第13讲 圆与圆的位置关系（培优讲义）新高二数学人教A版

第13讲 圆与圆的位置关系（暑假培优讲义） 析知识·讲要点 2 知识点01 圆与圆的位置关系 2 知识点02 两圆公共弦相关应用 3 知识点03 两圆的公切线 3 知识点04 圆系方程 4 剖题型·讲技巧 4 题型1 判断圆与圆的位置关系 5 题型2 求两圆的交点坐标 5 题型3 由圆的位置关系确定参数 6 题型4 相交圆的公共弦方程 7 题型5 两圆的公共弦长 7 题型6 圆的公切线条数 8 题型7 圆的公切线方程 9 题型8 圆的公切线长 10 释疑惑·重难拓展 11 题型1 圆与圆中的最值问题 11 知高考·真题探源 12 练好题·提分培优 12 课标要点 1．掌握几何、代数两种方法判定两圆外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系，熟记对应公切线条数。 2．会用两圆方程作差求公共弦直线，借助圆心距、半径用勾股定理计算弦长。 3．理解两类圆系方程：直线与圆交点、两圆交点圆系，λ = -1时可得公共弦或公切线。 知识点01 圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系的判定方法有几何法和代数法两种，如下表： 位置关系 几何法 代数法 图示 外离 外切 相交 内切 内含 练习 1．圆与圆的位置关系是（     ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 2．已知圆，圆，若圆与圆内切，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 知识点02 两圆公共弦相关应用 设圆①，圆② 将两圆方程作差，①②可得： ③ 方程③为两圆公共弦所在直线方程，相关结论如下： 1.该结论成立的前提是两圆相交；若两圆不相交，两圆方程相减得到的直线不是公共弦。 2.两圆公共弦的垂直平分线经过两个圆的圆心。 3.计算公共弦长优先使用几何法，计算更简便。 公共弦长求解方法 选取其中一个圆，以该圆圆心到公共弦的距离、圆半径、半条公共弦长构成直角三角形，借助勾股定理计算弦长，弦长公式： 练习 3．已知圆与圆交于A，B两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 4．圆与圆的公共弦长为（    ） A．2 B． C． D．4 知识点03 两圆的公切线 1、不同位置关系对应的公切线条数 公切线指同时与两个圆相切的直线，分为外公切线、内公切线两类。 两圆位置 公切线总数 明细 外离 4条 2条外公切线、2条内公切线 外切 3条 2条外公切线、1条内公切线 相交 2条 仅2条外公切线 内切 1条 仅1条外公切线 内含 0条 不存在公切线 2、公切线方程求解思路 核心方法：利用圆心到切线的距离等于圆半径列等式求解。 练习 5．若圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．求圆与圆的内公切线所在直线方程及内公切线的长． 知识点04 圆系方程 1、过直线与圆交点的圆系方程 直线，圆，圆系： 2、.过两圆交点的圆系方程 圆，圆 圆系方程： 该圆系不含圆； 特殊：时，方程退化为一次直线： 两圆相交时为公共弦方程，两圆相切时为公切线方程。 练习 7．已知圆的圆心为，且经过圆：与圆：的交点．则圆的面积为（    ） A． B． C． D． 题型1 判断圆与圆的位置关系 【例1】圆：与圆：的位置关系为（   ） A．内含 B．外切 C．相交 D．内切 【例2】圆与圆的位置关系是（   ） A．外离 B．相交 C．相切 D．内含 【变式1-1】圆：与圆：的位置关系是（   ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【变式1-2】已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【变式1-3】已知，则圆与圆的位置关系是（    ） A．内含 B．外离 C．相切 D．相交 题型2 求两圆的交点坐标 方法技巧 1.联立两圆一般方程； 2.两式相减得到公共弦直线方程； 3.将直线方程代入任意一个圆方程，解一元二次方程得，回代求对应，所得即为交点。 【例3】圆和圆的交点坐标是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【例4】若圆与交于两点，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知圆和圆，观察可得它们都经过坐标原点，除此之外，它们还相交于一点，这点的坐标是______． 【变式2-2】在平面直角坐标系中，圆与圆相交于A，B两点，则四边形OACB的面积为（   ） A． B． C．1 D． 【变式2-3】（多选）已知集合，且，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 题型3 由圆的位置关系确定参数 【例5】已知：与交于A，B两点，且四边形的面积为，则的方程不可能是（    ） A． B． C． D． 【例6】若圆上总恰好存在两个点到点的距离为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知圆与直线和圆都相切，当圆的半径最小时，其标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知圆与圆相交于两点，且，则___________． 