专题1.3 两条直线的位置关系 讲义-2026年暑假预习新高二数学沪教版选择性必修第一册

2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题1.3 两条直线的位置关系 知识点一、两条直线的位置关系 平面内两条直线的位置关系有三种：重合、平行、相交。有三种判定方法： 1、方程组法：设直角坐标系平面上两条直线方程为： ： ： 联立方程组为： （1）方程组有唯一解时，此时直线相交于一点，坐标即方程组的解。 （2）方程组无解，此时直线没有公共点，即两直线平行。 （3）方程组无穷解，此时直线重合 2、斜率法：当直线不平行于坐标轴时，直线与直线的位置关系可斜率法，把直线方程都化为斜截式，利用直线的斜率与截距的关系判断； 和相交； 和垂直； 和平行； 和重合. 注；应用此法的前提是两直线斜率均存在. 3、法向量法。 和相交； 和垂直； 和平行； 和重合. 知识点二、两直线平行的判定 1．特殊情况下的两条直线平行的判定 两条直线中有一条直线没有斜率，当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，故它们互相平行． 2．两条直线的斜率都存在时，两条直线平行的判定： 如图,若斜率都存在且,则l1与l2的倾斜角与相等,由,可得,即.因此,若,则. 反之,当时, ,由倾斜角的取值范围及正切函数的单调性可知, ,因此 于是,对于斜率分别为的两条直线,有． 3.利用一般式方程解决直线平行问题： 直线，直线，若且(或)． 知识三、两直线垂直的判定 1．特殊情况下的两条直线垂直的判定 当两条直线中有一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为0时，即一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°时，两条直线互相垂直． 2．两条直线的斜率都存在时，两条直线垂直的判定：． 3.利用一般式解决直线垂直问题： 直线，直线，若. 知识点四、两直线的夹角 1. 两条相交直线的夹角：我们规定两条相交直线所成的锐角或直角为两条相交直线的夹角. 2.平面上两条直线夹角的范围：.如果两条直线平行或重合，我们规定它们的夹角为0. 3.夹角公式：在平面直角坐标系中，已知两条直线方程为： 则与的法向量为： ，；若夹角为； 所以，；. 注：公式应用前提是两直线的斜率均存在. 知识点一、两条直线位置关系 题型01：判断两直线的位置关系 【例1】判断下列各组中两条直线的位置关系. （1），； （2），； （3），； （4）， 【跟踪训练】 1.直线和的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．重合 2.在同一平面直角坐标系中，直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．重合 D．垂直 3.已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．平行或重合 D．重合 4.判断下列各组直线的位置关系： (1)，； (2)，； (3)，． (4)，． 5. 分别判断下列两条直线的位置关系.如果相交，求出它们的交点坐标. (1)，； (2)，. 题型02：根据两直线的位置关系求参数 【例2】解关于.的一元二次方程组，并对解的情况进行讨论. 【跟踪训练】 1. 直线和的位置关系是（    ） A．平行 B．相交C．重合 D．不确定 2. 若关于，的二元一次方程组无解，则实数 ． 3. 已知直线，，根据下列条件分别求实数的取值范围． (1)与相交； (2)与重合． 知识点二、两条直线平行的判定 题型03：判断两直线的平行 【例3】“直线与平行”是“直线与的斜率相等”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【例4】判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【跟踪训练】 1．下列直线与直线 (与不重合)平行的有 .(填序号) ①经过点，，经过点，； ②的斜率为2，经过点，； ③的倾斜角为，经过点，； ④经过点，，经过点，. 2．根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的倾斜角为60°，经过点，． 题型04：由两直线平行求方程 【例5】经过点且与直线平行的直线方程是 . 【例6】已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点. (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线方程. 【跟踪训练】 1.过点且与直线平行的直线方程为 . 2.与直线平行，且在轴上的截距为的直线方程是 ． 3.经过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 4.已知点和直线：. (1)求过且与直线的平行的直线方程； (2)求点关于直线：的对称点的坐标. 题型05：根据两直线的平行求参数 【例7】已知直线，，若，则的值为______ 【例8】“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例9】已知三条直线，，不能构成三角形，则实数m的取值集合为 ． 【跟踪训练】 1．“”是“直线和直线平行且不重合”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 2.已知直线，若，则 ． 3.已知两条直线，且，则m的值为_______ 4. 若三条不同的直线，，不能围成一个三角形，则a的取值集合为 知识点三、两条直线垂直的判定 题型06：判断两直线的垂直 【例10】直线和直线的位置关系为（    ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【跟踪训练】 1.下列哪条直线与直线垂直（    ） A． B． C． D． 2. 已知为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有__________ 1　 若斜率相等，则平行 2　 若平行，则的斜率相等 3　 若的斜率乘积等于，则垂直 4　 若垂直，则的斜率乘积等于． 题型07：由两直线垂直求方程 【例11】已知直线过点，且与直线垂直，则直线l的一般式方程为 ． 【例12】已知三角形三顶点，则边上的高所在的直线方程为 . 【跟踪训练】 1．直线过点且与直线垂直，则的方程是（　　） A． B． C． D． 2.过点且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 3.已知平面直角坐标系内两点，，则过点且与直线垂直的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 4.求过两条直线和的交点，且与垂直的直线方程 ． 题型08：根据两直线的垂直求参数 【例13】若直线与直线互相垂直，则实数a的值是______ 【例14】若三条直线与能围成一个直角三角形，则 ． 【跟踪训练】 1. 已知直线与直线垂直，则m=_______ 2.已知直线与垂直，则实数a的值是_______ 3.已知直线与直线垂直，则的最小值为______ 知识点四、两条直线夹角的求法及综合提升 题型09：求直线的交点及交点系方程 【例15】若三条直线和交于一点，则的值为______ 【例16】设直线经过和的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线的方程为 . 【跟踪训练】 1.求经过直线与的交点，且过点的直线方程. 2.求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程： (1)斜率为； (2)过点； (3)平行于直线． 题型10：求直线的夹角 【例17】若直线与轴交于点，直线与轴交于点，直线与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【例18】直线与直线的夹角，则a的取值范围是 ． 【跟踪训练】 1.直线与直线的夹角大小为 . 2.直线与直线的夹角的大小是 . 3.已知直线经过点，与直线的夹角为.则直线的方程 . 题型11：直线的位置关系的综合应用 【例19】已知平面内两点． (1)求过点且与直线垂直的直线的方程． (2)若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程． (3)已知直线经过点且在两坐标轴上的截距之和为零，求直线的方程． 【例20】如图，已知平行四边形的三个顶点的坐标为，，. (1)求平行四边形的顶点的坐标； (2)在中，求边上的高线所在直线方程. 【跟踪训练】 1. 已知直线经过两点，经过两点． (1)若，求的值； (2)若的倾斜角互余，求的值． 2. 求解下列问题： (1)已知两点，求线段的中垂线所在直线方程； (2)已知直线与直线平行，直线与两坐标轴所构成的三角形的面积为12，求直线的方程． 一、填空题 1.经过点，且与直线平行的直线方程为______ 2.若直线过点且与直线垂直，则的方程是________ 3.设为实数，已知直线，，若，则_______ 4.若直线与直线平行，则m的值为_______ 5.若直线，，不能构成三角形，则m的取值为_______ 6.已知直线：，：，若．则的值为_______ 7.若关于的二元一次方程组有无穷多组解，则的取值为 ． 8.已知直线l过直线与直线的交点，且与直线平行，则直线l的方程为_____ 9直线与的夹角大小为 . 10.已知则夹角的余弦值是______ 11.若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题 ①若，则斜率；  ②若斜率，则； ③若，则倾斜角；④若倾斜角，则； 其中正确命题的个数是 ． 12.若，直线和直线与两坐标轴围成一个四边形，则使这个四边形面积最小的k值中 ． 二、选择题 13.直线经过点且斜率为，直线经过点和，则与的位置关系为（    ） A．平行B．重合C．垂直 D．相交但不垂直 14.下列说法中正确的有（    ） （1）若两条直线斜率相等，则两直线平行；（2）若，则 （3）若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交； （4）若两条直线的斜率都不存在，则两直线平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15. 设a，b，c分别是中角A，B，C的对边，则直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．无法确定 16. “”是“直线与平行”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 三、解答题 17.求满足下列条件的直线方程； (1)过点，且与直线平行的直线方程； (2)过点，且与直线垂直的直线方程； (3)过点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程． 18.分别写出满足下列条件的直线方程（用一般式表示） (1)经过点，且与直线垂直 (2)经过两直线与的交点，且与直线平行 19. 已知点直线 (1)若l与线段有交点，直接写出m的取值范围； (2)若设l与直线及x轴分别交于两点，求面积的最小值. 20．已知三边所在直线方程为：，：，：. (1)求边上的高所在的直线方程； (2)求直线与直线的夹角. 21.在平面直角坐标系中，已知菱形的顶点和所在直线的方程为. (1)求对角线所在直线方程； (2)已知直线过点，与直线的夹角为，求直线的方程. （以上所求方程都以直线的一般式方程作答） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题1.3 两条直线的位置关系 知识点一、两条直线的位置关系 平面内两条直线的位置关系有三种：重合、平行、相交。有三种判定方法： 1、方程组法：设直角坐标系平面上两条直线方程为： ： ： 联立方程组为： （1）方程组有唯一解时，此时直线相交于一点，坐标即方程组的解。 （2）方程组无解，此时直线没有公共点，即两直线平行。 （3）方程组无穷解，此时直线重合 2、斜率法：当直线不平行于坐标轴时，直线与直线的位置关系可斜率法，把直线方程都化为斜截式，利用直线的斜率与截距的关系判断； 和相交； 和垂直； 和平行； 和重合. 注；应用此法的前提是两直线斜率均存在. 3、法向量法。 和相交； 和垂直； 和平行； 和重合. 知识点二、两直线平行的判定 1．特殊情况下的两条直线平行的判定 两条直线中有一条直线没有斜率，当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，故它们互相平行． 2．两条直线的斜率都存在时，两条直线平行的判定： 如图,若斜率都存在且,则l1与l2的倾斜角与相等,由,可得,即.因此,若,则. 反之,当时, ,由倾斜角的取值范围及正切函数的单调性可知, ,因此 于是,对于斜率分别为的两条直线,有． 3.利用一般式方程解决直线平行问题： 直线，直线，若且(或)． 知识三、两直线垂直的判定 1．特殊情况下的两条直线垂直的判定 当两条直线中有一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为0时，即一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°时，两条直线互相垂直． 2．两条直线的斜率都存在时，两条直线垂直的判定：． 3.利用一般式解决直线垂直问题： 直线，直线，若. 知识点四、两直线的夹角 1. 两条相交直线的夹角：我们规定两条相交直线所成的锐角或直角为两条相交直线的夹角. 2.平面上两条直线夹角的范围：.如果两条直线平行或重合，我们规定它们的夹角为0. 3.夹角公式：在平面直角坐标系中，已知两条直线方程为： 则与的法向量为： ，；若夹角为； 所以，；. 注：公式应用前提是两直线的斜率均存在. 知识点一、两条直线位置关系 题型01：判断两直线的位置关系 【例1】判断下列各组中两条直线的位置关系. （1），； （2），； （3），； （4）， 答案：（1）把化为，则，，； 易知，， .因为，所以与相交. （2）易知，，；把化为，所以，， . 因为，所以与重合. （3）把化为，把化为， 则，，；，， . 因为，所以与平行. （4）把化为，把化为， 则，，；，，， 因为，而，所以与平行. 【跟踪训练】 1.直线和的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．重合 【答案】C 【详解】因为直线的斜率，直线的斜率， 要判断两直线的位置关系，需要找到与的关系，是否满足两直线平行、垂直、相交但不垂直、重合四种情况， 也就是验证是否相等、是否等于， 验证结果，， 所以两条直线不平行，也不垂直，也不重合. 故选：C. 2.在同一平面直角坐标系中，直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．重合 D．垂直 【答案】A 【解析】两直线的斜率都是2，但在轴上的截距分别为：3，-5， 故两直线平行，故选：A 3.已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．平行或重合 D．重合 【答案】C 【分析】由斜率的定义及坐标公式分别求出两条直线的斜率即可判断位置关系. 【详解】由直线的倾斜角为， 所以直线的斜率为：， 又直线经过， 所以直线的斜率为：， 所以， 所以直线与直线平行或重合. 故选：C. 4.判断下列各组直线的位置关系： (1)，； (2)，； (3)，． (4)，． 【答案】(1)平行(2)垂直(3)相交但不垂直.(4) 【分析】（1）根据斜率相等，纵截距不相等即可判定为平行； （2）利用两直线斜率之积等于即可判断垂直； （3）利用斜率的关系即可判定为相交但不垂直. 【详解】（1）因为 且两直线的纵截距, 所以两直线平行. （2）因为 所以两直线垂直. （3）因为 所以两直线既不平行，也不垂直. 即两直线的位置关系为相交但不垂直. （4）的斜率为0，的斜率不存在，． 5. 分别判断下列两条直线的位置关系.如果相交，求出它们的交点坐标. (1)，； (2)，. 【答案】(1)与相交，交点坐标为 (2)与平行 【分析】联立两直线方程，通过其解可判断两者关系，且其解为交点，从而得解. 【详解】（1）因为，， 联立，解得， 所以与相交，交点坐标为. （2）因为，可化为， 联立，两式相减得，显然不成立，故方程组无解， 所以与平行. 题型02：根据两直线的位置关系求参数 【例2】解关于.的一元二次方程组，并对解的情况进行讨论. 【答案】，无数个解；，无解；且，. 【分析】分情况讨论即可知道解的情况. 【详解】（1）当时，方程组有无数个解， 解得； （2）当时，方程组无解， 解得； （3）当时，方程组只有一组解为， 解得且， 综上，，无数个解；，无解；且，. 【点睛】本题考查二元一次方程组的解的情况，可以利用直线系数的比例关系讨论，属于基础题. 【跟踪训练】 1. 直线和的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．重合 D．不确定 【答案】B 【分析】先求出两直线斜率，根据两直线的斜率不相等，这两条直线一定相交，即得解. 【详解】由题意，直线的斜率为， 直线的斜率为， 两直线斜率一定不相等，故两直线相交. 故选：B 2. 若关于，的二元一次方程组无解，则实数 ． 【答案】 【分析】根据方程组无解，得到直线与直线平行，进而可求出参数. 【详解】因为关于，的二元一次方程组无解， 所以直线与直线平行， 所以，解得， 当时，两直线重合， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查由两直线平行求参数，属于基础题型. 3. 已知直线，，根据下列条件分别求实数的取值范围． (1)与相交； (2)与重合． 【答案】(1)且 (2) 【分析】（1）易知当满足题意，当时，两直线斜率不相等，可求得的取值范围； （2）根据直线方程的一般形式可得当时，即时，与重合. 【详解】（1）当时，的斜率不存在，此时与相交，符合题意； 当时，的斜率为，需满足， 解得且； 所以当且时，与相交； （2）若与重合，需满足，且， 解得， 即时，与重合. 知识点二、两条直线平行的判定 题型03：判断两直线的平行 【例3】“直线与平行”是“直线与的斜率相等”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】D 【分析】根据直线平行与斜率之间的关系，逐个选项进行判断即可. 【详解】充分性：直线与平行，但是和都没有斜率，即当和都垂直于轴时，与仍然平行，但是，此时不满足直线与的斜率相等，故充分性不成立； 必要性：直线与的斜率相等，则直线与平行或重合，故必要性不成立； 综上，“直线与平行”是“直线与的斜率相等”的既非充分又非必要条件. 故选：D 【例4】判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【答案】(1)，理由见解析 (2)与不平行，理由见解析 (3)，理由见解析 (4)与重合，理由见解析 【详解】（1）设两直线，的斜率分别为，，在轴上的截距分别为，． 因为，，，，所以． （2）因为，，． 所以与不平行． （3）由两直线的方程可知，轴，轴，且两直线在轴上的截距不相等，所以． （4），因为，， 所以与重合． 【跟踪训练】 1．下列直线与直线 (与不重合)平行的有 .(填序号) ①经过点，，经过点，； ②的斜率为2，经过点，； ③的倾斜角为，经过点，； ④经过点，，经过点，. 【答案】①③④ 【详解】对于①，直线的斜率，直线的斜率，，所以； ②直线的斜率，所以不平行于； ③直线的斜率，直线的斜率，，所以； ④轴，轴，即直线与直线的倾斜角都为，所以. 故答案为：①③④ 2．根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的倾斜角为60°，经过点，． 【答案】(1) (2)或与重合 【详解】（1）设两直线，的斜率分别为，． 由题意知，． 因为，又， 所以，所以A，B，C三点不共线，所以A，B，C，D四点不共线， 所以． （2）设两直线，的斜率分别为，． 由题意知，． 所以，所以或与重合． 题型04：由两直线平行求方程 【例5】经过点且与直线平行的直线方程是 . 【答案】 【详解】解：经过点且与直线平行的直线的斜率为：， 所求直线方程为：.即：. 故答案为：. 【例6】已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点. (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由于，，故，而，故的方程是，即. （2）由于直线的斜率是，且不在直线上. 所以经过点且与直线平行的直线方程为，即. 【跟踪训练】 1.过点且与直线平行的直线方程为 . 【答案】 【解析】设所求直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 故所求直线方程为. 故答案为： 2.与直线平行，且在轴上的截距为的直线方程是 ． 【答案】 【解析】根据题意，设所求的直线方程为， 令，得， 因为所求直线在轴上截距是， 所以，即， 所以所求的直线方程为． 3.经过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线 的斜率为 。 因为所求直线与已知直线平行，故设所求直线方程为 。 将点 代入方程得： ， 因此，所求直线方程为：。 4.已知点和直线：. (1)求过且与直线的平行的直线方程； (2)求点关于直线：的对称点的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由直线平行时，其一般式仅常数项不同，可设所求直线为，再代入即可得解； （2）不妨设所求点为，由对称性可知及线段的中点落在直线上，得到方程组，解之即可. 【详解】（1）因为所求直线与直线平行，所以设所求直线方程为， 代入得，解得， 故所求直线方程为. （2）设关于的对称点为， 又直线：可化为， 故由及线段的中点落在直线上可得： ，解得， 所以对称点坐标为. 题型05：根据两直线的平行求参数 【例7】已知直线，，若，则的值为______ 【解析】已知直线，，且， 则，解得． 【例8】“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若直线与直线互相平行且不重合， 则，解得，故. 所以“”是“直线与直线互相平行且不重合”的充要条件． 故选：C． 【例9】已知三条直线，，不能构成三角形，则实数m的取值集合为 ． 【答案】 【分析】根据三条直线不能构成三角形，则有任意两条平行或交于同一个点，分类讨论求解. 【详解】三条直线不能围成三角形，则有以下情况： (1) 直线与直线平行， 则有； (2) 直线与直线平行， 则有； (3) 三条直线，，相交于同一点， 联立解得，代入可得， 综上，实数m的取值集合为， 故答案为: . 【跟踪训练】 1．“”是“直线和直线平行且不重合”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【详解】当时，两直线分别为：，， ∴两直线斜率相等且， ∴两条直线平行且不重合；充分性成立， 若两直线平行且不重合，则， ∴，必要性成立， 综上所述，是两直线平行且不重合的充要条件， 故选：C． 2.已知直线，若，则 ． 【答案】1 【分析】由条件结合直线平行结论列方程求，并对所得结果进行检验. 【详解】因为，， 所以，所以，解得或， 当时，即与重合，不满足要求， 当时，，即，则直线平行，满足要求. 故答案为：1 3.已知两条直线，且，则m的值为_______ 【解析】斜率不可能同时不存在， 和斜率相等， 则或， 时，，和重合， 当时，，和不重合， 故． 另解：，故． 4. 若三条不同的直线，，不能围成一个三角形，则a的取值集合为 【答案】 【分析】分线线平行和三线共点讨论即可. 【详解】若，则，解得， 若，则，解得， 若，，交于一点，联立方程组，解得， 代入，得， 解得，故a的取值集合为． 故答案为：. 知识点三、两条直线垂直的判定 题型06：判断两直线的垂直 【例10】直线和直线的位置关系为（    ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】A 【解析】直线和直线的斜率分别为，， 因为，所以.故选：A 【跟踪训练】 1.下列哪条直线与直线垂直（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线的斜率为2, 若直线m与直线垂直，则，， 对于A,的斜率为2,不与直线垂直; 对于B,的斜率为2,不与直线垂直; 对于C,的斜率为-1，不与直线垂直； 对于D,的斜率为 ,与直线垂直.故选:D. 2. 已知为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有__________ 1　 若斜率相等，则平行 2　 若平行，则的斜率相等 3　 若的斜率乘积等于，则垂直 4　 若垂直，则的斜率乘积等于． 【答案】(1)(3) 【分析】利用两直线平行或垂直与斜率之间的关系逐项判断即可得出结论. 【详解】根据两直线的位置关系可知若斜率相等，则平行； 若平行，当都与轴平行时，的斜率不存在，即可得A正确，B错误； 易知若的斜率乘积等于，则垂直； 若垂直,当与轴平行，与轴平行时，直线的斜率为，的斜率不存在，即可得C正确，D错误； 故选：(1)(3) 题型07：由两直线垂直求方程 【例11】已知直线过点，且与直线垂直，则直线l的一般式方程为 ． 【答案】 【详解】依题意设直线的一般式方程为：， 因为直线过点，所以，得， 所以直线的一般式方程为：． 故答案为：． 【例12】已知三角形三顶点，则边上的高所在的直线方程为 . 【答案】 【详解】边所在直线的斜率为， 边上的高所在的直线的斜率为2. 边上的高所在的直线方程为，即. 故答案为：. 【跟踪训练】 1．直线过点且与直线垂直，则的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线的斜率为，则直线的斜率为， 因此，直线的方程为，即. 故选：C. 2.过点且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线方程垂直的条件求出目标直线斜率，进而得到直线方程即可. 【详解】对于直线方程，其斜率为， 而目标直线与垂直，则目标直线斜率为， 则目标直线方程为，化简得，故C正确. 故选：C 3.已知平面直角坐标系内两点，，则过点且与直线垂直的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知，，则直线的斜率, 因为直线与直线垂直，根据两直线垂直，若存在斜率，则两斜率乘积为， 所以直线的斜率，再由直线经过点， 则由点斜式方程可得直线的方程为， 即，故选：A. 4.求过两条直线和的交点，且与垂直的直线方程 ． 【答案】 【分析】先求出直线和的交点，再设直线，代入交点求解即可． 【详解】由得， 设直线为，代入解得， 故方程为， 故答案为：． 题型08：根据两直线的垂直求参数 【例13】若直线与直线互相垂直，则实数a的值是______ 【解析】直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线与直线互相垂直， 所以， 【例14】若三条直线与能围成一个直角三角形，则 ． 【答案】或1 【分析】由三条直线两两垂直，即两直线的斜率之积为，求解即可. 【详解】显然，3x-y+1=0，x+y+3=0有交点， 若与垂直，则； 若与垂直，则．所以或1． 故答案为：或1 【跟踪训练】 1. 已知直线与直线垂直，则m=_______ 【答案】或 【分析】根据两直线方程垂直，分类求解的值. 【详解】若则直线与垂直，满足题意， 若则,则. 综上所述，则或. 2.已知直线与垂直，则实数a的值是_______ 【详解】直线与直线互相垂直， ， 即， 解得或不满足直线，舍去 3.已知直线与直线垂直，则的最小值为______ 【解析】因为直线与直线垂直， 所以，即，所以， 当且仅当或时等号成立． 即的最小值为4， 知识点四、两条直线夹角的求法及综合提升 题型09：求直线的交点及交点系方程 【例15】若三条直线和交于一点，则的值为______ 【分析】先求出直线和的交点，再把交点坐标代入即得解. 【详解】解：联立得. 把代入得. 【例16】设直线经过和的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线的方程为 . 【答案】或 【分析】由题可求交点，结合条件即可求出；或设直线系方程，结合已知即求. 【详解】方法一：由，得， 所以两条直线的交点坐标为（14，10）, 由题意可得直线的斜率为1或-1， 所以直线的方程为或， 即或. 方法二：设直线的方程为，整理得， 由题意，得，解得或， 所以直线的方程为或. 故答案为：或. 【跟踪训练】 1.求经过直线与的交点，且过点的直线方程. 【答案】 【分析】联立方程可求交点，结合条件即求；或设直线交点系方程，利用条件即求. 【详解】解法一：联立直线方程，解方程组得， 由两点式得所求直线的方程为， 即. 解法二：易知直线不符合所求方程，设所求直线方程为， 将点的坐标代入，得， 解得， 故所求直线方程为，整理得. 2.求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程： (1)斜率为； (2)过点； (3)平行于直线． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）法一：联立直线方程，求出交点坐标，由点斜式方程得到直线方程.法二：由直线系方程可设所求直线为，由斜率为求出的值，回代入方程即可得出答案. （2）法一：由点斜式方程得到直线方程；法二：因为直线过点，代入直线系方程求出的值，即可得出答案. （3）法一：两直线平行，斜率相等，由点斜式方程得到直线方程. 法二：两直线平行，斜率相等，可得出直线系方程的斜率求出的值，即可得出答案. 【详解】（1）法一:直线与的交点为， 当斜率为时，由直线的点斜式方程得：直线方程为． 直线方程为． 法二:由题意，直线不符合题意， 所以由直线系方程可设所求直线为 ， 当直线的斜率为时，，解得， 故所求直线方程为； （2）法一：过点时，由两点式得：即为． 直线方程为． 法二：由题意，直线不符合题意， 过点时，代入（1）中直线系方程得， 故所求直线方程为． （3）法一：平行于直线时，得直线斜率为，直线方程为， 直线方程为． 法二：由题意，直线不符合题意， 平行于直线时，由（1）中直线系方程，解得, 故所求直线方程为． 题型10：求直线的夹角 【例17】若直线与轴交于点，直线与轴交于点，直线与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得两直线与轴的交点坐标，求得两直线交点坐标，利用向量的夹角公式可求的大小. 【详解】直线与轴交于点， 直线与轴交于点， 由，得，所以，， 所以， 所以，所以. 故选：D. 【例18】直线与直线的夹角，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用两条直线的夹角公式求解即可. 【详解】由题知直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线与直线的夹角， 所以，即， 解得. 故答案为：. 【跟踪训练】 1.直线与直线的夹角大小为 . 【答案】/ 【分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角． 【详解】因为直线的斜率不存在，倾斜角为， 直线的斜率为，倾斜角为， 故直线与直线的夹角为，故答案为：． 2.直线与直线的夹角的大小是 . 【答案】/ 【分析】利用两直线夹角公式去求解即可. 【详解】线与直线的斜率分别为， 由直线的夹角公式可得，又，所以. 故答案为：. 3.已知直线经过点，与直线的夹角为.则直线的方程 . 【答案】或 【分析】设直线的倾斜角为，两直线夹角为，可得，分类讨论的斜率是否存在，结合两直线的夹角公式分析求解. 【详解】由题意可知：直线斜率为， 设直线的倾斜角为， 则，解得，或（舍去）， 设两直线夹角为，则， 可得，所以. ①当的斜率不存在，则， 此时，可得，符合题意； ②当的斜率存在，设的斜率为， 则，解得， 所以直线，即； 综上所述：的方程为或． 故答案为：或． 题型11：直线的位置关系的综合应用 【例19】已知平面内两点． (1)求过点且与直线垂直的直线的方程． (2)若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程． (3)已知直线经过点且在两坐标轴上的截距之和为零，求直线的方程． 【答案】(1)；(2)或；(3)，或 【解析】（1）因为，所以直线的斜率为， 则直线：，即. （2）的中点坐标为，因为， 因为是以为顶点的等腰直角三角形，所以线段垂线的斜率为， 且线段AB的中垂线过点，所以线段AB垂直平分线的方程为， 即，所以点在直线上， 设点，由可得：， 解得或，所以点坐标为或， 当坐标为时，，直线：，即. 当坐标为时，，直线：， 即. （3）①当直线经过原点时，直线在两坐标轴上截距均等于，设直线为， 因为过，得到，解得，所求直线方程为，即． ②当直线不过原点时，设其方程， 又经过点，有，解得，则方程为，即． 故所求直线的方程为，或． 【例20】如图，已知平行四边形的三个顶点的坐标为，，. (1)求平行四边形的顶点的坐标； (2)在中，求边上的高线所在直线方程. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设线段中点为，则点坐标为， 设点坐标为，由平行四边形性质得为线段中点， 有，解得，所以； （2）因为直线的斜率为， 所以边上的高线所在直线的斜率为， 又，故边上的高线所在直线的方程为， 即为. 【跟踪训练】 1. 已知直线经过两点，经过两点． (1)若，求的值； (2)若的倾斜角互余，求的值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）， 因为，所以，得， 经检验，符合题意，所以； （2）因为的倾斜角互余， 设的倾斜角为，则直线的倾斜角为， 所以，得 2. 求解下列问题： (1)已知两点，求线段的中垂线所在直线方程； (2)已知直线与直线平行，直线与两坐标轴所构成的三角形的面积为12，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据中点和斜率求得线段的中垂线所在直线方程. （2）设，根据直线与两坐标轴所构成的三角形的面积求得，从而求得直线的方程. 【详解】（1）线段中点的坐标为， 线段所在直线的斜率为， 所以线段的中垂线所在直线的斜率为， 所以线段的中垂线所在直线方程为， 即. （2）设，则直线过点， 所以， 所以直线的方程为：. 一、填空题 1.经过点，且与直线平行的直线方程为______ 【详解】设与直线平行的直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 所以所求直线方程为． 2.若直线过点且与直线垂直，则的方程是________ 【分析】将所求直线方程设为：，代入求得可得答案. 【详解】注意到，因该直线与垂直， 则设的方程为：，代入，得. 从而. 3.设为实数，已知直线，，若，则_______ 【解析】因为，所以，解得或． 当时，，满足与平行； 当时，，可判断此时与重合，舍去； 所以. 4.若直线与直线平行，则m的值为_______ 【分析】利用两直线平行关系，可得的系数成比例，再检验是否有重合情况，从而可作出判断. 【详解】由直线与直线平行可得： ，解得：或， 检验，当时，直线与直线重合，故舍去； 当时，直线与直线平行； 5.若直线，，不能构成三角形，则m的取值为_______ 【分析】由已知可得出不能构成三角形的条件，分个讨论即可得到. 【详解】因为直线，，不能构成三角形， 所以存在，，过与的交点三种情况. 显然，.则直线的斜率分别为，，. 当时，有，即，解得； 当时，有，即，解得； 当过与的交点时.先联立，解得，则与的交点为， 代入，得，解得． 综上：或或． 6.已知直线：，：，若．则的值为_______ 【解析】，显然两直线的斜率存在且都不为0， ，解得． 7.若关于的二元一次方程组有无穷多组解，则的取值为 ． 【答案】2 【详解】关于的二元一次方程组有无穷多组解，所以直线与直线重合，所以 ，解得 ，即的取值为，故答案为. 8.已知直线l过直线与直线的交点，且与直线平行，则直线l的方程为_____ 【分析】先求出直线的交点，再设直线的平行直线，最后代入交点求参. 【详解】直线与直线的交点为， 又因为与直线平行，所以设直线为：， 代入得，所以， 所以直线的方程为. 9直线与的夹角大小为 . 【答案】 【详解】 根据两条直线的斜率和倾斜角，结合两角差的正切公式求得正确答案. 【分析】直线的斜率为，倾斜角设为，则为钝角. 直线的斜率为，倾斜角设为，则为锐角. 设两条直线的夹角为， 则， 所以夹角大小为. 故答案为： 10.已知则夹角的余弦值是______ 【解析】在直线上取两点：，，设， 在直线上取两点：，，设， 因为，所以夹角的余弦值是；故选：A. 11.若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题 ①若，则斜率；  ②若斜率，则； ③若，则倾斜角；④若倾斜角，则； 其中正确命题的个数是 ． 【答案】 【分析】根据两直线平行的充要条件、斜率与倾斜角的关系判断即可； 【解析】解：因为与为两条不重合的直线，且它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，. ①由于斜率都存在，若，则，此命题正确； ②因为两直线的斜率相等即斜率，得到倾斜角的正切值相等即，即可得到，所以，此命题正确； ③因为，根据两直线平行，得到，此命题正确； ④因为两直线的倾斜角，根据同位角相等，得到，此命题正确； 所以正确的命题个数是4． 故答案为：． 12.若，直线和直线与两坐标轴围成一个四边形，则使这个四边形面积最小的k值中 ． 【答案】# 【分析】分别得出直线和过定点，以及与轴的交点，和与轴的交点，结合三角形和梯形的面积公式，求得四边形的面积的表达式，即可求解. 【解析】如图所示，直线，过定点，与轴的交点， 直线过定点，与轴的交点， 由题意知，四边形的面积等于的面积和梯形的面积之和， 所以所求四边形的面积为：， 当时，所求四边形的面积最小. 故答案为： 二、选择题 13.直线经过点且斜率为，直线经过点和，则与的位置关系为（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】D 【分析】根据两直线的斜率关系判断即可. 【详解】因为直线经过点和，所以直线的斜率， 又直线的斜率，且， 所以与相交但不垂直. 故选：D 14.下列说法中正确的有（    ） （1）若两条直线斜率相等，则两直线平行； （2）若，则 （3）若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交； （4）若两条直线的斜率都不存在，则两直线平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据直线平行和斜率之间的关系分别判断即可． 【详解】①若两直线斜率相等，则两直线平行或重合，所以错误． ②若，则两直线的斜率相等或都不存在，所以错误． ③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线斜率存在，则两直线相交，正确． ④若两直线斜率都不存在，则两直线平行或重合，所以错误． 故选：A 15. 设a，b，c分别是中角A，B，C的对边，则直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．无法确定 【答案】C 【分析】由正弦定理结合两直线方程系数之间的关系进行判断. 【详解】由正弦定理，得， 又两条直线的方程分别为，， 因为两直线的系数满足，所以两直线垂直． 故选：C. 16. “”是“直线与平行”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】当时，直线与平行； 当直线与平行时， 有且，解得， 故“”是“直线与平行”的充要条件， 故选：C 三、解答题 17.求满足下列条件的直线方程； (1)过点，且与直线平行的直线方程； (2)过点，且与直线垂直的直线方程； (3)过点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程． 【答案】(1)；(2)；(3)或 【解析】（1）设与直线平行的直线方程为， 由于过点，代入，解得，可得， 所以所求的方程为； （2）设与直线垂直的直线方程为； 由于过点，代入，解得，可得， 所以所求的直线方程为； （3）当直线过原点时，设直线方程为， 代入点，，可得， 当直线不过原点时，设直线方程为， 代入点，，可得， 综上，所求直线方程为或. 18.分别写出满足下列条件的直线方程（用一般式表示） (1)经过点，且与直线垂直 (2)经过两直线与的交点，且与直线平行 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据直线垂直设所求直线，将点代入求参数，即得方程； （2）求直线交点，根据直线平行设所求直线，代入点求参数，即得方程. 【详解】（1）由题意，可设直线方程为， 代入点，有，则， 所求直线方程为； （2）联立，解得， 设所求直线方程为，则，即， 所求直线方程为. 19. 已知点直线 (1)若l与线段有交点，直接写出m的取值范围； (2)若设l与直线及x轴分别交于两点，求面积的最小值. 【答案】(1)或 (2)4 【分析】（1）首先通过联立直线方程求出交点坐标，然后根据交点在线段上这一条件得到关于的不等式，通过对不等式进行变形求解得出的取值范围.（2）通过联立直线方程求出交点坐标，进而确定三角形相关顶点坐标，得出三角形面积表达式.再通过换元法将面积表达式转化为关于新变量的式子，利用二次函数性质求最值 【详解】（1）因为直线联立 所以交点因为C在线段AB上，所以 即解得 所以或 （2）因为直线联立 所以交点 令中则所以 因为所以C在第一象限且在右侧，D在左侧， 所以的面积为 设所以 所以当即时，S的最小值为4. 20．已知三边所在直线方程为：，：，：. (1)求边上的高所在的直线方程； (2)求直线与直线的夹角. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出B点坐标，由点斜式写出直线方程，再化简成一般式即可； （2）由题意可得，，由两直线的夹角公式求解即可. 【详解】（1）解：由，可得， 即； 又因为，    所以边上的高所在直线的斜率， 所以边上的高所在的直线方程为， 即； （2）解：因为，， 设直线与直线的夹角为， 则有， 所以. 21.在平面直角坐标系中，已知菱形的顶点和所在直线的方程为. (1)求对角线所在直线方程； (2)已知直线过点，与直线的夹角为，求直线的方程. （以上所求方程都以直线的一般式方程作答） 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）通过点斜式求直线的方程；（2）对夹角进行分类讨论求解 【详解】（1）由题意可知，的中点在直线上， 对角线所在直线方程为，即 （2）点在直线上，设直线的倾斜角为，直线与直线的夹角为 则直线的倾斜角为或 ， 当直线的倾斜角为时，，即 故直线的方程为： 当直线的倾斜角为时，，则直线的方程为，即 1 学科网（北京）股份有限公司 $