第26章 二次函数 数学活动（教学设计）数学新教材人教版九年级上册

26.二次函数 数学活动

（教学设计）

1.教学内容

本节课是人教版2024版九年级上册第26章《二次函数》数学活动，核心内容包含两大探究活动：一是数字乘积最值探究，通过探究两个和为定值的数的乘积变化规律，建立二次函数模型求解最值；二是抛物线实物建模探究，借助动手作图、实物观察，感知抛物线的形成特征，利用二次函数图象性质解决简单实物抛物线问题.本节课是二次函数图象、性质及实际应用的综合拓展活动课.

2. 内容解析

本节课安排在二次函数整章新知学习结束后，是对二次函数概念、图象性质、最值应用、建模思想的总结性、实践性拓展.此前学生已掌握二次函数解析式求解、图象绘制、增减性与最值计算、实际问题建模等核心知识，本节课将抽象的函数知识与数字规律、几何作图、生活实物场景结合，实现知识的融会贯通.本节课两大数学活动层层递进，从代数数字规律到几何图形建模，从纯数学理论探究到生活化实物应用，有效突破学生“只会刷题、不会建模、不会实践”的思维短板.同时，强化数形结合、建模思想、特殊到一般的数学核心思想，为后续高中函数综合应用、圆锥曲线学习奠定基础，是落实新课标“数学实践、学以致用”理念的关键课时.本节课的特点：活动性、探究性、综合性强，无固定公式套路，要求学生自主观察、猜想、建模、验证，重点培养学生的探究能力和数学应用意识.

基于以上分析，本节课的教学重点为探究和为定值的两个数的乘积最值规律，建立二次函数模型求解最值问题；感知抛物线的几何特征，掌握简单实物抛物线问题的二次函数建模方法.

1. 教学目标

（1）能根据“和定积变”的数字规律，自主建立二次函数模型，熟练利用二次函数最值公式求解乘积最大值.能通过动手作图感知抛物线的形成过程，掌握简单实物抛物线问题的建模方法，会利用二次函数图象性质分析、解决基础几何与实际问题.系统梳理二次函数图象、增减性、最值的核心知识点，能灵活综合运用知识解决探究性问题.

（2）经历观察猜想—列式建模—验证推理—归纳总结的完整探究过程，提升自主探究、合作交流、数学建模的能力.通过代数探究与几何作图相结合的方式，深化数形结合思想的应用，掌握特殊到一般、转化的数学思维方法.

（3）在自主探究和小组合作中体验数学规律的趣味性，增强学习数学的兴趣和自信心，感受数学与数字规律、生活实物的紧密联系，体会数学的实用性和严谨性，培养主动探究、勇于实践的科学素养.

2.目标解析

目标1基于学生已掌握二次函数基础性质与最值计算，本节课侧重知识迁移与应用，不再局限于固定解析式计算，而是让学生自主从实际情境、数字规律中提炼变量关系、建立函数模型，实现从“被动解题”到“主动建模”的提升.

目标2通过两大探究活动，针对性培养学生的数据分析能力、动手实践能力、逻辑推理能力，突破学生综合应用薄弱、建模思维欠缺的问题，契合九年级学生数学思维从具象向抽象进阶的发展需求.

目标3紧扣新课标数学核心素养，重点落实数学建模、直观想象、逻辑推理三大核心素养，让学生在实践探究中理解数学本质，而非机械记忆知识，提升数学综合素养..

九年级学生已系统学习二次函数的定义、三种解析式形式、图象开口、对称轴、顶点、增减性及最值计算，掌握了二次函数解决简单实际问题的方法，具备开展本节课探究活动的知识储备.学生具备基础的观察、计算、推理能力，但自主建模能力薄弱，面对无固定套路的探究性问题，难以快速提炼变量关系；同时数形结合的综合应用不够熟练，难以将代数计算结果与几何图象、实际意义对应.学生习惯被动接受知识、机械刷题，自主猜想、探究、归纳的意识不足，小组合作探究的效率有待提升，对“特殊到一般”的数学思想运用不够灵活.相较于枯燥的习题课，学生对动手作图、规律探究类活动课兴趣更高，课堂参与积极性较强，利于开展互动式、探究式教学.

基于以上分析，确定本节课的教学难点是从数字规律、实物图形中自主提炼变量关系，准确建立二次函数模型；结合数形结合思想，解释二次函数最值、图象特征对应的实际意义.

创设情景，引入新课

情境提问：同学们，我们已经完整学完二次函数整章知识，知道二次函数可以解决生活中的最值、轨迹问题.今天我们通过两个趣味数学活动，探究隐藏在数字和图形中的二次函数规律.

抛出问题：若两个数的和为10，这两个数的乘积是固定值吗？什么时候乘积最大？引发学生思考、口算猜想.

导入课题：本节课我们通过自主探究、动手实践，用二次函数知识破解数字规律和抛物线图形奥秘——二次函数数学活动.

（设计意图：通过简单的数字问题创设情境，衔接学生已有知识，激发学生探究好奇心，快速聚焦课堂主题；同时为本节课“和定积最值”核心探究内容做铺垫，自然引入新课.）

探究点1　和定数乘积的最值探究

活动1.和为定数，哪个数的积最大？

自主计算，初步猜想

给定两个正整数和为10，学生分组计算：1×9、2×8、3×7、4×6、5×5、6×4……记录乘积结果，观察变化规律，猜想规律.

规律：和为定值的两个数，两数越接近，乘积越大，两数相等时乘积最大.

建模推理，验证猜想

设其中一个数为 x ，则另一个数为 10-x ，设两数乘积为 y ，列出函数关系式：

 y=x(10-x)=-x²+10x （ x>0 ， 10-x>0 ，即 0<10 ）

引导学生分析函数：二次项系数<0 ，抛物线开口向下，函数有最大值.

根据顶点公式，当 时， ，验证猜想成立.

规律归纳，推广结论：若两个正数的和为定值 m ，设一数为 x ，另一数为 m-x ，乘积 y=-x²+mx ，当 ，即两数相等时，乘积取得最大值.

（设计意图：遵循“特殊计算—猜想规律—一般建模—推理验证”的探究流程，让学生完整经历数学探究过程，掌握从具体数字到一般规律的推理方法，强化二次函数建模与最值计算能力，渗透特殊到一般、建模的数学思想.）

探究点2  抛物线图形建模探究

活动2 刹车距离与刹车时车速的关系

动手作图，感知图形：指导学生按照教材步骤作图：取一条直尺，固定一端点，将细绳一端固定于定点，细绳长度大于直尺固定点到动点的距离，移动细绳端点，绘制出平滑曲线，观察曲线形状，感知抛物线轨迹特征.

解决问题：由于惯性作用，汽车刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离被称为“刹车距离”，为了测定某种型号汽车的刹车性能，对这种汽车的刹车距离进行测试，测得的数据见下表:

刹车时车速/(km/h)	40	48	56	64	72	80
刹车距离/m	17	22.4	27.9	35.3	43.4	52.8

(1)以刹车时车速为横坐标，刹车距离为纵坐标，根据表中数据，在平面直角坐标系中描点，并用平滑的曲线连接这些点，得到大致满足这些数据的函数图象.

(2)通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据的函数解析式.

(3)一辆该型号汽车在高速公路上发生交通事故，现场测得这辆车

的刹车距离约为70m，已知这条高速公路限速100km/h.请根据你确定的函数解析式，通过计算判断:在事故发生时，汽车是否超速行驶?

解决问题活动过程：①把6组坐标 (40,17)(48,22.4)(56,27.9)(64,35.3)(72,43.4)(80,52.8) 在平面直角坐标系描点，用平滑曲线连接.

观察猜测图象特征：

图象从左向右上升，上升速度越来越快，曲线开口向上，符合二次函数（抛物线）特征，排除一次、反比例函数.

结论：该变量关系近似二次函数.

②求二次函数解析式

设二次函数一般式：y=ax²+bx+c，选取三组差距较大、代表性强的数据：(40,17)、(64,35.3)、(80,52.8)，代入列三元一次方程组：

分步消元计算：

 2式−1式：2496a+24b=18.3  ①

3式−2式：2304a+16b=17.5  ②

联立①②化简求解，近似得：

a≈0.0083,b≈-0.099,c≈7.7

解析式：y=0.0083x²-0.099x+7.7

验证：代入x=56，y≈0.0083×56²-0.099×56+7.7≈28.2，与实测27.9误差极小，模型成立.

③判断车辆是否超速（刹车距离70m，限速100km/h）

已知y=70，代入解析式解方程，求出车速x，和100比较.

解方程：0.0083x²-0.099x+7.7=70

整理：0.0083x²-0.099x-62.3=0

两边同乘10000得：83x²-990x-623000=0

用求根公式 ，舍去负根（车速不能为负），计算得：x≈93.8km/h

∵ 93.8<100