专题1.2 直线的方程（5大知识点+9大题型+21题强化）讲义-2026年高二数学暑假班（沪教版选择性必修第一册）

2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题1.2 直线的方程 知识点01 直线的点斜式方程 点斜式方程：y﹣y0＝k（x﹣x0）是由直线上一点和直线的斜率确定的，所以叫做直线的点斜式方程． 注意点： 1.点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式． 2．经过点P0(x0，y0)的直线有无数条，可以分为两类： (1)斜率存在的直线，方程为y－y0＝k(x－x0)； (2)斜率不存在的直线，方程为x－x0＝0，即x＝x0. 3．当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0. 知识点02 直线的斜截式方程 1．直线在y轴上的截距 一条直线与y轴交点的纵坐标，叫做这条直线在y轴上的截距．（注意：截距是坐标概念，不是距离） 2．直线的斜截式方程 已知直线l的斜率为k，在y轴上的截距是b，则直线l的斜截式方程为y＝kx+b． 由于这个方程是由直线的斜率和直线在y轴上的截距确定的，所以叫做直线的斜截式方程． 注意点： (1)直线的斜截式方程y＝kx＋b是直线的点斜式就记得y－y0＝k(x－x0)的特例．如：直线l的斜率为k且过点(0，b)，该直线方程为y＝kx＋b. 由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距． (2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0. (3)斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别：当k≠0时，y＝kx＋b为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数．故一次函数y＝kx＋b(k≠0)一般可看成一条直线的斜截式方程． 知识点03 直线的两点式方程 经过直线上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（其中x1≠x2，y1≠y2）的直线方程叫做直线的两点式方程，简称两点式． ＝（x1≠x2，y1≠y2） 注意点： (1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示． (2)两点式方程与这两个点的顺序无关． (3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等 知识点04 直线的截距式方程 方程＋＝1，其中b称为直线在y轴上的截距，a称为直线在x轴上的截距．这个方程由直线在x轴和y轴上的非零截距所确定，所以这个方程也叫作直线的截距式方程． 注意：斜截式适用于与两坐标轴不垂直且不过原点的直线． 注意点： (1)如果已知直线在两坐标轴上的非零截距，可以直接代入截距式求直线的方程．与坐标轴平行或重合，以及过原点的直线都不能用截距式表示． (2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图． 知识点05 直线的一般式方程 1、定义：关于、的二元一次方程（其中、不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式。 2、适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示。 3、系数的几何意义：当时，（斜率），（轴上的截距） 当时，则（轴上的截距），此时斜率不存在。 4.直线的一般式方程与其他形式方程的互化 注意点： (1)直线的一般式方程是关于x，y的二元一次方程，方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列，x的系数一般不为分数和负数． (2)当A≠0，B＝0时，直线与x轴垂直，即直线与y轴平行或重合． (3)当A＝0，B≠0时，直线与y轴垂直，即直线与x轴平行或重合． 知识点06 直线的点法式方程 1.直线的法向量 (1)一般地,与直线上任意一个向量都垂直的非零向量叫做该直线的法向量 (2)以直线l的一般式方程ax+by+c=0(a、b不同时为零)的一次项系数为坐标的向量=(a,b)是l的一个法向量 2.直线的点法式方程 如果知道了直线l上的一个点M(xo，yo)和的一个法向量=(a,b),那么平面上一点P(x,y)在直线l上的充要条件是,或用向量数量积写成.因为向量,所以平面上一点P(x,y)在直线l上的充要条件变成了a(x-xo)+b(y-yo)=0，这个方程称为直线的 点法式方程 知识点一、几种特殊形式的直线方程 题型一、点斜式方程 【例1】过点且斜率为3的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【例2】过点，倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.经过点(－1,1)，斜率是直线y＝x－2的斜率的2倍的直线方程是_______ 2.已知直线l倾斜角的余弦值为，且经过点，则直线l的方程为 ． 3.已知在第一象限的△ABC中，A(1,1)，B(5,1)，∠A＝60°，∠B＝45°，求： (1)AB边所在直线的方程； (2)AC边与BC边所在直线的方程． 题型二、斜截式方程 【例3】根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)写出斜率为，在y轴上截距为的直线的斜截式方程； (2)求过点，斜率为的直线的斜截式方程； (3)已知直线方程为，求直线的斜率，在y轴上的截距，以及与y轴交点的坐标． 【跟踪训练】 1.已知直线l的方程为y＋＝(x－1)，则l在y轴上的截距为______ 2.在y轴上的截距为2，且与直线y＝－3x－4平行的直线的斜截式方程为________． 3.已知直线l的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，且过点，则直线的方程为__________. 4.根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； (3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 题型三、两点式方程 【例4】若直线l经过点，则直线l的方程为 ． 【例5】已知直线的两点式方程为，则直线的倾斜角为______ 【跟踪训练】 1.直线经过A(－1，5)，B(2，－1)两点；则直线的方程为_________ 2. 已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中， (1)求BC边的方程； (2)求BC边上的中线所在直线的方程． 题型四、截距式方程 【例6】在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为______ 【例7】过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【例8】已知过点的直线在轴和轴上的截距均为正整数，则满足条件的直线的条数为 ． 【跟踪训练】 1. 下列命题中正确的是(　　) A．经过点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示 B．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示 C．经过任意两个不同点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可用方程(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)表示 D．不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示 2. 过点，且在轴、轴上的截距的绝对值相等的直线共有 条． 题型五、点法式方程 【例9】已知经过点的直线的一个法向量为，则的点法式方程为 　 ． 【例10】已知△的三个顶点分别是，，. （1）求边上的高所在直线的点法向式方程； （2）如图，若四边形是平行四边形，求点的坐标. 【跟踪训练】 1.过点，且一个法向量为的直线的点法式方程是 　　 ． 2.过点且以为法向量的直线方程为 　　 ． 3.已知的三个顶点是. 求（1）边所在直线的一般式方程;（2）边上的高所在直线的一般式方程. 知识点二、直线的一般式方程 题型六、一般式方程 【例11】斜率为2，且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为________． 【例12】已知直线l的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－4，则直线l的点斜式方程为________；截距式方程为________；斜截式方程为________；一般式方程为________． 【例13】若，，且，则经过，、，的直线的一般方程为 　　． 【例14】根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程. (1)斜率是，且经过点； (2)斜率为，在轴上的截距为； (3)经过，两点. 【跟踪训练】 1.已知直线在轴上的截距为8，且斜率为，则直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 2.直线：的斜率为（   ） A． B． C． D． 3.根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率是且经过点A(5,3)； (2)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点； (3)在x，y轴上的截距分别是－3，－1. (4)经过点B(4,2)，且平行于x轴． 4. 根据下列条件，分别求出直线的一般式方程： (1)经过点，平行于直线； (2)倾斜角是，在轴上的截距是4； (3)经过点，点； 5.．已知，在中， (1)求边的方程； (2)求边上的中线所在直线的方程． 6.根据条件写出下列直线的方程，并化成一般式： (1)直线的斜率为，在轴上的截距是； (2)直线的倾斜角是直线的倾斜角的一半，且过点． 题型七、直线一般式方程的应用 【例15】设直线的方程为． （1）若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； （2）若不经过第二象限，求实数的取值范围． 【跟踪训练】 1.设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0. (1)已知直线l在x轴上的截距为－3，求m的值； (2)已知直线l的斜率为1，求m的值． 2．的三个顶点分别为、、． （1）求边和所在直线的方程； （2）求的平分线所在的直线的方程． 3. 三个顶点，求： (1)边上的中线所在直线方程； (2)边上的高所在直线方程. 4.已知的三个顶点是、、. (1)求边上的中线所在直线方程； (2)求边上的高所在直线方程. 知识点三、综合提升 题型八：直线过定点问题 【例16】对于任意的实数，直线恒过定点（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.无论取何值，直线总经过点（    ） A． B． C． D． 2.不论取何值，直线都过定点（    ） A． B． C． D． 3.直线一定经过点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型九、直线与坐标轴围成三角形的面积、周长问题 【例17】已知直线过点，且与两个坐标轴的正半轴分别交于点、，为坐标原点，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例18】已知为坐标原点，直线过点，且与轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，则的面积的最小值为（    ） A．12 B． C．8 D．6 【跟踪训练】 1. 已知直线l过点： (1)它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，求直线l的方程． (2)若直线l与x轴，y轴的正半轴分别交于点A，B，求的面积的最小值及此时直线的方程． 2. 已知直线． (1)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 3.已知直线的方程为：. (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程. 一、填空题 1.过点且斜率为的直线的方程为_______ 2.经过点，且倾斜角为的直线的点斜式方程为_______ 3.已知直线在在轴上的截距为4，倾斜角为，且，则直线的斜截式方程为 　　 ． 4.已知直线倾斜角为，在轴上的截距为，则此直线方程为_______ 5.过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程是_____ 6.经过与两点的直线方程为__________． 7.已知，，则直线的方程为_______ 8.已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数_______ 9.过点且横、纵截距的绝对值相等的直线其条数为______ 10.过点A（-1，5）且以=（2， 1）为法向量的直线方程为__________ 11.已知直线：总是经过定点，则定点坐标为__________. 12．直线分别交轴､轴的正半轴于､两点，当面积最小时，直线的方程为 . 二、选择题 13. 经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（   ）. A． B．或 C． D．或 14.已知直线：在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，则实数的值是（   ） A．6 B． C．或1 D．6或1 15.对于直线，下列说法不正确的是（   ） A．的斜率有可能不存在 B．恒过定点 C．的倾斜角有可能是 D．恒过第一象限 16.已知为坐标原点，直线过点，且与轴负半轴交于点，与轴负半轴交于点，则面积的最小值为（   ） A．16 B．20 C．24 D．40 三、解答题 17．求适合下列条件的直线方程： （1）经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等； （2）过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－； （3）过点A(1，－1)与已知直线l1：2x＋y－6＝0相交于B点且|AB|＝5.[来源 18.已知，，，在中： (1)求BC边所在直线的方程； (2)求BC边上的中线､高线所在直线的方程. 19.设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别求m的值． (1)在x轴上的截距为1； (2)斜率为1； (3)经过定点P(－1，－1)． 20.已知直线． (1)求直线所过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 21.已知直线l过点P(1,4),且分别交x轴、y轴的正半轴于点A,B,O为坐标原点,求: (1)△AOB面积的最小值及此时直线l的方程; (2)OA+OB取最小值时的直线l的方程; (3)PA·PB取最小值时的直线l的倾斜角. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题1.2 直线的方程 知识点01 直线的点斜式方程 点斜式方程：y﹣y0＝k（x﹣x0）是由直线上一点和直线的斜率确定的，所以叫做直线的点斜式方程． 注意点： 1.点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式． 2．经过点P0(x0，y0)的直线有无数条，可以分为两类： (1)斜率存在的直线，方程为y－y0＝k(x－x0)； (2)斜率不存在的直线，方程为x－x0＝0，即x＝x0. 3．当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0. 知识点02 直线的斜截式方程 1．直线在y轴上的截距 一条直线与y轴交点的纵坐标，叫做这条直线在y轴上的截距．（注意：截距是坐标概念，不是距离） 2．直线的斜截式方程 已知直线l的斜率为k，在y轴上的截距是b，则直线l的斜截式方程为y＝kx+b． 由于这个方程是由直线的斜率和直线在y轴上的截距确定的，所以叫做直线的斜截式方程． 注意点： (1)直线的斜截式方程y＝kx＋b是直线的点斜式就记得y－y0＝k(x－x0)的特例．如：直线l的斜率为k且过点(0，b)，该直线方程为y＝kx＋b. 由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距． (2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0. (3)斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别：当k≠0时，y＝kx＋b为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数．故一次函数y＝kx＋b(k≠0)一般可看成一条直线的斜截式方程． 知识点03 直线的两点式方程 经过直线上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（其中x1≠x2，y1≠y2）的直线方程叫做直线的两点式方程，简称两点式． ＝（x1≠x2，y1≠y2） 注意点： (1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示． (2)两点式方程与这两个点的顺序无关． (3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等 知识点04 直线的截距式方程 方程＋＝1，其中b称为直线在y轴上的截距，a称为直线在x轴上的截距．这个方程由直线在x轴和y轴上的非零截距所确定，所以这个方程也叫作直线的截距式方程． 注意：斜截式适用于与两坐标轴不垂直且不过原点的直线． 注意点： (1)如果已知直线在两坐标轴上的非零截距，可以直接代入截距式求直线的方程．与坐标轴平行或重合，以及过原点的直线都不能用截距式表示． (2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图． 知识点05 直线的一般式方程 1、定义：关于、的二元一次方程（其中、不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式。 2、适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示。 3、系数的几何意义：当时，（斜率），（轴上的截距） 当时，则（轴上的截距），此时斜率不存在。 4.直线的一般式方程与其他形式方程的互化 注意点： (1)直线的一般式方程是关于x，y的二元一次方程，方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列，x的系数一般不为分数和负数． (2)当A≠0，B＝0时，直线与x轴垂直，即直线与y轴平行或重合． (3)当A＝0，B≠0时，直线与y轴垂直，即直线与x轴平行或重合． 知识点06 直线的点法式方程 1.直线的法向量 (1)一般地,与直线上任意一个向量都垂直的非零向量叫做该直线的法向量 (2)以直线l的一般式方程ax+by+c=0(a、b不同时为零)的一次项系数为坐标的向量=(a,b)是l的一个法向量 2.直线的点法式方程 如果知道了直线l上的一个点M(xo，yo)和的一个法向量=(a,b),那么平面上一点P(x,y)在直线l上的充要条件是,或用向量数量积写成.因为向量,所以平面上一点P(x,y)在直线l上的充要条件变成了a(x-xo)+b(y-yo)=0，这个方程称为直线的 点法式方程 知识点一、几种特殊形式的直线方程 题型一、点斜式方程 【例1】过点且斜率为3的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意可得直线为，化简得，故选： 【例2】过点，倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为倾斜角为，所以， 由直线的点斜式方程得. 故选：B. 【跟踪训练】 1.经过点(－1,1)，斜率是直线y＝x－2的斜率的2倍的直线方程是_______ 【解析】由方程知，已知直线的斜率为，所以所求直线的斜率是.由直线的点斜式方程可得方程为 y－1＝(x＋1)． 2.已知直线l倾斜角的余弦值为，且经过点，则直线l的方程为 ． 【答案】. 【分析】由同角三角函数的基本关系求出直线斜率，点斜式求出直线方程即可. 【详解】设直线的倾斜角为，由题意知， 则， 所以， 又直线过点， 所以直线方程为， 即直线方程为. 故答案为： 3.已知在第一象限的△ABC中，A(1,1)，B(5,1)，∠A＝60°，∠B＝45°，求： (1)AB边所在直线的方程； (2)AC边与BC边所在直线的方程． 【解析】(1)如图所示， 因为A(1,1)，B(5,1)， 所以AB∥x轴， 所以AB边所在直线的方程为y＝1. (2)因为∠A＝60°， 所以kAC＝tan 60°＝， 所以直线AC的方程为y－1＝(x－1)． 因为∠B＝45°， 所以kBC＝tan 135°＝－1， 所以直线BC的方程为y－1＝－(x－5)． 题型二、斜截式方程 【例3】根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)写出斜率为，在y轴上截距为的直线的斜截式方程； (2)求过点，斜率为的直线的斜截式方程； (3)已知直线方程为，求直线的斜率，在y轴上的截距，以及与y轴交点的坐标． 【解析】（1）直线的斜率，纵截距， 所以该直线的斜截式方程为. （2）过点，斜率为的直线的点斜式方程为， 所以该直线的斜截式方程为. （3）直线方程化为， 所以该直线的斜率为，在y轴上的截距为1，直线与y轴交点的坐标为． 【跟踪训练】 1.已知直线l的方程为y＋＝(x－1)，则l在y轴上的截距为______ 【解析】由y＋＝(x－1)，得y＝x－9，∴l在y轴上的截距为－9. 2.在y轴上的截距为2，且与直线y＝－3x－4平行的直线的斜截式方程为________． 【解析】∵直线y＝－3x－4的斜率为－3，所求直线与此直线平行，∴斜率为－3， 又截距为2，∴由斜截式方程可得y＝－3x＋2. 3.已知直线l的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，且过点，则直线的方程为__________. 【答案】 【分析】根据点斜式求得直线的方程. 【详解】直线的斜率为，倾斜角为， 所以直线的倾斜角为，斜率为， 所以直线的方程为， 即. 故答案为： 4.根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； (3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 【解析】(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y＝2x＋5. (2)由于直线的倾斜角为150°，所以斜率k＝tan 150°＝－，由斜截式可得方程为y＝－x－2. (3)由于直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan 60°＝.由于直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，故所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3. 题型三、两点式方程 【例4】若直线l经过点，则直线l的方程为 ． 【答案】 【解析】由于点A与点B的横坐标相等，所以直线l的斜率不存在， 所求的直线方程为． 故答案为： 【例5】已知直线的两点式方程为，则直线的倾斜角为______ 【分析】首先根据两点式方程判断直线过点和，再利用斜率的坐标公式计算出斜率的值，最后利用斜率的几何公式计算出直线的倾斜角. 【详解】解：设直线的倾斜角为，； 由直线的两点式方程：得：直线过点和； 直线的斜率：，所以； 又因为，所以； 【跟踪训练】 1.直线经过A(－1，5)，B(2，－1)两点；则直线的方程为_________ 【解析】由两点式方程得＝， 化为一般式得2x＋y－3＝0. 2. 已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中， (1)求BC边的方程； (2)求BC边上的中线所在直线的方程． 【解析】(1)∵BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)， ∴由两点式得＝， 即2x＋5y＋10＝0. 故BC边的方程为2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5)． (2)设BC的中点为M(x0，y0)， 则x0＝＝，y0＝＝－3. ∴M， 又BC边上的中线经过点A(－3,2)． ∴由两点式得＝， 即10x＋11y＋8＝0. 故BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0. 题型四、截距式方程 【例6】在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为______ 【分析】令即可求解. 【详解】由截距的概念，令，可得， 即， 故直线在轴上的截距为， 【例7】过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】在用截距式求直线方程时需要讨论解决是否为0，截距为0则过原点；截距不为0用截距式设出方程后带点即可. 【详解】设直线在两坐标轴上的截距分别为：，，则 ①，则直线过原点，则直线方程为： ②则，则设直线方程为：，即，则，∴直线方程为： 综上所述：该直线方程为或 故选：D 【例8】已知过点的直线在轴和轴上的截距均为正整数，则满足条件的直线的条数为 ． 【答案】 【分析】设直线在轴和轴上的截距分别为、，则、，则直线的截距式方程为，由题意可得，化简得出，可知为的正约数，列举出的所有可能取值，即可得解. 【详解】设直线在轴和轴上的截距分别为、，则、，则直线的截距式方程为， 由于直线过点，则，故， 所以为的正约数，故. 即满足条件的正整数的个数为. 因此，满足题设条件的直线的条数为. 故答案为：. 【跟踪训练】 1. 下列命题中正确的是(　　) A．经过点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示 B．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示 C．经过任意两个不同点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可用方程(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)表示 D．不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示 【解析】A中当直线的斜率不存在时，其方程只能表示为x＝x0；B中经过定点A(0，b)的直线x＝0无法用y＝kx＋b表示；D中不经过原点但斜率不存在(或斜率为零)的直线不能用方程＋＝1表示．只有C正确． 故选C. 2. 过点，且在轴、轴上的截距的绝对值相等的直线共有 条． 【答案】3 【分析】先设直线为或或，计算得出满足截距绝对值相等直线方程即可判断. 【详解】因为在轴、轴上的截距的绝对值相等的直线， 故设直线为或或， 若直线过点，则，得直线为； 若直线过点，则，得直线为； 若直线过点，则，得直线为； 所以满足条件的直线有3条； 故答案为：3. 题型五、点法式方程 【例9】已知经过点的直线的一个法向量为，则的点法式方程为 　 ． 【解答】解：直线的一个法向量为，且经过点， 则的点法式方程为：． 故答案为：． 【例10】已知△的三个顶点分别是，，. （1）求边上的高所在直线的点法向式方程； （2）如图，若四边形是平行四边形，求点的坐标. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）求出直线的斜率，从而得边上的高所在直线的法向量，结合点坐标可得点法向式方程； （2）由平行四边形对角线互相平分得点坐标． 【详解】（1），∴边上的高所在直线斜率为，方向向量为，一个法向量为，∴点法向式方程为； （2）设点坐标为， ∵是平行四边形，∴，∴．解得， ∴． 【跟踪训练】 1.过点，且一个法向量为的直线的点法式方程是 　　 ． 【解答】解：过点，且一个法向量为， 在此直线上任意取一点，则向量和此法向量垂直， 故有， 故答案为：． 2.过点且以为法向量的直线方程为 　　 ． 【分析】过点且以为法向量的直线方程的斜率为，由此能求出结果． 【解答】解：过点且以为法向量的直线方程的斜率为， 过点且以为法向量的直线方程为： ，整理得：． 故答案为：． 【点评】本题考查直线方程的求法，考查直线的法向量、点斜式方程等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 3.已知的三个顶点是. 求（1）边所在直线的一般式方程; （2）边上的高所在直线的一般式方程. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先求出直线斜率，利用点斜式即可求出； （2）根据求出直线斜率，再利用点斜式即可求出. 【详解】（1）， ， 边所在直线方程为，即； （2），，， 在直线上， 所在直线方程为，即. 知识点二、直线的一般式方程 题型六、一般式方程 【例11】斜率为2，且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为________． 【解析】由直线点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，化成一般式为2x－y＋1＝0. 【例12】已知直线l的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－4，则直线l的点斜式方程为________；截距式方程为________；斜截式方程为________；一般式方程为________． 【解析】点斜式方程： y＋4＝(x－0)，截距式方程：＋＝1，斜截式方程： y＝x－4，一般式方程：x－y－4＝0. 答案：y＋4＝(x－0)　＋＝1　y＝x－4　x－y－4＝0 【例13】若，，且，则经过，、，的直线的一般方程为 　　． 【解答】解：若，， 则点，在直线上， 点，在直线上， 即，、，都在同一直线上， 因为两点确定一条直线，所以由，、，确定的直线即为． 故答案为：． 【例14】根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程. (1)斜率是，且经过点； (2)斜率为，在轴上的截距为； (3)经过，两点. 【答案】(1)； (2)； (3). 【解题思路】（1）由直线的点斜式方程可得； （2）由直线的斜截式方程可得； （3）先求出直线的斜率，再由直线的点斜式方程即得. 【解答过程】（1）由直线的点斜式方程可得直线方程为， 即； （2）由直线的斜截式方程可得直线方程为， 即； （3）由题意，直线的斜率为， 故由直线的点斜式方程可得直线方程为， 即. 【跟踪训练】 1.已知直线在轴上的截距为8，且斜率为，则直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由直线的斜截式方程直接写出，化为一般式方程即可. 【解答过程】由斜截式方程得直线的方程为，即一般式方程为． 故选：D. 2.直线：的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将一般式方程转化为斜截式方程可得斜率. 【解答过程】将直线一般式方程转化为斜截式方程得到. 所以斜率为. 故选：C. 3.根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率是且经过点A(5,3)； (2)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点； (3)在x，y轴上的截距分别是－3，－1. (4)经过点B(4,2)，且平行于x轴． 【解析】(1)由点斜式方程得y－3＝(x－5)， 整理得x－y＋3－5＝0. (2)由两点式方程得＝， 整理得2x＋y－3＝0. (3)由截距式方程得＋＝1， 整理得x＋3y＋3＝0. (4)y－2＝0. 4. 根据下列条件，分别求出直线的一般式方程： (1)经过点，平行于直线； (2)倾斜角是，在轴上的截距是4； (3)经过点，点； 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由直线平行可知斜率相等，结合点坐标写出直线点斜式方程，化为一般式； （2）根据截距求出直线过点的坐标，结合点坐标写出直线点斜式方程，化为一般式； （3）写出直线的两点式方程，化为一般式. 【解答过程】（1）由题可知，所求直线斜率为3， 故方程为，整理得. （2）直线在轴上的截距是4，即该直线过点， 由倾斜角是可得斜率为， 故方程为，整理得. （3）由条件得直线的两点式方程为， 整理得. 5.．已知，在中， (1)求边的方程； (2)求边上的中线所在直线的方程． 【解析】（1）边过两点 由两点式，得，即， 故边的方程是． （2）设的中点为， 则，， 所以， 又边的中线过点， 所以，即， 所以边上的中线所在直线的方程为． 6.根据条件写出下列直线的方程，并化成一般式： (1)直线的斜率为，在轴上的截距是； (2)直线的倾斜角是直线的倾斜角的一半，且过点． 【解析】（1）因为直线斜率为，在轴上的截距是， 所以由斜截式可得直线方程为，整理得. （2）因为直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为， 所以由题意得所求直线的倾斜角为，则斜率， 设所求直线为，将代入可得，解得， 所以所求直线方程为，整理得． 题型七、直线一般式方程的应用 【例15】设直线的方程为． （1）若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； （2）若不经过第二象限，求实数的取值范围． 【解析】（1）中，对分和两种情况分类讨论，即可求解直线的方程；（2）中利用直线不过第二象限，列出不等式组，即可求解实数的取值范围． 试题解析：将直线的方程化为斜截式为 （1）①当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，当然相等． ∴当即时，满足条件，此时方程为． ②当斜率为-1，直线在两坐标轴上的截距也相等． ∴当即时，满足条件，此时方程为． 综上所述，若在两坐标轴上的截距相等，的方程为或． （2）不经过第二象限 ∴ ， 解得． ∴的取值范围为（－∞，1]． 【跟踪训练】 1.设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0. (1)已知直线l在x轴上的截距为－3，求m的值； (2)已知直线l的斜率为1，求m的值． 【解析】(1)由题意知m2－2m－3≠0，即m≠3且m≠－1，令y＝0，得x＝， ∴＝－3，得m＝－或m＝3(舍去)． ∴m＝－. (2)由题意知，2m2＋m－1≠0，即m≠且m≠－1. 由直线l化为斜截式方程 得y＝x＋， 则＝1， 得m＝－2或m＝－1(舍去)． ∴m＝－2. 2．的三个顶点分别为、、． （1）求边和所在直线的方程； （2）求的平分线所在的直线的方程． 【解析】（1）∵，， ∴直线AC的截距式方程得：，化简得 ∵， ∴由直线的两点式方程，得AB方程为，即 综上所述，边AC所在直线的方程为，边AB所在直线的方程为. （2），. 由及内角平分线定理得. 设 ∴ ∴：. 3. 三个顶点，求： (1)边上的中线所在直线方程； (2)边上的高所在直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据中点坐标求法，和点斜式方程，求出直线方程即可； （2）根据直线垂直的斜率性质，以及点斜式方程，求出直线方程即可； 【详解】（1）设的中点为，所以，所以， 所以， 根据点斜式方程得，即 （2）设边上高所在直线的斜率为，由题意得，由，所以， 根据点斜式方程得，即. 4.已知的三个顶点是、、. (1)求边上的中线所在直线方程； (2)求边上的高所在直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出线段的中点的坐标，进而可求出直线的斜率，利用点斜式方程可得出直线的方程； （2）求出直线的斜率，进而可得出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程. 【详解】（1）由题意可知，线段的中点为，故， 故边上的中线所在直线方程为，即. （2）由题意可得，因为，则， 故边上的高所在直线方程为，即. 知识点三、综合提升 题型八：直线过定点问题 【例16】对于任意的实数，直线恒过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线， 即， 令，解得， 即直线恒过定点， 故选：B. 【跟踪训练】 1.无论取何值，直线总经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将直线化为即可求解． 【解答过程】由， 当，即时，，解得， 所以无论取何值，直线总经过点． 故选：C． 2.不论取何值，直线都过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】提取得，从而得到方程组，解出即可. 【解答过程】，即，则，解得. 则过定点. 故选：C. 3.直线一定经过点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定的直线方程，直接求出所过定点坐标即可. 【解答过程】直线，即，对任意实数，当时，恒成立， 所以点的坐标. 故选：A. 题型九、直线与坐标轴围成三角形的面积、周长问题 【例17】已知直线过点，且与两个坐标轴的正半轴分别交于点、，为坐标原点，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设直线的方程为，可得出，利用基本不等式可求得的最小值，由此可得出的最小值. 【解答过程】不妨设直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程得， 由基本不等式可得，可得，即， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故，即面积的最小值为. 故选：B. 【例18】已知为坐标原点，直线过点，且与轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，则的面积的最小值为（    ） A．12 B． C．8 D．6 【答案】D 【分析】设直线的方程为，由题意得到，再结合基本不等式即可求解. 【详解】依题意设直线的方程为，则， 所以，， 所以，即，当且仅当时，等号成立， 所以的面积， 则的面积的最小值为6. 故选：D 【跟踪训练】 1. 已知直线l过点： (1)它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，求直线l的方程． (2)若直线l与x轴，y轴的正半轴分别交于点A，B，求的面积的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1)或 (2)最小值为24，此时直线的方程为 【解题思路】（1）当直线过原点时，求出斜率，再求出直线方程即可；不过原点时，设出截距式，结合题意求出即可； （2）设出截距式，结合基本不等式求出的最小值，再求出面积和直线方程即可； 【解答过程】（1）①当直线l过原点时，符合题意，斜率， 直线方程为，即； ②当直线l不过原点时， ∵它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍， ∴可设直线l的方程为：． ∵直线l过点， ∴，解得． ∴直线l的方程为，即． 综上所述，所求直线l方程为或． （2）设直线l的方程为）， 由直线l过点得：． ∴，化为， 当且仅当，时取等号． ∴的面积，其最小值为24． 此时直线的方程为． 2. 已知直线． (1)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）数形结合，结合直线图象可得解； （2）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值． 【详解】（1） 如图所示，结合图象可知， 当时，直线斜率不存在，方程为，不经过第二象限，成立； 当时，直线斜率存在，方程为， 又直线不经过第二象限，则，解得； 综上，. （2）已知直线，且由题意知， 令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 3.已知直线的方程为：. (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）列出方程，分别令，可求出定点； （2）令令，表达出三角形面积后，利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）证明：原方程整理得：． 由，可得， 不论为何值，直线必过定点. （2）设直线的方程为． 令令． ． 当且仅当，即时，三角形面积最小． 则的方程为． 一、填空题 1.过点且斜率为的直线的方程为_______ 【解题思路】利用点斜式方程，结合一般式，可得答案. 【解答过程】由题意可得直线方程为，化简可得. 2.经过点，且倾斜角为的直线的点斜式方程为_______ 【解题思路】根据倾斜角为，求出斜率，代入直线的点斜式方程求解. 【解答过程】因为直线的倾斜角为，所以斜率， 又直线经过点，代入点斜式方程得直线方程为. 3.已知直线在在轴上的截距为4，倾斜角为，且，则直线的斜截式方程为 　　 ． 【解答】解：直线在在轴上的截距为4，倾斜角为，且， ，斜率， 直线的斜截式方程为， 故答案为：． 4.已知直线倾斜角为，在轴上的截距为，则此直线方程为_______ 【解题思路】求出直线斜率，根据直线的斜截式方程，即可求得答案. 【解答过程】因为直线倾斜角为，故直线的斜率为, 又直线在轴上的截距为，故直线方程为, 5.过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程是_____ 【解题思路】根据条件分截距为零和截距不为零两种情况，分别设出相应的直线方程，再结合条件，即可求解. 【解答过程】当在轴，轴上的截距为零时，此时直线过原点，设直线方程为， 又直线过点，所以，所以直线方程为， 当在轴，轴上的截距不为零时，设直线方程为， 又直线过点，所以，解得，所以直线方程为， 所以过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程是或， 6.经过与两点的直线方程为__________． 【答案】 【解题思路】利用两点式方程可得直线的方程. 【解答过程】由题意可知，经过与两点的直线方程为，即. 故答案为：. 7.已知，，则直线的方程为_______ 【分析】应用两点式求斜率，再由点斜式写出直线方程. 【详解】由题设，则，可得. 8.已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数_______ 【分析】由题意，分截距为零和不为零两种情况，建立方程，可得答案. 【详解】由题意，当截距为零时，则，解得； 当截距不为零时，整理截距式方程为，则，由，则解得. 9.过点且横、纵截距的绝对值相等的直线其条数为______ 【分析】分别讨论直线过坐标原点、横纵截距相等且不为零、横纵截距互为相反数且不为零的情况，结合直线截距式和所过点坐标求得直线方程，由此可得结果. 【详解】当过点的直线过坐标原点时，直线方程为，满足题意； 当过点的直线的横、纵截距相等且不为零时，设其方程为：， 则，直线方程为； 当过点的直线的横、纵截距互为相反数且不为零时，设其方程为：， 则，直线方程为. 综上所述：满足题意的直线条数为. 10.过点A（-1，5）且以=（2， 1）为法向量的直线方程为__________ 【答案】. 【分析】设是所求直线上任意一点，则直线的方向向量为，由可得结果. 【详解】设是所求直线上任意一点，则直线的方向向量为，又直线的法向量为， 由得，即. 故答案为：. 11.已知直线：总是经过定点，则定点坐标为__________. 【答案】 【解题思路】将方程变形为，即可求解. 【解答过程】由可得， 令，解得， 故定点为， 故答案为：. 12．直线分别交轴､轴的正半轴于､两点，当面积最小时，直线的方程为 . 【答案】 【分析】由题可得直线恒过定点，可设方程为，则，利用基本不等式可得，即求. 【解析】∵直线， ∴， 由，得， ∴直线恒过定点， 可设直线方程为，则，， 又，即，当且仅当时取等号， ∴， 当面积最小时，直线的方程为，即. 故答案为：. 二、选择题 13. 经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（   ）. A． B．或 C． D．或 【答案】B 【解题思路】分为两种情况：当直线过原点时；当直线不过坐标原点时．设出直线的方程，代入点坐标可得解． 【解答过程】当直线过原点时，设直线的方程为， 直线经过点，则，解得， 所以直线的方程为， 此时直线在两坐标轴上的截距均为0，满足题意； 当直线不过坐标原点时，由直线在两坐标轴上的截距互为相反数， 设直线的方程为， 直线经过点，则，解得， 则直线方程，即， 综上所述直线方程为或， 故选：B． 14.已知直线：在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，则实数的值是（   ） A．6 B． C．或1 D．6或1 【答案】C 【解题思路】根据直线的一般式方程，求出直线在轴与轴上的截距，注意计算时不随意约分，造成漏解. 【解答过程】由题可知若，则直线在轴上的截距不存在，不符合题意，因此. 令，得直线在轴上的截距为；令，得直线在轴上的截距为, ，解得或. 故选：C. 15.对于直线，下列说法不正确的是（   ） A．的斜率有可能不存在 B．恒过定点 C．的倾斜角有可能是 D．恒过第一象限 【答案】B 【解题思路】对A：整理方程后令的系数为即可得；对B：整理方程后令的系数为即可得；对C：令，解出即可得；对D：由直线所过定点即可得. 【解答过程】对A：直线可化为， 令，则，此时，斜率不存在，故A正确； 对B：直线可化为， 令，解得，故恒过定点，故B错误； 对C：令，解得， 此时直线，斜率为，倾斜角为，故C正确； 对D：由B知，恒过定点，故恒过第一象限，故D正确. 故选：B. 16.已知为坐标原点，直线过点，且与轴负半轴交于点，与轴负半轴交于点，则面积的最小值为（   ） A．16 B．20 C．24 D．40 【答案】B 【解题思路】设直线的方程为，代入点坐标，得到的方程，用表示出的面积，利用基本不等式即可求解. 【解答过程】如图： 依题意设直线的方程为（，），则，且，， 所以，即，当且仅当，时，等号成立， 所以的面积，则面积的最小值为20. 故选：B. 三、解答题 17．求适合下列条件的直线方程： （1）经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等； （2）过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－； （3）过点A(1，－1)与已知直线l1：2x＋y－6＝0相交于B点且|AB|＝5.[来源 【答案】（1）；（2）； （3）由题意，可设点B(x，－2x＋6)，则|AB|＝＝5，解得x＝1或x＝5．故点B(1,4)或B(5，－4)．当点B坐标为(1,4)时，直线AB的方程为x＝1； 当点B坐标为(5，－4)时，直线AB的方程为3x＋4y＋1＝0． 故所求直线的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0． 18.已知，，，在中： (1)求BC边所在直线的方程； (2)求BC边上的中线､高线所在直线的方程. 【答案】(1) (2)BC边上的中线方程为，高线方程为 【分析】（1）根据两点式求解即可； （2）根据中点坐标公式可得的中点，再根据两点式可得边上的中线方程；根据直线垂直斜率的关系，结合点斜式可得BC边上的高线方程. 【详解】（1）边过两点，， 由两点式，得直线方程为，即， 故边所在的直线方程为 （2）设的中点为， 则，，故， 又边的中线过点， 所以，即， 所以边上的中线所在直线的方程为. 又斜率为，故边上高线的斜率为，又高线过，故边上高线方程为，即. 故边上的高线方程为 19.设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别求m的值． (1)在x轴上的截距为1； (2)斜率为1； (3)经过定点P(－1，－1)． 【解析】(1)∵直线过点P′(1,0)，∴m2－2m－3＝2m－6. 解得m＝3或m＝1.又∵m＝3时，直线l的方程为y＝0，不符合题意，∴m＝1. (2)由斜率为1，得解得m＝. (3)直线过定点P(－1，－1)，则－(m2－2m－3)－(2m2＋m－1)＝2m－6，解得m＝，或m＝－2. 20.已知直线． (1)求直线所过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【解析】（1）由，即， 则，解得，所以直线过定点. （2）因为直线不过第四象限，结合图形可知，直线的斜率存在，所以， 此时，直线的方程可化为，记点，则， 由图可得，解得，因此，实数的取值范围是. （3）已知直线，且由题意知， 令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 21.已知直线l过点P(1,4),且分别交x轴、y轴的正半轴于点A,B,O为坐标原点,求: (1)△AOB面积的最小值及此时直线l的方程; (2)OA+OB取最小值时的直线l的方程; (3)PA·PB取最小值时的直线l的倾斜角. 【解析】由题意设A(a,0),B(0,b),a>0,b>0,则直线l的方程为+=1(a>0,b>0).因为直线l过点P(1,4),所以+=1. (1) 因为1=+≥2,所以ab≥16,所以S△AOB=ab≥8,当且仅当=,即a=2,b=8时取“=”,所以△AOB面积的最小值为8,此时直线l的方程为+=1,即4x+y-8=0. (2)易得OA+OB=a+b=(a+b)=5++≥5+2=9,当且仅当=,即a=3,b=6时取“=”,此时直线l的方程为+=1,即2x+y-6=0. (3) 解法一:设直线l与x轴所成的角为θ,则PA=,PB=,所以PA·PB=·=≥8,当且仅当sin 2θ=1,即θ=时取“=”,此时直线l的倾斜角为π-θ=. 解法二:易得=(a-1,-4),=(-1,b-4),则PA·PB=-·=-(a-1,-4)·(-1,b-4)=a+4b-17=(a+4b)-17=+≥2=8,当且仅当a=b=5时取“=”,此时直线l的倾斜角为. 方法技巧 求解与直线方程有关的面积问题,关键是由直线方程求出相应点的坐标或者相关长度,此时注意点在直线上,即点的坐标适合直线方程,再结合函数的单调性或基本不等式求解. 1 学科网（北京）股份有限公司 $