【变式3-3】已知点到同一直线的距离分别为7，3，若这样的直线恰有2条，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型4 相交圆的公共弦方程 方法技巧 1.将两圆一般式作差，消去项，得到方程：； 2.适用前提为两圆相交，两圆无交点时，该直线并非公共弦； 【例7】已知圆与圆相交，则公共弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【例8】若圆与圆交于，两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为___________． 【变式4-2】若直线l过点，且与和的公共弦平行，则直线l的方程为________________． 【变式4-3】已知圆和圆相交，若点（，）在两圆的公共弦所在直线上，则的最小值为______． 题型5 两圆的公共弦长 方法技巧 采用几何法： 1.联立两圆方程，求解得出两圆公共弦的直线方程； 2.选取其中一个圆，计算该圆圆心到公共弦的距离； 3.利用圆半径、圆心距结合勾股定理，通过弦长公式求解：。 【例9】若圆与圆的公共弦长为，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【例10】已知圆与圆相交于A、B两点，若四边形的面积为，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式5-1】已知圆与，则圆与圆的公共弦长为________． 【变式5-2】已知圆的圆心在直线上，且圆过和两点. (1)求圆的标准方程； (2)求圆与圆的公共弦长. 【变式5-3】已知圆：与圆：交于、两点，且四边形的面积为，则______. 题型6 圆的公切线条数 【例11】已知圆：与圆：有且仅有三条公切线，则的值为__________． 【例12】已知圆与恰有一条公切线，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知关于直线对称， ，则与的公切线的数量为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-2】若圆与圆有且仅有3条公切线，则的最大值为______． 【变式6-3】已知点到直线的距离分别为3，4，则符合条件的直线的条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型7 圆的公切线方程 方法技巧 圆心到切线距离等于对应圆半径 1.设切线通用式求解斜率存在的切线，单独验证斜率不存在的特殊情况； 2.根据圆心到切线距离等于半径，分别列出两圆对应的距离等式； 3.联立等式求解参数，整理化简得到公切线方程； 4.两圆外切或内切时，圆系方程中对应的直线即为公切线。 【例13】（多选）已知圆和圆，则下列直线与两圆都相切的是（   ） A． B． C． D． 【例14】已知圆与圆相内切，则与的公切线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】设直线，圆，若直线与都相切，则方程为__________． 【变式7-2】圆，圆，且，分别为两圆半径，圆和圆有且仅有一条公切线，则直线的方程为__________. 【变式7-3】已知圆经过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)已知圆，判断圆与圆的位置关系，并写出一条圆与圆的公切线方程. 题型8 圆的公切线长 方法技巧 1.确定两圆圆心、半径，计算两圆圆心距； 2.外公切线长计算公式：； 3.内公切线长计算公式：。 【例15】若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 【例16】已知：圆与圆． (1)当时，判断两圆是否相交，并说明理由．如果相交，求公共弦所在直线的方程． (2)若两圆外切，求的值及外公切线的长． 【变式8-1】圆与圆的公切线长为______. 【变式8-2】如图，是两圆轮叠靠在墙边，已知两轮半径分别为2和1，则它们与墙的切点A，B间的距离为__________. 【变式8-3】已知圆经过点，半径小于5，圆心在直线上，直线与相切；圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆的公切线的条数，并求公切线段的长度． 释疑惑·重难拓展 题型1 圆与圆中的最值问题 【例1】已知，若两圆和外切，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例2】已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知圆，圆，其中，若两圆外切，则的最大值为（   ） A． B．5 C． D．8 【变式1-2】已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则a的最小值为（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 1．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程________________． 2．（2026·全国二卷·高考真题）（多选）已知：，：，则（     ） A．点的坐标为 B．当时，与轴相切 C．当时，与相切 D．当与相交时，两个交点所在直线的方程为 3．