专题1.1 直线的倾斜角与斜率 （4大知识点+7大题型+21题强化）讲义-2026年高二数学暑假班（沪教版2020选择性必修第一册）

2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题1.1 直线的倾斜角与斜率 知识点一、直线的倾斜角 1.定义：平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角． 规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是． 2.取值范围：直线的倾斜角的取值范围是，并规定与轴平行或重合的直线的倾斜角为. 【诠释】 （1）要清楚定义中含有的三个条件：①直线向上方向；②轴正向；③小于的角． （2）从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角． （3）倾斜角的范围是．当时，直线与x轴平行或与x轴重合． （4）直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应． （5）已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置． 3.倾斜角与直线倾斜程度的关系 倾斜角 直线 知识点二、直线的斜率 1.定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母表示，即. 注意：当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，并不是该直线不存在，而是该直线垂直于轴（平行于轴或与轴重合）.因此，所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率. 【诠释】 （1）当直线与x轴平行或重合时，，； （2）直线与x轴垂直时，，k不存在． 由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在． 知识点三、倾斜角与斜率的关系 直线情况 平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 的大小 0° 的范围 0 不存在 的增减性 随增大而增大 随增大而增大 直线的斜率与直线的倾斜角(除外)为“一一对应”关系， 当直线的倾斜角α=0°时，斜率k=0，直线与x轴平行或重合； 当0°<α<90°时，斜率k>0，且k值增大，倾斜角随着增大； 当α=90°时，斜率k不存在（此时直线是存在的，直线与x轴垂直）； 当90°<α<180°时，斜率k<0，且k值增大，倾斜角也随着增大． 知识点四、求斜率的三种方法 1、定义法：已知倾斜角，则 2、两点法：已知两点A（）B（），则 3、系数法：已知方程，则 知识点一、直线倾斜角和斜率的概念 题型一、直线的倾斜角和斜率概念辨析 【例1】下列命题正确的是（    ） ①直线倾斜角的范围是；②若直线的斜率为k，则；③任何一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角；④任何一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率． A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③ 【跟踪训练】 1. 在下列四个命题中，正确的是（    ） A．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 B．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 C．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 D．直线的倾斜角的取值范围是 2. 在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（    ） A．任意一条直线都有倾斜角 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D．斜率相等的两直线平行 题型二、求直线的倾斜角 【例2】直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【例3】1、直线与轴相交，其向上的方向与轴正方向所成的角为，则其倾斜角为( ) A. B. C.或 D.或 2、已知直线经过第二、四象限，则直线l的倾斜角的取值范围是( ) A. B. C. D. 3、已知直线的倾斜角为，则角的取值范围为( ) A. B. C. D. 【跟踪训练】 1. 如图，直线l的倾斜角为（　　）    A．60° B．120°C．30° D．150° 2. 若直线的倾斜角为，则（    ）． A．0 B． C． D．不存在 3. 直线l：2y﹣1＝0的倾斜角是 　 　 ． 4. 直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 5．已知直线l的倾斜角为α-15°，则下列结论中正确的是（ ） A．0°≤α<180° B．15°<α<180° C．15°≤α<180° D．15°≤α<195° 6.已知直线的倾斜角是，直线的倾斜角是，，则（    ） A． B． C． D． 题型三、求直线的斜率 【例4】若直线的倾斜角为，则该直线的斜率为______. 【例5】设a∈R，若直线l经过点A（a，2）、B（a+1，3），则直线l的斜率是 　 　 ． 【例6】直线的斜率为_______. 【跟踪训练】 1. 若直线l的倾斜角为120°则l的斜率是__________． 2. 经过A（1，0），B（0，）两点的直线斜率为 　 　． 3. 直线 的斜率为_______. 4. 设a∈R，若直线l经过点A（a，2）、B（a+1，3），则直线l的斜率是 　　． 知识点二、倾斜角和斜率的关系 题型四、已知直线倾斜角或斜率求参数 【例7】若经过，两点的直线的斜率是2，则（    ） A． B． C． D． 【例8】经过两点，的直线的倾斜角是锐角，则实数m的范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.过、两点的直线的倾斜角为，那么　． 2.直线的斜率为，则实数的值为 　　． 3.已知直线的斜率，x≠0，则直线的倾斜角α的取值范围为 　　． 题型五、倾斜角和斜率的变化关系 【例9】如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项一定错误的是（   ） A． B． C． D． 【例10】直线的斜率的取值范围是，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（　　） A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2 C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2 2.已知两条直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为.若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 3.若直线的斜率的变化范围是，则它的倾斜角的变化范围是(　 ) A． B． C．D．或 4.设直线的斜率为，倾斜角为，若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 5. 若直线的方程为，则其倾斜角的取值范围是_____________________ 知识点三、斜率的坐标公式及应用 题型六、斜率公式及其几何意义 【例11】已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【例12】求经过下列两点的直线的斜率,并判断其倾斜角是锐角、直角还是钝角. (1)(-3,5),(0,2); (2)(4,4),(4,5); (3)(m,2m+),(2m-1,3m)(m≠1). 【例13】已知三个不同的点､､在同一条直线上，则实数a的值为 . 【例14】已知点，若点在线段上，则的取值范围为 . 【跟踪训练】 1.经过两点的直线的倾斜角是钝角，则实数的范围是 . 2.已知点，，，若线段，，不能构成三角形，则的值是 　　． 3.已知、、三点构成一个三角形，求实数的取值范围． 4. P（x，y）在线段AB上运动，已知A（2，4），B（5，﹣2），则的取值范围是 　 　 ． 题型七、直线和线段相交问题求斜率范围 【例15】已知，若过点的直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2.经过点作直线l，且直线l与连接点，的线段总有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3.已知点，和，若过点的直线与线段有公共点，则的倾斜角的取值范围是________. 题型八、综合提升 【例16】已知、. （1）求直线的斜率和倾斜角； （2）已知实数，求直线的倾斜角的取值范围． 【例17】已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若是线段上一动点，求的取值范围. 一、填空题 1.直线的倾斜角范围是　　． 2.直线的倾斜角为　　． 3.直线的倾斜角的大小为　　． 4.过，的直线的斜率为 　　． 5．过点，的直线的斜率为1，那么m的值为（    ） A．1或4 B．4 C．1或3 D．1 6.已知直线，则直线的斜率　　． 7.经过两点A（1，t）、B（t+1，4）的直线的倾斜角为45°，则实数t＝　 　 ． 8.已知直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则_______ 9.已知，，三点在同一条直线上，则实数 m 的值为 ． 10.已知直线的倾斜角为，若，则实数的取值范围是_______ 11.已知过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，直线l的倾斜角的取值范围为__________． 12.给出下列命题： ①任意一条直线都有倾斜角，也都有斜率； ②平行于x轴的直线的倾斜角是0或π； ③若两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等； ④若k是直线的斜率，则； ⑤任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角． 其中是真命题的有 ．（填序号） 二、选择题 13.若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（　　） A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2 C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2 14.已知三点，，共线，则的值是 A．1 B．2 C．3 D．4 15.已知直线的斜率，则的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 16.直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 三、解答题 17.已知两点、，过点的直线与线段没有公共点. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 18. 已知坐标平面内两点． (1)当直线MN的斜率不存在时，求的值； (2)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． 19. 已知坐标平面内三点、、. (1)求直线、、的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的倾斜角的取值范围. 20.已知的顶点，，，为的中点． (1)求直线的斜率； (2)判断的形状； (3)设分别为的中点，求直线的斜率． 21.已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (3)若是线段上一动点，求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题1.1 直线的倾斜角与斜率 知识点一、直线的倾斜角 1.定义：平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角． 规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是． 2.取值范围：直线的倾斜角的取值范围是，并规定与轴平行或重合的直线的倾斜角为. 【诠释】 （1）要清楚定义中含有的三个条件：①直线向上方向；②轴正向；③小于的角． （2）从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角． （3）倾斜角的范围是．当时，直线与x轴平行或与x轴重合． （4）直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应． （5）已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置． 3.倾斜角与直线倾斜程度的关系 倾斜角 直线 知识点二、直线的斜率 1.定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母表示，即. 注意：当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，并不是该直线不存在，而是该直线垂直于轴（平行于轴或与轴重合）.因此，所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率. 【诠释】 （1）当直线与x轴平行或重合时，，； （2）直线与x轴垂直时，，k不存在． 由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在． 知识点三、倾斜角与斜率的关系 直线情况 平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 的大小 0° 的范围 0 不存在 的增减性 随增大而增大 随增大而增大 直线的斜率与直线的倾斜角(除外)为“一一对应”关系， 当直线的倾斜角α=0°时，斜率k=0，直线与x轴平行或重合； 当0°<α<90°时，斜率k>0，且k值增大，倾斜角随着增大； 当α=90°时，斜率k不存在（此时直线是存在的，直线与x轴垂直）； 当90°<α<180°时，斜率k<0，且k值增大，倾斜角也随着增大． 知识点四、求斜率的三种方法 1、定义法：已知倾斜角，则 2、两点法：已知两点A（）B（），则 3、系数法：已知方程，则 知识点一、直线倾斜角和斜率的概念 题型一、直线的倾斜角和斜率概念辨析 【例1】下列命题正确的是（    ） ①直线倾斜角的范围是；②若直线的斜率为k，则；③任何一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角；④任何一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率． A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③ 【答案】C 【分析】利用直线倾斜角、斜率的意义及其关系逐一判断各个命题作答. 【详解】直线倾斜角的范围是，①正确； 直线倾斜角为，当时，值域为，当时， 值域为，因此，②正确； 因为倾斜角为的直线没有斜率，因此任何一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率，③不正确，④正确， 所以给定命题正确的有①②④. 故选：C 【跟踪训练】 1. 在下列四个命题中，正确的是（    ） A．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 B．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 C．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 D．直线的倾斜角的取值范围是 【答案】D 【分析】利用直线倾斜角和斜率的定义，逐项判断作答. 【详解】对于A，直线的斜率为1，而，显然不是直线的倾斜角，A错误； 对于B，直线的倾斜角为，而直线的斜率不存在，B错误； 对于C，坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角，而垂直于x轴的直线没有斜率，C错误； 对于D，直线的倾斜角的取值范围是，D正确. 故选：D 2. 在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（    ） A．任意一条直线都有倾斜角 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D．斜率相等的两直线平行 【答案】A 【分析】根据直线的倾斜角和斜率的定义一一判断即可. 【详解】任何一条直线都存在倾斜角，A正确； 钝角大于锐角，但是钝角对应的斜率小于锐角对应的斜率，B错误； 若一条直线的倾斜角，则斜率不存在，C错误； 斜率相等的两条直线可能是重合或平行，D错误； 故选:A. 题型二、求直线的倾斜角 【例2】直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，直线的斜率， 设直线的倾斜角为，所以， 又，所以， 故直线的倾斜角为． 【例3】1、直线与轴相交，其向上的方向与轴正方向所成的角为，则其倾斜角为( ) A. B. C.或 D.或 2、已知直线经过第二、四象限，则直线l的倾斜角的取值范围是( ) A. B. C. D. 3、已知直线的倾斜角为，则角的取值范围为( ) A. B. C. D. 答案：（1）（2）（3） 解析：（1）如图，当直线向上方向的部分在轴左侧时，倾斜角为 ;当直线向上方向的部分在轴右侧时，倾斜角为 .故选D. （2）直线倾斜角的取值范围是，因为直线经过第二、四象限，所以直线的倾斜角的取值范围是 . （3）解析：因为直线的倾斜角为所以所以 . 【跟踪训练】 1. 如图，直线l的倾斜角为（　　）    A．60° B．120° C．30° D．150° 【答案】D 【分析】根据图形结合三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和可求得结果. 【详解】由题图易知l的倾斜角为45°＋105°＝150°． 故选：D 2. 若直线的倾斜角为，则（    ）． A．0 B． C． D．不存在 【答案】C 【分析】根据直线的方程即可求解. 【详解】因为， 为一常数，故直线的倾斜角为， 故选：C 3. 直线l：2y﹣1＝0的倾斜角是 　 　 ． 【答案】0° 【分析】由直线的方程，可得直线平行于x轴，可得直线的倾斜角的大小． 【解答】解：因为直线l：2y﹣1＝0，即y，则直线l平行于x轴，所以于直线的倾斜角为0°． 故答案为：0°． 4. 直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求直线的斜率，利用斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】由题意有直线的斜率为， 设直线的倾斜角为， 则，又因为,所以， 故选：C. 5．已知直线l的倾斜角为α-15°，则下列结论中正确的是（ ） A．0°≤α<180° B．15°<α<180° C．15°≤α<180° D．15°≤α<195° 【答案】D 【分析】由直线的倾斜角的取值范围求解即可. 【详解】设直线l的倾斜角为β，则β的范围是0°≤β<180°.由题意知β=α-15°，则0°≤α-15°<180°，解得15°≤α<195°. 6.已知直线的倾斜角是，直线的倾斜角是，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据两条垂直直线与倾斜角的关系求解即可，注意讨论直线的倾斜角是否为. 【解答】1.当直线，的倾斜角分别为，或，时，； 2.当直线，的斜率都存在时，则或，因此； 综上可得：. 故选：C. 题型三、求直线的斜率 【例4】若直线的倾斜角为，则该直线的斜率为______. 【答案】 【分析】根据倾斜角与斜率的关系计算可得. 【详解】因为直线的倾斜角为， 所以该直线的斜率. 故答案为： 【例5】设a∈R，若直线l经过点A（a，2）、B（a+1，3），则直线l的斜率是 　 　 ． 【答案】1． 【分析】直接利用点的坐标求出直线的斜率． 【解答】解：直线l经过点A（a，2）、B（a+1，3），则直线的斜率． 故答案为：1． 【点评】本题考查的知识要点：直线的斜率和点的坐标的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题． 【例6】直线的斜率为_______. 【详解】由，得. 所以直线的斜率为. 【跟踪训练】 1. 若直线l的倾斜角为120°则l的斜率是__________． 【答案】﹣ 【分析】直接利用直线的斜率与倾斜角的关系求解即可． 【详解】解：直线l的倾斜角为120°则l的斜率是：tan120°＝．故答案为：﹣． 2. 经过A（1，0），B（0，）两点的直线斜率为 　 　． 【答案】﹣ 【分析】把两个点的坐标代入公式k＝，计算即可求得结论． 【详解】解：∵直线经过点A（1，0），B（0，）， ∴直线的斜率为k＝＝﹣， 故答案为：﹣． 3. 直线 的斜率为_______. 【答案】 【分析】由斜率直接求出倾斜角. 【详解】由直线可得：斜率为. 设倾斜角为，所以，解得：.故答案为： 4. 设a∈R，若直线l经过点A（a，2）、B（a+1，3），则直线l的斜率是 　　． 【答案】1 【分析】直接利用点的坐标求出直线的斜率． 【详解】解：直线l经过点A（a，2）、B（a+1，3），则直线的斜率． 故答案为：1． 知识点二、倾斜角和斜率的关系 题型四、已知直线倾斜角或斜率求参数 【例7】若经过，两点的直线的斜率是2，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，整理得，解得. 【例8】经过两点，的直线的倾斜角是锐角，则实数m的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意列出相应的不等式，即可得答案. 【详解】由题意经过两点，的直线的倾斜角是锐角， 可知 ，且 ， 解得 ，即实数m的范围是， 故选：C 【跟踪训练】 1.过、两点的直线的倾斜角为，那么　． 【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，即可求解． 【解答】解：过、两点的直线的倾斜角为， 则， 又． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查直线的斜率公式 属于基础题． 2.直线的斜率为，则实数的值为 　　． 【分析】根据题意可得，将直线化简为斜截式，继而根据斜率为列式算出的值． 【解答】解：直线化成斜截式，可得， 因为直线的斜率为，所以，解得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查直线的方程与直线的斜率等知识，考查了概念的理解能力，属于基础题． 3.已知直线的斜率，x≠0，则直线的倾斜角α的取值范围为 　　． 【答案】 【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，以及斜率与倾斜角的关系，即可求解． 【详解】当x＞0时，，当且仅当，即x＝1时，等号成立，即k＝tan α≥1，解得， 当x＜0时，，当且仅当，即x＝﹣1时，等号成立，即k＝tan α≤﹣1，解得α∈， 综上所述，直线的倾斜角α的取值范围为． 故答案为：． 题型五、倾斜角和斜率的变化关系 【例9】如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项一定错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用斜率与倾斜角的定义，结合图象判断即可得． 【详解】由图可得， ， ，且， 故ABC正确，D错误. 故选：D． 【例10】直线的斜率的取值范围是，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，又斜率的取值范围是，所以，当时，，当时，，又，所以根据正切函数的图象可得，. 【跟踪训练】 1.若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（　　） A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2 C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2 【答案】D 【分析】由直线斜率（倾斜角的正切值）的定义和正切函数的单调性可得． 【详解】解：直线l1的倾斜角是钝角，则斜率k1＜0； 直线l2与l3的倾斜角都是锐角，斜率都是正数， 但直线l2的倾斜角大于l3的倾斜角，所以k2＞k3＞0， 所以k1＜k3＜k2，故选：D． 2.已知两条直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为.若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系，结合正切函数的单调性即可得解. 【详解】依题意得，，，， 而在和上单调递增，且在上，， 在上，所以，即. 故选：D 3.若直线的斜率的变化范围是，则它的倾斜角的变化范围是(　 ) A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】作出正切函数在的图象，根据斜率的范围结合图象确定出的范围. 【详解】作出正切函数在的图象如下图，    如图所示，当，即， 解得或， 即或， 故选：D. 4.设直线的斜率为，倾斜角为，若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜率的取值范围求得倾斜角的取值范围. 【详解】由于，所以， 又，所以. 故选：D 5. 若直线的方程为，则其倾斜角的取值范围是_____________________ 【答案】 【分析】由斜率与倾斜角的关系即可求得. 【详解】解：， 即， 直线的斜率， 即， 设直线的倾斜角为， 则， 即， 故答案为：. 知识点三、斜率的坐标公式及应用 题型六、斜率公式及其几何意义 【例11】已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出倾斜角，求出其正切值，即斜率，进而可得倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，， 则，. 故选：D. 【例12】求经过下列两点的直线的斜率,并判断其倾斜角是锐角、直角还是钝角. (1)(-3,5),(0,2); (2)(4,4),(4,5); (3)(m,2m+),(2m-1,3m)(m≠1). 【例13】已知三个不同的点､､在同一条直线上，则实数a的值为 . 【答案】或5 【分析】根据斜率相等可求出结果. 【解析】因为，所以该直线斜率存在， 又， 根据题意得，解得或. 故答案为：或. 【例14】已知点，若点在线段上，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据的几何意义，作图分析可知. 【详解】表示过点和点的直线斜率， 如图， 因为，结合图形可知或， 所以的取值范围为. 故答案为： 【跟踪训练】 1.经过两点的直线的倾斜角是钝角，则实数的范围是 . 【答案】 【分析】由题意可得且斜率，计算即可得解. 【解析】根据题意，即， 且斜率， 即， 解得或. 实数的范围是. 故答案为： 2.已知点，，，若线段，，不能构成三角形，则的值是 　　． 【分析】由线段，，不能构成三角形知，，三点共线，由求得的值． 【解答】解：因为线段，，不能构成三角形，所以，，三点共线， 显然直线的斜率存在，故，即，解得． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查直线的斜率公式，属于基础题． 3.已知、、三点构成一个三角形，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】首先求出的斜率，再分、两种情况讨论，由得到不等式，解得即可. 【详解】因为、、， 所以， 当，即，此时，，，则的斜率不存在， 此时、、三点能构成一个三角形， 当，即时，， 要使、、三点能构成一个三角形，则，即，解得， 综上可得实数的取值范围. 4. P（x，y）在线段AB上运动，已知A（2，4），B（5，﹣2），则的取值范围是 　 　 ． 【答案】[，]． 【分析】画出图形，求出PC的斜率，即可得到的取值范围． 【解答】解：如图：表示线段上的点与C（﹣1，﹣1）连线的斜率， ∴KAC，KBC， 则的取值范围是[，]． 故答案为：[，]． 【点评】本题考查直线的斜率的求法，考查计算能力． 题型七、直线和线段相交问题求斜率范围 【例15】已知，若过点的直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线过点和过点时的斜率，数形结合求解. 【详解】 如图，设，当直线过点时，斜率，当直线过点时，斜率， 要使直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率需满足或. 所以直线的斜率的取值范围为. 故选：C. 【跟踪训练】 1.已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用直线的斜率公式计算，；再结合图形，利用直线与线段有交点的条件建立不等式，即可得出结果. 【详解】由直线的斜率公式可得： ；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或. 故选：C. 2.经过点作直线l，且直线l与连接点，的线段总有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出坐标系，连接，结合斜率变化可知，，联立斜率与倾斜角关系即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为， ， 因为直线l与连接点，的线段总有公共点， 所以，即， 所以. 故选：A.    3.已知点，和，若过点的直线与线段有公共点，则的倾斜角的取值范围是________. 【答案】 【分析】由题意根据直线的斜率公式，求得直线的斜率、的斜率，再根据直线的斜率和倾斜角的关系求得直线的倾斜角、的倾斜角，可得结论. 【详解】点，和，若过点的直线与线段有公共点， 直线的斜率为，的斜率不存在， 故直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 则的倾斜角的取值范围为， 故答案为：. 题型八、综合提升 【例16】已知、. （1）求直线的斜率和倾斜角； （2）已知实数，求直线的倾斜角的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）. 【分析】（1）讨论，与三种情况，即可求得斜率与倾斜角. （2）由（1）分别求直线的斜率，再求得对应的倾斜角范围即可. 【详解】（1）当时，直线的斜率不存在，倾斜角为. 当时，； 若，则； 若，则. （2）当时，直线的倾斜角为； 当时，，. 综上可得直线的倾斜角的取值范围为． 【点睛】本题考查了直线的斜率与倾斜角关系，注意斜率不存在时的特殊形式，属于基础题. 【例17】已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若是线段上一动点，求的取值范围. 【答案】(1)斜率为1，倾斜角为； (2). 【分析】（1）先由斜率公式求斜率，然后根据斜率定义可得倾斜角； （2）将问题转化为求直线的斜率的取值范围，然后结合图形分析可得. 【详解】（1）由斜率公式得直线的斜率为， 记倾斜角为，则， 因为，所以直线的倾斜角为. （2）由题知为直线的斜率. 记直线和的倾斜角分别为，直线的倾斜角为， 由图可知，， 又，， 所以，由正切函数性质可得，直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为. 一、填空题 1.直线的倾斜角范围是　　． 【分析】根据直线倾斜角的定义判断即可． 【解答】解：直线的倾斜角的范围是，， 故答案为：，． 【点评】本题考查了直线的倾斜角的范围，考查基础知识的掌握． 2.直线的倾斜角为　　． 【分析】求出直线的斜率，即可得到直线的倾斜角． 【解答】解：直线的斜率为1；所以直线的倾斜角为． 故答案为． 【点评】本题考查直线的有关概念，直线的斜率与直线的倾斜角的关系，考查计算能力． 3.直线的倾斜角的大小为　　． 【分析】化直线的一般式方程为斜截式，求出直线的斜率，由倾斜角的正切值等于斜率求倾斜角． 【解答】解：由，得 ， 直线的斜率为， 设其倾斜角为， 则， ． 故答案为：． 【点评】本题考查直线的倾斜角，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题． 4.过，的直线的斜率为 　　． 【分析】由题意，利用直线的斜率公式，计算求得结果． 【解答】解：过，的直线的斜率为． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查直线的斜率公式，属于基础题． 5．过点，的直线的斜率为1，那么m的值为（    ） A．1或4 B．4 C．1或3 D．1 【答案】D 【解析】因为直线过点，，且斜率为1， 所以，解得． 6.已知直线，则直线的斜率　　． 【分析】先把直线方程化为斜截式即可求解． 【解答】解：因为，即， 则直线的斜率． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了直线的斜率公式，属于基础题． 7.经过两点A（1，t）、B（t+1，4）的直线的倾斜角为45°，则实数t＝　 　 ． 【答案】2． 【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，以及斜率与倾斜角的关系，即可求解． 【解答】解：∵经过两点A（1，t）、B（t+1，4）的直线的倾斜角为45°， ∴tan45°，即﹣t＝t﹣4，解得t＝2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查直线的斜率公式，以及斜率与倾斜角的关系，属于基础题． 8.已知直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则_______ 【分析】先求出直线的倾斜角，进而可求得直线的倾斜角，进而可得直线的斜率，即可得解. 【详解】直线的斜率为，则倾斜角为， 因为直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍， 所以直线的倾斜角为， 所以直线的斜率为，解得. 9.已知，，三点在同一条直线上，则实数 m 的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意结合斜率公式运算求解. 【详解】由题意易得A，B，C三点所在直线不可能垂直于x轴，因此其中任意两点所确定的直线斜率都存在， 设直线AB，BC的斜率分别为，． 由斜率公式可得，． 因为A，B，C三点在同一条直线上，则，即， 整理得，解得或． 故答案为：. 10.已知直线的倾斜角为，若，则实数的取值范围是_______ 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系，已知可求出直线斜率取值范围，再根据直线的方程求出的取值范围. 【详解】因为，所以， 即直线的斜率. 又由直线方程可得，所以， 解得， 即实数的取值范围是. 11.已知过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，直线l的倾斜角的取值范围为__________． 【答案】 【解析】由题意得，直线的倾斜角为， ，直线的倾斜角为． 如图： 由图可知，的斜率的取值范围为， 则的倾斜角的取值范围为． 故答案为：. 12.给出下列命题： ①任意一条直线都有倾斜角，也都有斜率； ②平行于x轴的直线的倾斜角是0或π； ③若两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等； ④若k是直线的斜率，则； ⑤任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角． 其中是真命题的有 ．（填序号） 【答案】④ 【分析】根据直线倾斜角、斜率的定义逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于①、⑤，任一条直线都有倾斜角，但倾斜角为直角的直线没有斜率， 即任一条直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，①、⑤均错误； 对于②，平行于轴的直线的倾斜角是，②错； 对于③，若两条直线的倾斜角均为时，它们的斜率都不存在，③错误； 对于④，若k是直线的斜率，则，④对. 故答案为：④. 二、选择题 13.若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（　　） A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2 C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2 【答案】D 【分析】由直线斜率（倾斜角的正切值）的定义和正切函数的单调性可得． 【详解】解：直线l1的倾斜角是钝角，则斜率k1＜0； 直线l2与l3的倾斜角都是锐角，斜率都是正数， 但直线l2的倾斜角大于l3的倾斜角，所以k2＞k3＞0， 所以k1＜k3＜k2，故选：D． 14.已知三点，，共线，则的值是 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】三点，，共线，可得，解出即可得出. 【详解】三点，，共线， ， ，解得. 故选：C. 【点睛】本题考查了斜率计算公式、三点共线与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 15.已知直线的斜率，则的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用斜率的定义得到直线倾斜角的正切值的范围，再利用正切函数的性质即可得解. 【详解】设的倾斜角为，则，且， 如图，由正切函数的性质知. 故选：C. 16.直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程可得直线的斜率，再根据斜率的定义结合正切函数的性质运算求解. 【详解】因为直线，即的斜率， 又因为，且，所以. 故选：A. 三、解答题 17.已知两点、，过点的直线与线段没有公共点. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 【解析】（1）因为、、， 所以，， 先考虑直线与线段有公共点， 所以由图可知直线的斜率满足或， 所以，当直线与线段有公共点，直线的斜率的取值范围是． 故当直线与线段没有公共点时，直线的斜率的取值范围为. （2）因为，当时，， 当时，， 综上所述，直线的倾斜角的取值范围为. 18. 已知坐标平面内两点． (1)当直线MN的斜率不存在时，求的值； (2)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． 【解析】（1）直线MN的斜率不存在时，点的横坐标相等， 即，解得； （2）直线MN的倾斜角为锐角时，斜率， 即，解得； 直线MN的倾斜角为钝角时，斜率， 即，解得或； 综上可得，直线MN的倾斜角为锐角时，的取值范围为：； 直线MN的倾斜角为钝角时，的取值范围为．. 19. 已知坐标平面内三点、、. (1)求直线、、的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的倾斜角的取值范围. 【解析】（1）由斜率公式，得，，， 因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是， 所以直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为. （2）如图，当直线绕点由逆时针转到时， 直线与线段恒有交点，即在线段上，此时由增大到， 所以的取值范围为， 即直线的倾斜角的取值范围为. 20.已知的顶点，，，为的中点． (1)求直线的斜率； (2)判断的形状； (3)设分别为的中点，求直线的斜率． 【答案】(1)；(2)等腰直角三角形；(3). 【分析】（1）应用中点坐标公式及斜率的两点式求斜率； （2）根据已知求得，，，则有、，即可得三角形形状； （3）由题设有，结合（2）可得直线的斜率. 【详解】（1）因为为的中点，结合已知坐标有，则； （2）由，，， 由，，知是直角三角形． 又，结合已知，则是的垂直平分线， 所以是等腰直角三角形． （3）由于分别为的中点，所以是的中位线，则， 所以，故直线的斜率为． 21.已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (3)若是线段上一动点，求的取值范围. 【答案】(1)斜率为1，倾斜角为； (2)； (3). 【分析】(1)根据过两点的斜率公式求出斜率，再求倾斜角； (2) 设，根据求解即可； (3) 因为表示直线的斜率,求出与点重合时，直线的斜率；与点重合时，直线的斜率即可得答案. 【详解】（1）解：因为直线的斜率为. 所以直线的倾斜角为； （2）解：如图，当点在第一象限时，. 设，则，解得， 故点的坐标为； （3）解：由题意得为直线的斜率. 当点与点重合时，直线的斜率最小，； 当点与点重合时，直线的斜率最大，. 故直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $