精品解析：四川省巴中市第三中学2021-2022学年九年级上学期入学考试数学试题

巴中市第三中学2022年春九年级入学测试数学试题 一、选择题（每小题4分，共48分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，一个几何体是由5个大小相同的小正方体搭成，该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 对于线段和，若，则下列式子一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题是真命题的是（ ） A. 两底角相等的三角形是等腰三角形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 相似三角形的面积比等于对应高的比 D. 顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形一定是矩形 5. 已知是方程的解，则的值是（ ） A. B. C. 或3 D. 或1 6. 如图，为了测量河岸，两点的距离，在与垂直的方向上取点，测得，，那么等于（ ） A. B. C. D. 7. 实数的整数部分是（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 8. 在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 若一元二次方程x2﹣5x﹣7＝0有两实数根x1和x2，下列选项正确的是（ ） A. x1＋x2＝﹣5 B. x1x2＝7 C. x1＝x2 D. x1x2﹣x1﹣x2＝﹣12 10. 对于一元二次方程，我国及其他一些国家的古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程x2＋2x﹣35＝0即x（x＋2）＝35为例加以说明，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆图注》中记载的方法是：构造如图，一方面，图中的大方形的面积是（x＋x＋2）2；另一方面，它又等于四个矩形面积加上中间小正方形的面积，即4×35＋22，据此易得x＝5，那么在下面的四个构图中，能够说明x2﹣2x﹣8＝0的正确构图是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，已知△和△都是等边三角形，且点在边上，，，边与相交于点，连接，则的值是（ ） A. B. C. D. 12. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若，是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①③⑤ C. ②④⑤ D. ①②④ 二、填空题（每小题3分，共18分） 13. 在函数中，自变量的取值范围是________． 14. 从这7个数中随机抽取一个数，作为反比例函数中的值，恰好使反比例函数在每一个象限内随的增大而增大的概率为______． 15. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ____________． 16. 《算法宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云周一百二十步，问长多几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，且周长为120步，问它的长比宽多了多少步？则这块矩形田地的长比宽多了______步． 17. 定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（），即在中，，顶角的正对记作，这时．如图，若在中，，，平分交于点，则的值是___________． 18. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，，，将△沿着折叠得到△，与相交于点，则的长是________． 三、解答题（共84分） 19. （1）计算：； （2）解方程：x（2x﹣1）＝1﹣2x； （3）先化简，再求值：，其中a是满足不等式2a﹣1＜a＋3的正整数． 20. 如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，点F在BC的延长线上，且CF＝BE，连接AC、DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）若AE＝4，CF＝2，AD＝10，求证：AC⊥CD． 21. 文明是一座城市的幸福底色，是一座城市的内在气质．巴中市正创建“第七届全国文明城市”，某校为了提高学生的创文意识，举办了“创文知识”测评活动．现从七年级、八年级中各随机抽取20名学生的测评成绩（满分50分，45分及45分以上为优秀，40分及40分以上为合格）进行整理、描述和分析，给出了下面的部分信息． 七年级20名学生的测评成绩（单位：分）分别为： 44 50 40 40 50 45 45 45 49 45 44 42 49 42 49 49 45 42 38 42 八年级20名学生的测评成绩统计图如图所示： 两个年级抽取的学生的测评成绩的平均数、众数、中位数如表： 年级 平均数 众数 中位数 七年级 44.75 a 45 八年级 44.9 b c 请你根据上面提供的所有信息，解答下列问题： （1）如表中的a＝ 　 　，b＝ 　 　，c＝ 　 　； （2）已知该校七年级、八年级共800名学生参加了此次测评活动，通过计算，请你估计此次测评活动成绩合格的学生人数； （3）从样本中测评成绩为满分的七年级、八年级中随机抽取两名学生，用画树状图或者列表的方法求两人在同一年级的概率． 22. 如图，小明在山坡坡脚C处测得一座建筑物顶点A的仰角为60°，沿山坡向上走到D处再测得该建筑物顶点A的仰角为30°，已知山坡的坡比为1：3，BC＝45米． （1）求该建筑物的高度；（结果保留根号） （2）求小明所在位置点D的铅直高度．（结果精确到1米，参考数据≈1.414，≈1.732） 23. 如图，已知反比例函数的图象与正比例函数y＝nx的图象相交于点A（2，﹣2）和点B． （1）求正比例函数和反比例函数的解析式； （2）将直线AB向下平移3个单位长度，与反比例函数的图象相交于点C和点D． ①求点C的坐标； ②点P是x轴上一点，当线段PC与线段PA之差达到最大时，求点P的坐标． 24. 如图①，在菱形ABCD中，AB＝8cm，点E是对角线BD上一动点，点F是AD边上一动点，连接AE、EF，且∠AEF＝∠ABD，cos∠AEF＝． （1）求证：△ABE∼△EDF； （2）如图②，若EF∥AB，求EF长． 25. 如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点在直线下方的抛物线上，过点作轴于点，交直线于点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，设四边形的面积为，当最大时，求点的坐标及最大值； （3）如图②，过点作于点，当以为顶点的三角形与△相似时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 巴中市第三中学2022年春九年级入学测试数学试题 一、选择题（每小题4分，共48分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先依据二次根式性质化简各式，再结合加减、除法运算法则逐一验算每个选项的正误． 【详解】解：A选项：与不是同类二次根式，不能合并，计算错误． B选项：，计算错误． C选项：，计算正确． D选项：，计算错误． 2. 如图，一个几何体是由5个大小相同的小正方体搭成，该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：观察几何体可知，从正面看得到的平面图形是． 3. 对于线段和，若，则下列式子一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据比例性质逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴设，（）， A选项：，，，错误； B选项：，不一定为1，错误； C选项：，错误； D选项：，正确，符合题意． 4. 下列命题是真命题的是（ ） A. 两底角相等的三角形是等腰三角形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 相似三角形的面积比等于对应高的比 D. 顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形一定是矩形 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．底角是等腰三角形的特有概念，判定等腰三角形应为有两个角相等的三角形，该命题为假命题． B．对角线相等的平行四边形是矩形，等腰梯形对角线相等但不是矩形，该命题为假命题． C．相似三角形面积比等于相似比的平方，对应高的比等于相似比，即面积比等于对应高的比的平方，该命题为假命题． D．设四边形中，对角线，，，，分别是，，，的中点， 连接，． ∵，，，分别是四边形各边中点， ∴由三角形中位线定理得：，，，，， ∴且， ∴四边形是平行四边形． ∵，，， ∴，即， ∴平行四边形是矩形，该命题为真命题． 5. 已知是方程的解，则的值是（ ） A. B. C. 或3 D. 或1 【答案】C 【解析】 【分析】把方程的解代入得到关于的一元二次方程，解关于的一元二次方程即可． 【详解】解：将代入得． 整理得． 因式分解得． ∴或， ∴或． 6. 如图，为了测量河岸，两点的距离，在与垂直的方向上取点，测得，，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意知，，则，即，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴，即，解得，， 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 7. 实数的整数部分是（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】通过平方数的范围确定无理数的取值区间，从而确定该实数的整数部分． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴的整数部分是． 8. 在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作轴于点，证明，根据全等的性质得到边的关系，从而求出点的坐标． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， ∴，， 过点作轴于点， ， ∴， 四边形是正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 9. 若一元二次方程x2﹣5x﹣7＝0有两实数根x1和x2，下列选项正确的是（ ） A. x1＋x2＝﹣5 B. x1x2＝7 C. x1＝x2 D. x1x2﹣x1﹣x2＝﹣12 【答案】D 【解析】 【分析】根据根与系数的关系和根的判别式进行计算． 【详解】解：一元二次方程有两实数根和， ，． ． 又△． ． 观察选项，只有选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，根的判别式．一元二次方程的根与系数的关系为：，． 10. 对于一元二次方程，我国及其他一些国家的古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程x2＋2x﹣35＝0即x（x＋2）＝35为例加以说明，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆图注》中记载的方法是：构造如图，一方面，图中的大方形的面积是（x＋x＋2）2；另一方面，它又等于四个矩形面积加上中间小正方形的面积，即4×35＋22，据此易得x＝5，那么在下面的四个构图中，能够说明x2﹣2x﹣8＝0的正确构图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】变形方程得，即，则大长方形的面积是，四个矩形的面积是，中间小正方形的面积是，即可得出的值，进而得出正确构图． 【详解】解：变形方程得， 即， 则大长方形的面积是，四个矩形的面积是，中间小正方形的面积是， 即， ， 解得， 正确的图解为B， 故选：B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，正确理解一元二次方程的几何解法是解题的关键． 11. 如图，已知△和△都是等边三角形，且点在边上，，，边与相交于点，连接，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先证明，得到，，再证明，过点作交于点G，则，证明是等边三角形，得到， 证明，则，即可求出答案． 【详解】解：∵△和△都是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴ ∴， 过点作交于点G， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 12. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若，是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①③⑤ C. ②④⑤ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】抛物线开口向下，且交轴于正半轴及对称轴为，推导出，，以及与之间的关系：，即可判断①；根据二次函数图象经过点，及对称轴为，可得出抛物线经过，再把点代入解析式，结合即可判断②⑤；再由二次函数的对称性，当时，距离对称轴越远所对应的越小，即可判断③；由抛物线开口向下，对称轴是直线，可知当时，有最大值，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴，即， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的上方， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ∵抛物线经过，对称轴为直线， ∴抛物线经过， 即，故②正确，⑤不正确； ∵，且开口向下， ∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴，故③不正确，不符合题意； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， 当时，抛物线取得最大值， 当时，，且， ∴，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的结论是①②④． 二、填空题（每小题3分，共18分） 13. 在函数中，自变量的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查函数自变量取值范围，解题的关键是掌握分式有意义的条件：分母不为0 ，二次根式有意义的条件是被开方数非负．分别根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，且， ∴， 故答案为：． 14. 从这7个数中随机抽取一个数，作为反比例函数中的值，恰好使反比例函数在每一个象限内随的增大而增大的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数性质得到系数的取值范围，找出符合条件的的个数，再根据概率公式计算结果． 【详解】解：∵ 反比例函数在每一个象限内随的增大而增大， ∴ ， 解得 ， 在这7个数中，满足的数是和，共2个， ∵所有等可能的抽取结果共7种， ∴恰好使反比例函数在每一个象限内随的增大而增大的概率为． 15. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ____________． 【答案】且 【解析】 【分析】原方程是一元二次方程，因此二次项系数不为0，方程有实数根，因此根的判别式大于等于0，联立两个不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得∶ 且． 16. 《算法宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云周一百二十步，问长多几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，且周长为120步，问它的长比宽多了多少步？则这块矩形田地的长比宽多了______步． 【答案】12 【解析】 【分析】设长为步，宽为步，根据“一块矩形田地的面积为864平方步”可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题． 【详解】解：设长为步，宽为步， 根据题意，得， 解得，（舍去）． 当时，， 长比宽多：（步）， 故答案为：12． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答，注意长比宽要长． 17. 定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（），即在中，，顶角的正对记作，这时．如图，若在中，，，平分交于点，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据的定义，需构造一个以为顶角的等腰三角形，求出其底边与腰的比；利用等腰三角形三线合一性质求出长，通过在腰上截取线段构造等腰三角形，结合勾股定理与面积法求解． 【详解】解：，平分， ，， ， 设，， 则， 在中，， 在上截取，连接， 为等腰三角形，且顶角， ， 过点作于， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ． 18. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，，，将△沿着折叠得到△，与相交于点，则的长是________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接交于点，连接，由折叠可得，，，根据矩形性质和勾股定理可得，则，，利用，可得，所以，然后证明，进而可以解决问题． 【详解】解：如图，连接交于点，连接， 由折叠可知：，，， 在矩形中，，，，， 又，， ，则，， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 即的长是． 三、解答题（共84分） 19. （1）计算：； （2）解方程：x（2x﹣1）＝1﹣2x； （3）先化简，再求值：，其中a是满足不等式2a﹣1＜a＋3的正整数． 【答案】（1）-4；（2），；（3），-1 【解析】 【分析】（1）先计算零指数幂、去绝对值符号、代入三角函数值、计算负整数指数幂、化简二次根式，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于的一元一次方程，分别求解即可得出答案； （3）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再解不等式，找到使分式有意义的的值代入计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， ， 则， 或， 解得，； （3）原式 ， 解不等式得， 使分式有意义的的值为， 则原式． 【点睛】本题主要考查实数的混合运算、分式的化简求值及解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 20. 如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，点F在BC的延长线上，且CF＝BE，连接AC、DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）若AE＝4，CF＝2，AD＝10，求证：AC⊥CD． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明即可； （2）根据矩形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可． 【小问1详解】 解：证明：， ． 即． 在中，且， 且． 四边形是平行四边形． ， ． 四边形是矩形； 【小问2详解】 证明：四边形是矩形， ，，， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 21. 文明是一座城市的幸福底色，是一座城市的内在气质．巴中市正创建“第七届全国文明城市”，某校为了提高学生的创文意识，举办了“创文知识”测评活动．现从七年级、八年级中各随机抽取20名学生的测评成绩（满分50分，45分及45分以上为优秀，40分及40分以上为合格）进行整理、描述和分析，给出了下面的部分信息． 七年级20名学生的测评成绩（单位：分）分别为： 44 50 40 40 50 45 45 45 49 45 44 42 49 42 49 49 45 42 38 42 八年级20名学生的测评成绩统计图如图所示： 两个年级抽取的学生的测评成绩的平均数、众数、中位数如表： 年级 平均数 众数 中位数 七年级 44.75 a 45 八年级 44.9 b c 请你根据上面提供的所有信息，解答下列问题： （1）如表中的a＝ 　 　，b＝ 　 　，c＝ 　 　； （2）已知该校七年级、八年级共800名学生参加了此次测评活动，通过计算，请你估计此次测评活动成绩合格的学生人数； （3）从样本中测评成绩为满分的七年级、八年级中随机抽取两名学生，用画树状图或者列表的方法求两人在同一年级的概率． 【答案】（1）45，47，46 （2）740人 （3） 【解析】 【分析】（1）根据众数和中位数的定义进行求解即可； （2）用七、八年级的总人数乘以测评活动成绩合格的学生所占的百分比即可； （3）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：分出现了次数最多，出现了5次， 七年级众数是45分， ， 八年级47分出现了5次，出现的次数最多， 则； 把八年级的20名学生的测评成绩从小到大排列，中位数是第10、11个数的平均数， 则（分）． 故答案为：45，47，46； 【小问2详解】 根据题意得： （人， 答：估计此次测评活动成绩合格的学生人数有740人； 【小问3详解】 根据题意画图如下： 共有12种等可能的情况数，其中两人在同一年级的有4种， 则两人在同一年级的概率是． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 22. 如图，小明在山坡坡脚C处测得一座建筑物顶点A的仰角为60°，沿山坡向上走到D处再测得该建筑物顶点A的仰角为30°，已知山坡的坡比为1：3，BC＝45米． （1）求该建筑物的高度；（结果保留根号） （2）求小明所在位置点D的铅直高度．（结果精确到1米，参考数据≈1.414，≈1.732） 【答案】（1）米 （2）19米 【解析】 【分析】（1）由锐角三角函数定义即可得出答案； （2）设米，则（米），米，由锐角三角函数定义得米，再由米，得出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：在中，米，， （米）， 答：建筑物的高度为米； 【小问2详解】 过点作于，于， 则四边形是矩形， ，， 设米， 在中，， （米）， （米）， 在中，， （米）， 又（米）， ， 解得：， 即（米）， 答：人所在的位置点的铅直高度约为19米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、坡度坡角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 23. 如图，已知反比例函数的图象与正比例函数y＝nx的图象相交于点A（2，﹣2）和点B． （1）求正比例函数和反比例函数的解析式； （2）将直线AB向下平移3个单位长度，与反比例函数的图象相交于点C和点D． ①求点C的坐标； ②点P是x轴上一点，当线段PC与线段PA之差达到最大时，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2）①；② 【解析】 【分析】（1）将点代入反比例函数与正比例函数即可； （2）①由平移的性质知，直线的解析式为，联立与，解方程即可；②首先利用待定系数法求出直线的解析式为，当线段与线段之差达到最大时，点在直线与轴的交点处，求出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点， ，， ， 正比例函数和反比例函数的解析式分别是，； 【小问2详解】 由（1）知：直线的解析式为， 将直线向下平移3个单位长度，与反比例函数的图象相交于点和点， 直线的解析式为， ①将代入，得， 整理得， 解得：或1， 经检验，与都是分式方程的解， 当时，， ； ②设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 即直线与轴的交点为， 点是轴上的一点， 当线段与线段之差达到最大时，点在直线与轴的交点处，最大值为的长，点的坐标为，理由如下： 在轴上任意取异于的点，连接，，如图， 在中，， 当线段与线段之差达到最大时，点在直线与轴的交点处，点的坐标为． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，函数图象平移的性质，直线与双曲线的交点问题，三角形三边关系等知识，利用待定系数法求出直线的解析式是解题的关键． 24. 如图①，在菱形ABCD中，AB＝8cm，点E是对角线BD上一动点，点F是AD边上一动点，连接AE、EF，且∠AEF＝∠ABD，cos∠AEF＝． （1）求证：△ABE∼△EDF； （2）如图②，若EF∥AB，求EF长． 【答案】（1）见解析 （2）cm 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质得，则，再由三角形的外角性质证，然后由相似三角形的判定即可得出结论； （2）过作于，过作于，先证，则，再由锐角三角函数定义得，，则，然后证，得，即可得出答案． 【小问1详解】 解：证明：四边形是菱形， ， ， 即， ，，， ， ； 【小问2详解】 过作于，过作于，如图②所示： ， ， ， ， ，， ， ， ， 在中，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 即长为． 【点睛】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的性质、锐角三角函数定义等知识，熟练掌握菱形的性质，证明三角形相似是解题的关键． 25. 如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点在直线下方的抛物线上，过点作轴于点，交直线于点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，设四边形的面积为，当最大时，求点的坐标及最大值； （3）如图②，过点作于点，当以为顶点的三角形与△相似时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）当最大时，点坐标为，的最大值为 （3）或 【解析】 【分析】（1）已知抛物线与x轴两个交点坐标，可设交点式，因为抛物线过点，所以代入该点坐标即可求出参数，整理得到抛物线解析式； （2）先求出直线的解析式，设点的横坐标为，则可根据抛物线和直线的解析式表示出、的坐标，进而得到的长度，将四边形的面积拆分为和的面积和，其中面积为定值，的面积可表示为关于的二次函数，利用二次函数的性质求出面积最大值及对应的坐标； （3）先确定的直角边比例，因为，所以是直角三角形，分两种对应边成比例的相似情况，结合直线与、的关系，列出关于点横坐标的方程，求解得到的坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于、， ∴设抛物线交点式为， 将代入得： ， 解得​， ∴． 【小问2详解】 解：设的解析式为， 将、代入解析式，解得， ∴直线为， 设点横坐标为，则，则点， ∴， ∴， ∴四边形的面积， ​且 ， ∴， ∵，开口向下， ∴当时取最大值， 将代入抛物线，解得点纵坐标为， ∴， ∴当最大时，点坐标为，的最大值为． 【小问3详解】 解：设， ∵、、， ∴，，， ∵， ∴， ∵于点， ∴， ①当时， ∴， ∴， 解得（与点重合，舍去），， ∴点的坐标为； ②当时， ∴， ∴， 解得（不合题意，舍去），， ∴点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 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