2.5.2 圆与圆的位置关系 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦圆与圆的位置关系，通过类比直线与圆的位置关系导入，衔接几何法和代数法判定，构建从基础到综合应用的知识支架，帮助学生系统掌握判定方法及公共弦等问题。 其亮点在于结合AI思考辨析公切线条数与位置关系，通过分层例题（如内切外切判定、公共弦长计算）培养数学思维的逻辑推理，用数学语言表达方程关系。学生能提升分析解决问题能力，教师可借助系统资源高效教学。

第二章 直线和圆的方程 2.5.2 圆与圆的位置关系 学 习 目 标 1.能描述圆与圆的位置关系. 2.能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系. 3.能综合应用圆与圆的位置关系解决问题. 目 录 索 引 基础落实 ·必备知识全过关 重难探究 ·能力素养速提升 学以致用 ·随堂检测促达标 基础落实 ·必备知识全过关 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r₁,r₂的 关系 >ri+r d=r+r 1-kd+r d=lr、-r d<|r1-r2| 知识点 圆与圆的位置关系的判定方法 1.几何法：圆O₁:(x-x₁)²+(y-y₁)²=r²(r₁>0), 圆O₂:(x-x₂)²+(y-y₂)²=r2(r₂>0), 两圆 的圆心距d=lO₁O₂I=√(x₁-x₂)²+(y₁-y2)², 则有 方程组解的情况 2组 1组 0组 两圆的公共点 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 2.代数法：圆O₁:x²+y²+D₁x+E₁y+F₁=0(D²+E²-4F₁> 0),圆O₂ : x²+y²+D₂x+E₂y+F₂=0(D²+E2-4F ₂>O),两圆的方程联立得方程组，则有 圆O₁与圆O₂相交时，两圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程 AI·思考辨析 1.两圆在不同的位置关系下，公切线的条数分别是多少?可以用公切线的条 数来判断两圆的位置关系吗? 提示 两圆位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 两圆公切线条数 4 3 2 1 0 因为两圆的位置关系与两圆的公切线的条数具有一一对应关系，所以可以 用公切线的条数来判断两圆的位置关系. 2.当两圆相交、外切、内切时，连心线有什么性质? 提示 当两圆相交时，连心线垂直平分公共弦；当两圆外切时，连心线垂直于 过两圆公共点的公切线；当两圆内切时，连心线垂直于两圆的公切线. 体验新知 1.(2025江苏扬州高二期末)圆C₁:x²+y²=4与圆C₂:x²+y²+6x+8y-24=0的位置 关系为( B ) A.相交 B.内切 C.外切 D.外离 解析 圆C₂:x²+y²+6x+8y-24=0→ (x+3)²+(y+4)²=49, 故圆C₂的圆心为C₂(-3,-4),半径r₂=7,圆C₁的圆心为C₁(0,0),半径r₁=2. 易知r₂-r₁=5=IC₁C₂I=√(-3-0)²+(-4-0)², 故两圆内切.故选B. 2.(人教B版教材例题)判断圆C₁:x²+y²=4与圆C₂:(x-2)²+(y-1)²=1的位置关系， 如果相交，求出它们交点所在的直线的方程. 解 两圆的圆心距为 又因为2-1< √5<2+1,所以C₁与C₂ 相交. 解方程： 可 因此两圆的交点为(2,0), 从而可以求得交点所在的直线方程为2x+y-4=0. 重难探究 ·能力素养速提升 能力提升点一 判断两圆的位置关系 【例1】 已知圆C₁:x²+y²-2ax-2y+a²-15=0(a>0), 圆C₂:x²+y²-4ax-2y+4a²=0 (a>0). 试求a 为何值时，两圆C₁,C₂的位置关系满足下列条件： (1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含. 思路分析 求出圆心距，与两半径的和或差比较求出a 的值. (1)当|C₁C₂I=r₁+r₂=5, 即a=5 时，两圆外切； 当|C₁C₂I=r₁-r₂=3, 即a=3 时，两圆内切. (2)当3<|C₁C₂I<5,即3<a<5 时，两圆相交. (3)当|C₁C₂I>5,即a>5 时，两圆外离. (4)当IC₁C₂I<3,即0<a<3 时，两圆内含. 解 圆C₁,C₂的方程，经配方后可得 C₁:(x-a)²+(y-1)²=16, C₂:(x-2a)²+(y-1)²=1, ∴圆心C₁(a,1),C₂(2a,1),半径r₁=4,r₂ =1. (1)几何法：利用两圆半径的和或差与圆心距 作比较，得到两圆的位置关系； (2)代数法：把两圆位置关系的判定完全转化 为代数问题，转化为方程组的解的组数问题. 规律方法 判断两圆的位置关系的两种方法 变式训练1 (人教B版教材习题)已知圆x²+y²=1 与圆(x+4)²+(y-a)²=25 相切， 求实数a的值. 解 两圆的圆心距d=√a²+16. 当两圆外切时，d=√a²+16=1+5=6, 所以a=±2√5; 当两圆内切时，d=√a²+16=5-1=4, 所以a=0. 综上，a= ±2 √5或0. 能力提升点二 两圆的公共弦问题 【例2】 (2026辽宁高二期中)已知两圆x²+y²-2x-6y+6=0 和x²+y²-10x-12y +m=0. (1)m取何值时两圆内切? (2当m=36时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长. 解 (1)设圆M:x²+y²-2x-6y+6=0, 可化为( x-1)²+(y-3)²=4,则圆心M(1,3),半径 r₁=2, 设圆N:x²+y²-10x-12y+m=0, 可化为(x-5)²+(y-6)²=61-m, 则圆心N(5,6),半径 r₂=√61-m(m<61), 由于圆心距|MN|=5,r₁<5, 则要使得两圆内切，需r₂-r₁=5, 即 √ 61-m-2=5, 解 得m= 12. (2)当m=36时，圆N:x²+y²-10x-12y+36=0, 两圆的方程相减，可得8x+6y-30=0,即4x+3y-15=0, 则两圆的公共弦方程为 4x+3y-15=0. 圆心M(1,3)到公共弦的距离 由弦长公式，可得弦长为2× 规律方法 公共弦问题的解决方法 (1)求两圆的公共弦所在直线的方程的方法： 将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程， 但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同 时，才能如此求解，否则应先调整系数. (2)求两圆公共弦长的方法： 一是联立两圆方 程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出 两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心 距和弦长的一半构成的直角三角形求解. 变式训练2 (2026江苏高二期中)已知圆C的半径为2,圆心在x轴正半轴上， 直线3x-4y+4=0 与圆C相切. (1)求圆C的方程； (2)若点Q的坐标为(-2,4),过点Q作圆C的两条切线，切点分别为M,N,求直线 MN的方程. 解(1)设圆心C(a,0),a>0, 又直线3x-4y+4=0与圆C相切，所 整理得|3a+4|=10, 解得a=2 或 舍去),所以圆C的方程为(x-2)²+y²=4. (2)因为点Q的坐标为(-2,4),圆心C(2,0),所以ICQI=√(-2-2)²+4²=4√2, 又过点Q作圆C的两条切线，切点分别为M,N, 所以| QM|=IQNI=√ICQI²-2²=√32-4=2√7. 以Q为圆心，|QM|为半径的圆Q的方程为(x+2)²+(y-4)²=28, 即x²+4x+y²-8y-8=0, 又圆C的方程为(x-2)²+y²=4, 即x²-4x+y²=0, 两圆方程相减得8x-8y-8=0,整理得x-y-1=0, 所以直线MN的方程为x-y-1=0. 能力提升点三 两圆位置关系的综合应用 【例3】(2026江苏苏州期中)已知圆C₁:(x-√2)²+y²=1, 圆C₂:(x-2)²+y²=3. (1)判断并证明圆C₁,圆C₂的位置关系. (2)若两圆O₁与O₂相交于A,B两点，满足O₁A⊥O₂A,则称圆O₁与圆O₂正交.现 有动圆M与圆C₁,圆C₂均正交，自点N(3,0)引动圆M的切线.求证：切线长是定 值. (1)解 两圆内含. 证明：因为圆C₁的圆心C₁(√2,0),半径r₁=1,圆C₂的圆心C₂(2,0),半径r₂=√3, 圆心距| C₁C₂I=2-√2<√3-1, 所以两圆内含. (2)证明 设动圆M的圆心M(x₀,y%),半径为R,动圆M与圆C₁交于A,B两点， 由题意有C₁A⊥MA, 所以|MA|²+|C₁A|²=|MC₁I²,即R²+1=|MC₁ I². 设动圆M与圆C₂交于C,D两点， 同理可得|MDI²+|C₂DI²=|MC₂I²,即R²+3=|MC₂ I². 故|MC₂I²-|MC₁I²=2, 则有(x₀-2)²+y2-(x₀-√2²-y?=2, 整理得x₀=0,即圆心M(0,yo), 所以半径 . 自点N(3,0)引动圆M的切线，切线长l= √1MN|²-R²= 以切线长是定值2 √2. 规律方法 圆与圆位置关系的综合应用常见的类型有公切线 问题、公共弦问题等，在解决具体问题时要注意数 形结合方法的应用. 变式训练3(多选题)圆C₁:x²+y²+2x-6y+6=0与圆C₂:x²+y²-2x-2y+1=0相交 于A,B两点，则下列说法正确的有( ACD) A.直线AB的方程为4x-4y+5=0 B.公共弦AB的长为 C.圆C₁与圆C₂有两条公切线 D.线段AB的中垂线方程为x+y-2=0 解析 圆C₁:x²+y²+2x-6y+6=0 与圆C₂:x²+y²-2x-2y+1=0 的方程相减可得直 线AB的方程为4x-4y+5=0, 故A正确； 圆C₂:x²+y²-2x-2y+1=0 的圆心为C₂(1,1),半径为1, 由两圆相交可得AB的中垂线方程为 即x+y-2=0, 故D 正确.故选 ACD. 因为两圆相交，所以圆C₁ 与圆C₂ 有两条公切线，故C 正确； 则弦长 故 B 错误； 本节要点归纳 1.知识清单： (1)两圆的位置关系； (2)两圆的公共弦； (3)圆系方程； (4)圆与圆的综合性问题. 2.方法归纳：几何法、代数法. 3.常见误区：(1)容易将两圆内切和外切相混； (2)对各种圆系方程表示的含义不清晰. 学以致用 ·随堂检测促达标 1.已知圆C₁:x²+y²-2x+4y=4,圆 C₂:x²+y²+6x+8y+24=0, 则圆C₁,圆C₂的位置 关系为( D ) A.内切 B.相交 C.外切 D.外离 解析 圆C₁:x²+y²-2x+4y=4, 化为(x-1)²+(y+2)²=9, 圆心为(1,-2),半径为r₁=3; 圆C₂:x²+y²+6x+8y+24=0, 化为(x+3)²+(y+4)²=1, 圆心为(-3,-4),半径为r₂=1. 则圆C₁与C₂ 外离.故选D. 两圆的圆心距为 1 ②34 2. (多选题)圆C₁ :(x+2)²+(y-m)²=9 与圆C₂:(x-m)²+(y+1)²=4 外切，则m的值可 以为( AB ) A.2 B.-5 C.-2 D.5 解析 圆C₁:(x+2)²+(y-m)²=9 的圆心为(-2,m),半径为3,圆C₂ :(x-m)²+(y+1)²=4 的圆心为(m,-1),半径为2. 依题意有 即m²+3m-10=0, 解得m=2或m=-5. 3.已知圆C₁:x²+y²=m²(m>0)与圆C₂:x²+y²-2x-4y-15=0恰有两条公切线，则实 数m的取值范围是 ( √5,3 √5) 解析 x²+y²-2x-4y-15=0,即(x-1)²+(y-2)²=20, 可知圆C₂的圆心为(1,2),半径为2√5. 因为圆C₁与圆C₂恰有两条公切线，所以圆C₁与圆C₂相交， 则|2 √5-m|<|C₁C₂I<2√5+m,即|2√5-m|<√5<2√5+m, 解得 √5<m<3√5, 即m的取值范围是( √5,3 √5). 1 4.已知圆C₁:x²+y²=4与圆C₂:x²+(y-a)²=9(a>0) 外切，此时直线l:x+y-3=0被圆 C₂所截得的弦长为 2 √7 解析 由题意可得a=2+3=5, 故圆C₂:x²+(y-a)²=9(a>0) 的圆心为C₂(0,5),半径为3, 故圆心C₂到直线l:x+y-3=0的距离为 故弦长为2× √9-2=2 √7. 2 3 4 本 课 结 束 $