（2022·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，已知关于点集的两个结论： ①存在直线l，使得集合中不存在点在直线l上，而存在点在l的两侧； ②存在直线l，使得集合中存在无数个点在直线上. 则下列判断正确的是（    ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 一、单选题 1．已知圆：，圆：，则这两圆的位置关系为（   ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 2．圆与圆的公共弦所在直线的方程为 （    ） A． B． C． D． 3．已知圆与圆，若圆完全覆盖圆，，则圆的半径的最小值为（    ） A．3 B． C．2 D． 4．已知点在圆外，则圆M：与圆N：的位置关系是（    ） A．内含 B．相切 C．相交 D．外离 5．已知两点，，若圆上存在点P使得，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．若圆与圆有且仅有2条公切线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知圆，圆，若圆和圆没有公共点，则的值可能为（ ） A．-32 B．-24 C．16 D．24 8．已知圆：，圆：，则下列说法正确的有（   ） A．圆过定点 B．若圆与直线相交，则 C．若圆与圆相切，则圆的面积为 D．对任意非零实数，两圆存在与直线AB平行的公切线 三、填空题 9．已知圆与圆有且只有一个公共点，则的值为___________． 10．已知圆，圆，点分别在圆上，则的最小值为_____． 11．已知点和圆，若以线段中点为圆心，为半径的圆与交于两点，则__________. 四、解答题 12．已知圆与圆的公共弦所在的直线为． (1)求，的值； (2)若与交于，两点，求四边形的面积． 13．已知圆的圆心在直线上，直线与圆相切于点. (1)求圆的方程； (2)若直线与直线交于点，求的外接圆与圆的公共弦长. 14．若圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆公切线的长度； (3)过直线上一点作圆的切线，，切点为，，求当四边形面积最小时，的坐标． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 圆与圆的位置关系（暑假培优讲义） 析知识·讲要点 2 知识点01 圆与圆的位置关系 2 知识点02 两圆公共弦相关应用 3 知识点03 两圆的公切线 4 知识点04 圆系方程 5 剖题型·讲技巧 6 题型1 判断圆与圆的位置关系 6 题型2 求两圆的交点坐标 8 题型3 由圆的位置关系确定参数 11 题型4 相交圆的公共弦方程 14 题型5 两圆的公共弦长 14 题型6 圆的公切线条数 19 题型7 圆的公切线方程 22 题型8 圆的公切线长 26 释疑惑·重难拓展 29 题型1 圆与圆中的最值问题 29 知高考·真题探源 32 练好题·提分培优 35 课标要点 1．掌握几何、代数两种方法判定两圆外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系，熟记对应公切线条数。 2．会用两圆方程作差求公共弦直线，借助圆心距、半径用勾股定理计算弦长。 3．理解两类圆系方程：直线与圆交点、两圆交点圆系，λ = -1时可得公共弦或公切线。 知识点01 圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系的判定方法有几何法和代数法两种，如下表： 位置关系 几何法 代数法 图示 外离 外切 相交 内切 内含 练习 1．圆与圆的位置关系是（     ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【详解】对于圆：，配方得，故圆心，半径； 对于圆：，配方得，故圆心，半径； 显然两圆圆心距， 两半径之差为，两半径之和为， 显然满足，即，因此两圆相交. 2．已知圆，圆，若圆与圆内切，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题知： 圆方程可化为：，所以圆心为，半径， 由圆的方程可知，圆心为，半径， 所以圆心距. 因为圆与圆内切，所以圆心距，即，所以或，而，因此. 知识点02 两圆公共弦相关应用 设圆①，圆② 将两圆方程作差，①②可得： ③ 方程③为两圆公共弦所在直线方程，相关结论如下： 1.该结论成立的前提是两圆相交；若两圆不相交，两圆方程相减得到的直线不是公共弦。 2.两圆公共弦的垂直平分线经过两个圆的圆心。 3.计算公共弦长优先使用几何法，计算更简便。 公共弦长求解方法 选取其中一个圆，以该圆圆心到公共弦的距离、圆半径、半条公共弦长构成直角三角形，借助勾股定理计算弦长，弦长公式： 练习 3．已知圆与圆交于A，B两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】易知两圆相交，两圆方程作差，， 即， 化简可得直线的方程为. 4．圆与圆的公共弦长为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【详解】已知两圆方程：圆，圆心，半径，圆 ， 将两圆方程相减消去二次项，得到公共弦方程， 化简得：. 根据点到直线的距离公式，圆心到公共弦的距离：， 根据垂径定理，公共弦长. 【点睛】本题考查两圆公共弦长的计算，核心方法是两圆方程作差得公共弦方程，结合垂径定理求解弦长，是圆中弦长问题的常规解法. 知识点03 两圆的公切线 1、不同位置关系对应的公切线条数 公切线指同时与两个圆相切的直线，分为外公切线、内公切线两类。 两圆位置 公切线总数 明细 外离 4条 2条外公切线、2条内公切线 外切 3条 2条外公切线、1条内公切线 相交 2条 仅2条外公切线 内切 1条 仅1条外公切线 内含 0条 不存在公切线 2、公切线方程求解思路 核心方法：利用圆心到切线的距离等于圆半径列等式求解。 练习 5．若圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 而，因此圆与圆外切， 所以圆与圆的公切线条数为3. 6．求圆与圆的内公切线所在直线方程及内公切线的长． 【答案】或，8 【详解】，，，． 设内公切线与连心线交于点，则在轴上且． 设，可得，． 设内公切线所在直线方程为，即． 由，得． 所以内公切线所在直线方程为或． 内公切线的长为． 【点睛】当两圆相离时，两圆有两条外公切线和内公切线，求它们的直线方程时，应先利用几何性质求出外公切线的交点、内公切线的交点，它们和两圆的圆心在一条直线上，再利用相切求出斜率. 知识点04 圆系方程 1、过直线与圆交点的圆系方程 直线，圆，圆系： 2、.过两圆交点的圆系方程 圆，圆 圆系方程： 该圆系不含圆； 特殊：时，方程退化为一次直线： 两圆相交时为公共弦方程，两圆相切时为公切线方程。 练习 7．已知圆的圆心为，且经过圆：与圆：的交点．则圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：联立，解得：或， 所以圆的半径为：， 所以的面积为. 故选：B． 题型1 判断圆与圆的位置关系 【例1】圆：与圆：的位置关系为（   ） A．内含 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【详解】圆的圆心为，半径， 圆，圆心，半径， 圆心距，所以， 所以两圆相交. 【例2】圆与圆的位置关系是（   ） A．外离 B．相交 C．相切 D．内含 【答案】A 【详解】圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为. 所以， 即，所以圆与圆外离. 【变式1-1】圆：与圆：的位置关系是（   ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】D 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 而， 所以圆与圆内切. 【变式1-2】已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】B 【详解】化简，则其圆心，半径， 化简，则其圆心，半径， 则，而， 则，故两圆相交. 故选：B. 【变式1-3】已知，则圆与圆的位置关系是（    ） A．内含 B．外离 C．相切 D．相交 【答案】D 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 则，因， 即两圆相交， 故选：D. 题型2 求两圆的交点坐标 方法技巧 1.联立两圆一般方程； 2.两式相减得到公共弦直线方程； 3.将直线方程代入任意一个圆方程，解一元二次方程得，回代求对应，所得即为交点。 【例3】圆和圆的交点坐标是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【详解】圆和圆, 两圆方程相减可得公共弦方程为， 联立方程，解得或， 可得两圆的交点坐标为和， 故选：B． 【例4】若圆与交于两点，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，连接交于点，则， 联立，则直线方程为， ，，， 则. 【变式2-1】已知圆和圆，观察可得它们都经过坐标原点，除此之外，它们还相交于一点，这点的坐标是______． 【答案】 【详解】联立两圆方程，解得或， 即可得这点的坐标为. 故答案为： 【变式2-2】在平面直角坐标系中，圆与圆相交于A，B两点，则四边形OACB的面积为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】联立可得或， 故, 又, 故四边形OACB的面积为, 故选：B    【变式2-3】（多选）已知集合，且，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 作图如下，设． 对于A项，两圆相交，有，即，A项错误； 对于B项，，， ，B项正确； 对于C项，将两个圆的方程作差，可得所在直线的方程为， 根据点在该直线上，可得，C项正确； 对于D项，线段与线段互相平分，于是， 则两式相加得， 由C项及圆的方程得，即，D项正确． 题型3 由圆的位置关系确定参数 【例5】已知：与交于A，B两点，且四边形的面积为，则的方程不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】所有选项中的半径均为2，已知半径也为 2，因此四边形 是边长为2的菱形，如图所示，四边形 面积为， 其中，设， 代入 得方程解得 或 . 选项 A：圆心 ，，符合条件； 选项 B：圆心 ，，符合条件； 选项 C：圆心 ，，符合条件； 选项 D：圆心 ，，不符合条件，因此，的方程不可能是D. 【例6】若圆上总恰好存在两个点到点的距离为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆的圆心为，半径为3， 以为圆心，为半径的圆的方程为， 由题意可知，两圆有两个公共点，即两圆相交，所以， 解得，即或． 所以实数b的取值范围是． 【变式3-1】已知圆与直线和圆都相切，当圆的半径最小时，其标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆C的半径为，则，即， 则当圆的半径最小时，， 如图1，圆心在过点且与直线垂直的线段上， 即在上，设， 则，解得， 则，又，故其标准方程为. 【变式3-2】已知圆与圆相交于两点，且，则___________． 【答案】2 【详解】由圆，得圆心为，半径， 由圆，得圆心为，半径为， 所以两圆的圆心距， 两圆方程相减，得公共弦的方程：， 化简得，则到直线的距离为， 要使两圆相交，需使,解得， ，可得，因，则， 由，解得，满足， 因此的值为. 【变式3-3】已知点到同一直线的距离分别为7，3，若这样的直线恰有2条，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】以为圆心，7为半径的圆为， 以为圆心，3为半径的圆为， 若符合题设的直线恰有2条，即上述两圆相交，而， 所以，即，可得， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 题型4 相交圆的公共弦方程 方法技巧 1.将两圆一般式作差，消去项，得到方程：； 2.适用前提为两圆相交，两圆无交点时，该直线并非公共弦； 【例7】已知圆与圆相交，则公共弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两圆方程相减得公共弦所在直线方程： ; 两式相减可得公共弦方程：. 即. 【例8】若圆与圆交于，两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知圆，即 ① ， 圆 ② ， ①②消去二次项得： ，化简得直线的方程为 ， 因此直线斜率，又 ，由，可得. 【变式4-1】已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为___________． 【答案】 【详解】因为两点坐标同时满足圆与圆的方程， 所以将圆与圆两式相减，可得直线的方程为 【变式4-2】若直线l过点，且与和的公共弦平行，则直线l的方程为________________． 【答案】 【详解】将两圆的方程和作差， 公共弦所在的直线方程为，整理得. 因为直线l与公共弦平行，所以可设直线l的方程为， 因为直线l过点，将的坐标代入l的方程可得，解得， 所以直线l的方程为. 故答案为：. 【变式4-3】已知圆和圆相交，若点（，）在两圆的公共弦所在直线上，则的最小值为______． 【答案】 【详解】圆，即为，圆心为，半径； 圆，即为，圆心为，半径； 则，即，可知圆和圆相交， 两圆方程作差可得，即两圆的公共弦所在直线方程为， 由题意可得，即，且，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 题型5 两圆的公共弦长 方法技巧 采用几何法： 1.联立两圆方程，求解得出两圆公共弦的直线方程； 2.选取其中一个圆，计算该圆圆心到公共弦的距离； 3.利用圆半径、圆心距结合勾股定理，通过弦长公式求解：。 【例9】若圆与圆的公共弦长为，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】圆：，圆：. 两式相减得公共弦所在直线方程：，即 圆圆心，半径，圆心到公共弦的距离 由公共弦长，得弦长一半为，由，即 解得，又，故. 代入圆：.得圆心，半径 圆心距，因为所以 所以两圆相交，存在公共弦，符合条件. 【例10】已知圆与圆相交于A、B两点，若四边形的面积为，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】圆，即，则圆心为，半径为1，则， 设，由题意可知，为的中点，，， 故四边形的面积为， 则，故， 所以， 所以， 又因为，所以， 得，解得，因此.    【变式5-1】已知圆与，则圆与圆的公共弦长为________． 【答案】 【详解】将两圆方程作差得公共弦所在直线的方程， 圆，其圆心，半径， 则圆心到直线的距离为，则两圆的公共弦长为． 【变式5-2】已知圆的圆心在直线上，且圆过和两点. (1)求圆的标准方程； (2)求圆与圆的公共弦长. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设圆， 由题意得 得 所以圆的标准方程为. （2）圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 圆心距，所以两圆相交. 由，两式相减得， 则圆与圆的公共弦所在直线的方程为. 因为点到直线的距离， 所以圆与圆的公共弦长为. 【变式5-3】已知圆：与圆：交于、两点，且四边形的面积为，则______. 【答案】 【详解】如下图所示： 圆：即，圆心为，半径为， 由题意可知，，，，所以， 所以，所以， 设，则为的中点， 故四边形的面积为，则， 故，所以， 所以，又因为， 所以，解得. 故答案为： 题型6 圆的公切线条数 【例11】已知圆：与圆：有且仅有三条公切线，则的值为__________． 【答案】 【详解】圆：的圆心为，半径， 与圆：的标准形式为， 圆心为，半径为，，即， 圆心距为：， 已知两圆有且仅有三条公切线，则两圆外切，则： ，故，即， 两边平方得，解得． 【例12】已知圆与恰有一条公切线，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】解法一：依题意，圆心分别为，，半径，， 因为两圆恰有一条公切线，所以两圆内切，所以， 即，解得， 令，，（其中为参数）， 则（其中）． 解法二：依题意，圆心分别为，，半径，， 因为两圆恰有一条公切线，所以两圆内切，所以， 即，解得， 令，则，代入， 整理得， 由，解得， 所以，所以． 解法三：依题意，圆心分别为，，半径，， 因为两圆恰有一条公切线，所以两圆内切，所以， 即，解得， 令，， 又，则， 当且仅当，共线，且时，即，取得最大值． 【变式6-1】已知关于直线对称， ，则与的公切线的数量为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】，则，半径， 因为关于直线对称， 所以在上，则有，解得，则， ，则，半径， ，，，故与相交， 则与的公切线的数量为，故选项B正确. 【变式6-2】若圆与圆有且仅有3条公切线，则的最大值为______． 【答案】 【详解】圆的圆心为，半径. 圆的圆心为，半径. 由于两圆有且仅有3条公切线，所以两圆外切， 所以，即， 设， 所以 ， 其中（为锐角）， 所以， 所以当时，取得最大值为. 【变式6-3】已知点到直线的距离分别为3，4，则符合条件的直线的条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】以A为圆心，3为半径的圆的标准方程为， 以B为圆心，4为半径的圆的标准方程为， 又， 由题意可知直线是两圆的公切线， 因为，所以两圆相交， 即两圆的公切线有2条，则符合条件的直线的条数为2条. 题型7 圆的公切线方程 方法技巧 圆心到切线距离等于对应圆半径 1.设切线通用式求解斜率存在的切线，单独验证斜率不存在的特殊情况； 2.根据圆心到切线距离等于半径，分别列出两圆对应的距离等式； 3.联立等式求解参数，整理化简得到公切线方程； 4.两圆外切或内切时，圆系方程中对应的直线即为公切线。 【例13】（多选）已知圆和圆，则下列直线与两圆都相切的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】圆，其圆心，半径， 圆，其圆心，半径， ，所以两圆外切，有3条公切线， 由，其中两条外公切线与直线平行， 又，设外公切线方程为， 则到直线的距离，解得， 所以两条外公切线方程为和； 内公切线过的中点，且与直线垂直，其斜率为， 其方程为，即. 【例14】已知圆与圆相内切，则与的公切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，则，可得， 其圆心为，半径为， 因为，即圆心在圆外，故圆内切于圆， 故， 易知公切线与直线垂直，且，故公切线的斜率为， 设公切线的方程为，即， 所以，解得，所以两圆公切线方程为. 故选：D. 【变式7-1】设直线，圆，若直线与都相切，则方程为__________． 【答案】 【详解】因为的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为， 又直线与均相切， 所以①，②，由①②得到，即有， 两边平方得，即， 又，所以，即， 代入①式得到，解得， 所以方程为． 【变式7-2】圆，圆，且，分别为两圆半径，圆和圆有且仅有一条公切线，则直线的方程为__________. 【答案】或 【详解】联立，①-②得， 由，得， 因为圆和圆有且仅有一条公切线：， 所以圆和圆相内切，故， 即或， 代入公切线方程得， 则直线的方程为或 【变式7-3】已知圆经过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)已知圆，判断圆与圆的位置关系，并写出一条圆与圆的公切线方程. 【答案】(1) (2)圆与圆外切，. 【分析】 【详解】（1）由题可知直线的方程为， 中点的坐标为， 线段的中垂线方程为，所以圆心在直线上， 又圆心在直线上，所以直线与直线的交点就是圆心. 由得即. 又， 所以圆的方程为. （2）由题可知， 所以， 两个圆的半径之和为， 所以圆与圆外切， 所以圆与圆有三条公切线，设其中有斜率的公切线方程为， 由圆心到切线的距离等于半径，得， 解得或或 所以公切线的方程为或或， 故其中一条公切线方程为：.（也可答另外两条中的其中一条） 题型8 圆的公切线长 方法技巧 1.确定两圆圆心、半径，计算两圆圆心距； 2.外公切线长计算公式：； 3.内公切线长计算公式：。 【例15】若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【详解】由题，圆与圆内切，所以，即，所以点， 又圆的半径为1，所以切线长为， 故选：C． 【例16】已知：圆与圆． (1)当时，判断两圆是否相交，并说明理由．如果相交，求公共弦所在直线的方程． (2)若两圆外切，求的值及外公切线的长． 【答案】(1)两圆相交，理由见解析； (2)，4. 【分析】 【详解】（1）由圆与圆，可知两圆圆心分别为，半径为， 因,时，，因为，故两圆相交． 用圆的两边减去圆的两边即得两圆公共弦所在直线的方程为：． （2）若两圆外切，则，即，解得． 此时，，所以外公切线长为： 【变式8-1】圆与圆的公切线长为______. 【答案】4 【详解】由题可得，由圆， 则圆心为，半径为， 由圆， 则圆的圆心为，半径为. 则两圆心的距离， 因为，所以圆与圆相交. 如图，设切点为，作于点， 所以圆与圆的公切线长为. 故答案为：.    【变式8-2】如图，是两圆轮叠靠在墙边，已知两轮半径分别为2和1，则它们与墙的切点A，B间的距离为__________. 【答案】 【详解】如图所示，因为圆与圆相外切，所以连接，则. 延长，交直线于点. ，所以，所以点分别为的中点. 所以，所以，所以. 故答案为： 【变式8-3】已知圆经过点，半径小于5，圆心在直线上，直线与相切；圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆的公切线的条数，并求公切线段的长度． 【答案】(1) (2)条， 【分析】 【详解】（1）设圆的圆心为，由题意可列方程：，解得或（舍）. 所以圆的圆心为，半径.圆的圆心关于直线对称点为. 因此，圆的方程为： （2）圆心距，因为，所以两圆相交，有2条公切线. 对于半径相等的两圆，外公切线段长度公式为：，代入得， 故有2条公切线，且公切线段长度为. 释疑惑·重难拓展 题型1 圆与圆中的最值问题 【例1】已知，若两圆和外切，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得圆， 整理得，则圆心为，半径为1， 圆，整理得， 则圆心为，半径为2，由题意得两圆外切，即圆心距等于半径和， 所以，解得，     令，则，代入， 得，展开得， 因为，所以，解得. 所以的最大值为，故D正确. 【例2】已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆的圆心为，则圆心坐标为，半径， 圆的圆心坐标为，半径， 所以点P到圆心C的最大距离为， 因为A为切点，所以， 所以， 所以四边形面积的最大值. 故选：A. 【变式1-1】已知圆，圆，其中，若两圆外切，则的最大值为（   ） A． B．5 C． D．8 【答案】D 【详解】圆，配方可得：， 所以圆心，半径. 圆，可知圆心，半径， 又因为两圆外切，所以圆心距就是两圆的半径和， 即：， 化简得：， 求的最大值，就是点到定点的距离的最大值. 圆心到点的距离， 圆半径为3，所以最大距离为：. 故选：D. 【变式1-2】已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则a的最小值为（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【详解】根据条件，将问题转化成圆与圆C有公共点，再利用圆与圆的位置关系即可求出结果. 【分析】 【详解】设，记， 点P到圆O的切线长为，则， 圆C的半径为3，所作圆与圆C有公共点等价于， 因为， 所以. 又，所以，所以恒成立， 由，得，整理得， 即①对任意实数成立， 当时，①式成立； 当时，①式两边平方，得， 即，也即②， 若，则②式成立，且圆心到直线的距离为，满足题意； 若，取，此时，②式不成立， 综上所述，实数的最小值为． 1．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程________________． 【答案】或或 【详解】[方法一]： 显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为， 于是， 故①，于是或， 再结合①解得或或， 所以直线方程有三条，分别为，， 填一条即可 [方法二]： 设圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径， 则，因此两圆外切， 由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意； 又由方程和相减可得方程， 即为过两圆公共切点的切线方程， 又易知两圆圆心所在直线OC的方程为， 直线OC与直线的交点为， 设过该点的直线为，则，解得， 从而该切线的方程为填一条即可 [方法三]： 圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切， 如图， 当切线为l时，因为，所以，设方程为 O到l的距离，解得，所以l的方程为， 当切线为m时，设直线方程为，其中，， 由题意，解得， 当切线为n时，易知切线方程为， 故答案为：或或. 2．（2026·全国二卷·高考真题）（多选）已知：，：，则（     ） A．点的坐标为 B．当时，与轴相切 C．当时，与相切 D．当与相交时，两个交点所在直线的方程为 【答案】BC 【分析】 【详解】由：，化简可得， 所以，的圆心，半径，故A错误； 对于B，由，得的半径，所以圆心到轴的距离，即与轴相切，故B正确； 对于C，由，得的半径，由于的圆心为，半径，所以，则与内切，故C正确； 对于D，由，化简得：， 所以与两个交点所在直线的方程为，故D错误. 3．（2022·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，已知关于点集的两个结论： ①存在直线l，使得集合中不存在点在直线l上，而存在点在l的两侧； ②存在直线l，使得集合中存在无数个点在直线上. 则下列判断正确的是（    ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 【答案】B 【详解】对于①，取直线, 则对于任意的，有， 故圆均在直线的下方， 而对任意的，有， 故圆均在直线的上方， 而当时，表示原点，它在直线的下方， 故此时集合中所有的点均不在直线上，且存在点在直线的两侧. 所以①成立. 对于②，设直线的方程为，则圆心到直线的距离为 当时所以直线只能与有限个圆相交，所以②不成立. 故选：B 一、单选题 1．已知圆：，圆：，则这两圆的位置关系为（   ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 【答案】C 【详解】化简，则其圆心，半径， 化简，则其圆心，半径， 则，而， 则，故两圆相交. 2．圆与圆的公共弦所在直线的方程为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知圆与圆， 由两圆的一般式作差可得：， 所以两圆公共弦所在直线的方程为. 故选：B 3．已知圆与圆，若圆完全覆盖圆，，则圆的半径的最小值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】依题意，圆的圆心，半径，圆的圆心，半径为， 则，故两圆相交， 因圆覆盖圆，，所以圆半径的最小值为. 故选：B 4．已知点在圆外，则圆M：与圆N：的位置关系是（    ） A．内含 B．相切 C．相交 D．外离 【答案】D 【详解】由点在圆外，得， 圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 因此，所以圆与圆外离. 故选：D 5．已知两点，，若圆上存在点P使得，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由点及，得点在以为直径的圆上， 其圆心，半径，而圆的圆心，半径， 又点在圆上，因此，即，则， 又点与点都不重合，即，则，即， 所以实数m的取值范围是. 6．若圆与圆有且仅有2条公切线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，，，且两圆相交， 则，则， 因为点到直线的距离为， 则圆与圆中间的圆环内的点到直线的距离，即， 则，故的取值范围为. 二、多选题 7．已知圆，圆，若圆和圆没有公共点，则的值可能为（ ） A．-32 B．-24 C．16 D．24 【答案】AD 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心， 半径，圆心距， 由圆与圆没有公共点，得两圆内含或者外离， 当两圆内含时，，即，解得； 当两圆外离时，，即，解得， 因此当两圆没有公共点时，的取值范围是或. 故选：AD 8．已知圆：，圆：，则下列说法正确的有（   ） A．圆过定点 B．若圆与直线相交，则 C．若圆与圆相切，则圆的面积为 D．对任意非零实数，两圆存在与直线AB平行的公切线 【答案】ACD 【详解】对于A，由，可知圆过定点，故A正确； 对于B，，由圆与直线相交得， 解得或，故B错误； 对于C，由两圆半径相同，故不可能内切，于是只能外切，而， 故，即，可得圆的面积为，故C正确； 对于D，由题意知，直线的方程为，即， 设与其平行的直线方程为，若其与两圆均相切，则， 整理得， 取时等号成立，故D正确. 三、填空题 9．已知圆与圆有且只有一个公共点，则的值为___________． 【答案】4或6 【详解】由题意得圆的圆心坐标为，半径为； 圆的圆心坐标为，半径为1， 则， 因为两圆有且仅有一个公共点，所以两圆的位置关系为外切或内切， 即或，则解得或6. 故答案为：4或6． 10．已知圆，圆，点分别在圆上，则的最小值为_____． 【答案】 【详解】由题意可知，，半径分别为， 则， 则，故两圆相离， 则的最小值为. 故答案为： 11．已知点和圆，若以线段中点为圆心，为半径的圆与交于两点，则__________. 【答案】 【详解】因为圆的方程， 所以圆心的坐标为，圆的半径，， 又点，所以 ，线段的中点坐标为， 新圆以中点为圆心，为半径，因此是新圆的直径， 因为交点在新圆上，所以，即是直角三角形，斜边为， 在中： ，又， 所以 ，故. 四、解答题 12．已知圆与圆的公共弦所在的直线为． (1)求，的值； (2)若与交于，两点，求四边形的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）圆与圆, 两圆方程作差可得，即， 因为圆与圆的公共弦所在的直线为， 所以，解得，所以，. 经检验当，时，两圆相交，符合题意. （2）圆即，所以圆心为，半径， 则到直线的距离，所以； 由（1）可得圆，即， 所以圆心为，半径， 所以到直线的距离， 所以. 13．已知圆的圆心在直线上，直线与圆相切于点. (1)求圆的方程； (2)若直线与直线交于点，求的外接圆与圆的公共弦长. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为圆心在直线上，设圆心， 则与直线垂直，且直线的斜率为1， 则，得，解得， 所以圆心的坐标为，则圆的半径为， 所以，圆的标准方程为. （2）由，解得，所以， 得，的中点为. 因为， 所以的外接圆是以为圆心，以为半径的圆， 所以的外接圆方程为， 减去圆的标准方程：， 得，即两圆公共弦所在直线的方程为， 则到直线的距离为， 所以，得两圆的公共弦长为. 14．若圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆公切线的长度； (3)过直线上一点作圆的切线，，切点为，，求当四边形面积最小时，的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由题意，设，关于直线对称． ，且， ，圆心为，半径为，圆的方程． （2）由（1）知圆，圆心为，半径为， 圆，圆心为，半径为， 两圆相交，有两条公切线． 又公切线的长度等于． （3）圆的半径， 则四边形的面积． 设， ， 当时，，此时四边形的面积最小，为． 当四边形面积最小时，的坐标为. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $