第26章 26.4 实际问题与二次函数-课时1 最值问题-【初中必刷题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦九年级上册“二次函数的实际应用——最值问题”，通过羽毛球运动路线、喷水池设计等生活实例导入，从二次函数顶点式求最值过渡到实际问题建模，以例题解析和关键点拨为支架，帮助学生衔接知识脉络。 其亮点是分层设计（刷基础、提升、素养）与生活情境融合，通过矩形花园面积优化、车棚围栏设计等实例，培养模型观念和推理意识。采用问题驱动教学，解析中思路分析助学生掌握转化方法，既提升学生应用能力，也为教师提供系统教学素材。

数 学 九年级上册 RJ 1 2 3 第二十六章 二次函数 4 26.4 实际问题与二次函数 课时1 最值问题 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 高度问题 1.【2026广西崇左质检】羽毛球在空中的运动路线可以看作一条 抛物线（如图），羽毛球行进的高度（米）与水平距离 （米） 之间的关系式为 ，则羽毛球行进的最大高度 为( ) A A.2米 B.2.5米 C.2.8米 D.3米 【解析】， 当时， 取 得最大值2， 羽毛球行进的最大高度为2米，故选A． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2.【2026吉林长春校级期中】公园要建造一个如图（1）的圆形喷水池，在水池中 央垂直于水面安装一个柱子，高度为0.8米， 恰在水面中心，安置在柱子 顶端 处的喷头（看作一点）向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路 径落下，设计成水流在与 水平距离为1米时，达到距水面最大高度1.44米，那 么水池的半径至少为_____米，才能使喷出的水流不落到池外（不计其他因素）. 2.5 图（1） 图（2） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 8 【解析】设轴右侧的抛物线解析式为.将 代入,得 ，解得， 轴右侧的抛物线解析式为 .当时，，解得 ， （舍去）， 水池的半径至少为2.5米．故答案为2.5． 关键点拨 将问题转化为求轴右侧的抛物线与 轴正半轴的交点的横坐标是解题关键. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 9 知识点2 面积问题 （第3题图） 3.【2025安徽六安期中】如图是一个长、宽 的矩形花园， 现重建花园，将它的长缩短、宽增加 ，要想使重建后的花园 面积最大，则 应为( ) C A.1 B.1.5 C.2 D.4 【解析】设重建后的花园面积为 .由题图可得， ， 当时， 取得最大 值324，故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 10 （第4题图） 4.【2025山西太原质检】如图，在中， ， ，.动点从点出发，沿边向点 以 的速度运动（不与点重合），同时动点从点 出发， 沿边向点以的速度运动（不与点 重合）.当四边形 的面积最小时，运动的时间为( ) B A. B. C. D. 【解析】设运动时间为，四边形的面积为，则 ， ，， ， 即， 当 时， 有最小值，为12，故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 11 5.【2025天津和平区期末】如图，用一段长为 的篱笆围成一个一边靠墙的矩 形菜园，墙长为.设矩形菜园的边的长为，面积为，其中 且 .有下列结论： ①的取值范围为 ； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为 ； ③矩形菜园的面积的最大值为 .其中正确的结论有____.（填序号） ③ 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 12 【解析】的长为,的长为,则 . 且，解得 的取值范围为 ，故①错误.根据题意得，解得 ， ，， 的长有一个值满足该矩形菜园的面积为 ，故②错误.根据题意得 .，， 当 时，有最大值，最大值为 ，故③正确．故答案为③. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 13 6.如图，某小区计划用 的铁栅栏两面靠墙（墙足够长）围成一个矩形车棚 ，为了方便存车，在边上开了一个宽的门 （门不是用 铁栅栏做成的），设边的长为，车棚面积为 . （1）求与之间的函数关系式，并直接写出自变量 的取值范围； 【解】 ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 14 （2）当 的值是多少时，车棚面积最大？最大面积是多少？ 【解】当时，， 当 时，车棚面积最大，最大面 积是 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 15 提升 （第1题图） 1.【2026浙江台州期末，中】如图，小明从离地面高度为 的处抛出弹力球，弹力球在处着地后弹起，落至点 处，弹力 球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力 球第一次着地前对应的抛物线解析式为，在 B A.3.7 B.4.1 C.5.5 D.5 处着地后弹起的最大高度为着地前的最大高度的 .现在地上摆放一个底面半径为 ，高为的圆柱形水桶，水桶的最左端距离原点，若要弹力球从 处 弹起后落入水桶内，则 的值可能是( ) 刷提升 返回目录 1 2 3 1 2 3 16 【解析】 点在抛物线上， , , 第一次着地前对应的抛物线解析式为.当 时，，或（舍去）, 点的坐标为 着地前后对应的两条抛物线的形状相同，且着地后弹起的最大高度是着地前的最 大高度的， 设第一次着地后对应的抛物线解析式为 ，将点 代入该解析式，得,解得，（舍去）, 第 一次着地后对应的抛物线解析式为 ,该抛物线的对称轴为直线 刷提升 返回目录 1 2 3 1 2 3 17 .又 点的横坐标为3， 点的横坐标为5, 点, 弹力球第二次着 地点到点的距离为. 圆柱形水桶的高为， 当 时， ，解得（舍去）, 水桶的底面半径为 ，水桶的最左端距离原点米，的取值范围为 ，即 ．故选B． 刷提升 返回目录 1 2 3 1 2 3 2.［中］为了节省材料，某农场主利用围墙（围墙足够长）为一边，用总长为 的篱笆围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积 相等，则长为______时，能围成的矩形区域 的面积最大. （第2题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 1 2 3 19 【解析】如图， 三块矩形区域的面积相等， 矩形 面积是矩 形面积的2倍，.设， ，则 ，，， 矩形区域 的面积 ， ， 二次项系数， 当时，有最大值.故答案为 . ， 刷提升 返回目录 1 2 3 1 2 3 20 思路分析 根据三个矩形面积相等，得到矩形面积是矩形 面积的2倍，可得出 .设，，则，用含的代数式表示出与 ， 进而表示出矩形区域的面积与之间的关系式，并求出 的取值范围，再利 用二次函数的性质求出面积取最大值时 的值. 刷提升 返回目录 1 2 3 1 2 3 21 刷素养 走向重高 3.核心素养 模型观念 ［较难］【生活情境】 为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长 ，宽 的长方形水池进行加长改造（如图（1），改造后的水池 仍 为长方形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为的矩形水池 （如图（2），以下简称水池2）,且 . 刷提升 返回目录 1 2 3 1 2 3 22 【建立模型】 设水池的边的加长长度为 ，加长后水池1 的总面积为 ， 则,关于的函数解析式为 ；设水池 2的面积为，则关于 的函数解析式为 ，上述两个函数在同一平面直角坐标 系中的图象如图（3）. 刷提升 返回目录 1 2 3 1 2 3 23 【问题解决】 （1）若水池2的面积随长度的增加而减小，则 长度的取值范围是__________ （可省略单位），水池2面积的最大值是___ ； 9 【解】， 抛物线的顶点坐标为 ，对称轴 为直线 . 水池2的面积随 长度的增加而减小， 长度的取值范围是 . 当时，水池2面积有最大值,为 . 故答案为 ，9. 刷提升 返回目录 1 2 3 1 2 3 24 （2）在图（3）字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是______，此时 的 值是______； ， 1或4 【解析】由题图（3）得，两函数图象交于点，， 表示两个水池面积相等的 点是， . 联立得解得或 的值为1或4.故答案为， ；1或4. 刷提升 返回目录 1 2 3 1 2 3 25 （3）当水池1的面积大于水池2的面积时， 的取值范围是______________________； 或. 【解析】由（2）知，， . 直线在抛物线上方时，或 ， 水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是或 ，故答 案为或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 1 2 3 26 （4）在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时 的值； 【解】在 范围内，两个水池的面积差为 ., ， 当时，函数有最大值，为，即在 范围内，两个水池面积差的最 大值为，此时的值为 . 思路分析 在范围内，求得两个水池的面积差关于 的函数解析式，利用二次函数 的性质解答即可； 刷提升 返回目录 1 2 3 1 2 3 27 （5）假设水池的边的长度为 ，其他条件不变（这个加长改造 后的新水池简称水池3），则水池3的总面积关于 的函数解析式 为.当水池3与水池2的面积相等时，有唯一值，求 的值. 【解】 水池3与水池2的面积相等， ，整理，得 有唯一值，，解得 . 令，得到关于的一元二次方程，根据题意,令即可求得 的值. 刷提升 返回目录 1 2 3 1 2 3 28 $