专题2.1.2 直线与圆的位置关系讲义-2026年暑假预习新高二数学人教A版选择性必修第一册

2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题2.1.2 直线与圆的位置关系 知识点一、点与圆的位置关系 1．点与圆的位置关系 (1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外. (2)圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为 .平面内一点. 位置关系 判断方法 几何法 代数法(标准方程) 代数法(一般方程) 点在圆上 |MA|=r (x0-a)2 +(y0-b) 2=r2 点在圆内 |MA|<r (x0-a)2 +(y0-b) 2<r2 点在圆外 |MA|>r (x0-a)2 +(y0-b) 2>r2 知识点二、直线与圆的位置关系及判定 1．直线与圆的位置关系及判定方法 (1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下： 位置 相交 相切 相离 交点个数 两个 一个 零个 图形 d与r的关系 d<r d=r d>r 方程组解的情况 有两组不 同的解 仅有一组解 无解 (2)直线与圆的位置关系的判定方法 ①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的 实数解，即Δ>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即Δ=0，则直线与圆相切；若无实数解，即Δ<0，则直线与圆相离. ②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离. 知识点三、圆的切线及切线方程 1．自一点引圆的切线的条数： (1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线； (2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点； (3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. 2．求过圆上的一点(x0,y0)的圆的切线方程： (1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求 得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. (2)重要结论： ①经过圆上一点P的切线方程为. ②经过圆上一点P的切线方程为. ③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为 . 知识点四、圆的弦长问题 1．圆的弦长问题 设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： (1)几何法 如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：. (2)代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A，B. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元 二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式. 2．解与圆有关的最值问题 (1)利用圆的几何性质求最值的问题 求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线. ①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d 为圆心到直线的距离； ②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r； ③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r. (2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题 解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选 用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径. ①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. ②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. ③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦. 知识点一、点和圆的位置关系 题型01：判断点与圆的位置关系 【例1】点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．与的值有关 【答案】C 【解题思路】将点的坐标代入圆的方程即可判断得到结果. 【解答过程】， 在圆外， 故选：C. 【跟踪训练】 1.已知圆的方程为，则下列点中在圆内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据点与圆位置关系的坐标判断方法，逐项验证即可得结论. 【解答过程】由于，故点在圆上； 又，故点在圆外； 因为，故点在圆内； 又，故点在圆外； 综上，在圆内的是. 故选：C. 2.若点在圆的外部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据圆的一般方程及点与圆的位置关系可得不等式，解不等式即可． 【解答过程】由已知圆，则， 又点在圆外，则， 即， 解得， 故选：B． 3.对于圆：，下列说法正确的为（ ） A．点圆的内部 B．点圆的外部 C．圆的圆心为 D．圆的半径为3 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断点与圆的位置关系、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】利用圆的一般方程及点与圆的位置关系的判定方法，结合直线与圆的位置关系的判定方法即可求解. 【详解】对于A，B，将点代入圆C中，得，所以点圆C的内部，故A正确，B错误； 对于C，D，由得，所以圆的圆心为，半径为，故C，D错误. 故选：A. 题型02：点与圆的位置关系求参数 【例2】设a为实数，若点在圆的内部，则a的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：因为点在圆的内部， 所以，解得， 所以a的取值范围为. 【例3】点在圆外，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程表示圆及点在圆外得到不等式，求出k的取值范围. 【详解】由题意可知：表示圆， 可得：，解得， 又在圆外，所以，得， 所以k的取值范围为. 故选：C 【跟踪训练】 1.若点在圆外，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先将圆的方程化为标准方程，再根据点在圆外列出不等式组即可. 【解答过程】将圆化为标准方程得， 因为点在圆外， 所以，解得， 所以的取值范围. 故选：D. 2.已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将圆化成标准形式，确定圆心和半径，结合点在圆外及两点距离公式列不等式求参数范围. 【解答过程】由圆，则圆， 所以，半径为，且或， 由点在圆外，则， 所以，可得， 综上，或. 故选：D. 3.已知点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】借助圆的一般方程定义及点与圆的位置关系计算即可得. 【解答过程】因为曲线表示圆，点在圆的外部， 所以，整理得， 由可得， 由可得或， 故. 故选：D. 知识点二、直线和圆的位置关系 题型03：判断直线与圆的位置关系 【例4】直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 【答案】C 【解析】因直线过定点， 由配方得：，可得圆心为，半径为， 因为，所以点在圆内，故直线与圆相交. 故选：C. 【例5】设m，n为实数，若点是圆上的任意一点，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】B 【详解】点在圆上，故， 圆心到直线的距离为，故直线与圆相切. 故选：B 【跟踪训练】 1.直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交且直线过圆心 D．相交但直线不过圆心 【答案】C 【解析】圆的圆心为， 圆心到直线的距离为：，      所以直线过圆心， 所以直线与圆相交且过圆心． 故选：C. 2.直线和圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交且过圆心 【答案】A 【解析】的圆心和半径分别为， 则圆心到直线的距离为， 故直线与圆相交但不经过圆心， 故选：A 3.已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】A 【解题思路】先确定直线过定点，再根据点与圆的位置关系进行判断. 【解答过程】因为直线： ， 所以直线经过定点. 因为，所以点在圆：内， 所以直线与圆：相交. 故选：A. 题型04：由直线与圆的位置关系求参数 【例6】若直线与圆只有一个公共点，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【解题思路】分析直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式可求的值. 【解答过程】因为直线与圆只有一个公共点，所以直线与圆相切. 又 ，所以圆心为，半径为1. 由 . 故选：C. 【跟踪训练】 1.已知直线与圆有公共点，则的最小值是________ 【解析】由题可知，直线与圆有交点，故圆心到直线的距离，小于等于半径， 即，故，也即，解得，则的最小值为. 2.若直线与圆相离，则实数的取值范围是_________________ 【答案】 【解析】由圆的标准方程可知圆的圆心坐标为，半径为， 则圆心到直线的距离， 直线和圆相离则有，即， 解含绝对值不等式可得或， 即. 3.已知直线与圆相交，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意，根据圆心到直线的距离小于半径列不等式求解即可. 【解答过程】圆的圆心为，半径为， 若直线与圆相交， 则，即， 两边同时平方化简可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 题型05：直线与圆的位置关系求距离的最值 【例7】圆上的动点到直线的距离的最小值为_______ 【解析】因为圆，所以其圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 则所求距离的最小值为. 【例8】已知，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】由，表示圆上的点到直线的距离的5倍. 圆的圆心，半径，如图： 由圆心到直线的距离. 所以直线与圆相离，且圆上点到直线距离的最小值为. 所以的最小值为. 故答案为：3. 【跟踪训练】 1.圆上的点到直线的距离的最大值为 　　． 【分析】求出圆心到直线的距离，再利用圆的性质求解即得． 【解答】解：圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 所以圆上的点到直线的距离的最大值为． 故答案为：． 【点评】本题考查了点到直线的距离公式，重点考查了圆的性质，属基础题． 2.圆上的点到直线的距离的最大值是　　． 【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标和半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离，求出即为所求的距离最大值． 【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：， 所以圆心坐标为，圆的半径， 所以圆心到直线的距离， 则圆上的点到直线的距离最大值为． 故答案为： 【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，当考查圆上的点到直线的距离问题，基本思路是：先求出圆心到直线的距离，最大值时，再加上半径，最小值时，再减去半径． 3.已知是直线上任意一点，则的最小值为________. 【答案】1 【解析】设，则表示圆心为原点，半径为的圆， 当圆与直线相切时，最小， 由点到直线的距离公式有：， 所以的最小值为， 故答案为：. 4.已知实数，满足，则的最小值是　　 A．1 B．2 C．4 D．16 【分析】将已知表示成一个以为圆心，1为半径的圆，将问题转化为圆上一点到直线距离最小值问题，从而找到解题关键． 【解答】解：依题意可知曲线表示一个以为圆心，1为半径的圆， 求的最小值相当于先求的最小值， 即求圆上一点到直线的距离的最小值， 所以， 即的最小值为1． 故选：． 【点评】本题主要考查圆的一般方程，点到直线的距离公式，考查运算求解能力，属于中档题． 知识点三、圆的切线与切线方程 题型06：过圆上一点的圆的切线方程 【例9】经过圆：上一点且与圆相切的直线方程为______. 【答案】 【解析】由题意，圆，可得圆心坐标为，因为在圆上，则， 则过点且与圆相切的直线的斜率为， 根据直线的点斜式方程，可得直线的方程为，即， 【跟踪训练】 1.过圆上一点作圆的切线，则的方程是　　 A． B． C． D． 【分析】先检验点是否在圆上，过圆上一点的切线只有一条，且切点与圆心连线与切线所在直线互相垂直，利用点斜式方程写出切线并化简可得出方程． 【解答】解：圆的圆心为，半径， 点，且，即点在圆上， 则过作切线与直线垂直， ，则切线斜率为， 切线方程，即， 故选：． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了点斜式直线方程的应用，属于中档题． 2.过点作圆的切线，则切线方程为________________. 【答案】 【解析】将点代入中，成立， 即点在圆上，圆心和连线的斜率为， 故过圆上点的切线的斜率为， 则切线方程为，即， 故答案为：. 3.已知圆，点，则经过点且与圆 相切的直线方程为 . 【答案】 【解析】，即，， ∵，即点在圆上， 设切线为，则，， ∴， ∴切线，即. 故答案为：. 4.若直线与圆相切，则实数 ． 【答案】0或 【解析】由可得：， 所以圆心为，半径为2， 由题意可得：， 解得：或， 故答案为：0或 题型07：过圆外一点的圆的切线方程 【例10】已知圆，则过点的圆C的切线方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【解题思路】分切线斜率存在与不存在讨论即可. 【解答过程】，则圆心坐标为，半径为2， 由于，可知点在圆外， 当切线斜率不存在时，此时切线方程为，符合题意， 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 则，解得，此时直线方程为，即. 综上所述，切线方程为：或. 故选：D. 【跟踪训练】 1.经过点作圆的切线，则切线的方程为__________. 【答案】或 【解析】当切线斜率不存在时，，此时点到直线的距离为， 故是圆的切线，符合； 当切线斜率存在时，设，即， 则有，化简得，即， 故，即； 综上所述：切线的方程为或. 故答案为：或. 2.过点的直线与圆相切，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】当斜率不存在时可知满足题意；当斜率存在时，设其方程为，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得，由此可得切线方程. 【解题思路】当过的直线斜率不存在时，方程为，与圆相切，满足题意； 当过的直线斜率存在时，设方程为，即， 圆的圆心到的距离，解得：， ，即； 直线的方程为或. 故选：C. 3.过点且与圆相切的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】由题意分直线斜率是否存在再结合直线与圆相切的条件进行分类讨论即可求解. 【解题思路】圆， 即圆的圆心坐标，半径分别为， 显然过点且斜率不存在的直线为，与圆相切，满足题意； 设然过点且斜率存在的直线为，与圆相切， 所以，所以解得， 所以满足题意的直线方程为或. 故选：D. 题型08：切线长、切点弦及切点弦方程 【例11】已知圆:,过作圆的切线,则切线长为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【详解】圆:,即圆心半径 切线长为 故选:B. 【例12】过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为______． 【答案】 【解析】  方法一：直接在一般式方程里用“留一代一”：需注意“Ey”要代成“”，切点弦所在直线方程为，整理得．   方法二：将方程化为标准形式得，根据“留一代一”可知，所求切点弦所在直线方程为，即． 方法三：将方程化为标准形式得，观察圆的方程和点坐标可知， 过点且与圆相切的两条直线中，有一条斜率不存在，此时切线方程为， 将代入圆的方程中得，故此直线与圆相切于点． 由圆的切线的性质可知，，． 又直线过点，直线的方程为，即． 故答案为：． 【跟踪训练】 1.设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为 . 【答案】3 【解析】设切点为，则， 而的最小值为点到直线的距离，即，则的最小值为，故切线长的最小值为. 故答案为：. 2.过点作圆的切线，切点分别为，，则直线的方程为____________. 【答案】 【解析】由题意知，圆心为，半径，点在圆外面， 由切线的性质定理可知，，，即， 所以点，在以为直径的圆上，即，，，四点共圆，且圆心为中点，半径， 设圆心为，根据中点坐标公式，则为，半径， 所以圆的方程为， 因此直线即为圆与圆公共弦所在的直线，方程为两个圆方程的差， 即，化简得， 所以直线的方程为. 3.已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线的方程是 　　． 【分析】由题意作图，分析可得，，，四点共圆，且为圆的直径，求出圆的方程，由两圆公共弦所在直线的求法即可求得． 【解答】解：设，如图， 因为，为圆的切线， 所以， 所以， 所以，，，四点共圆，且为圆的直径， 记的中点为，因为， 所以，， 所以经过，，，四点的圆的方程为， 显然与的相交弦为， 所以所在直线的方程为， 即为． 故答案为：． 【点评】本题考查两圆的公共弦所在直线方程，属于中档题． 4.过点作圆的两条切线，设切点分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，即，故圆心为，半径为， 又，所以，故切线长， 由，得到， 故选：C. 5.过点作圆的切线，，则切线长为__________；过切点A，B的直线方程为__________． 【答案】 【解析】圆，则圆心，半径， 在中，，， ，． 以为直径的圆的方程，即以为圆心， 以为半径的圆的方程为：， 又圆，两圆方程相减可得． 故答案为：； 知识点四、圆的弦长问题 题型09：求圆的弦长 【例13】直线被圆截得的弦长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由圆，则圆心为，半径为， 由圆心为到直线的距离， 所以直线被圆截得的弦长为. 故选：B. 【例14】圆与直线：交于、两点，则弦长的最小值为______． 【答案】2 【解析】因为圆， 所以圆心为，半径， 所以圆心到直线：的距离 ， 因为，所以， 又， 所以当时，. 【例15】已知圆． (1)已知直线，求该直线截得圆C的弦AB的长度； (2)若直线过点且与圆C相交于两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程． 【解析】（1）法1：圆C的圆心坐标为，半径， 圆心C到直线的距离.    则截得的弦长； 法2：设，联立方程组得， 消得， ； 法3：设，联立方程组得， 消得，解得， 则， . （2）圆C的圆心坐标为，半径， 当直线的斜率不存在时，与圆没有交点，舍去， 设直线的方程为，即， 则圆心C到直线的距离为， 又的面积， 所以当时取最大值8， 由，得， 解得，， 所以直线的方程为或. 【跟踪训练】 1.直线被圆所截得的弦长为______ 【解析】由题意知，圆心，圆C的半径为3， 故C到的距离为， 故所求弦长为． 2.已知圆：和直线：，若直线被圆截得的弦长为2，则的值为_____ 【解析】依题意可知直线与圆相交，且圆的圆心坐标为，半径. 设圆心到的距离为，则，解得. 由，化简得，解得或. 3.直线交圆于、两点，则______ 【解析】联立解得：，， 所以. 4.已知圆：，直线：，直线交圆于，两点，设点，则_______ 【解析】由题意，圆：，将直线l的方程代入化简得：， 解得：或. 因为直线l的斜率，所以. 5.已知圆，过点的直线与交于点，，且. (1)求的方程； (2)设为坐标原点，求. 【解析】（1）将化为标准方程，得， 则的圆心为，半径. 当直线的斜率不存在时，的方程为. 此时圆心到的距离，不符合题意. 故直线的斜率存在，设的方程为， 即. 圆心到的距离. 由垂径定理可得，即，解得. 故直线的方程为. （2）联立整理得. 设，则. . 故. 题型10：已知圆的弦长求方程或参数 【例16】若直线与圆相交于A、B两点，且(其中是原点)，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易知圆的圆心为，半径为， 圆心到直线距离为，弦长， 所以， 解得. 故选：C 【跟踪训练】 1.已知圆，直线与圆的交点为.若，则__________. 【答案】2 【解析】圆的圆心为， 则圆心到直线的距离， 则，可得. 2.已知圆：若直线(斜率存在)与圆相交于，两点，且弦的长为，求 . 【答案】 【详解】圆的圆心，半径， 由题意圆心到直线的距离， 则，解得. 故答案为： 3.在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：，设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N（6，n），． (1)求圆N的标准方程； (2)若直线l过点（0，－4）且与圆N相交于P，Q两点，O为坐标原点，且，求此时直线l的方程． 【解析】（1）圆与轴相切，圆为：，， 又圆与圆外切，圆， 即圆，圆心，半径； 由，解得， 故圆的标准方程为． （2）依题意，直线的斜率存在，设，联立， 消得， 设，则， 由 ， 得或，当时，舍去. 故直线. 题型11：直线与部分圆的相交问题 【例17】若直线与曲线C：有两个不同的公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据曲线的方程可得曲线是以原点为圆心，为半径的圆的轴的上半部分（含轴），求出直线与圆相切时的值，再结合图形即可求解. 【解答过程】由可得， 所以曲线是以原点为圆心，为半径的圆的轴的上半部分（含轴）， 直线过定点， 当直线与圆相切时， 圆心到直线的距离， 解得或（舍去）， 当直线过点时， 直线斜率为， 结合图形可得实数的取值范围是. 故选：C. 【跟踪训练】 1.已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围为_______ 【详解】解：曲线是圆的上半部分，且含端点， 由过定点，如下图： 由图知，当与半圆左上部相切时， 即且，可得， 结合图知：实数k的取值范围为：． 2.若直线l：与曲线C：有公共点，则实数b的取值范围是_______ 【答案】 【解析】如图所示，曲线C：是以原点为圆心半径为1的上半圆， 直线是斜率为的直线，是直线的纵截距. 当直线过点时，取得最小值，此时； 当在第二象限与曲线相切时，取得最大值， 此时，到，即的距离为1， 所以，所以. 显然，所以. 所以实数b的取值范围是. 3.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是_____ 【解题思路】先求出直线的定点，然后结合图像，确定临界条件，进而求出结果. 【解答过程】直线可转化为，所以直线过定点，斜率为， 又曲线可转化为：，. 画出直线与曲线图象如图所示. 数形结合可得直线在，处产生临界条件， 设直线，的斜率分别为，. 点，则，设直线的方程为， 即，圆心到直线的距离为，解得， 所以要使直线和曲线有两个不同的交点，则. 故选：D. 4.若直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】作出曲线的图象，数形结合可得解． 【解答过程】直线恒过定点， 由，得到 ， 所以曲线表示以点为圆心，半径为，且位于直线右侧的半圆（包括点，）， 如下图所示：    当直线经过点时，与曲线有两个交点，此时， 当与半圆相切时，由，得， 由图可知，当时，与曲线有两个公共点， 故选：D. 5.设，若关于的方程有两个不相等的实根，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】关于的方程有两个不相等的实根，即方程有两个不相等的实根. 所以的图象与函数的图象有两个交点. 的图象恒过定点，且直线的斜率，作出的图象，如图所示. 当直线经过点时，直线与的图象恰好有两个交点，此时直线的斜率. 当直线与半圆相切于点时，此时圆心到直线的距离，解得. 由图象可得，当直线的斜率由逐渐增大到时，此时直线与半圆始终有两个交点，符合题意，故的取值范围是. 知识点五、综合提升 题型12：直线与圆有关的最值问题 【例18】已知点在圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】看作圆上的点到点的直线的斜率的相反数. 当经过点的直线与上半圆相切时，切线斜率最小， 设切线方程为，所以圆心到切线的距离等于半径，故，解得 故当时，切线斜率最小，此时最大，最大值为， 故选：C 【例19】已知实数x，y满足方程，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】由，得， 它表示以为圆心，1为半径的圆． 设，即， 当与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值． 由，得. 故的最小值为. 故答案为： 【跟踪训练】 1.已知为圆上任意一点．则的最大值为 【答案】/ 【解析】圆即， 故圆心，半径为， 又表示圆C上的点M到点的距离， 故其最大值为， 故答案为： 2.已知实数，满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】依题意可得，其中表示圆上的点与定点的距离的平方，求出圆心的坐标，即可求出，从而求出的取值范围，即可求出的取值范围，即可得解. 【详解】解：因为， 又实数，满足， 所以点在以为圆心，半径的圆上， 又表示圆上的点与定点的距离的平方， 因为，所以， 即，所以， 所以， 所以，即. 故答案为： 3.已知点P（x，y）在圆x2+（y﹣1）2＝1上运动． （1）求的取值范围； （2）求2x+y的取值范围． 【分析】（1）从斜率角度考虑，可看作圆x2+（y﹣1）2＝1上的点P（x，y）与点A（2，1）连线的斜率，数形结合，利用点到直线距离公式进行求解； （2）设z＝2x+y，数形结合，利用点到直线距离公式求解出z的取值范围． 【解答】解：（1）可看作圆x2+（y﹣1）2＝1上的点P（x，y）与点A（2，1）连线的斜率， 从图中可看出，直线所求的斜率位于直线AB与AC之间， 设直线为y﹣1＝k（x﹣2）， 则圆心到直线距离，解得：， 所以的取值范围为． （2）设z＝2x+y，z表示直线与y轴交点的纵坐标，则画出图象如下： 则圆心D（0，1）到直线z＝2x+y的距离，解得：或，故2x+y的取值范围为． 题型13：直线与圆中的定点定值问题 【例20】已知圆C的圆心坐标为，且该圆经过点. (1)求圆C的标准方程； (2)直线m交圆C于M，N两点，若直线AM，AN的斜率之和为0，求证：直线m的斜率是定值，并求出该定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析，. 【详解】（1）依题意，圆C的半径， 所以圆C的标准方程是：. （2）设直线方程为：，由消去y并整理得：， 则有点，而直线：，同理， 于是得直线的斜率， 所以直线m的斜率是定值，该定值为. 【跟踪训练】 1. 已知圆经过点，及.经过坐标原点的斜率为的直线与圆交于，两点. （1）求圆的标准方程； （2）若点，分别记直线､直线的斜率为､，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）设圆的方程为：，由圆过，及. ∴可得， ∴圆的方程为：，其标准方程为； （2）设，，直线为， 与圆：联立得：， ∴，则，， ∴. 一、填空题 1.已知点，则该点与圆的位置关系是________． 【答案】在圆的外部 【分析】由点到圆心的距离与圆的半径比较大小即得. 【详解】由圆的圆心到点的距离为， 知点在圆的外部. 故答案为：在圆的外部. 2.已知点为圆外一点，则的取值范围为______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、点与圆的位置关系求参数 【分析】由点与圆位置关系的表示结合圆的定义列方程组即可求解. 【详解】由题可得， 所以的取值范围为. 故答案为： 3.直线与圆的位置关系是______ 【详解】圆的圆心为，半径为3， 圆心到直线的距离为， 所以直线l与圆C相交. 4.已知圆，直线与圆恰有一个公共点，则的值为________ 【分析】法一，直线与圆相切转化为圆心到直线的距离与半径相等，求参数即可；法二，直线过圆上定点，由相切性质得垂直关系，从而得斜率． 【解答】解：直线与圆恰有一个公共点， 直线与圆相切， 法一，圆的圆心为，半径为2， 圆心到直线的距离，解得． 法二，由直线过定点， 设直线，定点为， 由在圆上，直线与圆相切， 故点即为切点，故直线，即斜率． 故选：． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，是基础题． 5.直线被圆截得的弦长为 　　． 【分析】求出直线与圆的交点坐标，即可求出弦长． 【解答】解：由，解得或， 即直线与圆交于和两点， 所以弦长为． 故答案为：8． 【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于基础题． 6.直线被圆截得的弦的长度为________ 【解题思路】求出圆心到直线的距离，结合勾股定理可求得结果. 【解答过程】圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 故直线被圆截得的弦的长度为. 7.若直线被圆截得的弦长为，则______ 【解题思路】根据圆的方程求出圆心和半径，再根据直线截圆弦长公式求解参数的值. 【解答过程】圆的圆心，半径为， 设圆心到直线的距离， 由直线被圆截得的弦长为，得，所以. 8.经过圆上的点的的切线方程为 . 【答案】 【详解】圆心为，切点为，则，所以切线斜率为， 得：切线方程为，化简得：. 故答案为： 9.已知圆，自点作圆的切线，则切线的方程 　　． 【分析】讨论切线的斜率是否存在．当斜率存在时，设斜率为，得到直线方程，根据圆心到直线的距离，得到关于方程，解出的值，代入直线方程即可． 【解答】解：由已知圆心为，半径， 又，所以点在圆外， 当直线斜率不存在时，直线的方程为． 此时，圆心到直线的距离， 所以直线是圆的切线， 当直线斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为， 整理可得， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离， 即，解得， 所以切线方程为：，即， 综上所述所求的切线方程为：或， 故答案为：或． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，考查点到线的距离公式，属中档题． 10.过圆上一点作圆的切线，则的方程为_______ 【解题思路】由圆的方程得圆心，即可求得直线的斜率，由切线的性质求得切线的斜率，然后写出切线方程. 【解答过程】圆的圆心为，则直线的斜率， 因为过圆上一点的切线与该点和圆心所在的直线垂直，即， 所以，则切线的斜率， 所以直线的方程为，即. 故选：C. 11.点P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点为Q，则的最小值为_______ 【解题思路】由题意可求出的最小值，结合圆的性质，利用勾股定理可求得的最小值. 【解答过程】设点的坐标为，，圆的圆心坐标为，半径， 则 由圆的几何性质可得， 又， 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 故选：C. 12.已知直线：与圆：，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，，四边形周长的最小值为______ 【解题思路】求圆心到直线的距离，可得切线长，即可得四边形周长的最小值. 【解答过程】圆：的圆心为，半径， 圆心到直线：的距离，    因为，且， 则四边形周长， 所以四边形周长的最小值为. 二、选择题 13. “”是直线与圆相交的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分也非必要 【解题思路】根据直线与圆相交的判定方法，以及充分条件和必要条件的定义分别判断即可. 【解答过程】当时，直线为，即，显然此时直线和圆相交， 当直线与圆相交时， 圆心到直线的距离， 化简得，显然恒成立，故不能推出. 所以“”是直线与圆相交的充分非必要条件. 14.直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（   ） A． B． C． D．或 【解题思路】根据给定条件，利用圆的切线性质，结合点到直线距离公式列式计算即得. 【解答过程】当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时与圆不相切， 则直线的斜率一定存在，设直线方程为，化简得， 依题意，圆心到直线的距离为1，即，解得或， 所以直线的方程为或. 故选：D. 15. “圆截直线所得弦长为2”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】根据圆的方程确定圆心和半径，利用圆的弦长公式列方程求参数，结合充分、必要性的定义确定条件间的关系. 【解答过程】由的圆心为，半径， 所以圆心到直线的距离， 由，则或， 所以“圆截直线所得弦长为2”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 16.直线与曲线恰有1个交点，则实数b的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【解题思路】由曲线，表示一个半圆（单位圆位于轴及轴右侧的部分），然后根据直线与半圆的位置关系，利用数形结合法求解. 【解答过程】曲线，即 ， 表示一个半圆（单位圆位于轴及轴右侧的部分）， 如图， 设、、， 当直线经过点A时，， 当直线经过点、点时，，此时有2个公共点，不符合题意； 所以当时，直线与曲线有一个公共点； 当直线和半圆相切时， 则圆心到直线的距离等于半径， 即，求得或（舍去）， 即时，只有一个公共点，符合题意， 综上得，实数的取值范围为或， 故选：D． 三、解答题 17.已知直线，圆 (1)当时，判断直线l与圆C的位置关系； (2)记直线l与圆C的交点为A，B，当时，求k的值. 【答案】(1)相交 (2) 【解题思路】（1）利用点到直线距离与圆半径比较，即可判断直线与圆间的位置关系. （2）利用圆的弦长求出圆心到直线的距离，进而根据点到直线的距离公式求解直线斜率. 【解答过程】（1）圆的圆心，半径，又直线， 圆心C到直线的距离， 所以直线l与圆C相交. （2）圆心到直线的距离，则， 整理得，所以. 18.已知圆经过点，，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)求过点，且与圆相切的直线的方程． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）将、坐标代入圆的标准方程，得到关于和的方程并求解即可； （2）判断点与圆的位置关系，进而根据切线和半径几何关系和点斜式求解方程. 【解答过程】（1）设圆心（圆心在上），圆的标准方程为：， 因为圆过和，代入两点得：， 展开化简得：，解得，即圆心， 则， 所以圆的方程为 （2）点代入圆方程左边得， 因此在圆上，过的切线仅有1条. 半径所在直线的斜率为：，切线与半径垂直， 因此切线斜率，由点斜式得切线方程：， 整理得：. 19. 一个圆M切直线：于点，且圆心在直线上. (1)求该圆的方程； (2)过点作该圆的两条切线，切点分别为A，B．求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据直线垂直关系求出PM直线方程，与直线方程联立求得圆心，再求出半径即可得解； （2）先求出，然后得到以为圆心，为半径的圆的方程，然后与圆的方程相减，进而得到直线的方程. 【解答过程】（1）设圆心坐标为，则设过P点的半径所在的直线为，代入，可得 由：，解得：， 所以，所以， 所以圆的方程为． （2）已知，圆心，根据两点间距离公式可得， 因为， 所以以为圆心，为半径的圆的方程为， 展开化简得. 圆的方程为，展开化简得. 两式相减得，化简得. 所以直线的方程为：. 20.已知直线和圆． （1）为何值时，截得的弦长为2； （2）若直线和圆交于，两点，此时，求的值． 【分析】（1）求得圆心到直线的距离，由平面几何垂径定理知，即可得出结论； （2）由于交点处两条半径互相垂直，弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形，即可得出结论． 【解答】解：（1）由已知，圆心为，半径，圆心到直线的距离， 由平面几何垂径定理知，即． 得， 当时，直线被圆截得的弦长为2． （2）由于交点处两条半径互相垂直， 弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形， ，即， 解得， 故当时，． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题． 21.已知，，点满足． （1）求点的轨迹方程； （2）过点作直线交轨迹于点，，交轴于点． ①若，求直线的方程； ②若，试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【分析】（1）利用两点间的距离公式即可求解轨迹方程； （2）由题意可设直线的方程为，与轨迹方程联立，可得根与系数的关系． ①由，可得，从而可得关于的方程，求解即可； ②由向量相等表示，，结合根与系数的关系可得为定值． 【解答】解：（1）设， 因为，所以， 化简的点的轨迹方程． （2）因为过点的直线与轴有交点，所以直线的斜率存在， 设直线的方程为， 由 消去得，△， 设，，，， 则， ， ①因为，所以， 所以，即， 由得， 代入，得， 解得． ②， 则，，，， 因为， 所以解得 为定值． 【点评】本题主要考查轨迹方程，直线与圆的方程的综合应用，考查运算求解能力，属于难题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题2.1.2 直线与圆的位置关系 知识点一、点与圆的位置关系 1．点与圆的位置关系 (1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外. (2)圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为 .平面内一点. 位置关系 判断方法 几何法 代数法(标准方程) 代数法(一般方程) 点在圆上 |MA|=r (x0-a)2 +(y0-b) 2=r2 点在圆内 |MA|<r (x0-a)2 +(y0-b) 2<r2 点在圆外 |MA|>r (x0-a)2 +(y0-b) 2>r2 知识点二、直线与圆的位置关系及判定 1．直线与圆的位置关系及判定方法 (1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下： 位置 相交 相切 相离 交点个数 两个 一个 零个 图形 d与r的关系 d<r d=r d>r 方程组解的情况 有两组不 同的解 仅有一组解 无解 (2)直线与圆的位置关系的判定方法 ①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的 实数解，即Δ>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即Δ=0，则直线与圆相切；若无实数解，即Δ<0，则直线与圆相离. ②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离. 知识点三、圆的切线及切线方程 1．自一点引圆的切线的条数： (1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线； (2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点； (3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. 2．求过圆上的一点(x0,y0)的圆的切线方程： (1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求 得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. (2)重要结论： ①经过圆上一点P的切线方程为. ②经过圆上一点P的切线方程为. ③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为 . 知识点四、圆的弦长问题 1．圆的弦长问题 设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： (1)几何法 如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：. (2)代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A，B. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元 二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式. 2．解与圆有关的最值问题 (1)利用圆的几何性质求最值的问题 求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线. ①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d 为圆心到直线的距离； ②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r； ③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r. (2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题 解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选 用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径. ①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. ②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. ③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦. 知识点一、点和圆的位置关系 题型01：判断点与圆的位置关系 【例1】点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内B．点在圆上C．点在圆外 D．与的值有关 【跟踪训练】 1.已知圆的方程为，则下列点中在圆内的是（   ） A． B． C． D． 2.若点在圆的外部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3.对于圆：，下列说法正确的为（ ） A．点圆的内部 B．点圆的外部 C．圆的圆心为 D．圆的半径为3 题型02：点与圆的位置关系求参数 【例2】设a为实数，若点在圆的内部，则a的取值范围是________． 【例3】点在圆外，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.若点在圆外，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 2.已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3.已知点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 知识点二、直线和圆的位置关系 题型03：判断直线与圆的位置关系 【例4】直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 【例5】设m，n为实数，若点是圆上的任意一点，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【跟踪训练】 1.直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交且直线过圆心 D．相交但直线不过圆心 2.直线和圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交且过圆心 3.已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 题型04：由直线与圆的位置关系求参数 【例6】若直线与圆只有一个公共点，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【跟踪训练】 1.已知直线与圆有公共点，则的最小值是________ 2.若直线与圆相离，则实数的取值范围是_________________ 3.已知直线与圆相交，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型05：直线与圆的位置关系求距离的最值 【例7】圆上的动点到直线的距离的最小值为_______ 【例8】已知，则的最小值为_____． 【跟踪训练】 1.圆上的点到直线的距离的最大值为 　　． 2.圆上的点到直线的距离的最大值是　　． 3.已知是直线上任意一点，则的最小值为________. 4.已知实数，满足，则的最小值是　　 A．1 B．2 C．4 D．16 知识点三、圆的切线与切线方程 题型06：过圆上一点的圆的切线方程 【例9】经过圆：上一点且与圆相切的直线方程为______. 【跟踪训练】 1.过圆上一点作圆的切线，则的方程是　　 A． B． C． D． 2.过点作圆的切线，则切线方程为________________. 3.已知圆，点，则经过点且与圆 相切的直线方程为 . 4.若直线与圆相切，则实数 ． 题型07：过圆外一点的圆的切线方程 【例10】已知圆，则过点的圆C的切线方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【跟踪训练】 1.经过点作圆的切线，则切线的方程为__________. 2.过点的直线与圆相切，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 3.过点且与圆相切的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 题型08：切线长、切点弦及切点弦方程 【例11】已知圆:,过作圆的切线,则切线长为（    ） A． B． C．3 D．4 【例12】过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为______． 【跟踪训练】 1.设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为 . 2.过点作圆的切线，切点分别为，，则直线的方程为____________. 3.已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线的方程是 　　． 4.过点作圆的两条切线，设切点分别为，，则（    ） A． B． C． D． 5.过点作圆的切线，，则切线长为__________；过切点A，B的直线方程为__________． 知识点四、圆的弦长问题 题型09：求圆的弦长 【例13】直线被圆截得的弦长为（   ） A． B． C． D． 【例14】圆与直线：交于、两点，则弦长的最小值为______． 【例15】已知圆． (1)已知直线，求该直线截得圆C的弦AB的长度； (2)若直线过点且与圆C相交于两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程． 【跟踪训练】 1.直线被圆所截得的弦长为______ 2.已知圆：和直线：，若直线被圆截得的弦长为2，则的值为_____ 3.直线交圆于、两点，则______ 4.已知圆：，直线：，直线交圆于，两点，设点，则_______ 5.已知圆，过点的直线与交于点，，且. (1)求的方程； (2)设为坐标原点，求. 题型10：已知圆的弦长求方程或参数 【例16】若直线与圆相交于A、B两点，且(其中是原点)，则的值为（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知圆，直线与圆的交点为.若，则__________. 2.已知圆：若直线(斜率存在)与圆相交于，两点，且弦的长为，求 . 3.在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：，设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N（6，n），． (1)求圆N的标准方程； (2)若直线l过点（0，－4）且与圆N相交于P，Q两点，O为坐标原点，且，求此时直线l的方程． 题型11：直线与部分圆的相交问题 【例17】若直线与曲线C：有两个不同的公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围为_______ 2.若直线l：与曲线C：有公共点，则实数b的取值范围是_______ 3.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是_____ 4.若直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5.设，若关于的方程有两个不相等的实根，则的取值范围是________． 知识点五、综合提升 题型12：直线与圆有关的最值问题 【例18】已知点在圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例19】已知实数x，y满足方程，则的最小值是 ． 【跟踪训练】 1.已知为圆上任意一点．则的最大值为 2.已知实数，满足，则的取值范围为 ． 3.已知点P（x，y）在圆x2+（y﹣1）2＝1上运动． （1）求的取值范围； （2）求2x+y的取值范围． 题型13：直线与圆中的定点定值问题 【例20】已知圆C的圆心坐标为，且该圆经过点. (1)求圆C的标准方程； (2)直线m交圆C于M，N两点，若直线AM，AN的斜率之和为0，求证：直线m的斜率是定值，并求出该定值. 【跟踪训练】 1. 已知圆经过点，及.经过坐标原点的斜率为的直线与圆交于，两点. （1）求圆的标准方程； （2）若点，分别记直线､直线的斜率为､，求的值. 一、填空题 1.已知点，则该点与圆的位置关系是________． 2.已知点为圆外一点，则的取值范围为______． 3.直线与圆的位置关系是______ 4.已知圆，直线与圆恰有一个公共点，则的值为________ 5.直线被圆截得的弦长为 　　． 6.直线被圆截得的弦的长度为________ 7.若直线被圆截得的弦长为，则______ 8.经过圆上的点的的切线方程为 . 9.已知圆，自点作圆的切线，则切线的方程 　　． 10.过圆上一点作圆的切线，则的方程为_______ 11.点P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点为Q，则的最小值为_______ 12.已知直线：与圆：，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，，四边形周长的最小值为______ 二、选择题 13. “”是直线与圆相交的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分也非必要 14.直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（   ） A． B． C． D．或 15. “圆截直线所得弦长为2”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 16.直线与曲线恰有1个交点，则实数b的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 三、解答题 17.已知直线，圆 (1)当时，判断直线l与圆C的位置关系； (2)记直线l与圆C的交点为A，B，当时，求k的值. 18.已知圆经过点，，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)求过点，且与圆相切的直线的方程． 19. 一个圆M切直线：于点，且圆心在直线上. (1)求该圆的方程； (2)过点作该圆的两条切线，切点分别为A，B．求直线的方程． 20.已知直线和圆． （1）为何值时，截得的弦长为2； （2）若直线和圆交于，两点，此时，求的值． 21.已知，，点满足． （1）求点的轨迹方程； （2）过点作直线交轨迹于点，，交轴于点． ①若，求直线的方程； ②若，试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $