专题1.4 点到直线的距离 讲义-义-2026年暑假预习新高二数学沪教版选择性必修第一册

2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题1.4 点到直线的距离 知识点一、点到直线的距离 1．点到直线的距离的定义： 点到直线的距离，是指从点到直线的垂线段的长度，其中为垂足．实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外一点所连线段的长度的最小值． 2．点到直线的距离公式： 平面上任意一点到直线l：Ax+By+C=0（A，B不同时为0）的距离为． 【点拨】（1）用向量法推导点P到直线l的距离|PQ|公式的向量法推导，在直线上取任意一点M，与直线方向向量垂直的单位向量为n，则有 ，所以有. （2）对于与坐标轴平行（或重合）的直线x=a或y=b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成或． （3）若已知点到直线的距离求参数或直线方程时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可． 知识点二、两条平行直线间的距离 1．两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长． 2．两条平行直线间的距离公式 一般地，两条平行直线（其中A与B不同时为0，且）间的距离． 知识点三、对称问题 对称问题包括点关于点的对称、点关于直线的对称、直线关于点的对称． 1．点关于点对称 点关于点的对称是对称问题中最基本的问题，是解决其他对称问题的基础，一般用中点坐标公式解决这种对称问题． 设点关于点M（a，b）的对称点为P′（x，y），则有，所以，即点．特别地，点P关于坐标原点O的对称点为． 2．点关于直线对称 对于点关于直线的对称问题，若点P关于直线l的对称点为，则直线l为线段的中垂线，于是有等量关系： ①（直线l的斜率存在且不为零）； ②线段的中点在直线l上； ③直线l上任意一点M到P，的距离相等，即． 常见的点关于直线的对称点： ①点关于x轴的对称点；②点关于y轴的对称点； ③点关于直线y=x的对称点；④点关于直线y=−x的对称点； ⑤点关于直线x=m（m≠0）的对称点； ⑥点关于直线y=n（n≠0）的对称点. 知识点一、点到直线的距离 题型01：求点到直线的距离 【例1】点P(-1，-1)到直线的距离为 ________ 【例2】点到直线距离的最大值为________ 【跟踪训练】 1. 点到直线的距离为 . 2.直线过点，且原点与距离为5，则直线的方程为 . 3.已知定点..和直线：，则点到直线的距离的最大值为_____ 4. 已知直线恒过定点，则点到直线的距离为 . 5. 点 到直线的距离的最大值是 6．点到直线的距离的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7.已知的三个顶点的坐标分别为. (1)求点到直线的距离； (2)求边上的高所在直线的方程. 题型02：已知点到直线距离求参数或方程 【例3】已知点到直线的距离不小于，则实数的取值范围是_________. 【例4】中，，边上的中线所在直线方程为：，的平分线方程为：，则直线的方程为 ． 【跟踪训练】 1．若点，到直线的距离相等，则_______ 2．已知两点和到直线距离相等，则值为_______ 3．若点，到直线的距离相等，则________ 4.已知两点A(3,2)，B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为_______ 题型03：求到两点距离相等的直线方程 【例5】已知，，若，到直线的距离都等于，则满足条件的直线共有______条 【跟踪训练】 1. 已知直线经过点，且点到直线的距离相等，则直线的方程为 . 2.已知过点的直线，且点与点到直线l的距离相等，则直线的方程为（　　） A． B． C．或 D．或 知识点二、平行线间的距离 题型04：求平行线间的距离 【例6】若直线x＋3y－9＝0与直线x＋3y－c＝0的距离为，则c的值为_______ 【例7】两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离等于______ 【跟踪训练】 1. 平行直线与之间的距离为________． 2．直线与直线间的距离为_______ 3．两平行直线，之间的距离为_______ 4．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是_______ 5．若直线与直线平行，那么这两条直线之间的距离为______ 题型05：由平行线间的距离求参数 【例8】已知直线与直线间的距离为2，则（    ） A．或4 B．4 C．或6 D．或16 【跟踪训练】 1．已知直线与的距离为，则c的值为（    ） A．9 B．11或 C． D．9或 2．若直线与之间的距离为，则a的值为（    ） A．4 B． C．4或 D．8或 知识点三、对称问题 题型06：点的对称问题 【例9】点关于直线的对称点的坐标为（ ） A． B．C． D． 【例10】已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 2.点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3.已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 题型07：直线的对称问题 【例11】已知直线与直线关于点对称，则实数的值为_____ 【跟踪训练】 1．直线关于点对称的直线的方程为____________________． 2．直线关于点对称的直线方程是______________________． 3．与直线关于x轴对称的直线的方程为（ ） A． B． C． D． 4．直线关于直线：对称的直线方程为（ ） A． B． C． D． 题型08：光线反射问题 【例12】一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为 . 【例13】已知一条光线从点发出被直线反射，若反射光线过点，则反射光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.一条光线沿经过点且斜率为的直线射到x轴上后反射，则反射光线所在的直线方程为 ． 2.已知，从点射出的光线经x轴反射到直线上，又经过直线反射到P点，则光线所经过的路程为（    ） A． B．6 C． D． 3.一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为 4.在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 知识点四、综合提升 题型09：与距离公式有关的最值问题 【例14】设直线，为直线上动点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【例15】若实数：x，y满足关系式，则式子的最小值为（ ） A． B． C． D． 【例16】已知x，y为实数，代数式的最小值是 ． 【跟踪训练】 1. 已知实数满足，求函数的最小值． 2. 若点在直线上，则的最小值为 . 3.已知点，点分别是x轴和直线上的两个动点，则的最小值等于 ． 4. 已知点，点在轴上，则的最小值为 . 5. 设点，点和分别为直线和轴上的两动点，则的周长的最小值为 ． 6.已知，满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 题型10：直线围成图形的面积问题 【例17】已知的三个顶点，，. (1)求直线的方程； (2)求的面积. 【例18】如图，将一块三角形的玉石置于平面直角坐标系中，已知，，点，图中阴影三角形部分为玉石上的瑕疵，为了将这块玉石雕刻成工艺品，要先将瑕疵部分切割掉，可沿经过点的直线进行切割．    (1)求直线的倾斜角的取值范围． (2)是否存在直线，使得点关于直线的对称点在线段上？ (3)设玉石经切割后剩余部分的面积为，求的取值范围． 【跟踪训练】 1. 已知的三个顶点坐标分别为、、. （1）求边边所在直线的方程； （2）求的面积. 2. 已知直线过点，且分别与轴正半轴、轴正半轴交于点、，（为坐标原点） （1）当的面积为时，求直线的一般式方程； （2）当取最小时，求直线的一般式方程. 3.已知直线：，直线：． (1)分别写出直线、恒过定点P、Q的坐标，并求直线PQ的方程； (2)若直线、相交于点R（异于P、Q两点），求△PQR面积的最大值． 一、填空题 1.点P(-1，-1)到直线的距离为_______ 2.平行直线与之间的距离为 ． 3.点到直线的距离是 ． 4.平行直线与的距离为 ． 5．倾斜角为60°，并且与原点的距离是5的直线方程为________． 6.设，若直线与直线之间的距离为，则的值为 ． 7.已知点与点关于直线l对称，则直线l的方程为 ． 8．已知直线与直线关于直线对称，则的值为______ 9.中，，、的平分线方程为、，则直线BC的方程是 ． 10.已知从点射出的光线经直线上的点反射后经过点.则 . 11.已知动点在直线上，则的最小值为 . 12．已知的顶点为、、，直线与平行，且将分成面积相等的两部分，则直线的方程为 ． 二、选择题 13.已知直线与平行，且、之间的距离与点到的距离均为，则在轴上的截距为（   ） A． B． C． D． 14．直线关于直线对称的直线方程是（ ） A． B． C． D． 15.，，为直角三角形的三边长，且为斜边，点在直线上，则的最小值是（ ）． A．1 B．2 C．4 D．8 16.如图已知，若光线L从点射出，直线AB反射后到直线OB上，再经直线OB反射回原点P，则光线L所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 三、解答题 17.已知点，直线. (1)求过点，且与直线平行的直线的方程； (2)光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，求反射光线所在直线的方程. 18.已知直线，点.求: (1)点关于直线的对称点的坐标; (2)直线关于直线的对称直线的方程; (3)直线关于点对称的直线的方程. 19.如图，已知，，，直线：． (1)求直线经过的定点坐标； (2)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程． 20.过点的直线分别交与于两点. (1)若直线的倾斜角为，求直线的一般式方程. (2)当最小时，求直线的方程； (3)已知为坐标原点，设的面积为，讨论这样的直线的条数. 21．在平面直角坐标系中，对于及直线l，记、、分别表示A、B、C到l的距离，且．对于给定的，记的最小值为． (1)已知定点，，，直线l的方程为，求的值； (2)已知，，为给定的不共线的三点，若直线使得，求证：直线过的重心； (3)若对于，满足的不同直线l至少有两条，试判断的形状，并予以证明． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题1.4 点到直线的距离 知识点一、点到直线的距离 1．点到直线的距离的定义： 点到直线的距离，是指从点到直线的垂线段的长度，其中为垂足．实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外一点所连线段的长度的最小值． 2．点到直线的距离公式： 平面上任意一点到直线l：Ax+By+C=0（A，B不同时为0）的距离为． 【点拨】（1）用向量法推导点P到直线l的距离|PQ|公式的向量法推导，在直线上取任意一点M，与直线方向向量垂直的单位向量为n，则有 ，所以有. （2）对于与坐标轴平行（或重合）的直线x=a或y=b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成或． （3）若已知点到直线的距离求参数或直线方程时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可． 知识点二、两条平行直线间的距离 1．两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长． 2．两条平行直线间的距离公式 一般地，两条平行直线（其中A与B不同时为0，且）间的距离． 知识点三、对称问题 对称问题包括点关于点的对称、点关于直线的对称、直线关于点的对称． 1．点关于点对称 点关于点的对称是对称问题中最基本的问题，是解决其他对称问题的基础，一般用中点坐标公式解决这种对称问题． 设点关于点M（a，b）的对称点为P′（x，y），则有，所以，即点．特别地，点P关于坐标原点O的对称点为． 2．点关于直线对称 对于点关于直线的对称问题，若点P关于直线l的对称点为，则直线l为线段的中垂线，于是有等量关系： ①（直线l的斜率存在且不为零）； ②线段的中点在直线l上； ③直线l上任意一点M到P，的距离相等，即． 常见的点关于直线的对称点： ①点关于x轴的对称点； ②点关于y轴的对称点； ③点关于直线y=x的对称点； ④点关于直线y=−x的对称点； ⑤点关于直线x=m（m≠0）的对称点； ⑥点关于直线y=n（n≠0）的对称点. 知识点一、点到直线的距离 题型01：求点到直线的距离 【例1】点P(-1，-1)到直线的距离为 ________ 【分析】由点到直线距离公式求解. 【详解】由点到直线的距离公式可得， ， 【例2】点到直线距离的最大值为________ 【分析】首先确定直线所过的定点，再利用数形结合求点到直线的距离的最大值. 【详解】直线：，    令，，得直线过定点， 所以直线表示过定点的直线，如图，当时，表示点到直线的距离， 当不垂直于时，表示点到直线的距离，显然， 所以点到直线距离的最大值为, 所以点到直线距离的最大值为. 【跟踪训练】 1. 点到直线的距离为 . 【答案】 【分析】直接利用点到直线的距离公式计算可得. 【详解】点到直线的距离. 故答案为： 2.直线过点，且原点与距离为5，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】对直线的斜率分类讨论，利用点斜式设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】当直线的斜率不存在时，直线方程为,则原点到其距离为4，不成立； 当直线的斜率存在时，设为，则直线的方程为，即， 根据点到直线的距离公式，直线到点的距离为： ， 依题意，，即，，， 解得，因此直线的方程为，即. 故答案为：. 3.已知定点..和直线：，则点到直线的距离的最大值为_____ 【分析】确定直线过定点，故点到直线的距离的最大值为，计算得到答案. 【详解】直线，整理得， 由，解得，故直线过定点 故点到直线的距离的最大值为. 4. 已知直线恒过定点，则点到直线的距离为 . 【答案】 【分析】先求出直线恒过定点的坐标，然后代入点到直线的距离公式求解即可. 【详解】直线可化为， 令，解得，于是此直线恒过点. 由点到直线的距离公式得到直线的距离. 故答案为： 5. 点 到直线的距离的最大值是 【答案】3 【分析】先根据点到直线距离公式求距离，再根据三角函数性质求最大值. 【详解】因为点 到直线的距离为， 又， ，， 因此当时，取最大值，且， 故答案为：3. 6．点到直线的距离的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由点到距离公式把距离表示成的三角函数，根据三角函数性质求得距离的取值范围. 【详解】 由点到直线距离公式有： P到直线的距离为， 其中， 由三角函数性质易知，， 故， 故选：C. 7.已知的三个顶点的坐标分别为. (1)求点到直线的距离； (2)求边上的高所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出直线的一般式方程，再由点到直线距离公式计算即可； （2）由直线方程的点斜式求解即可. 【详解】（1）由已知，直线的斜率为， ∴直线的方程为，即. ∴点到直线的距离为. （2）由第（1）问，直线的斜率为， ∴边上的高所在直线的斜率为， 又∵边上的高所在直线过点， ∴边上的高所在直线的方程为，即. 题型02：已知点到直线距离求参数或方程 【例3】已知点到直线的距离不小于，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【分析】 根据点到直线的距离公式可得解出可得结果. 【详解】 解：由题意可得：， 化为， 解得或. 故答案为. 【点睛】 本体考察了不等式的性质、点到直线的距离公式，考察了推理能力和计算能力，属于基础题. 【例4】中，，边上的中线所在直线方程为：，的平分线方程为：，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】设点坐标，由中点在直线上，得到点坐标，从而得出直线方程，设直线方程，由角平分线的性质可以得到直线上任意一点到两边所在直线距离相等，由此建立方程，得出直线方程. 【详解】设，则中点， ∴，∴，∴， 则直线：， 设直线：，即， 取上一点 ，则点到直线和直线距离相等， 则，即， ∴或（舍去）， 故直线：. 故答案为： 【跟踪训练】 1．若点，到直线的距离相等，则_______ 【分析】分在直线的同侧和分别在直线的两侧两种情况分析即可求解. 【详解】若，在直线的同侧，则，解得； 若，分别在直线的两侧，则直线经过的中点， 则，解得． 2．已知两点和到直线距离相等，则值为_______ 【详解】根据点到直线的距离公式列出等式，由此能求出． 【解答】两点和到直线距离相等， ，解得，或． 3．若点，到直线的距离相等，则________ 【分析】根据斜率公式以及中点坐标即可求解. 【详解】若，在直线的同侧，则，解得． 若，分别在直线的两侧，则直线经过的中点，则，解得． 4.已知两点A(3,2)，B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为_______ 解析　方法一　依题意得，直线mx＋y＋3＝0过线段AB的中点或与直线AB平行． ①线段AB的中点坐标为(1,3)，且在直线mx＋y＋3＝0上． ∴m＋3＋3＝0，解得m＝－6； ②由两直线平行知＝－m，解得m＝. 因此m的值为－6或. 方法二　由题意得＝. 解得m＝－6或m＝. 题型03：求到两点距离相等的直线方程 【例5】已知，，若，到直线的距离都等于，则满足条件的直线共有______条 【答案】3 【分析】分别研究位于直线同侧以及位于直线两侧时的情况，即可得出答案. 【详解】当位于直线同侧时，只有时，且两平行线之间的距离为时，满足条件，这样的直线有2条； 又， 所以位于直线两侧时，只有当直线恰为直线的中垂线时，满足条件，此时的直线有1条. 综上所述，满足条件的直线共有3条. 【跟踪训练】 1. 已知直线经过点，且点到直线的距离相等，则直线的方程为 . 【答案】或 【分析】根据点到直线的距离公式，即可根据直线有无斜率求解. 【详解】当直线有斜率时，设直线方程为， 到直线的距离相等，则，解得， 所以直线方程为，即， 当直线无斜率时，则直线方程为，此时到直线的距离均为3，符合题意， 综上可得：或， 故答案为：或 2.已知过点的直线，且点与点到直线l的距离相等，则直线的方程为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据直线有无斜率，分类讨论，结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，与点到的距离为1，符合题意， 当直线的斜率存在时，设为， 则可设直线方程为：，即， 由于点与点到直线的距离相等， 则，解得， 故直线的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或． 故选：C． 知识点二、平行线间的距离 题型04：求平行线间的距离 【例6】若直线x＋3y－9＝0与直线x＋3y－c＝0的距离为，则c的值为_______ 【分析】 由题意利用两条平行线间的距离公式，可的c的值． 【详解】 由两平行线间的距离公式得， d＝＝， 所以| c－9|＝10，得c＝－1或c＝19． 【例7】两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离等于______ 【分析】 l1的方程可化为9x＋12y－6＝0，再由平行线间的距离公式可得答案. 【详解】 l1的方程可化为9x＋12y－6＝0， 又l2：9x＋12y－10＝0， 所以，由平行线间的距离公式得， 两条平行线间的距离d＝＝. 【跟踪训练】 1. 平行直线与之间的距离为________． 【答案】 【分析】两条平行线之间的距离就是其中一条直线上的一个点到另一条直线的距离，结合点到直线的距离公式运算求解. 【详解】两条平行线之间的距离就是其中一条直线上的一个点到另一条直线的距离， 为方便计算，我们在直线上取一个特殊点， 则点到直线的距离为， 所以直线与之间的距离为． 2．直线与直线间的距离为_______ 【分析】根据平行直线间的距离公式计算即可. 【详解】可变为，则两条平行直线间的距离为． 3．两平行直线，之间的距离为_______ 【分析】根据两平行直线的距离公式来求得正确答案. 【详解】由题意可知可以化为， 所以两平行直线，之间的距离. 4．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是_______ 【分析】先求出，然后由平行线之间的距离求解即可. 【详解】直线即直线，与直线平行，则， 故所求即为平行直线与之间的距离， 即所求为. 5．若直线与直线平行，那么这两条直线之间的距离为______ 【分析】根据两直线平行可得参数，进而确定平行线间距离. 【详解】有已知直线与直线平行， 则，即， 此时直线与直线，即满足平行， 则两直线间距离， 题型05：由平行线间的距离求参数 【例8】已知直线与直线间的距离为2，则（    ） A．或4 B．4 C．或6 D．或16 【答案】D 【分析】利用平行线间的距离公式求解即可. 【详解】由题意可知，直线与直线平行，所以， 因为直线与直线间的距离为2， 所以，解得或. 故选：D. 【跟踪训练】 1．已知直线与的距离为，则c的值为（    ） A．9 B．11或 C． D．9或 【答案】B 【分析】化简直线方程，再利用平行间距离公式求解作答. 【解析】直线，即，因为它与直线的距离为， 所以，解得或， 所以或. 故选：B 2．若直线与之间的距离为，则a的值为（    ） A．4 B． C．4或 D．8或 【答案】C 【分析】将直线化为，再根据两平行直线的距离公式列出方程，求解即可. 【解析】将直线化为， 则直线与直线之间的距离， 根据题意可得：，即，解得或， 所以a的值为或. 故选：C 知识点三、对称问题 题型06：点的对称问题 【例9】点关于直线的对称点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出垂直于直线且过点的表达式，求出交点坐标，即可得出关于直线的对称点． 【详解】由题意， 在直线中，斜率为， 垂直于直线且过点的直线方程为，即， 设两直线交点为， 由，解得：， ， 点关于直线的对称点的坐标为， 即． 故选：D． 【例10】已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，直线为线段的垂直平分线，求出线段的垂直平分线方程，即为所求. 【详解】由题意可知，直线为线段的垂直平分线，且， 所以直线的斜率为， 又因为线段的中点为，所以直线的方程为， 整理可得. 故选：C. 【跟踪训练】 1.点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点关于直线的对称点为，列出方程组，即可求解. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则满足，解得，即. 故选：C. 2.点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出垂直于直线且过点的表达式，求出交点坐标，即可得出关于直线的对称点． 【详解】由题意， 在直线中，斜率为， 垂直于直线且过点的直线方程为，即， 设两直线交点为， 由，解得：， ， 点关于直线的对称点的坐标为， 即． 故选：D． 3.已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意直线为线段的中垂线，先求出直线的斜率及中点坐标，再根据两直线垂直的性质得到直线的斜率，最后利用点斜式求出方程，化简即可得出. 【详解】因为点关于直线对称的点为，所以直线为线段的中垂线， 因为，中点为，且， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为即. 故选：D 题型07：直线的对称问题 【例11】已知直线与直线关于点对称，则实数的值为_____ 【分析】根据线关于点对称即可得两直线平行，进而根据点的对称代入求解即可. 【详解】由于直线与直线关于点对称， 所以两直线平行，故，则， 由于点在直线上，关于点的对称点为， 故在上，代入可得，故， 【跟踪训练】 1．直线关于点对称的直线的方程为____________________． 【答案】 【分析】根据直线关于点对称，设上的点坐标，写出关于对称的点坐标，根据点在已知直线上求直线方程. 【详解】设为上任意一点，则关于点的对称点为， 因为在直线l上，所以，即直线的方程为． 故答案为： 2．直线关于点对称的直线方程是______________________． 【答案】 【分析】由直线关于点对称的直线与已知直线平行，设出所求直线方程，再根据点到两条直线的距离相等可解出答案. 【详解】设对称直线为， 则有， 解这个方程得（舍）或. 所以对称直线的方程中 故答案为： 3．与直线关于x轴对称的直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由在直线上，则点在该直线关于x轴对称的直线上，即可确定所求的直线. 【详解】若在直线上，则点在该直线关于x轴对称的直线上， 显然在A中的直线上，但不在B、C、D中的直线上. 故选：A 4．直线关于直线：对称的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求两直线的交点，再在直线取点，求点关于直线的对称点，依据两点，，可得所求直线的方程. 【详解】联立，解得.则交点坐标为. 取直线上一点，设点关于直线：的对称点为， 则由，且线段的中点在直线上， 得，解得. 故所求直线过点，. 所以所求直线方程为：，即. 故选：B 题型08：光线反射问题 【例12】一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为 . 【答案】 【分析】先根据点关于直线对称得出，求的斜率，最后结合点斜式写出直线方程即可. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，所以． 又点的坐标为，所以，直线的方程为， 由对称性可知，直线即为入射光线，所以化简得入射光线所在直线的方程为． 故答案为： 【例13】已知一条光线从点发出被直线反射，若反射光线过点，则反射光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出发光点关于直线的对称点，再借助光的反射定律求出反射光线所在直线的方程. 【详解】设点关于直线的对称点为，则，解得， 因此反射光线所在直线过点，方程为，即. 故选：A 【跟踪训练】 1.一条光线沿经过点且斜率为的直线射到x轴上后反射，则反射光线所在的直线方程为 ． 【答案】 【分析】根据点斜式求入射光线所在直线方程，然后利用对称性可得所求. 【详解】由题知，入射光线所在直线方程为，即， 因为入射光线所在直线和反射光线所在直线关于x轴对称， 所以反射光线所在的直线方程为. 故答案为： 2.已知，从点射出的光线经x轴反射到直线上，又经过直线反射到P点，则光线所经过的路程为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】C 【分析】直线AB的方程为：，点关于x轴的对称点，根据对称性特征求得点关于直线AB的对称点， 再根据反射对称性可得光线所经过的路程为，即得结果. 【详解】直线AB的方程为：，如图所示， 点关于x轴的对称点， 设点关于直线AB的对称点，如图，    则，且中点在直线上， 即联立解得，即， 所以根据反射原理的对称性，光线所经过的路程为： ． 故选：C. 【点睛】本题考查了直线的方程、点关于直线的对称点的求法、两点之间的距离公式和光线反射的性质，考查了推理能力与计算能力，属中档题． 3.一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为 【答案】 【分析】根据对称的性质，设点关于直线的对称点为，利用斜率和中点坐标可得，根据点即可求解入射光线直线的方程． 【详解】解：设点关于直线的对称点为， 则， 解得 则入射光线所在直线的方程为：， 即 故答案为：． 4.在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立直角坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点的坐标， 和P关于y轴的对称点的坐标，由四点共线可得直线的方程， 由于过三角形的重心，代入可得关于a的方程，解得P的坐标， 即可求得PB的长和直线方程，进而求得面积. 【详解】    建立直角坐标系，可得,故直线BC的方程为， 则三角形的重心为，即， 设,其中，则点P关于直线BC的对称点， 满足，解得，即， 易得P关于y轴的对称点，由光的反射原理可知四点共线， 直线的斜率为，故直线的方程为， 由于直线过三角形的重心，代入得， 化简得或（舍去），故,,,直线的方程为, 联立,解得,即点Q的坐标为, 则三角形的面积， 故选：A 【点睛】关键点点睛：根据题干设出点P 的坐标，根据对称性和光的反射原理可知 四点共线，进而求出点的坐标，和直线的方程，进而求出点Q的坐标，即可求得结果. 知识点四、综合提升 题型09：与距离公式有关的最值问题 【例14】设直线，为直线上动点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用的几何意义，通过数形结合即可得解. 【详解】 表示点到点距离的平方， 该距离的最小值为点到直线的距离，即， 则的最小值为. 故选：A. 【点睛】 关键点点睛：本题考查点到线的距离公式，利用两点之间距离的几何意义，通过数形结合是解题的关键，属于基础题. 【例15】若实数：x，y满足关系式，则式子的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据的几何意义，结合点到直线距离公式求得的最小值. 【详解】 ，表示点到点的距离. 点到直线的距离为. 故选：A 【例16】已知x，y为实数，代数式的最小值是 ． 【答案】5 【分析】利用两点间的距离公式的几何意义，将代数问题转化为几何问题求解，即可得到答案. 【详解】即，几何意义为点与点的距离； 即，几何意义为点与点的距离； 即，几何意义为点与点的距离， 分别作关于轴的对称点，关于轴的对称点， 连接，则， ∴ ， 当且仅当分别为与轴，轴的交点时，等号成立， 故答案为：5. 【跟踪训练】 1. 已知实数满足，求函数的最小值． 【答案】最小值是1 【分析】由函数，转化为点与直线上的动点的距离的平方，结合点直线的距离公式，即可求解. 【详解】由题意，函数， 表示点与直线上的动点的距离的平方， 当时，取得最小值，即点到直线距离的平方， 因为，所以的最小值是1. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了点到直线的距离公式及其应用，其中解答中把函数转化为点到直线的距离的平方是解答的关键，着重考查转化思想，以及计算能力. 2. 若点在直线上，则的最小值为 . 【答案】/0.8 【分析】转化为求直线上点到定点距离的平方的最小值，由点到直线距离可得解. 【详解】表示点到点距离的平方，又点在直线上， 问题转化为求直线上点到定点距离的平方的最小值， ， 所以得最小值为. 故答案为：. 3.已知点，点分别是x轴和直线上的两个动点，则的最小值等于 ． 【答案】 【分析】作关于轴的对称点，由此将问题转化为“求的最小值”，然后判断出最小值即为到的距离，代入公式可求结果. 【详解】如图，作点关于轴的对称点，则， 此时最小值即为到直线的距离，即， 所以的最小值为， 故答案为：. 4.已知点，点在轴上，则的最小值为 . 【答案】 【分析】依题意作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，则，计算即得的最小值. 【详解】如图作出点关于轴的对称点，连接，交轴于点， 连接，则，此时即为最小值. 理由：在轴上任取点，连接，易得， 则， 故上述点即是使取得最小值的点. 故答案为：.    5.设点，点和分别为直线和轴上的两动点，则的周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题可求点关于轴的对称点，关于的对称点，然后利用数形结合即得. 【详解】因为点，则关于轴的对称点为， 设关于的对称点为， 则，解得，即， 所以，， 所以的周长为， 则当共线时，的周长的值最小， 此时三角形周长为. 故答案为：． 6.已知，满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】先求出点关于线段的对称点的坐标，且有，根据几何意义，结合图形，即可得出取最小值，从而得解. 【详解】如图，过点作点关于线段的对称点，则. 设，则有，解得，所以. 设，则，所以， 又，所以点到轴的距离为， 所以可视为线段上的点到轴的距离与到的距离之和. 过作轴，过点作轴， 显然有，则为所求最小值，此时与线段的交点，即为最小值时的位置. 易得，所以的最小值为. 故选：B． 【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于将问题转化为点到轴的距离与到的距离之和，从而结合图形即可得解. 题型10：直线围成图形的面积问题 【例17】已知的三个顶点，，. (1)求直线的方程； (2)求的面积. 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）首先求出的斜率，再由点斜式求出直线方程； （2）求出点到直线的距离，再求出的长度，最后由面积公式计算可得. 【详解】（1）因为，， 所以，所以，化简可得. （2）点到直线的距离， ， 则. 【例18】如图，将一块三角形的玉石置于平面直角坐标系中，已知，，点，图中阴影三角形部分为玉石上的瑕疵，为了将这块玉石雕刻成工艺品，要先将瑕疵部分切割掉，可沿经过点的直线进行切割．    (1)求直线的倾斜角的取值范围． (2)是否存在直线，使得点关于直线的对称点在线段上？ (3)设玉石经切割后剩余部分的面积为，求的取值范围． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3) 【分析】（1）观察点运动时，直线与线段（不包括端点）有无公共点，数形结合可得出直线的倾斜角的取值范围； （2）假设存在直线，使得点关于直线的对称点在线段上，求出直线的斜率，由题意可知，求出直线的斜率，结合（1）中的结论判断即可； （3）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，当轴时，直接求出的值；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，求出点、的坐标，可求出面积的取值范围，进而可得出的取值范围，综合可得出结论. 【详解】（1）解：由图可知，点在第一象限，设点， 因为，，则， 所以，，解得，即点， 由题图可知，当点从原点沿着轴的正方向移动时，直线的倾斜角在逐渐增大， 当直线与直线重合时，设直线交轴的交点为，如下图所示：    当点在线段上运动时，直线与线段（不包括端点）没有公共点， 当点在线段（不包括点）上运动时，直线与线段（不包括端点）有公共点， 且直线的斜率为，直线的倾斜角为， 综上所述，直线倾斜角的取值范围是. （2）解：由（1）可知，、，则直线的斜率为， 假设存在直线，使得点关于直线的对称点在线段上， 此时，，则， 此时，直线的倾斜角满足，不合乎题意， 因此，不存在直线，使得点关于直线的对称点在线段上. （3）解：当轴时，此时，为线段的垂直平分线， 此时，； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，其中， 直线的方程为，即， 联立可得，即点， 联立可得，即点， 所以，， 所以， ， 因为，则，所以，， 综上所述，的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问在求解三角形面积的取值范围时，要注意对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在设出直线的方程后，关键要求出点、的坐标，再利用三角形的面积公式以及函数思想求范围. 【跟踪训练】 1. 已知的三个顶点坐标分别为、、. （1）求边边所在直线的方程； （2）求的面积. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）求出直线的斜率，然后利用点斜式方程可得出直线的方程； （2）求出，并利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，然后利用三角形的面积公式可求出的面积. 【详解】（1）直线的斜率为， 因此，边边所在直线的方程为，即； （2）由两点间的距离公式得， 点到直线的距离为. 因此，的面积为. 【点睛】本题考查直线方程的求解，同时也考查了三角形面积的计算，涉及两点间的距离公式和点到直线距离公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 2. 已知直线过点，且分别与轴正半轴、轴正半轴交于点、，（为坐标原点） （1）当的面积为时，求直线的一般式方程； （2）当取最小时，求直线的一般式方程. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）设直线的截距式方程，结合三角形面积公式即可得解； （2）设直线的方程为，表示出点、，进而可得，表示出后结合基本不等式即可得解. 【详解】（1）由题意，设直线的方程为， 则，所以， 又直线过点，所以，所以， 所以直线的方程为即； （2）设直线的方程为，则，， 所以，， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以当取最小时，（正值舍去）， 此时直线方程为即. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是设出合理的直线方程，结合两点间距离公式及基本不等式运算即可得解. 3.已知直线：，直线：． (1)分别写出直线、恒过定点P、Q的坐标，并求直线PQ的方程； (2)若直线、相交于点R（异于P、Q两点），求△PQR面积的最大值． 【答案】(1)，；(2)2 【分析】（1）由两条直线的方程可得恒过的定点的坐标； （2）求出两条直线的交点R的坐标，进而求出R到直线PQ的距离d的表达式，由函数的单调性可知d的最大值，进而求出三角形面积的最大值． 【详解】（1）直线：，可得直线恒过定点 直线：可得， 所以直线PQ的方程为：，即；    （2）由（1）可得， 联立，可得，， 即， 所以R到直线PQ的距离 ， 因为，所以， 所以， 即d的最大值为， 所以． 即的面积的最大值为2． 一、填空题 1.点P(-1，-1)到直线的距离为_______ 【分析】由点到直线距离公式求解. 【详解】由点到直线的距离公式可得， ， 2.平行直线与之间的距离为 ． 【答案】 【分析】直接由平行线的距离公式求解即可. 【详解】直线即为， 则平行直线与之间的距离为.故答案为： 3.点到直线的距离是 ． 【答案】/2.4 【分析】利用点到直线的距离公式可得答案. 【详解】由题意点到直线的距离是. 故答案为： 4.平行直线与的距离为 ． 【答案】 【分析】按照平行线间的距离公式求解即可. 【详解】直线即为， ∴平行直线与的距离. 故答案为：. 5．倾斜角为60°，并且与原点的距离是5的直线方程为________． 解析：因为直线斜率为tan 60°＝，可设直线方程为y＝x＋b，化为一般式得x－y＋b＝0.由直线与原点距离为5，得＝5⇒|b|＝10.所以b＝±10，所以所求直线方程为x－y＋10＝0或x－y－10＝0. 答案：x－y＋10＝0或 x－y－10＝0 6.设，若直线与直线之间的距离为，则的值为 ． 【答案】2或 【分析】根据平行线间距离公式即可求解. 【详解】由题意可得，解得或， 故答案为：2或 7.已知点与点关于直线l对称，则直线l的方程为 ． 【答案】 【分析】利用斜率之积为，中点坐标公式和点斜式共同求出直线方程. 【详解】设直线l的斜率为k， 则， 直线的中点坐标为， 所以由点斜式写出直线方程为，即. 故答案为：. 8．已知直线与直线关于直线对称，则的值为______ 【分析】分析可得三条直线互相平行，根据两平行的距离公式计算可得结果. 【详解】由题意得，直线， ∴两直线与直线间的距离相等， ∵方程可化为：，， ∴，解得. 9.中，，、的平分线方程为、，则直线BC的方程是 ． 【答案】 【分析】先求出点关于直线、的对称点的坐标，由于它们都在直线BC上，再利用两点式方程求解即可． 【详解】∵、的平分线方程为、， ∴AB与BC对于对称，AC与BC对于对称． 因为点关于的对称点在直线BC上， 点关于的对称点也在直线BC上． 由两点式得 所求直线BC的方程：. 故答案为：. 10.已知从点射出的光线经直线上的点反射后经过点.则 . 【答案】 【分析】设点关于直线的对称点为，列出方程组，求得，结合垂直平分线的性质，利用，即可求解. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，即 因为反射光线进过点，根据垂直平分线的性质，可得： . 故答案为：. 11.已知动点在直线上，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】根据题意可知表示动点到坐标原点，利用点到直线的距离求最小值. 【详解】因为表示动点到坐标原点， 所以的最小值为到线的距离. 故答案为：2. 12．已知的顶点为、、，直线与平行，且将分成面积相等的两部分，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】根据相似三角形的性质，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【解析】设直线与 、分别交于两点，因为直线与平行， 所以∽，设点到直线与的距离分别为， 因为直线与平行，且将分成面积相等的两部分， 所以， 因为、， 所以直线的方程为：， 因为直线与平行，所以设直线的方程为， 于是有，， 因此有， 当时，直线的方程为，令，得， 此时显然点在直线与直线之间，不符合题意， 当时，直线的方程为，令，得， 此时显然直线与边 、分别相交，符合题意， 故答案为： 二、选择题 13.已知直线与平行，且、之间的距离与点到的距离均为，则在轴上的截距为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设直线的方程为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，化简直线的方程，即可得出结果. 【详解】因为直线与平行，设直线的方程为， 因为、之间的距离与点到的距离均为， 则，解得， 所以，直线的方程为，即， 故直线在轴上的截距为. 故选：B. 14．直线关于直线对称的直线方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设所求直线上任意一点的坐标为，利用对称的性质得到点P关于直线对称的点为代入直线即可求得结果. 【详解】设所求直线上任意一点的坐标为，该点关于直线对称的点的坐标为， 则,故对称点坐标为，代入直线上，， 故选：D 15.，，为直角三角形的三边长，且为斜边，点在直线上，则的最小值是（ ）． A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】首先可根据题意得出，然后根据两点间距离公式可知表示原点到点的距离，从而得出当原点到点的线段与直线垂直时最小，最后根据点到直线距离公式即可得出结果. 【详解】因为、、为直角三角形的三边长，且为斜边， 所以， 因为点在直线上，表示原点到点的距离， 所以当原点到点的线段与直线垂直时，最小， 因为原点到直线的距离为， 所以最小值为，此时， 故选：C. 【点睛】本题考查点到直线距离公式的应用，能否明确表示原点到点的距离是解决本题的关键，考查学生对两点间距离公式的理解，考查推理能力，是中档题. 16.如图已知，若光线L从点射出，直线AB反射后到直线OB上，再经直线OB反射回原点P，则光线L所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由点P关于y轴的对称点，设点P关于直线的对称点列方程组求出，，从而求出直线，联立，得M点坐标，由此能求出光线L所在的直线方程． 【详解】由题意知，过点和点的直线为，且点， 设光线分别射在AB、OB上的M、N处， 由于光线从点P经两次反射后又回到P点， 根据反射规律，则 作出点P关于OB的对称点，作出点P关于AB的对称点， 则 所以共线， 因为，所以， 点P关于y轴的对称点 设点P关于直线的对称点 ，解得 ∴直线，即 联立，得 ∴直线，即光线L所在的直线方程为 故选D． 三、解答题 17.已知点，直线. (1)求过点，且与直线平行的直线的方程； (2)光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，求反射光线所在直线的方程. 【答案】(1);(2) 【分析】（1）根据平行设出直线方程，再根据点在线上求参即可； （2）设点关于直线的对称点为，再根据斜率及中点在直线上求出，最后应用两点式写出直线方程. 【详解】（1）因为直线与直线平行，直线的方程为， 故可设直线的方程为， 因为点在直线上， 所以， 所以， 所以直线的方程为 （2）设点关于直线的对称点为． 由题意得， 解得，所以点的坐标为， 所以反射光线所在直线斜率为， 直线方程为． 18.已知直线，点.求: (1)点关于直线的对称点的坐标; (2)直线关于直线的对称直线的方程; (3)直线关于点对称的直线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据中点和斜率列方程组来求得对称点的坐标. （2）在直线上取一点，并求其关于直线的对称点，然后结合直线与直线的交点来求得对称直线的方程. （3）利用相关点代入法来求得对称直线的方程. 【详解】（1）设，由已知条件得 所以. （2）在直线上取一点，则关于直线l的对称点必在直线上. 设对称点，则故. 设直线与直线的交点为，则由即. 又因为经过点，所以由两点式得， 整理直线的方程为. （3）设为上任意一点， 则关于点的对称点为， 因为在直线上，所以，即. 19. 如图，已知，，，直线：． (1)求直线经过的定点坐标； (2)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分离参数，列方程可得直线过定点； （2）分别求点关于直线与的对称点与，进而可得，再根据对称性可得，即可得直线方程. 【详解】（1）由直线：，即， 令，解得， 故直线恒过定点； （2）设关于的对称点，则， 关于的对称点， 由直线的方程为，即， 所以，解得， 所以， 由题意得、、、四点共线，， 由对称性得， 所以入射光线的直线方程为， 即． 20.过点的直线分别交与于两点. (1)若直线的倾斜角为，求直线的一般式方程. (2)当最小时，求直线的方程； (3)已知为坐标原点，设的面积为，讨论这样的直线的条数. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）直接根据点斜式得到答案. （2）考虑斜率存在和不存在两种情况，计算交点坐标得到，得到最值和直线方程. （3）考虑直线斜率存在和不存在两种情况，计算，得到，，讨论得到答案. 【详解】（1）若直线的倾斜角为，则直线的方程为，即； （2）法一：当直线的斜率不存在时，； 当直线的斜率存在时，设直线，， 得，得， ， ， 所以， 综上所述：的最小值为3，此时直线的斜率不存在，直线方程为. 法二：前面部分同法一， 注意到，且反向， 所以， 综上所述：的最小值为3，此时直线的斜率不存在，直线方程为. （3）当直线斜率不存在时，，，； 当直线斜率存在时，，，， ， 即， 当时，方程有1解，此时； 当时，， 当时，，方程无解； 当时，，，方程有1解； 当时，，，对称轴，且，方程有两个大于1的解. 当时，，开口向下，，，方程有1个大于1的解，一个小于的解. 综上所述： 当时，0条；当时，1条；当时，2条. 21．在平面直角坐标系中，对于及直线l，记、、分别表示A、B、C到l的距离，且．对于给定的，记的最小值为． (1)已知定点，，，直线l的方程为，求的值； (2)已知，，为给定的不共线的三点，若直线使得，求证：直线过的重心； (3)若对于，满足的不同直线l至少有两条，试判断的形状，并予以证明． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)等边三角形，证明见解析 【分析】（1）根据定义及点到直线距离公式即可求解； （2）设，，，直线，根据定义得出，由二次函数的性质得，，代入直线方程即可证明； （3）不妨设，，，，l的方程为，，得出，由反证法得出，即可证明． 【详解】（1），，， 故． （2）设，，，直线， 对任意固定的a、b，要使得 ，最小， 那么由二次函数的性质可得，， 此时直线方程为， 过的重心，因此过的重心． （3）由（2）知，取最小值时，l过的重心，不失一般性， 不妨设，，，其中， 此时l的方程为，这里θ表示直线l的倾斜角， 此时 ， 此时为关于θ的函数、定义域为的函数， 令，，， 则， 若或，那么函数在上有且仅有一个最小值，这与已知条件取最小值至少有两条直线满足条件矛盾． 因此必须有且，即， 由得， 不妨取， 所以，，， 所以，即， 所以为等边三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $