第8讲　函数的奇偶性、对称性专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数奇偶性与对称性，以定义辨析为基础，通过性质应用与综合拓展构建解题体系，强化逻辑推理与数学抽象能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|3题（1-3）|定义判断法、条件关系分析|从奇偶性定义到充分必要条件推导| |性质应用|6题（4-9）|解析式转化、图象平移对称、构造奇函数|奇偶性与单调性、对称性结合应用| |综合拓展|8题（10-17）|复合函数对称分析、不等式求解|从单一性质到多性质综合，提升数学思维|

第8讲　函数的奇偶性、对称性 (时间:45分钟) 1.[2024·山东潍坊、日照联考] 下列函数中既是奇函数又是增函数的是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.y=3x B.y= C.y=2x2 D.y=-x 2.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是 (　 ) A.- B. C.- D. 3.[2025·大庆一模] 已知函数f(x)的定义域为R,则“f(0)=0”是“函数f(x)为奇函数”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知函数f(x)是偶函数,且当x>0时,f(x)=3x+x+1,那么当x<0时,f(x)的解析式是 (　 ) A.f(x)=-x+1 B.f(x)=-+x-1 C.f(x)=+x-1 D.f(x)=--x+1 5.已知函数f(x)的定义域为R,且f(1)=f(5),函数f(ax-1)的图象关于直线x=2对称,则a= (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 6.[2023·全国乙卷] 已知f(x)=是偶函数,则a= (　 ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 7.若函数f(x+1)是奇函数,则函数y=f(x)+1的图象的对称中心是　　　　.  8.[2025·湖南长郡中学月考] 若函数f(x)=的最大值为M,最小值为N,则M+N= (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 9.[2024·杭州二模] 设集合M={-1,1},N={x|x>0且x≠1},函数f(x)=ax+λa-x(a>0且a≠1),则下列命题为真命题的是 (　 ) A.∀λ∈M,∃a∈N,f(x)为增函数 B.∃λ∈M,∀a∈N,f(x)为减函数 C.∀λ∈M,∃a∈N,f(x)为奇函数 D.∃λ∈M,∀a∈N,f(x)为偶函数 10.[2024·河北秦皇岛模拟] 已知f(x)为R上的减函数,设函数g(x)=则满足不等式g(4-m)>g(m)的m的取值范围是 (　 ) A.(1,+∞) B.(2,+∞) C.(-∞,1)∪(1,+∞) D.(-∞,2)∪(2,+∞) 11.[2024·广东佛山模拟] 已知函数y=f(x)的定义域为R,且f(-x)=f(x),若函数y=f(x)的图象与函数y=log2(2x+2-x)的图象有交点,且交点个数为奇数,则f(0)= (　 ) A.-1 B.0 C.1 D.2 12.(多选题)已知函数f(x)对任意实数x均满足2f(x)+f(x2-1)=1,则 (　 ) A.f(-x)=f(x) B.f()=1 C.f(-1)= D.函数f(x)在区间(,)上不单调 13.(多选题)已知函数f(x)的定义域为R,f(x+2)为奇函数,f(2x+1)为偶函数,则 (　 ) A.f(x)的图象关于直线x=1对称 B.f(x)的图象关于点(1,0)对称 C.f(x)的图象关于直线x=2对称 D.f(x)的图象关于点(2,0)对称 14.若函数y=f(1-x)的图象与函数y=f(2+x)的图象关于直线x=m对称,则m=　　　　.  15.已知奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(-2)=0,则不等式<0的解集为　　　　.  16.已知函数y=f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),对任意的x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,都有>0,若函数y=f(x+1)的图象关于点(-1,0)中心对称,且f(1)=4,则不等式f(x)>的解集为 (　 ) A.(-1,0)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(0,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 17.(多选题)已知函数fn(x)=(n∈N*),则下列判断正确的是 (　 ) A.若n=1,且f1(a)+f1(b)=0,则ab=1 B.若n=2,且f2(a)+f2(b)=0,则ab=1 C.fn(x)是偶函数 D.fn(x)在区间(1,+∞)上单调递增 参考答案 第8讲　函数的奇偶性、对称性 1.A　[解析] 对于A选项,y=3x为奇函数,且在R上单调递增,故A正确;对于B选项,y=是奇函数,在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减,故B错误;对于C选项,y=2x2是偶函数,故C错误;对于D选项,y=-x是奇函数,且在R上单调递减,故D错误.故选A. 2.B　[解析] 因为f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,所以f(-x)=f(x),且 a-1=-2a,所以a=,b=0,所以a+b=.故选B. 3.B　[解析] 取f(x)=x(x-1),x∈R,则f(0)=0,但f(1)=0,f(-1)=2,即f(-1)≠-f(1),所以函数f(x)不是奇函数,故充分性不成立;若函数f(x)为奇函数,则f(0)=-f(-0),即f(0)=0,故必要性成立.所以“f(0)=0”是“函数f(x)为奇函数”的必要不充分条件.故选B. 4.A　[解析] 因为函数f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x),当x<0时,-x>0,故f(x)=f(-x)=3-x-x+1=-x+1.故选A. 5.B　[解析] 因为f(ax-1)的图象关于直线x=2对称,所以f(ax-1)=f[a(4-x)-1],又f(1)=f(5),所以或 解得a=2.故选B. 6.D　[解析] 方法一:因为f(x)=是偶函数,所以f(x)-f(-x)=-==0,又因为x不恒为0,所以ex-e(a-1)x=0,即ex=e(a-1)x,则x=(a-1)x,即1=a-1,解得a=2.故选D. 方法二:因为f(x)=是偶函数,所以f(1)=f(-1),即=-,解得a=2,经检验符合题意.故选D. 方法三:由题设,可知f(x)=x·,且y=x为奇函数,则g(x)=为奇函数,由g(x)+g(-x)=0,解得a=2.故选D. 7.(1,1)　[解析] 因为函数f(x+1)是奇函数,所以f(x+1)的图象关于点(0,0)对称,函数y=f(x+1)的图象向右平移一个单位得到函数y=f(x)的图象,所以函数y=f(x)的图象关于点(1,0)对称,函数y=f(x)的图象向上平移一个单位得到函数y=f(x)+1的图象,所以函数y=f(x)+1的图象关于点(1,1)对称. 8.B　[解析] f(x)==+=1+,令g(x)=,则其定义域为R,又g(-x)==-=-g(x),所以g(x)=为奇函数,则g(x)max+g(x)min=0,所以f(x)max+f(x)min=g(x)max+1+g(x)min+1=2,则M+N=2.故选B. 9.D　[解析] 当λ=1时,f(x)=ax+a-x,当a>1或0<a<1时,f(x)在(-∞,0)上单调递减,在[0,+∞)上单调递增,故A不正确;当λ=-1时,f(x)=ax-a-x,当a>1时,f(x)在R上为增函数,故B不正确;当λ=1时,f(x)=ax+a-x,f(-x)=ax+a-x=f(x),f(x)为偶函数,故C不正确;当λ=1时,f(x)=ax+a-x,f(-x)=ax+a-x=f(x),f(x)为偶函数,故D正确.故选D. 10.B　[解析] 由题意知,g(x)的定义域为R,关于原点对称,当x>0时,-x<0,g(x)=f(x),则g(-x)=f[-(-x)]=f(x)=g(x),当x=0时,g(0)=f(0)=g(-0),当x<0时,-x>0,g(x)=f(-x),则g(-x)=f(-x)=g(x),故g(x)为偶函数,又f(x)为R上的减函数,∴g(x)在[0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递增,∵g(4-m)>g(m),∴g(|4-m|)>g(|m|),即|4-m|<|m|,解得m>2.故选B. 11.C　[解析] 令g(x)=log2(2x+2-x),其定义域为R,因为g(-x)=log2(2-x+2x)=g(x),所以g(x)为偶函数,由题易知f(x)也为偶函数.因为两个函数图象的交点个数为奇数,所以f(0)=g(0)=log2(20+2-0)=1.故选C. 12.ACD　[解析] 对于A,由题得2f(-x)+f(x2-1)=1,所以f(-x)=f(x)=,故A正确;对于B,令x=1,则2f(1)+f(0)=1,令x=0,则2f(0)+f(1)=1,解得f(0)=f(1)=,令x=,则2f()+f(1)=1,则f()=,故B错误;对于C,由A知,f(-x)=f(x),所以f(-1)=f(1)=,故C正确;对于D,令x=x2-1,则x2-x-1=0,解得x=,令x=,则2f+f=1,所以f=,因为∈(,),f=f()=,所以函数f(x)在区间(,)上不单调,故D正确.故选ACD. 13.AD　[解析] 因为f(x+2)为奇函数,所以f(x+2)=-f(-x+2),所以函数f(x)的图象关于点(2,0)对称,故B错误,D正确.因为f(2x+1)为偶函数,所以f(2x+1)=f(-2x+1),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称,故A正确,C错误.故选AD. 14.-　[解析] 设点P(x,y)在函数y=f(1-x)的图象上,点P关于直线x=m的对称点为Q(x',y'),则则则y'=f(1-2m+x'),即y=f(1-2m+x)的图象与y=f(1-x)的图象关于直线x=m对称,则1-2m=2,解得m=-. 15.(-2,0)∪(0,2) [解析] 因为函数f(x)为奇函数,所以f(x)=-f(-x),则= <0,即x和f(x)异号,故或由f(-2)=0,可得f(2)=0,因为函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在(-∞,0)上也单调递增,画出函数f(x)的大致图象如图.由图可得原不等式的解集为(-2,0)∪(0,2). 16.B　[解析] 因为函数y=f(x+1)的图象关于点(-1,0)中心对称,所以f(x)的图象关于点(0,0)对称,即f(x)为奇函数.令g(x)=xf(x),因为对任意的x1,x2∈(0,+∞),都有>0(x1≠x2),所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,因为函数f(x)为定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x),所以g(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,所以g(x)在(-∞,0)上单调递减.因为f(1)=4,所以g(1)=4,当x>0时,f(x)>化为xf(x)>4,即g(x)>g(1),所以x>1;当x<0时,f(x)>化为xf(x)<4,因为g(x)=xf(x)为偶函数,g(-1)=g(1)=4,所以xf(x)<4化为g(x)<g(-1),所以-1<x<0.综上所述,不等式f(x)>的解集为(-1,0)∪(1,+∞).故选B. 17.AD　[解析] 对于A,当n=1时,f1(x)=,所以f1(a)+f1(b)=+==0,所以ab=1且a≠1,b≠1,故A正确;对于B,当n=2时,f2(x)=,所以f2(a)+f2(b)=+==0,解得ab=±1且a≠±1,b≠±1,故B错误;对于C,当n=2k-1(k∈N*)时,fn(-x)==≠fn(x),故C错误;对于D,f'n(x)=,当x∈(1,+∞)时,f'n(x)=>0,所以fn(x)在区间(1,+∞)上单调递增,故D正确.故选AD. 1 学科网（北京）股份有限公司 $