2.1.1倾斜角与斜率课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦直线的倾斜角、斜率及方向向量，通过“过同一点直线差异”的情境导入，引导学生从几何直观抽象出倾斜角概念，衔接平面直角坐标系确定直线位置的要素，为直线方程学习搭建认知支架。 其亮点在于以问题驱动和分层训练深化核心素养，情境导入培养数学抽象，“想一想”辨析倾斜角与斜率关系发展数学思维，例题结合图形分析（如直线旋转求倾斜角）提升直观想象，分层练习覆盖基础到拓展。学生能深化概念理解和运算能力，教师可直接使用系统教学资源提升效率。

2.1.1　倾斜角与斜率 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 新课程标准解读 核心素养 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线 位置的几何要素 数学抽象 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻 画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式 直观想象、 数学运算 目录 数学·选择性必修第一册 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 经过平面直角坐标系中的一点，可以有无数条不同的直线. 【问题】　如图所示，过同一点的直线 l1， l2， l3， l4，它们彼此之间 的不同点是什么？你能找到一个量来描述它们的不同点吗？你找到的 量，能够使得图中任意两条不同的直线都有不同的取值吗？ 目录 数学·选择性必修第一册 知识点一　直线的倾斜角 1. 定义： 当直线 l 与 x 轴相交时，我们以 x 轴为基准， x 轴 与直线 l 的方向之间所成的角α叫做直线 l 的倾斜角.如图所示，直 线 l 的倾斜角是∠ APx ，直线l'的倾斜角是∠ BPx . 正向　 向上　 目录 数学·选择性必修第一册 2. 范围：直线的倾斜角α的取值范围为 ，并规定当直 线 l 与 x 轴平行或重合时，它的倾斜角为0°. 提醒　在倾斜角的定义中，要注意三个条件：①直线向上的方向； ② x 轴的正向；③小于平角的非负角. 0°≤α＜180°　 目录 数学·选择性必修第一册 知识点二　直线的斜率 1. 定义：一条直线的倾斜角α的 值叫做这条直线的斜率.斜率 常用小写字母 k 表示，即 k ＝ ⁠.   正切　 tan α　 　 目录 数学·选择性必修第一册 1. 任何一条直线都有倾斜角吗？任何一条直线都有斜率吗？ 提示：任何一条直线都有倾斜角.但倾斜角为90°的直线没有斜率. 2. 直线的倾斜角越大，斜率就越大吗？ 提示：不是，如60°＜120°，但斜率分别为 和－ ＞－ .应分区间说明，当α∈[0°，90°）和α∈（90°，180°）时，上述 结论在这两个区间分别成立. 【想一想】 目录 数学·选择性必修第一册 知识点三　直线的方向向量 　设 P1（ x1， y1）， P2（ x2， y2）（ x1≠ x2）是直线 l 上的两点，则向 量 ＝（ x2－ x1， y2－ y1）以及与它平行的向量都是直线的 ⁠ .若直线 l 的斜率为 k ，它的一个方向向量的坐标为（ x ， y ）， 则 k ＝ ⁠. 方向 向量　 　 目录 数学·选择性必修第一册 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若α是直线 l 的倾斜角，则0°≤α≤180°. （　×　） （2）若 k 是直线的斜率，则 k ∈R. （　√　） （3）经过两点的直线的斜率公式适用于任何直线. （　×　） × √ × 目录 数学·选择性必修第一册 2. 已知直线 l 的倾斜角为30°，则直线 l 的斜率为（　　） C. 1 解析： 　由题意可知，直线 l 的斜率 k ＝tan 30°＝ . 目录 数学·选择性必修第一册 3. 过点 P （2，1）， Q （4，5）的直线斜率为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 解析： 　直线的斜率 k ＝ ＝2，故选B. 目录 数学·选择性必修第一册 4. 已知直线 l 的一方向向量为（1， ），则直线 l 的倾斜角 为 ⁠. 解析：∵直线 l 的斜率 k ＝ ＝ ，即tan α＝ ，又0°≤α＜ 180°，故直线 l 的倾斜角为60°. 60°　 目录 数学·选择性必修第一册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 直线的倾斜角 【例1】　（1）若直线 l 向上的方向与 y 轴正向之间所成的角为30°， 则直线 l 的倾斜角为（　D　） A. 30° B. 60° C. 30°或150° D. 60°或120° 解析： 如图，直线 l 有两种情况，故 l 的倾斜角为60°或120°. D 目录 数学·选择性必修第一册 （2）已知直线 l 经过第二、四象限，则直线 l 的倾斜角α的取值范围是 （　C　） A. 0°≤α＜90° B. 90°≤α＜180° C. 90°＜α＜180° D. 0°＜α＜180° C 解析：直线的倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°，又直线 l 经过 第二、四象限，所以直线 l 的倾斜角α的取值范围是90°＜α＜ 180°. 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 直线倾斜角的求法及注意点 （1）直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图 形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论； （2）注意倾斜角的范围. 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 1. （2024·丽水月考）已知直线 l1的倾斜角α1＝60°，直线 l2与 l1垂直， 则直线 l2的倾斜角α2为（　　） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 解析： 　画出示意图如图所示.因为直线 l2与 l1垂 直，所以α2＝α1＋90°＝150°，即直线 l2的倾斜角为 150°. 目录 数学·选择性必修第一册 2. （多选）设直线 l 过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将 l 绕坐标原 点按逆时针方向旋转45°，得到直线 l1，那么 l1的倾斜角可能为（　） A. α＋45° B. α－135° C. 135°－α D. α－45° 解析： 　根据题意，画出图 形，如图所示，通过图象可 知：当0°≤α＜135°， l1的倾斜 角为α＋45°；当135°≤α＜180° 时， l1的倾斜角为45°＋α－180° ＝α－135°. 目录 数学·选择性必修第一册 题型二 直线的斜率 【例2】　（2024·江门质检）经过下列两点的直线的斜率是否存在？ 如果存在，求其斜率，并指出直线的倾斜角α. （1） A （2，3）， B （4，5）； 解： 存在.直线 AB 的斜率 kAB ＝ ＝1，即tan α＝1，又 0°≤α＜180°，所以倾斜角α＝45°. 目录 数学·选择性必修第一册 （2） C （－2，3）， D （2，－1）； 解：存在.直线 CD 的斜率 kCD ＝ ＝－1，即tan α＝－1， 又0°≤α＜180°，所以倾斜角α＝135°. （3） P （ a ，2）， Q （3，6）. 解：当 a ＝3时，斜率不存在，直线的倾斜角为90°；当 a ≠3 时，直线的斜率 k ＝ 且倾斜角α满足tan α＝ . 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 解决斜率问题的方法 （1）由倾斜角（范围）求斜率（范围），利用定义式 k ＝tan α （α≠90°）解决； （2）由两点坐标求斜率，运用两点斜率公式 k ＝ （ x1≠ x2）求解. 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 1. 已知过两点 A （4， y ）， B （2，－3）的直线的倾斜角为135°，则 y ＝ ⁠. 解析：直线 AB 的斜率 k ＝tan 135°＝－1，又 k ＝ ＝－ 1，得 y ＝－5. －5　 目录 数学·选择性必修第一册 解析：设直线、、的倾斜角为、、，由图可知， 根据直线的斜率及倾斜角的关系及正切函数的单调性，可得，即 . 2.（2026春·静安区校级期中）如图，直线、、的斜率分别为、、，则（ ） A. B.  C. D.  目录 数学·选择性必修第一册 题型三 直线斜率与倾斜角的应用 【例3】　（1）若 A （－2，3）， B （ m ，－2）， C （4，－3）三点 共线，则实数 m ＝ ⁠； 解析： 因为 A （－2，3）， B （ m ，－2）， C （4，－3）三点共 线，且 kAB ＝ ， kAC ＝ ＝－1，所以直线 AB ， AC 的斜率存在， 且 kAB ＝ kAC ，即 ＝－1，解得 m ＝3. 3　 目录 数学·选择性必修第一册 （2）直线 l 过点 P （1，0），且与以 A （2，1）， B （0， ）为端 点的线段有公共点，则直线 l 的斜率的范围为 ⁠ ]∪[1，＋∞）　，倾斜角的范围为 　 　. 解析：如图所示.因为 kAP ＝ ＝1， kBP ＝ ＝－ .所以 k ∈（－∞，－ ]∪[1，＋ ∞）.所以 ≤α≤ . （－∞，－ ]∪[1，＋∞）　 　 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 1. 用斜率公式解决三点共线的方法 目录 数学·选择性必修第一册 2. 求代数式 最值或范围的方法 由斜率公式 k ＝ 的形式，可知代数式 的几何意义是过 P （ x ， y ）与P'（ a ， b ）两点的直线的斜率.故可以利用数形结合来 求解. 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 　（2024·安阳月考）已知直线 l 经过点 A （1，2），且不经过第四象 限，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是（　　） A. （－1，0] B. [0，1] C. [1，2] D. [0，2] 解析： 　如图，当直线 l 位于如图阴影部分所 示的区域内时，满足题意，所以直线 l 的斜率满 足0≤ k ≤2.故选D. 目录 数学·选择性必修第一册 1. （2024·宿迁质检）图中α能表示直线 l 的倾斜角的是（　　） 解析： 　结合直线 l 的倾斜角的定义可知A可以. 目录 数学·选择性必修第一册 2. 下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是（　　） A. （4，2）与（－4，1） B. （0，3）与（3，0） C. （3，－1）与（2，－1） D. （－2，2）与（－2，5） 解析： 　D项，因为 x1＝ x2＝－2，所以直线垂直于 x 轴，倾斜角 为90°，斜率不存在. 目录 数学·选择性必修第一册 3. 过 A （4， y ）， B （2，－3）两点的直线的一个方向向量为 n ＝ （－1，－1），则 y ＝（　　） 解析： 　法一　由直线的方向向量为 n ＝（－1，－1），得直线 的斜率为 ＝1，所以 ＝1，解得 y ＝－1. 法二　由题意得 ＝（－2，－3－ y ）.又直线 AB 的一个方向向量为 n ＝（－1，－1），所以 n ∥ ，所以（－2）×（－1）－（－3－ y ）×（－1）＝0，解得 y ＝－1. C. －1 D. 1 目录 数学·选择性必修第一册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 给出下列命题，其中为真命题的是（　　） A. 任意一条直线都有唯一的倾斜角 B. 一条直线的倾斜角可以为－30° C. 倾斜角为0°的直线只有一条，即 x 轴 解析： 　任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负， 倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于 y 轴，因此A正确，B、 C错误.D中α有可能为135°，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 2. 若直线过坐标平面内两点（4，2），（1，2＋ ），则此直线的 倾斜角是（　　） A. 30° B. 150° C. 60° D. 120° 解析： 　由题意知 k ＝ ＝－ ，∴直线的倾斜角为150°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 3. 若经过 A （ m ，3）， B （1，2）两点的直线的倾斜角为45°，则 m ＝（　　） A. 2 B. 1 C. －1 D. －2 解析： 　由题意知，tan 45°＝ ，得 m ＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 4. （2024·佛山月考）已知直线 PQ 的斜率为－ ，将直线 PQ 绕点 P 顺时针旋转60°，所得的直线的斜率是（　　） A. 0 解析： 　由题意，知直线 PQ 的倾斜角为120°，直线 PQ 绕点 P 顺 时针旋转60°，所得直线的倾斜角为60°，所以斜率为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 5. “直线 l 的斜率不小于0”是“直线 l 的倾斜角为锐角”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析： 　若直线 l 的斜率不小于0，则该直线的倾斜角为锐角或 0°，若直线 l 的倾斜角为锐角，则该直线 l 的斜率为正数，即大于 0，所以“直线 l 的斜率不小于0”是“直线 l 的倾斜角为锐角”的必 要不充分条件.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 6. （多选）已知点 A 的坐标为（3，4），在坐标轴上有一点 B ，若 kAB ＝4，则点 B 的坐标可能为（　　） A. （0，－4） B. （4，0） C. （2，0） D. （0，－8） 解析： 　设 B （ x ，0）或（0， y ），因为 kAB ＝ 或 kAB ＝ ＝4或 ＝4，所以 x ＝2或 y ＝－8，所以点 B 的坐标 为（2，0）或（0，－8）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 7. （2025高二上·徐汇月考) 已知直线经过点，则直线倾斜角的大小为_______⁠. 解析：因为直线过点，所以，解得，则直线倾斜角为 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 8. 一束光线射到 x 轴上并经 x 轴反射，已知入射光线的倾斜角α1＝ 30°，则反射光线的倾斜角α2＝ ⁠. 解析：作出入射光线和反射光线，如图.因 为入射光线的倾斜角α1＝30°，所以入射角 为60°.又反射角等于入射角，由图易知， 反射光线的倾斜角为60°＋60°＋30°＝150°. 150°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 9. （2024·福州质检）如图，已知直线 l1的倾斜角是150°， l2⊥ l1，垂 足为 B . l1， l2与 x 轴分别相交于点 C ， A ， l3平分∠ BAC ，则 l3的倾 斜角为 ⁠. 解析：因为直线 l1的倾斜角为150°，所以∠ BCA ＝30°，所以 l3的倾 斜角为 ×（90°－30°）＝30°. 30°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 10. 已知直线 l 经过两点 A （－1， m ）， B （ m ，1），问：当 m 取何 值时： （1）直线 l 与 x 轴平行？ 解： 若直线 l 与 x 轴平行，则直线 l 的斜率 k ＝0，所以 m ＝1. （2）直线 l 的方向向量的坐标为（3，1）. 解：直线 l 的方向向量的坐标为（3，1），故 k ＝ ＝ ，解得 m ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （3）直线的倾斜角为45°？ 解：由题意可知，直线 l 的斜率 k ＝1，即 ＝1， 解得 m ＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 11. （2024·重庆质检）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致.重庆千厮门嘉陵江大桥如图①所示，桥上共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列，示意图如图②所示.已知拉索上端相邻两个锚的间距｜ PiPi＋1｜（ i ＝1，2，3，…，9）均为3.4 m，拉索下端相邻两个锚的间距｜ AiAi＋1｜（ i ＝1，2，3，…，9）均为16 m.最短拉索的锚 P1， A1满足｜ OP1｜＝66 m，｜ OA1｜＝86 m，则最长拉索所在直线的斜率为（　　） A. ±0.47 B. ±0.45 C. ±0.42 D. ±0.40 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　根据题意，得｜ OA10｜＝｜ OA1｜＋｜ A1 A10｜＝86＋ 9×16＝230 m，｜ OP10｜＝｜ OP1｜＋｜ P1 P10｜＝66＋9×3.4＝ 96.6 m.则右侧最长拉索所在直线的斜率 ＝－tan∠ OA10 P10 ＝－ ＝－0.42，同理，左侧最长拉索所在直线的斜率 ＝ 0.42.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 12. （多选）如图，直线 l1， l2， l3的斜率分别为 k1， k2， k3，倾斜角 分别为α1，α2，α3，则下列选项正确的是（　　） A. k1＜ k3＜ k2 B. k3＜ k2＜ k1 C. α1＜α3＜α2 D. α3＜α2＜α1 解析： 　由题图可知 k2＞ k3＞0， k1＜0，故 ＞α2＞α3＞0，且 α1为钝角，即 k1＜ k3＜ k2，α3＜α2＜α1，故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册   解析：由题意知，直线 MN 的斜率为 k ＝ ＝ m2≥0.设直线 MN 的倾斜角为θ，则tan θ≥0.又θ∈[0，π），所以θ∈［0， ）. ［0， ）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 14. （2024·南阳质检）已知 A （1，2）， B （2，1）， C （0， m ）三点. （1）若过 A ， C 两点的直线的倾斜角为45°，求 m 的值； 解： 过 A ， C 两点的直线的斜率为 kAC ＝ ＝2－ m ， 又直线 AC 的倾斜角为45°， 所以 kAC ＝tan 45°＝1＝2－ m ，解得 m ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （2） A ， B ， C 三点可能共线吗？若能，求出 m 的值；若不能， 请说明理由. 解：能.由题意知 kAC ＝ ＝2－ m ， kAB ＝ ＝－1. 若 A ， B ， C 三点共线，则有 kAB ＝ kAC ，即－1＝2－ m ， 解得 m ＝3，所以 A ， B ， C 三点能共线，且 m ＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 15. (2025高二上·广州月考) 设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（　　） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A. B.  C. D.  目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　因为，且， 所以 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 16. 已知坐标平面内三点 A （－1，1）， B （1，1）， C （2， ＋1）. （1）求直线 AB ， BC ， AC 的斜率和倾斜角； 解： 由斜率公式得 kAB ＝ ＝0， kBC ＝ ＝ ， kAC ＝ ＝ . 又倾斜角的取值在[0°，180°）范围内， ∵tan 0°＝0，∴直线 AB 的倾斜角为0°. ∵tan 60°＝ ，∴直线 BC 的倾斜角为60°. ∵tan 30°＝ ，∴直线 AC 的倾斜角为30°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （2）若 D 为△ ABC 的边 AB 上一动点，求直线 CD 的斜率 k 的取值 范围. 解： 如图，直线 CD 绕点 C 旋转，当直线 CD 由 CA 逆时针转到 CB 时， 直线 CD 与 AB 恒有交点，即 D 在线段 AB 上， 此时 k 由 kCA 增大到 kCB ，∴ k 的取值范围 为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 谢 谢 观 看！ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $