2.1.1倾斜角与斜率 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦直线的倾斜角、斜率、斜率公式及方向向量关系，从“用坐标表示直线”的问题切入，通过探究确定直线的几何要素，先关联两点确定直线的旧知，再聚焦方向差异引出倾斜角，进而用向量法推导斜率公式，构建从几何直观到代数表达的学习支架。 其亮点是以“探究”为主线，引导学生用数学眼光抽象倾斜角概念，用数学思维推理斜率公式（如向量平移推导坐标关系），结合坡度类比强化数学语言表达。实例中通过两点坐标计算斜率并判断倾斜角类型，培养学生抽象能力与推理意识，教师可借助结构化探究设计提升教学效率。

第二章直线和圆的方程 2.1.1倾斜角与斜率 人教A版 ( 2019) 选择性必修第一册 学习目标 1.理解直线的倾斜角与直线斜率的概念，掌握 过两点的直线斜率的计算公式； 2.理解直线的方向向量与斜率的关系. 我们知道，点是构成直线的基本元素.在平面直角坐标系中，可以 用坐标表示点，那么,如何用坐标表示直线呢?为了用代数方法研究直 线的有关问题，本节我们首先在平面直角坐标系中探索确定直线位置的 几何要素，然后用代数方法把这些几何要素表示出来. 新课导入 探究 确定一条直线的几何要素是什么?对于平面直角坐标系中的一条直 线 l ( 如图),如何利用坐标系确定它的位置? x 探索新知 我们知道，两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条 直线 .设A,B 为直线上的两点，则AB就是这条直线的方向向量.所 以，两点确定一条直线可以归结为一点和一个方向确定一条直线. 探究 在平面直角坐标系中，经过一点P 可以作无数条 直线l, L,l₃, …, 它们组成一个直线束(如图), 这些直线的区别是什么? 在平面直角坐标系中，我们规定水平直线的方向向右，其他直线向 上的方向为这条直线的方向.因此，这些直线的区别是它们的方向不同 ₂ x α α ₃ α l₃ l₂ △a P 0 我们看到，这些直线相对于x 轴的倾斜程度不同，也就是它们与x 轴所成的角不同.因此，我们可以利用这样的角来表示这些直线的方向 如何表示这些直线的方向? 探究 当直线1与x 轴相交时，以x 轴为基准，x 轴正向与直线1向上的方 向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角. 直线的倾斜角 探索新知 图中直线l₁ 的倾斜角α₁ 为锐角，直线I ' 的倾斜角α'为钝角.当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.直线的倾斜角α的取值范围 为0°,„ α<180°. l₃ l₂ I α' l₁ a ₃ a a 0 P 交 ' 探索新知 这样，在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角， 而且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直 线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等.因此，我们可以用倾斜角表示 平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向 . 探索新知 下面我们进一步研究刻画直线倾斜程度的方法. 设P₁(x₁, y₁),P₂(x₂,y₂) (其中x₁≠x₂) 是直线L上的两点.由两 点确定一条直线可知，直线l 由点P₁,P₂ 唯一确定.所以，可以推断， 直线l的倾斜角一定与P₁,P₂ 两点的坐标有内在联系. 在平面直角坐标系中,设直线 l 的倾斜角为α . (1)已知直线 l 经过 O(0,0),P ( √ ,1)α 与O, P的坐标有什么关系? (2)类似地,如果直线 l 经过 P1( −1,1)P2(√2̅,0 )α 与 P1 P2 的坐标 又有什么关系? (3)一般地,如果直线 l 经过两点 P1(x1,y1)P2(x2,y2)x1≠x2 ,那么 α 与 P1 , P2 的坐标有怎样的关系? 探究 探索新知 下面我们利用向量法探究上述问题. 对于问题(1),如图，向量OP=(√3,1), 且直线 OP 的倾斜角为α.由正切函数的定义，有 P(√3, 1) α x 探索新知 对于问题(2),如图(2),P₂P₁=(-1-√2,1-0)=(-1-√2,1). 平 移向量 P₂ P₁ 到 OP, 则点 P 的坐标为(-1- √2,1),且直线 OP的倾斜角也是 y↑ α. 由正切函数的定义，有 P₁(-1,1) a α 0 P₂(√2,0) X 一般地，如图，当向量P₁ P2的方向向上时，P₁ P₂ = ( x₂—x₁,y₂-y₁). 平 移向量 P₁P₂ 到 OP, 则点 P 的坐标为(x₂—x₁y₂-y₁), 且直线OP 的倾斜角 探索新知 也是α,由正切函数的定义，有 P α 交 P₁ 0 P₂ 探索新知 同样，当向量P₂ P₁ 的方向向上时，如图，P₂ P₁=(x₁—x₂,y₁-y₂), 也有 P₁ C 0 a 交 P₂ P 当直线 P₁P₂ 与 x 轴平行或重合时，上述式子还成立吗?为什么? 成立.易得P₁P₂=(x₂—x₁,0). 平移向量 P₁P₂ 到 OP, 则点P 的坐标为 (x₂-x₁,0), 且直线OP的倾斜角为α,由正切函数的定义，有tan 探 究 探索新知 直线 l 的倾斜角α与直线l 上的两点P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂)(x₁≠x₂) 的坐标有如下关系： . ① 一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率 .斜率常用小写 字母 k 表示，即k=tana.② 铅直高度 日常生活中常用“坡度”表示倾斜面的倾斜程度：坡度= 水平宽度 当直线的倾斜角为锐角时，直线的斜率与坡度是类似的. 直线的斜率 探索新知 倾斜角是90 的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率. 倾斜角α=120°时，这条直线的斜率k =tan120°=-tan 60°==√3. 例如，倾斜角α=30°时，这条直线的斜率 当倾斜角α满足0°„ α<90°且逐渐增大时，斜率k 逐渐增大； 当倾斜角α=90°,斜率不存在； 当倾斜角α满足90°<α<180°且逐渐增大时，斜率k 逐渐增大. 当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°时，其斜率如何变化?为什么? 探究 探索新知 由正切函数的单调性，倾斜角不同的直线，其斜率也不同.因此，我们可以 用斜率表示倾斜角不等于90°的直线相对于x 轴的倾斜程度，进而表示直线的方 向 . 如果直线经过两点P₁ (x₁,y₁),P₂(x₂,y₂)( x₁≠x₂), 那么由①②可 得如下的斜率公式： 我们发现，在平面直角坐标系中，倾斜角和斜率分别从形和数两 个角度刻画了直线相对于x 轴的倾斜程度. 斜率公式 (1 )已知直线上的两点A(a₁,a₂),B(b₁,b₂), 运用上述公式计算直线AB 的 斜率时，与A,B 两点的顺序有关吗? (2)当直线平行于y 轴，或与y 轴重合时，上述公式还适用吗?为什么? 探究 探索新知 (1 )计算直线AB的斜率时，与A,B 两点的顺序无关，可以写为 (2)当直线平行于y 轴或与y 轴重合时，上述公式不适用，此时， 两点的横坐标相等，分母为零无意义. 探索新知 我们知道，直线 P₁P₂ 上的向量P₁P₂ 以及与它平行的非零向量都是直线的 方向向量.直线P₁P₂ 的方向向量P₁P2 的坐标为( x₂—x₁,y₂-y₁). 当直线P₁P₂ 与 x 轴不垂直时，x₁≠x₂ . 此时向量 也是直线P₁P₂ 的方向向量，且它的坐标为 ,其中 k 是直线P₁P₂ 的斜率. 因此，若直线l 的斜率为k, 它的一个方向向量的坐标为(x,y), 贝 题 例 1 如图，已知A(3,2),B(-4 ,1),CO,-1), 求直线AB,BC,CA 的斜 率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角. 例 题 解：直线AB的斜率 直线BC的斜率 直线CA的斜率 由kAB>0及kcA>0可知，直线AB与 CA的倾斜角均为锐角； 由kBc<0可知，直线BC的倾斜角为钝角. 当堂检测 1.若经过A(m,2),B(1,2m-1) 两点的直线的倾斜角为135°则m=( ) 4 A.-4 B.-2 C. D.2 3 答案：D 角解析 由是页意可得直线 AB 的余率 故选D. 当堂检测 ,解得m=2 当堂检测 2. 已知图中的直线l ,l₂,l₃ 的斜率分别为k₁,k₂,k₃ , 则( ) A.k₁<k₂<k₃ B.k₃<k₁<k₂ C.k₃<k₂<k₁ D.k₁<k₃<k₂ 当 堂 检 测 答案：D 解析：设直线l,l₂,l3 的倾斜角分别为α₁,α₂,α₃,则 k₁ =tanα₁ , k₂ =tan α₂,k ₃=tana₃, 由题图可知 ,所以 k₁<0<k₃<k₂ . 故选D. 当堂检测 3. 设直线l,l2 的倾斜角分别为θ,θ₂ ,斜率分别为k₁,k₂ , 则“θ₁>θ 是“k₁>k₂” 的( ) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ” ₂ 当 堂 检 测 答案：D 解析：举反例：取θ₁=120°,θ₂=30°,满足θ>θ₂ , 但k₁= tan120°=— √3, 此时k₁<k₂ , 举反例：取k₁= √3 ( 对应θ₁=60°),k₂=-1 ( 对应θ₂=135°), 满足k₁>k₂, 但θ₁ =60°<135°=θ₂ , 因此“θ>θ₂”是“k₁>k₂” 的既不充分也不必要条件. 当堂检测 4.已知u=(2,-2√3) 为直线l 的一个方向向量则直线l 的倾斜角为 当 堂 检 测 答案： 解析：设直线l 的倾斜角为α,因为u=(2,-2√3) 为直线l 的一个方向向量， 所以直线l 的斜率 ,所以tana=-√3. 又α∈(0,π),所以 1.直线的倾斜角 2.直线斜率 3.斜率公式 4.直线的方向向量 课堂总结 $