每个三角形至少有两个锐角; 解 ¬p:存在一个三角形至多有一个锐角.¬p为假命题,p为真命题. (3)p:与圆只有一个公共点的直线是圆的切线; 解 ¬p:存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线. 根据圆的切线的定义,p为真命题,¬p为假命题. (4)p:末尾数是偶数的数能被4整除. 解 ¬p:存在末尾数是偶数的数,不能被4整除.存在末尾数是偶数的数例如10,不能被4整除,所以¬p为真命题,p为假命题. 全称量词命题与存在量词命题的综合应用 三 例5 若“∀x∈M,|x|>x”为真命题,“∃x∈M,x>3”为假命题,则集合M可以是 (　　) A.{x|x≤3} B.{x|x<-1} C.{x|0<x<3} D.{x|x>3} B 解析 当x≥0时,|x|=x;当x<0时,|x|=-x>x. 若“∀x∈M,|x|>x”为真命题,则x<0. 若“∃x∈M,x>3”为假命题,即命题“∀x∈M,x≤3”为真命题,所以x≤3, 所以x<0,由题意可知,M≠⌀且M⊆{x|x<0}, 故符合条件的集合M可以为M={x|x<-1}.故选B. 例6 命题p:ax2+2x+1=0有实数根,若¬p是假命题,则实数a的取值范围是 (　　) A.{a|a<1} B.{a|a≤1} C.{a|a>1} D.以上都不对 B 解析 当a=0时,即2x+1=0有实数根,解得x=,故符合要求; 当a≠0时,即有Δ=4-4a≥0,解得a≤1且a≠0. 综上所述,实数a的取值范围是{a|a≤1}.故选B. 例7 (1) 已知命题p:∃x<0,x+a-1=0,若p为假命题,则a的取值范围是 (　　) A.{a|a<1} B.{a|a≥-1} C.{a|a>-1} D.{a|a≤1} D 解析 命题p:∃x<0,x+a-1=0,假设p为真命题,则x=1-a<0,解得a>1, 则当p为假命题时a的取值范围为{a|a≤1}.故选D. (2)已知命题p:∃x∈{x|1<x<2},x-a≥0,若命题p的否定是真命题,则实数a的取值范围是(　　) A.{a|a<1} B.{a|a>2} C.{a|a≤2} D.{a|a≥2} D 解析 若命题p为真命题,则∃x∈{x|1<x<2},x≥a,即a<2. 又p的否定是真命题,即命题p为假命题,所以a≥2.故选D. 例8 已知集合A={x|2≤x≤7},B={x|-3m+4≤x≤2m-1},且B≠⌀. (1)若p:∀x∈A,x∈B是真命题,求实数m的取值范围; (2)若q:∃x∈B,x∈A是真命题,求实数m的取值范围. 解 (1)由于p:∀x∈A,x∈B是真命题,所以A⊆B. 而B≠⌀,所以解得m≥4,故m的取值范围为{m|m≥4}. (2)因为B≠⌀,所以-3m+4≤2m-1,解得m≥1. 由q为真命题,得A∩B≠⌀, 当A∩B=⌀时,-3m+4>7或2m-1<2,解得m<. 因为m≥1,所以当B≠⌀且A∩B=⌀时,1≤m<,所以当A∩B≠⌀时,m≥. 故m的取值范围为{m|m≥}. (1)对于全称量词命题“∀x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a>ymax(或a<ymin). (2)对于存在量词命题“∃x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a>ymin(或a<ymax). 求解含有量词的命题中参数范围的策略 反 思 感 悟 1.知识清单： (1)全称量词命题、存在量词命题的否定. (2)命题真假的判断. (3)全称量词命题与存在量词命题的综合应用. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：否定不唯一；命题与其否定的真假性相反. 课堂小结 随堂演练 1.（2026福建福州期末）命题“, ”的否定是( ) D A., B., C., D., 【解析】 命题“,”的否定为“, ”. 31 2.（2026广东梅州期末）命题“存在一个四边形，其内角和不等于 ”的否定 为( ) D A.存在一个四边形，其内角和等于 B.存在无数个四边形，其内角和等于 C.任意四边形，其内角和不等于 D.任意四边形，其内角和等于 【解析】 按照存在量词命题的否定规则，“存在一个”变成“任意”，同时将结论否定即 可，所以命题“存在一个四边形，其内角和不等于 ”的否定为“任意四边形 ，其内角和等于 ”. 32 3.（2026河北保定期中）已知命题，，命题,, ， 则( ) B A.和都是真命题 B.和 都是真命题 C.和都是真命题 D.和 都是真命题 【解析】 当时，显然不成立，所以是假命题， 是真命题. 当时，显然成立，所以命题是真命题， 是假命题. 33 4.(2026·山西省运城市期末)若命题,,则命题 的否定为( ) D A., B., C., D., 【解析】命题否定的方法为“先改变量词，再否定结论”，则命题的否定为 , .故选D. 5.下列关于命题“，使得 ”的否定说法正确的是( ) B A.，均有，假命题 B.，均有 ，真命题 C.，使得，假命题 D.，使得 ，真命题 【解析】命题“，使得”的否定是“,均有 ”. 因为 恒成立，所以原命题的否定是真命题.故选B. 34 6.(2026·湖南省衡阳市第一中学月考)已知集合,则命题“ , ”为真命题的一个充分不必要条件是( ) C A. B. C. D. 【解析】命题“，”为真命题，即“， ”恒成立，所以 , 故“，”为真命题的充要条件为 , 要找的是一个充分不必要条件,即要找的的取值范围为集合 的真子集，结 合选项可知C符合题意．故选C. 35 7.［多选题］(2026·江西省南昌市期末)下列命题是全称量词命题，且是真命题的为 ( ) AC A.矩形有四条边 B.至少有一个整数，使得 是奇数 C.任意一个整数， 都不是4的倍数 D.“， ”的否定 36 【解析】对于A，命题是全称量词命题，且为真命题，故A正确； 对于B，命题是存在量词命题，故B错误； （因为,必有一个偶数，所以 必为偶数，该命题为假命题） 对于C，命题是全称量词命题，若,，则，故 不是 4的倍数， 若,，则，因为为4的倍数，故 不是4的倍数，故任意一个整数， 都不是4的倍数，为真命题，故C正确； 对于D，“，”的否定为“， ”，是存在量词命题， 故D错误. 37 8.［多选题］若“, ”为真命题，“, 或 ”为假命题， 则集合 可以是( ) BD A. B. C. D. 【解析】因为，或为假命题，所以， 为真命题， 可得 , 又，为真命题，可得，所以 ，故 集合可以是选项中的集合.故选 ． 38 9.［多选题］(2026·甘肃省兰州市期末) 下列存在量词命题中，为真命题的是( ) ABD A., B.至少有一个, 使 能同时被2和3整除 C., D.有些自然数是偶数 【解析】选项A，因为方程的两根为3和 ，故A为真命题；选项B， 因为6能同时被2和3整除，且 ，故B为真命题；选项C，根据绝对值的意义可得 恒成立，不存在实数满足 ，故C为假命题；选项D，2，4等既是自然 数又是偶数，故D为真命题.故选 ． 39 10.［新考法·开放探究］能够说明“存在两个不相等的正数, , 使得 ”是真 命题的一组有序数对 为___________________. (,)（答案不唯一） 【解析】由得,故可取为(，).本题答案不唯一，如(, )， (, )都符合题意. 40 11.(2026·四川省内江市威远中学校月考)命题关于的方程 有两个 不相同的负根；命题, 使得 成立. （1）若命题为真，求实数 的取值范围； 【答案】因为命题为真，即，使得 , 所以，即实数的取值范围为 . 41 （2）若这两个命题有且仅有一个为真命题，求实数 的取值范围. 【答案】若为真命题，需满足 解得 , 若真假，则解得 , 若假真，则解得 . 综上，实数的取值范围是或 . 42 12.[2026河北承德检测]设全集，集合 ， 其中, ． （1）若“”是“”的必要不充分条件，求实数 的取值范围； 43 【解析】 因为“”是“”的必要不充分条件，所以 , 所以 , , , （ 注意等号能否取到.）解得，即实数 的取值范围为 . . . . . 44 （2）若命题“，使得”是真命题，求实数 的取值范围． 【解析】 因为“，使得”是真命题，所以 ． 假设 . 因为，所以或 ． ①当 时，，解得，此时 ,满足 题意； 45 ②当 时， 无解. 所以当 时，实数的取值范围为 ， 所以当 ，即命题为真命题时，实数 的取值范围为 ． 46 $