专题2.1.3 圆与圆的位置关系 讲义-2026年暑假预习新高二数学沪教版选择性必修第一册

2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题2.1.3 圆与圆的位置关系 知识点一、圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系： （1）圆与圆相交，有两个公共点； （2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点； （3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点． 2、圆与圆的位置关系的判定： （1）代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断. 当时，两圆有两个公共点，相交； 当时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切； 当时，两圆无公共点，包括内含与外离. （2）几何法： 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为． 当时，两圆相交； 当时，两圆外切； 当时，两圆外离； 当时，两圆内切； 当时，两圆内含． 知识点二、 两圆的公共弦 一、两圆相交弦长 （1）公共弦所在的直线方程 若圆与圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程为 （2）公共弦长的求法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长. ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解. 二、圆系方程 若圆与圆相交于A，B两点，则过A，B两点的圆系方程为 知识点三、两圆的公切线 1、两圆公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 2、求两圆公切线方程 （1）判定两圆的位置关系，先确定公切线条数 （2）先判断公切线的斜率是否存在，若存在则设公切线方程,根据圆心到直线距离等于半径得到方程组，求出即可 3、求两圆公切线的长 （1）外公切线长：外公切线长度等于圆心距在切线方向上的投影，构造直角三角形，则有 （2）内公切线长：内公切线与两圆心的连线相交，其长度等于圆心距在切线方向上的投影，构造直角三角形，则有 【易错提醒】 ①注意内公切线与外公切线区分，外离时有4条（2内2外），外切有3条（1内2外），相交仅2条外公切线； ②设切线方程时，斜率不存在的情况极易遗漏，需单独验证；③利用圆心到切线距离等于半径列方程时，绝对值处理易出错，需根据切线位置判断符号。 知识点一、判断圆与圆的位置关系 题型一 判断圆与圆的位置关系 【例1】已知圆与圆，则两圆（   ） A．内含 B．相切 C．相交 D．外离 【跟踪训练】 1.已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为（   ） A．内含 B．外离 C．相交 D．相切 2. 圆与圆的位置关系是　　 A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 3. 圆：与圆：的位置关系为（   ） A．内含 B．外切 C．相交 D．内切 题型二 由圆的位置关系确定参数或范围 【例2】已知圆与圆相交，则的取值范围为__________. 【跟踪训练】 1.若圆与圆相切，则实数的值为__________. 2.圆与圆内切，则实数的值为_________ 3．已知圆与圆，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数等于 　　． 题型三 由圆与圆的位置关系确定圆的方程 【例3】圆关于点对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.求与圆内切于点，且半径为1的圆的方程． 2.经过点，且与圆相切于点的圆的方程为______． 知识点二、圆与圆相交问题 题型四 求两圆的交点坐标 【例4】圆和圆的交点坐标是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【跟踪训练】 1. 圆与的交点坐标为 . 2. 在平面直角坐标系中，圆与圆相交于A，B两点，则四边形OACB的面积为（   ） A． B． C．1 D． 题型五 两圆的公共弦长 【例5】已知圆与圆的公共弦长为2，则的值为　　 A． B． C． D．3 【跟踪训练】 1. 设圆 与圆 交于 两点，则线段 的长度为（    ） A． B． C． D． 2. 已知圆，圆，则这两圆的公共弦长为（    ） A． B． C．2 D．1 3. 已知圆C：与圆：. (1)求C与相交所得公共弦长； (2)若过点且斜率为k的直线l与圆C交于P，Q两点，其中O为坐标原点，且，求 题型六 相交圆的公共弦方程 【例6】已知圆与圆交于A，B两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1. 已知圆与圆相交，则公共弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 2. 已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 知识点三、圆与圆相切问题 题型七 圆的公切线条数问题 【例7】已知圆和圆，则的公切线共有_____条. 【例8】已知圆与圆有且仅有两条公切线，则的取值范围是_____________． 【跟踪训练】 1.若圆与圆的公切线条数为_______ 2.已知圆：和圆：有3条公切线，则______. 3.已知圆与圆，若与有且仅有一条公切线，则实数的值为_________ 题型八 求两圆的公切线方程 【例9】已知圆与圆，则圆与圆的公切线方程是 ． 【跟踪训练】 1.圆与圆，则圆A与圆B的公切线方程为 . 2.写出圆：与圆：的一条公切线方程 ． 题型九 求两圆的公切线长 【例10】已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. 【跟踪训练】 1. 圆与圆的公切线长为______. 2. 圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 3.若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则_____ 一、填空题 1．圆和圆的位置关系是______ 2.已知圆：，：，则两圆的位置关系为________ 3. 已知，若两圆和外切，则的最大值为__ 4. 圆与圆的公共弦长为__________． 5. 圆：与圆：相交于、两点，则 ． 6.已知两圆和相交于两点，则直线的直线方程为______ 7.两圆与的公切线条数有__________________． 8.圆与圆的公切线条数有_____________ 9.已知圆与圆相内切，则与的公切线方程为______ 10.写出与圆和圆都相切的所有直线的方程______________. 11.已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为 ． 12.圆和圆有三条公切线，若，，，则的最小值为________ 13.已知圆，圆，若圆与圆恰有三条公切线，则（    ） A． B． C． D． 14.圆与圆相交，则公共弦长为（    ） A． B． C． D． 15.已知圆和圆交点为，，则下列结论错误的是　　 A．圆和圆有两条公切线 B．直线的方程为 C．圆上存在两点和使得 D．圆上的点到直线的最大距离为 16. 已知圆和圆，则下列结论中正确的是（    ） A．圆与轴相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 D．两圆的公切线段长为 三、解答题 17．已知圆与轴相切于点，圆心在经过点与点的直线上． (1)求圆的方程； (2)圆与圆：相交于两点，求两圆的公共弦的直线方程． 18．已知圆：（），点，圆与直线相切. (1)若圆与圆相交，求的取值范围； (2)若圆与圆公共弦的长度为，求的值. 19.已知，为坐标原点，是平面内的一个动点，且. (1)求动点的轨迹方程； (2)若圆与只有一个公共点，求的值. 20. 已知圆与圆 (1)若圆与圆有两个不同的交点，求的取值范围; (2)若，且圆与圆有两个不同的交点求线段DE的长; (3)若r=1，求圆与圆的公切线方程. 21. 已知圆，圆． （1）过的直线截圆所得的弦长为，求该直线的斜率； （2）动圆同时平分圆与圆的周长； ①求动圆圆心的轨迹方程； ②问动圆是否过定点，若经过，则求定点坐标；若不经过，则说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题2.1.3 圆与圆的位置关系 知识点一、圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系： （1）圆与圆相交，有两个公共点； （2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点； （3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点． 2、圆与圆的位置关系的判定： （1）代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断. 当时，两圆有两个公共点，相交； 当时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切； 当时，两圆无公共点，包括内含与外离. （2）几何法： 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为． 当时，两圆相交； 当时，两圆外切； 当时，两圆外离； 当时，两圆内切； 当时，两圆内含． 知识点二、 两圆的公共弦 一、两圆相交弦长 （1）公共弦所在的直线方程 若圆与圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程为 （2）公共弦长的求法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长. ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解. 二、圆系方程 若圆与圆相交于A，B两点，则过A，B两点的圆系方程为 知识点三、两圆的公切线 1、两圆公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 2、求两圆公切线方程 （1）判定两圆的位置关系，先确定公切线条数 （2）先判断公切线的斜率是否存在，若存在则设公切线方程,根据圆心到直线距离等于半径得到方程组，求出即可 3、求两圆公切线的长 （1）外公切线长：外公切线长度等于圆心距在切线方向上的投影，构造直角三角形，则有 （2）内公切线长：内公切线与两圆心的连线相交，其长度等于圆心距在切线方向上的投影，构造直角三角形，则有 【易错提醒】 ①注意内公切线与外公切线区分，外离时有4条（2内2外），外切有3条（1内2外），相交仅2条外公切线； ②设切线方程时，斜率不存在的情况极易遗漏，需单独验证；③利用圆心到切线距离等于半径列方程时，绝对值处理易出错，需根据切线位置判断符号。 知识点一、判断圆与圆的位置关系 题型一 判断圆与圆的位置关系 【例1】已知圆与圆，则两圆（   ） A．内含 B．相切 C．相交 D．外离 【答案】D 【解析】由两圆方程知：圆心，半径；圆心，半径； 圆心距，两圆外离. 故选：D. 【跟踪训练】 1.已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为（   ） A．内含 B．外离 C．相交 D．相切 【答案】B 【解析】圆可化简为：， 因为圆与圆 所以两个圆的圆心距 两个圆的半径分别为 因为，所以两个圆外离. 故选：B 2. 圆与圆的位置关系是　　 A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【分析】先利用配方法将两个圆的方程均化为标准方程，再写出圆心坐标和半径，然后比较两圆的圆心距与半径和、半径差的大小关系即可得解． 【解答】解：圆化为标准方程为，圆心，半径为； 圆化为标准方程为，圆心，半径为． 所以圆心距，，， 所以，即两圆的位置关系为相交． 故选：． 【点评】本题考查圆与圆的位置关系的判定，考查学生的运算能力，属于基础题． 3. 圆：与圆：的位置关系为（   ） A．内含 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】首先求圆心距，再根据圆与圆的位置关系判断. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆，圆心，半径， 圆心距，所以， 所以两圆相交. 题型二 由圆的位置关系确定参数或范围 【例2】已知圆与圆相交，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】由题意得圆的圆心为，半径为，圆的圆心，半径为， 且， 由两圆相交，可得，解得，即的取值范围为， 故答案为：. 【跟踪训练】 1.若圆与圆相切，则实数的值为__________. 【答案】或 【解析】圆的圆心为，半径； 圆，即，圆心为，半径； 又点与点的距离， 因为两圆相切， 若两圆相外切，则，即，解得； 若两圆相内切，则，即，解得； 综上可得或. 故答案为：或. 2.圆与圆内切，则实数的值为_________ 【分析】由圆，内切得即可得解． 【解答】解：由题知，，， 所以，，，， 因为圆与圆内切， 所以，即，因为，所以． 故选：． 【点评】本题考查了圆与圆内切的应用，属于基础题． 3．已知圆与圆，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数等于 　　． 【分析】由两圆的方程得到圆心和半径，再由“有且仅有一个公共点”得到“两圆相切”，进而得到圆心之间的距离与半径的关系，解得的值． 【解答】解：圆圆心为，半径为1， 圆，圆心为，半径为； 又因为圆与圆有且仅有一个公共点，所以两圆相切， 又由两圆的圆心距，则有或， 解得或14． 故答案为：34或14． 【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，是基础题． 题型三 由圆与圆的位置关系确定圆的方程 【例3】圆关于点对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆的圆心为，半径为， 关于点的对称点为， 所以对称圆的方程为. 故选：A 【跟踪训练】 1.求与圆内切于点，且半径为1的圆的方程． 【答案】 【详解】设所求圆的圆心为， 圆的的半径为，圆心为坐标原点， 因为圆和圆相内切， 所以， 又因为两圆内切于点， 所以三点共线，因此有， 由可解或， 因为点在第四象限，    所以点也在第四象限，所以， 因此所求圆的方程为. 2.经过点，且与圆相切于点的圆的方程为______． 【答案】 【分析】先设圆的方程，求出已知圆的圆心坐标与半径，再根据条件圆过点且与圆相切于点，列出方程组可求相应参数，从而可求方程． 【详解】设所求圆方程为， 圆即的圆心为，半径为， 由题意得，所以，解得， 所以 所以所求圆的方程为． 故答案为：． 知识点二、圆与圆相交问题 题型四 求两圆的交点坐标 【例4】圆和圆的交点坐标是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【解析】圆和圆, 两圆方程相减可得公共弦方程为， 联立方程，解得或， 可得两圆的交点坐标为和， 故选：B． 【跟踪训练】 1. 圆与的交点坐标为 . 【答案】和 【详解】联立，两式相减得，将其代入中得或，进而得或， 所以交点坐标为 故答案为：和 2. 在平面直角坐标系中，圆与圆相交于A，B两点，则四边形OACB的面积为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】联立可得或， 故, 又, 故四边形OACB的面积为, 故选：B 题型五 两圆的公共弦长 【例5】已知圆与圆的公共弦长为2，则的值为　　 A． B． C． D．3 【分析】根据圆的圆心和半径公式以及点到直线的距离公式，以及公共线弦方程的求法即可求解． 【解答】解：联立和， 得，由题得两圆公共弦长， 圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 所以， 平方后整理得，，即， 所以或（舍去）． 故选：． 【点评】本题主要考查两圆位置关系的应用，求出两圆的公共弦，利用弦长公式进行求解是解决本题的关键，是中档题． 【跟踪训练】 1. 设圆 与圆 交于 两点，则线段 的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆，圆. 展开圆：，即. 两圆方程相减得公共弦：. 圆心到直线的距离：. 圆半径，弦长. 2. 已知圆，圆，则这两圆的公共弦长为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【详解】由圆，圆， 两式相减得相交弦所在直线方程：. 由圆可得圆， 所以圆心、半径. 所以圆心到直线的距离， 所以相交弦长为. 故选：C 3. 已知圆C：与圆：. (1)求C与相交所得公共弦长； (2)若过点且斜率为k的直线l与圆C交于P，Q两点，其中O为坐标原点，且，求 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意知，两圆的公共弦所在直线方程为 整理得， 圆心到直线的距离， 所以所求弦长为； （2）由题设可知直线l的方程为， 设，， 将代入方程， 整理得， 所以，， ， 因为， 解得，经检验，直线与圆有交点， 所以直线l的方程为， 故圆心C在直线l上，所以 题型六 相交圆的公共弦方程 【例6】已知圆与圆交于A，B两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】易知两圆相交，两圆方程作差，， 即， 化简可得直线的方程为. 【跟踪训练】 1. 已知圆与圆相交，则公共弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】两圆方程相减得公共弦所在直线方程： ; 两式相减可得公共弦方程：. 即. 2. 已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 而，即两圆相交， 所以直线的方程为，即. 故选：B 知识点三、圆与圆相切问题 题型七 圆的公切线条数问题 【例7】已知圆和圆，则的公切线共有_____条. 【答案】2 【解析】由题意得圆的圆心坐标为，半径为1， 的圆心坐标为，半径为2， 则圆心距为， 故两圆相交，则两圆的公切线的条数是2条. 故答案为：2 【例8】已知圆与圆有且仅有两条公切线，则的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】圆可化为， 所以圆的圆心坐标为，半径. 圆的圆心坐标为，半径， 两圆的圆心距， 因为两圆有且仅有两条公切线，所以两圆的位置关系是相交， 所以， 即，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 【跟踪训练】 1.若圆与圆的公切线条数为_______ 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 而，因此圆与圆外切， 所以圆与圆的公切线条数为3. 2.已知圆：和圆：有3条公切线，则______. 【答案】6 【解析】因为圆：，所以，； 圆：，则其标准方程为：，则，， 因为圆和圆有3条公切线， 所以圆和圆外切，则， 即，解得. 故答案为：6 3.已知圆与圆，若与有且仅有一条公切线，则实数的值为_________ 【分析】由两圆有且仅有一条公切线，得到两圆内切，再求出结果即可． 【解答】解：圆， 可化为，圆心，半径； 圆可化为，心，半径； 因为与有且仅有一条公切线， 所以两圆内切， 所以，即， 解得． 题型八 求两圆的公切线方程 【例9】已知圆与圆，则圆与圆的公切线方程是 ． 【答案】 【详解】圆，即，圆心为，半径. 圆，即，圆心为，半径. 圆心角，所以两圆相内切. 由解得， 所以两圆切点的坐标为， ，所以公切线的斜率为， 所以公切线的方程为. 故答案为： 【跟踪训练】 1.圆与圆，则圆A与圆B的公切线方程为 . 【答案】，，或 【详解】，圆心，半径； ，圆心，半径， 因为两圆的圆心距， 所以两圆相离，即圆A与圆B的公切线有条， 当直线的斜率不存在时，与两圆均相切； 当直线的斜率存在时，设，即， 所以，解得 ，或， 所以圆A与圆B的公切线方程有， 或 ， 故答案为：，，或 2.写出圆：与圆：的一条公切线方程 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】圆的圆心，半径为，圆的圆心为，半径为， 故，故圆与圆外切， 将与相减得， 即两圆内公切线方程为， 两圆圆心所在直线方程为，即， 由于两圆半径相等，故两圆的外公切线所在直线方程与平行， 设为，圆心到的距离为，解得， 故两圆的外公切线所在直线方程为和. 故答案为：（或之一也可以） 题型九 求两圆的公切线长 【例10】已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. 【答案】2 【分析】由圆和圆的圆心和半径确定两圆位置关系，从而得到轴为与的一条公切线，确定与轴相切的点坐标，即可得公切线段的长度. 【详解】圆的圆心为，半径， 则轴为的切线，切点为， 圆的圆心，半径， 则轴为的切线，切点为， 如图所示： 又， 则，故两圆相交，则轴为圆与的一条公切线， 公切线段的长度为. 故答案为：2. 【跟踪训练】 1. 圆与圆的公切线长为______. 【答案】4 【解析】由题可得，由圆， 则圆心为，半径为， 由圆， 则圆的圆心为，半径为. 则两圆心的距离， 因为，所以圆与圆相交. 如图，设切点为，作于点， 所以圆与圆的公切线长为. 故答案为：. 2. 圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 【解题思路】在平面直角坐标系中作出两个圆，由图可知内公切线一条为轴，求公切线的长即可. 【解答过程】如图： 由图可知圆与圆的内公切线有一条为轴， 则公切线的长为， 方法二：， 所以内公切线的长为： 故选：D. 3.若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则_____ 【解题思路】设直线交轴于点，推导出为的中点，为的中点，利用勾股定理可求得. 【解答过程】如下图所示，设直线交轴于点， 由于直线与圆，圆都相切，切点分别为、， 则，，， ，为的中点，为的中点，， 由勾股定理可得. 故选：C. 一、填空题 1．圆和圆的位置关系是______ 【详解】圆的圆心为，半径为3， 圆的圆心为，半径为2， 两圆的圆心距为， 即两圆的圆心距等于半径和，所以两圆外切. 2.已知圆：，：，则两圆的位置关系为________ 【详解】圆：的圆心，半径，圆：圆心，半径， 而，所以两圆相交. 故选：A 3. 已知，若两圆和外切，则的最大值为__ 【分析】先求得两圆的圆心和半径，再依据两圆外切，即可求得，令，代入上式，化简整理，可得关于m的一元二次方程，根据，结合判别式法即可得答案. 【详解】由题意得圆， 整理得，则圆心为，半径为1， 圆，整理得， 则圆心为，半径为2，由题意得两圆外切，即圆心距等于半径和， 所以，解得，     令，则，代入， 得，展开得， 因为，所以，解得. 所以的最大值为，故D正确. 4. 圆与圆的公共弦长为__________． 【答案】 【分析】两圆的方程相减，求得公共弦所在的直线方程为，结合点到直线的距离公式和圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由圆与圆， 两圆的方程相减，可得，即， 即圆与的公共弦所在的直线方程为， 又由圆，可得圆心，半径为， 则圆心到直线的距离为， 所以两圆的公共弦长为. 5. 圆：与圆：相交于、两点，则 ． 【答案】4 【详解】由圆：与圆：， 两圆相减得公共弦所在直线方程为：， 有圆：，可得圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以. 故答案为：4. 6.已知两圆和相交于两点，则直线的直线方程为______ 【详解】把两圆与的方程相减，可得， 此直线的方程既能满足第一个圆的方程、又能满足第二个圆的方程，故必是两个圆的公共弦所在的直线方程. 7.两圆与的公切线条数有__________________． 【分析】先判断出两圆外切，从而得到公切线条数． 【解答】解：的圆心为，半径为1， 的圆心为，半径为2， 则圆心距，故两圆外切， 故公切线有3条． 8.圆与圆的公切线条数有_____________ 【分析】先判断两圆的位置关系，进而确定公切线的条数． 【解答】解：由圆，可得圆的圆心为，半径为1， 由圆，可得圆的圆心为，半径为， 圆与圆的圆心距， 圆与圆相离， 故有4条公切线． 9.已知圆与圆相内切，则与的公切线方程为______ 【分析】根据两圆内切求出圆的半径，分析可知公切线与直线垂直，据此可设公切线的方程为，即，利用直线与圆相切可得出关于的方程组，求出的值，即可得出所求公切线的方程. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，则，可得， 其圆心为，半径为， 因为，即圆心在圆外，故圆内切于圆， 故， 易知公切线与直线垂直，且，故公切线的斜率为， 设公切线的方程为，即， 所以，解得，所以两圆公切线方程为. 故选：D. 10.写出与圆和圆都相切的所有直线的方程______________. 【答案】，和 【分析】先判断两圆位置关系，再分情况依次求解可得. 【详解】圆的圆心为，半径为1； 圆的圆心为，半径为4， 圆心距为，所以两圆外切， 如图，有三条切线，可得切线的方程为； 因为，且，所以，设，即， 则到的距离，解得（舍去）或，所以； 可知和关于对称，联立，解得在上， 在上取点，设其关于的对称点为，则， 解得，则， 所以直线，即， 综上，切线方程为，和. 11.已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为 ． 【解题思路】利用圆与圆的位置关系，结合图形和几何关系，即可求解. 【解答过程】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 圆心距，由，    所以两圆相交，则. 故答案为：. 12.圆和圆有三条公切线，若，，，则的最小值为________ 【分析】由两圆方程可确定圆心和半径，根据公切线条数可得两圆相外切，得到，即，由，利用基本不等式可求得结果． 【解答】解：由圆方程得：圆心，半径； 由圆方程得：圆心，半径； 圆与圆有三条公切线， 圆与圆外切， ，即， （当且仅当，即时取等号）， 的最小值为4． 二、选择题 13.已知圆，圆，若圆与圆恰有三条公切线，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分析可知，两圆外切，根据圆与圆的位置关系可得出关于的等式，解之即可. 【解答过程】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，则，可得， 圆的圆心为，半径为， 因为圆与圆恰有三条公切线，则两圆外切，且， 由题意可得，即，解得. 故选：B. 14.圆与圆相交，则公共弦长为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先由两圆相减得到公共弦方程，再由几何法求出弦长即可； 【解答过程】圆即， 两圆方程相减可得公共弦方程为， 圆心到公共弦的距离为， 所以公共弦长为. 故选：B. 15.已知圆和圆交点为，，则下列结论错误的是　　 A．圆和圆有两条公切线 B．直线的方程为 C．圆上存在两点和使得 D．圆上的点到直线的最大距离为 【分析】根据题意，由两个圆的方程求出圆心的坐标和半径，据此依次分析选项，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，圆，即，其圆心为，半径， 圆，即，其圆心为，半径， 依次分析选项： 对于，两圆的圆心距，有，则两圆相交，则圆和圆有两条公切线，正确； 对于，圆和圆，联立两个圆的方程可得，即直的方程为，正确； 对于，直的方程为，经过圆的圆心，则线段为圆的直径，故，错误； 对于，圆的圆心为，到直线的距离，圆上的点到直线的最大距离为，正确； 故选：C． 【点评】本题考查圆的方程的综合应用，涉及圆与圆的位置关系，属于中档题． 16. 已知圆和圆，则下列结论中正确的是（    ） A．圆与轴相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 D．两圆的公切线段长为 【答案】C 【分析】先求出两圆的圆心坐标和半径，然后根据圆与圆之间的位置关系、勾股定理等知识逐项计算即可. 【详解】将圆和圆化成标准方程为： 圆和圆， 所以两个圆的圆心坐标和半径分别为. 因为与轴的距离为1，小于该圆的半径2，所以圆与轴不相切，A错误； 因为，所以两圆相交， 所以两圆的公共弦所在直线方程为两个圆的方程相减，得到方程， 即，所以B错误； 因为两圆的位置关系是相交，所以有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线，C正确； 根据勾股定理可得，公切线段长为，D错误； 故选：C. 三、解答题 17．已知圆与轴相切于点，圆心在经过点与点的直线上． (1)求圆的方程； (2)圆与圆：相交于两点，求两圆的公共弦的直线方程． 【解题思路】（1）根据直线的两点式方程，结合圆的切线性质进行求解即可； （2）根据两圆的一般方程，利用作差法进行求解即可, 【解答过程】（1）经过点与点的直线方程为 ． 由题意可得，圆心在直线上， 由，解得圆心坐标为， 故圆的半径为4． 则圆的方程为； （2）∵圆的方程为 即， 圆：， 两式作差可得两圆公共弦所在直线方程为． 18．已知圆：（），点，圆与直线相切. (1)若圆与圆相交，求的取值范围； (2)若圆与圆公共弦的长度为，求的值. 【解题思路】（1）由圆与直线相切，求出圆的半径，得到圆的方程，然后由圆与圆相交，求解即可； （2）由圆与圆相交，求出公共弦所在直线的方程，计算圆心到公共弦所在直线的距离，由弦长公式计算即可. 【解答过程】（1）因为圆与直线相切， 所以圆心到直线的距离是圆的半径. 所以圆的方程为. （或者）. 因为圆：（）的圆心为， 半径为，且两个圆相交，所以， 即，解得. （2）圆与圆交点满足方程组， 所以两圆公共弦所在的直线方程为， 圆心到公共弦所在直线的距离为， 因为两圆的公共弦长为，所以， 整理得，解得或， 由（1）可知，或均符合题意. 19.已知，为坐标原点，是平面内的一个动点，且. (1)求动点的轨迹方程； (2)若圆与只有一个公共点，求的值. 【答案】(1) (2)或3 【详解】（1）设，则，， 则， 整理得动点的轨迹方程为； （2）圆与只有一个公共点 则圆与圆内切或外切， 又圆的圆心在圆内， 所以圆与圆内切， 所以， 解得或3. 20. 已知圆与圆 (1)若圆与圆有两个不同的交点，求的取值范围; (2)若，且圆与圆有两个不同的交点求线段DE的长; (3)若r=1，求圆与圆的公切线方程. 【答案】(1)； (2)； (3)，，. 【详解】（1）圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径为4， 由圆与圆有两个不同的交点，得，而， 因此，解得， 所以的取值范围是. （2）当时，圆，此时圆与圆相交，两圆方程相减得直线方程， 点到直线的距离， 所以. （3）当时，，即圆与圆外切，圆与圆有1条内公切线，2条外公切线， 显然切线的斜率存在，设方程为，则， 整理得或，解，得 解，得或， 因此内公切线的方程为，即； 外公切线的方程为，的方程为，即， 所以圆与圆的公切线方程为，，. 21. 已知圆，圆． （1）过的直线截圆所得的弦长为，求该直线的斜率； （2）动圆同时平分圆与圆的周长； ①求动圆圆心的轨迹方程； ②问动圆是否过定点，若经过，则求定点坐标；若不经过，则说明理由． 【分析】（1）设直线为，由弦长可得圆心到直线的距离为，点到直线的距离为，化简即可求该直线的斜率； （2）动圆同时平分圆与圆的周长； ①，知在的中垂线上，即可求动圆圆心的轨迹方程； ②圆的方程化为，即可得出结论． 【解答】解：（1）设直线为，由弦长可得圆心到直线的距离为， 点到直线的距离为，化简得：， 解得，或（4分） （2）①作出图形可得，知在的中垂线上，求得，（8分） ② 设，作出图形知， 圆的方程：， ， ， 由，得两个定点为，（12分） 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查轨迹方程，考查圆过定点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $