专题2.1.1 圆的方程 讲义-2026年暑假预习新高二数学沪教版选择性必修第一册

2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题2.1.1 圆的方程 知识点一、圆的标准方程 1．圆的定义：圆是到一个定点的距离等定长（大于零）的点的轨迹．这个定点就是圆心，定长是圆的半径。 2．圆的标准方程 我们把方程称为圆心为,半径为r的圆的标准方程． 知识点诠释： （1）如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是．有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：b=0；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点： （2）圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点． （3）标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径．由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法． 3．几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程形式 过原点 圆心在原点 圆心在x轴上 圆心在y轴上 圆心在x轴上且过原点 圆心在y轴上且过原点 与x轴相切 与y轴相切 知识点二、圆的一般方程 圆的一般方程：当时,方程表示一个圆．我们把方程叫做圆的一般方程． 知识点诠释： 由方程得 （1）当时，方程只有实数解．它表示一个点． （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆． 知识点一、圆的标准方程 题型01：由标准方程确定圆心和半径 【例1】已知圆的方程为，则圆的圆心、半径分别为（   ） A．，2 B．，4 C．，2 D．，4 【跟踪训练】 1．圆的圆心为 ，半径是 ． 2.已知圆的方程为，则该圆的圆心和半径分别为（    ） A．， B．， C．，2 D．，2 3．若直线是圆的一条对称轴，则 . 题型02：求圆的标准方程 【例2】写出下列圆的标准方程： (1)圆心为，半径是； (2)圆心为，且经过点. (3)圆心是，且过点； (4)圆心在y轴上，半径为5，且过点； (5)过点和直线相切，并且圆心在直线上. (6)经过点，圆心在轴上； (7)经过直线与的交点，圆心为点. （8）以为直径的圆 【跟踪训练】 1．与圆同圆心，且过点的圆的标准方程为 . 2.圆心为且过原点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 3.过点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4. 已知圆C经过两点，且圆心C在直线上，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 5.根据下列条件，求圆的标准方程． (1)圆心在，且过点； (2)以，为直径的两个端点的圆； (3)圆心在直线上，且过和点． 知识点二、圆的一般方程 题型03：求圆的一般方程 【例3】过点的圆的一般方程为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1. 已知圆C上有三个点，，，则圆C的面积为（    ）． A． B． C． D． 2.已知圆的圆心在直线上，且过点，，则圆的一般方程为 . 3.已知二次函数的图像与两坐标轴交于三点，则的外接圆的半径为 ． 4.过点的圆的一般方程为（   ） A． B． C． D． 5．的三个顶点是．求： (1)边的垂直平分线的方程； (2)的外接圆的方程． 题型04：由圆的一般方程确定圆的圆心和半径 【例4】已知圆的方程为：，则圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．已知圆的方程是，则圆心到原点的距离为 ． 2.圆的半径长为（   ） A． B．5 C． D． 3.方程表示的圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A． B． C． D． 题型05：圆的一般方程与标准方程之间的互化 【例5】经过点，且以为圆心的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．已知圆的方程为，则圆的半径为 . 2．若圆的半径为2，则实数的值为 . 3.已知、，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 题型06：二元二次方程表示圆的条件 【例6】判断下列方程分别表示什么图形，如果是圆，求出它的圆心坐标和半径． (1)； (2)； (3)； (4)． 【例7】若方程表示圆，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．若方程表示圆，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知“”是“”表示圆的必要不充分条件，则实数t的取值范围为 ． 知识点三、综合提升 题型07：求实际问题中圆的方程 【例8】1972年9月，苏步青先生第三次来到江南造船厂，这一次他是为解决造船难题、开发更好的船体数学放样方法而来，他为我国计算机辅助几何设计的发展作出了重要贡献.造船时，在船体放样中，要画出甲板圆弧线，由于这条圆弧线的半径很大，无法在钢板上用圆规画出，因此需要先求出这条圆弧线的方程，再用描点法画出圆弧线.如图，已知圆弧 的半径 r 29米，圆弧所对的弦长l 12米，以米为单位，建立适当的坐标系，并求圆弧的方程（答案中数据精确到0.001米，）. 【跟踪训练】 1. “圆”在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的月洞门.如图，某园林中的圆弧形月洞门高为，底面宽为，则该月洞门所在圆弧的半径为（    ） A． B． C． D． 2.圆拱桥一孔圆拱，如图所示，该圆拱的跨度米，拱高米，在建造时每隔4米需用一个支柱支撑，求支柱的长度（精确到0.01米） 题型08：求圆的轨迹方程 【例9】设平面上有一条长度为4的线段，试建立适当的平面直角坐标系，求： (1)到线段两端点的距离的平方差为16的点的轨迹方程； (2)到线段两端点的距离的平方和为16的点的轨迹方程． 【例10】已知的斜边为，且，求： (1)若边所在直线的一个方向向量为，求边所在直线方程; (2)求直角顶点的轨迹方程. 【跟踪训练】 1．已知定点A，B，且，动点P满足．请选择恰当的坐标系，求相应点P的轨迹方程，并指明轨迹是什么曲线． 2.已知的三个顶点分别是． (1)求的外接圆（为圆心）的标准方程： (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 3.已知点，动点P满足． (1)求动点P的轨迹方程： (2)若动点Q满足，求动点Q的轨迹方程； 4．已知圆的圆心为直线与直线的交点，且圆的半径为. (1)求圆的标准方程； (2)若为圆上任意一点，，点满足，求点的轨迹方程. 5. 已知圆过，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 6. 已知圆C经过点，，且圆心C在直线上． (1)求圆C的一般方程； (2)若线段OP的端点P在圆C上运动，端点O为坐标原点，求线段OP的中点M的轨迹方程． 题型09：圆过定点问题 【例11】对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 【跟踪训练】 1. 对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为____________． 2.已知曲线：． (1)当取何值时，方程表示圆？ (2)求证：不论为何值，曲线必过两定点． 题型10：与圆有关的最值问题 【例12】已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0. 求：(1)的最大值和最小值； (2)y－x的最大值和最小值； (3)x2＋y2的最大值和最小值． 【跟踪训练】 1.已知是圆上的动点，则最大值是 _________. 2．已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上， (1)求的最大值和最小值； (2)求x＋y的最大值和最小值． 一、填空题 1.圆的圆心为______ 2．已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为__________ ________. 3．以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程为__________ __________. 4.圆关于直线对称的圆的方程是______ 5.已知圆经过点，，且圆心在轴上，则圆的标准方程为 ． 6．在平面直角坐标系中，经过，，三点的圆的标准方程为 . 7.若表示圆的方程，则的取值范围是_______ 8．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是________________． 9.已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为________ 10.圆恒过的定点为________ 11.已知圆C：不经过第三象限，则实数m的最大值为 ． 12．已知曲线的方程为：有下列四种描述 （1）曲线关于对称； （2）曲线的面积大于16； （3）曲线与圆有四个公共点； （4）若，为曲线与轴的交点，为曲线上的点，则的面积最大为；则其中所有正确结论的序号是 . 二、选择题 13.已知圆的一条直径的端点分别是，，则该圆的方程为（    ） A． B． C． D． 14．若直线在轴､轴上的截距相等，且直线将圆的周长平分，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 15．为圆上任意一点，且点．则的最大值为（    ） A．5 B．9 C．8 D．7 16.设圆 ： ，则下列说法错误的是( ) A.无论 如何变化，圆心 都在一条直线上 B.所有圆 均不经过点(3,0) C.经过点(2,2)的圆 有且只有一个 D.所有圆 的面积均为 三、解答题 17.根据下列条件，求圆的标准方程． (1)圆心在，且过点； (2)以，为直径的两个端点的圆； (3)圆心在直线上，且过和点． 18.已知圆C经过两点，且圆心C在直线上. (1)求线段的中垂线l的方程； (2)求圆C的标准方程. 19.已知直线与圆 (1)求点到直线的距离； (2)若三个点在圆上，求该圆的圆心和半径． 20.已知圆经过点和点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)若线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 21．在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆C上. （1）求圆C的方程； （2）若圆C与直线交于A，B两点，且，求a的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题2.1.1 圆的方程 知识点一、圆的标准方程 1．圆的定义：圆是到一个定点的距离等定长（大于零）的点的轨迹．这个定点就是圆心，定长是圆的半径。 2．圆的标准方程 我们把方程称为圆心为,半径为r的圆的标准方程． 知识点诠释： （1）如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是．有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：b=0；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点： （2）圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点． （3）标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径．由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法． 3．几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程形式 过原点 圆心在原点 圆心在x轴上 圆心在y轴上 圆心在x轴上且过原点 圆心在y轴上且过原点 与x轴相切 与y轴相切 知识点二、圆的一般方程 圆的一般方程：当时,方程表示一个圆．我们把方程叫做圆的一般方程． 知识点诠释： 由方程得 （1）当时，方程只有实数解．它表示一个点． （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆． 知识点一、圆的标准方程 题型01：由标准方程确定圆心和半径 【例1】已知圆的方程为，则圆的圆心、半径分别为（   ） A．，2 B．，4 C．，2 D．，4 【答案】A 【难度】0.95 【知识点】由标准方程确定圆心和半径 【分析】根据圆的标准方程确定圆的圆心和半径. 【详解】因为圆的方程为，所以圆心的坐标为，半径. 故选：A 【跟踪训练】 1．圆的圆心为 ，半径是 ． 【答案】 【分析】根据圆的标准方程的含义求解. 【解析】因为，所以圆心为，半径为. 故答案为：； 2.已知圆的方程为，则该圆的圆心和半径分别为（    ） A．， B．， C．，2 D．，2 【答案】A 【分析】根据圆的标准方程即可得到. 【详解】由圆的方程，可得圆心为，半径为. 故选：A 3．若直线是圆的一条对称轴，则 . 【答案】/0.5 【分析】由已知，直线过圆心即可求解. 【解析】由题，直线过圆心，将代入直线方程得，解得：. 故答案为：. 题型02：求圆的标准方程 【例2】写出下列圆的标准方程： (1)圆心为，半径是； (2)圆心为，且经过点. (3)圆心是，且过点； (4)圆心在y轴上，半径为5，且过点； (5)过点和直线相切，并且圆心在直线上. (6)经过点，圆心在轴上； (7)经过直线与的交点，圆心为点. （8）以为直径的圆 【答案】(1)(2)(3) (4)或(5)或 (6)(7)（8） 【解析】（1）圆心在，半径长是，故圆的标准方程为． （2）圆心在，且经过点，故半径为，故圆的标准方程为． （3），圆的标准方程为. （4）设圆心为，则或， 圆心为或，又，圆的标准方程为或. （5）圆心在上，设圆心为，设圆心到直线的距离为r. 则，①又圆过点，② 由①②得或圆的标准方程为或. （6）设圆的方程为，由题意得：解得：，所以圆的标准方程为； （7）联立与，解得：，所以交点为， 则圆的半径为，所以圆的标准方程为. （8）圆的圆心是，半径是． 故圆的方程为． 【跟踪训练】 1．与圆同圆心，且过点的圆的标准方程为 . 【答案】 【解析】设方程为，把点代入并解得，故方程为. 2.圆心为且过原点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆上一点到圆心的距离即为半径，即可写出圆的方程. 【详解】圆心为的圆的方程为， 又因为原点在圆上，则， 所以. 故选：D. 3.过点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的面积最小时线段为直径，圆心为线段的中点，坐标为，半径为， 故所求的圆的标准方程为． 4. 已知圆C经过两点，且圆心C在直线上，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设圆的标准方程为， 由题意得， 解得， 故圆的方程为， 故选：B 5.根据下列条件，求圆的标准方程． (1)圆心在，且过点； (2)以，为直径的两个端点的圆； (3)圆心在直线上，且过和点． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.85 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、求过已知三点的圆的标准方程 【分析】（1）（2）根据条件求圆心和半径，再求圆的标准方程； （3）利用待定系数法，设圆的标准方程，再代入条件，即可求解. 【详解】（1）由条件可知， 所以圆的标准方程为. （2），所以半径， 圆心为， 所以圆的标准方程为； （3）设圆的标准方程为， 所以，解得：，，， 所以圆的标准方程为. 知识点二、圆的一般方程 题型03：求圆的一般方程 【例3】过点的圆的一般方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，设所求圆的一般方程为， 因为圆过点，，， 可得，解得， 所以所求圆的一般方程为. 故选：B. 【跟踪训练】 1. 已知圆C上有三个点，，，则圆C的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，设圆的一般方程为： 解得： 故圆的一般方程为： 故圆的半径，圆的面积 故选：A 2.已知圆的圆心在直线上，且过点，，则圆的一般方程为 . 【答案】 【解析】方法一：设所求圆的标准方程为， 由题意得:，解得： 故所求圆的方程为， 即. 方法二：线段的中点坐标为，即， 直线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线方程为，即， 由几何性质可知：线段的垂直平分线与的交点为圆心， 联立， 得交点坐标， 又点到点的距离，即半径为， 所以圆的方程为， 即. 故答案为： 3.已知二次函数的图像与两坐标轴交于三点，则的外接圆的半径为 ． 【答案】 【分析】先求出的坐标，再根据圆的性质设出圆心坐标，利用两点间的距离公式求出圆心坐标和半径即可得解. 【解析】在中，令得，得或， 令，得， 不妨设，，， 根据圆的性质可设圆心， 由得，解得，所以， 所以的外接圆的半径为. 故答案为：. 4.过点的圆的一般方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设圆的方程为，根据题意，列出关于的方程组，求得的值，即可得到圆的一般方程. 【解答过程】由题意，设所求圆的一般方程为， 因为圆过点，，， 可得，解得， 所以所求圆的一般方程为. 故选：B. 5．的三个顶点是．求： (1)边的垂直平分线的方程； (2)的外接圆的方程． 【答案】(1)； (2). 【知识点】已知两点求斜率、由两条直线垂直求方程、求过已知三点的圆的标准方程 【分析】（1）求出BC中点，由直线BC斜率得其垂直平分线斜率，点斜式写出方程； （2）由待定系数法列方程组求解圆的方程. 【详解】（1）因为，所以BC中点坐标为，即， 又，所以所求直线的斜率， 所以所求直线方程为，即. （2）设的外接圆方程为， 则，解得， 所以所求圆的方程为. 题型04：由圆的一般方程确定圆的圆心和半径 【例4】已知圆的方程为：，则圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据圆的一般方程与标准方程互化可得圆心坐标. 【解答过程】易知圆方程可化为， 因此圆心坐标为. 故选：D. 【跟踪训练】 1．已知圆的方程是，则圆心到原点的距离为 ． 【答案】 【分析】首先根据题意得到圆心为，再利用点到直线的距离公式求解即可. 【解析】，圆心，半径. 圆心到原点的距离. 故答案为： 2.圆的半径长为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】把圆的一般方程化为标准方程，即可得出圆的半径. 【详解】将圆化成标准方程， 所以圆的半径为. 故选：A. 3.方程表示的圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的一般方程得到圆的标准方程，从而求得圆心坐标和圆的半径. 【详解】由，得. 所以方程表示的圆的圆心坐标为，半径为3. 故选：B. 题型05：圆的一般方程与标准方程之间的互化 【例5】经过点，且以为圆心的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，圆的半径， 所以圆的标准方程为， 所以圆的一般方程为． 故选：A. 【跟踪训练】 1．已知圆的方程为，则圆的半径为 . 【答案】 【分析】将题目中的一般方程整理为标准方程，可得答案. 【解析】由圆，整理可得：， 则圆的半径为. 故答案为：. 2．若圆的半径为2，则实数的值为 . 【答案】8 【分析】直接将圆的一般方程化为标准形式，由题意可得关于的方程，解方程即可. 【解析】首先将圆的方程配方变形为， 由题意， 解得，即实数的值为8. 故答案为：8. 3.已知、，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出的中点和可得以为直径的圆的圆心坐标和半径，进而得所求圆的标准方程，再将其转化为一般方程即可得解. 【解答过程】已知、，则中点坐标为即. ， 所以以为直径的圆的圆心为，半径为. 所以圆的标准方程为，展开可得， 整理得. 故选：B. 题型06：二元二次方程表示圆的条件 【例6】判断下列方程分别表示什么图形，如果是圆，求出它的圆心坐标和半径． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)表示圆，圆心为，半径为(2)表示点 (3)表示圆，圆心为，半径为(4)表示点 【解析】（1）对于方程，， 所以方程表示圆， 圆心坐标为，即，半径为. （2）对于方程，即， . 方程可化为，表示点. （3）方程，即， ，所以方程表示圆， 圆心坐标为，即，半径为. （4）方程即，故表示点. 【例7】若方程表示圆，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，从而可求得实数的取值范围 【详解】∵表示圆，则， ∴， 故选：B． 【跟踪训练】 1．若方程表示圆，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.86 【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【详解】方程可化为，因为该方程表示圆， 故，，A正确． 2．已知“”是“”表示圆的必要不充分条件，则实数t的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先求出“”表示圆的等价条件，再将条件之间的逻辑关系转化为子集关系，即可解决. 【解析】若“”表示圆， 则，解得． “”是“”表示圆的必要不充分条件， 可得，即 所以实数t的取值范围是． 故答案为：. 知识点三、综合提升 题型07：求实际问题中圆的方程 【例8】1972年9月，苏步青先生第三次来到江南造船厂，这一次他是为解决造船难题、开发更好的船体数学放样方法而来，他为我国计算机辅助几何设计的发展作出了重要贡献.造船时，在船体放样中，要画出甲板圆弧线，由于这条圆弧线的半径很大，无法在钢板上用圆规画出，因此需要先求出这条圆弧线的方程，再用描点法画出圆弧线.如图，已知圆弧 的半径 r 29米，圆弧所对的弦长l 12米，以米为单位，建立适当的坐标系，并求圆弧的方程（答案中数据精确到0.001米，）. 【答案】 【分析】以所在直线为轴，弦的垂直平分线为轴，根据勾股定理求得圆心坐标即可得解. 【详解】 如图，以所在直线为轴，弦的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系， 设圆弧的圆心为，连接，则， 所以， 即圆心的坐标为， 所以圆弧的方程为 【跟踪训练】 1. “圆”在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的月洞门.如图，某园林中的圆弧形月洞门高为，底面宽为，则该月洞门所在圆弧的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如下图所示，以线段的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 由题意可知、、， 设圆弧所在圆的方程为， 将、、三点的坐标代入圆的方程可得，解得， 所以圆弧所在圆的一般方程为，标准方程为， 故该圆的半径为. 故选：C. 2.圆拱桥一孔圆拱，如图所示，该圆拱的跨度米，拱高米，在建造时每隔4米需用一个支柱支撑，求支柱的长度（精确到0.01米） 【答案】3.86米 【分析】以为原点，方向为轴方向建立坐标系，则圆心在轴，设圆心坐标，可得圆弧的方程，将代入圆方程，可求支柱的高度． 【详解】以为原点，方向为轴方向建立坐标系，则圆心在轴，设圆心坐标为，圆的半径为, 那么圆的方程为，因为，则有， 得，， 故圆的方程为，把点C的横坐标代入上述方程得：， 解得:，即的长约为3.86米. 题型08：求圆的轨迹方程 【例9】设平面上有一条长度为4的线段，试建立适当的平面直角坐标系，求： (1)到线段两端点的距离的平方差为16的点的轨迹方程； (2)到线段两端点的距离的平方和为16的点的轨迹方程． 【解析】（1）如图取中点为原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，则有、． 设点到、两点的距离的平方差为16， 则，化简得． 因此，所求轨迹方程为，其轨迹是两条垂直于轴的直线． （2）设点到、两点的距离的平方和为16， 则，化简得． 因此，所求轨迹方程，其轨迹是以为直径的圆． 【例10】已知的斜边为，且，求： (1)若边所在直线的一个方向向量为，求边所在直线方程; (2)求直角顶点的轨迹方程. 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、轨迹问题——圆、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】（1）由方向向量确定直线斜率，进而由点斜式即可求解； （2）法一：由即可求解，法二：设线段的中点为，由，结合圆的方程即可求解. 【详解】（1）设直线的斜率为， 因为直线的一个方向向量为，所以， 所以直线的方程为，即； （2）方法一：设，因为三点不共线，所以. 因为，且斜率均存在，所以， 又，所以，化简得， 因此，直角顶点C的轨迹方程为，即. 方法二：线段的中点为，由中点坐标公式得， 由直角三角形的性质知, 由圆的定义知，动点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆 （由于三点不共线，所以应除去与x轴的交点）. 所以直角顶点的轨迹方程为. 【跟踪训练】 1．已知定点A，B，且，动点P满足．请选择恰当的坐标系，求相应点P的轨迹方程，并指明轨迹是什么曲线． 【解析】如图，以AB所在直线为x轴，AB中点O为原点建立平面直角坐标系， 则，，设， 则由，得， 整理得，即， 所以点P的轨迹方程为，是以为圆心，为半径的圆． 2.已知的三个顶点分别是． (1)求的外接圆（为圆心）的标准方程： (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 【答案】(1) (2)，轨迹是以为圆心，半径为的圆. 【难度】0.65 【知识点】求平面轨迹方程、轨迹问题——圆 【分析】（1）利用待定系数法求解圆的方程即可. （2）根据题干设的坐标是，点的坐标是，再由， 列出方程代入即可求得轨迹方程. 【详解】（1）设圆的方程为（其中） 因为三点都在圆上，可得 解得，满足， 所以所求圆的方程为，即 （2）设的坐标是，点的坐标是， 因为的坐标是，且， 所以，解得， 又因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程，即， 代入得，整理得， 点的轨迹方程是，轨迹是以为圆心，半径为的圆. 3.已知点，动点P满足． (1)求动点P的轨迹方程： (2)若动点Q满足，求动点Q的轨迹方程； 【解析】（1）依题意，设点，又， 因为，即， 化简可得，即， 所以动点P的轨迹方程为； （2）设，又， 因为，所以， 即，得， 由（1）知，所以， 整理得动点Q的轨迹方程为. 4．已知圆的圆心为直线与直线的交点，且圆的半径为. (1)求圆的标准方程； (2)若为圆上任意一点，，点满足，求点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得两条直线的交点坐标，也即求得圆心，从而求得圆的标准方程. （2）根据向量共线列方程，然后利用代入法求得点的轨迹方程. 【解析】（1）由解得，则圆心为，半径为， ∴圆的标准方程为. （2）设，. 由，可得， 则，又点在圆上，所以， 即，化简得， ∴点的轨迹方程为. 5. 已知圆过，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 【解析】（1）设圆的圆心为，半径为，其标准方程为， 因为圆心在直线上，因此，即，圆心可表示为， 因为圆经过和，则圆心到、的距离相等，由距离公式得： 解得，代入，得，即圆心为， 半径， 因此，圆的方程为； （2）设，则， 由，其中，则向量关系为：， 即， 解此方程组，用表示：， 代入圆的方程，得：， 化简得：. 所以点的轨迹方程为， 其轨迹为以为圆心，为半径的圆. 6. 已知圆C经过点，，且圆心C在直线上． (1)求圆C的一般方程； (2)若线段OP的端点P在圆C上运动，端点O为坐标原点，求线段OP的中点M的轨迹方程． 【解析】（1）设所求圆的C的一般方程为，则圆心， 由题意得，解得， 所以圆的C的一般方程为. （2）依题意，设，， 因为M为线段OP的中点，，所以， 又因为点P在圆C上运动，所以， 故， 整理得：， 所以点M的轨迹方程为. 题型09：圆过定点问题 【例11】对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 【答案】或 【分析】由已知得，从而，由此能求出定点的坐标． 【解析】解：，即， 令，解得，，或，， 所以定点的坐标是或． 故答案为：或. 【跟踪训练】 1. 对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为____________． 【答案】或 【解题思路】由已知得，从而，由此能求出定点的坐标． 【解答过程】解：，即， 令，解得，，或，， 所以定点的坐标是或． 故答案为：或. 2.已知曲线：． (1)当取何值时，方程表示圆？ (2)求证：不论为何值，曲线必过两定点． 【解析】（1）当时，方程为表示一条直线． 当时，， 整理得， 由于， 所以时，方程表示圆. （2）证明：方程变形为， 由于取任何值，上式都成立，则有， 解得或， 所以曲线必过定点，， 即无论为何值，曲线必过两定点． 题型10：与圆有关的最值问题 【例12】已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0. 求：(1)的最大值和最小值； (2)y－x的最大值和最小值； (3)x2＋y2的最大值和最小值． 解　原方程可化为(x－2)2＋y2＝3， 表示以(2,0)为圆心，为半径的圆． (1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设＝k，即y＝kx. 当直线y＝kx与圆相切时(如图)， 斜率k取最大值和最小值，此时＝，解得k＝±. 所以的最大值为，最小值为－. (2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，如图所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时＝，解得b＝－2±.所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－. (3)如图所示，x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值． 又圆心到原点的距离为＝2， 所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4， x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4. 【跟踪训练】 1.已知是圆上的动点，则最大值是 _________. 【答案】 【解析】由的圆心，半径为， 而表示圆上点到点距离的平方， 圆心到点的距离为， 所以点、的最大距离为， 所以的最大值为. 故答案为： 2．已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上， (1)求的最大值和最小值； (2)求x＋y的最大值和最小值． 解　方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可变形为(x－3)2＋(y－3)2＝4，则圆C的半径为2. (1)(转化为斜率的最值问题求解) 表示圆上的点P与原点连线的斜率，显然当PO(O为原点)与圆C相切时，斜率最大或最小，如图所示． 设切线方程为y＝kx，即kx－y＝0， 由圆心C(3,3)到切线的距离等于圆C的半径， 可得＝2，解得k＝. 所以的最大值为，最小值为. (2)(转化为截距的最值问题求解) 设x＋y＝b，则b表示动直线y＝－x＋b在y轴上的截距，显然当动直线y＝－x＋b与圆C相切时，b取得最大值或最小值，如图所示． 由圆心C(3,3)到切线x＋y＝b的距离等于圆C的半径，可得＝2， 即|b－6|＝2，解得b＝6±2， 所以x＋y的最大值为6＋2，最小值为6－2. 一、填空题 1.圆的圆心为______ 【分析】由圆的标准方程求解. 【详解】圆的圆心为， 2．已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为__________ ________. [答案]　(x－2)2＋y2＝10 [分析]　圆心在x轴上，可设圆心坐标为(a,0)，半径长为r，写出圆C的标准方程，将A，B两点坐标代入求a，r即可得圆C的方程． [解析]　设所求圆C的方程为(x－a)2＋y2＝r2， 把所给两点坐标代入方程得 ，解得， 所以所求圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10. 3．以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程为__________ __________. [答案]　x2＋(y－4)2＝20或(x－2)2＋y2＝20 [解析]　令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝2， ∴直线与两轴交点坐标为A(0,4)和B(2,0)，以A为圆心过B的圆方程为x2＋(y－4)2＝20， 以B为圆心过A的圆方程为(x－2)2＋y2＝20. 4.圆关于直线对称的圆的方程是______ 【分析】求出圆心的对称点坐后可得圆方程． 【详解】圆的圆心坐标为，它关于直线对称点为， 因此对称圆方程为， 5.已知圆经过点，，且圆心在轴上，则圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】首先分析题意，利用圆的基本性质即可得出答案. 【解析】设圆心为，设圆的标准方程为，将代入圆的方程中，，解得 故圆的标准方程为：. 故答案为：. 6．在平面直角坐标系中，经过，，三点的圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】设所求圆的标准方程为，代入各点坐标求出的值即可. 【解析】由题意设所求圆的标准方程为，代入各点坐标得， ，解得， 故所求圆的标准方程为. 故答案为：. 7.若表示圆的方程，则的取值范围是_______ 【分析】把给定方程配方化成圆的标准方程形式即可计算作答. 【详解】方程化为：， 因方程表示圆，于是得，解得， 所以的取值范围是：. 8．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是________________． 答案　(x－2)2＋(y＋1)2＝1 解析　设圆上任一点坐标为(x0，y0)， x＋y＝4，连线中点坐标为(x，y)， 则解得 代入x＋y＝4中，得(x－2)2＋(y＋1)2＝1. 9.已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为________ 【详解】设，，由，得，所以， 又因为点在圆上， 所以，即. 10.圆恒过的定点为________ 【解题思路】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果. 【解答过程】圆的方程化为， 由得或， 故圆恒过定点． 11.已知圆C：不经过第三象限，则实数m的最大值为 ． 【答案】 【详解】圆方程整理为，则圆心， ，因为圆不经过第三象限， 所以，解得，则. 故答案为：. 12．已知曲线的方程为：有下列四种描述 （1）曲线关于对称； （2）曲线的面积大于16； （3）曲线与圆有四个公共点； （4）若，为曲线与轴的交点，为曲线上的点，则的面积最大为；则其中所有正确结论的序号是 . 【答案】（1）（2）（4） 【详解】设是曲线上任意一点，由于曲线的方程为， 则当，时，曲线的方程为，即； 方程中，用替换，用替换，方程不变，故曲线关于轴，轴，原点对称，曲线的图象如下图（由图中实线部分及原点组成），故（1）正确；    由图可知，曲线所围成的图形是由一个边长为的正方形和四个全等的半圆组合而成，其中半圆半径为，故曲线围成图形的面积为，故（2）正确；      连接原点与点，并延长与曲线交于点，则， 则以为圆心，半径为的圆与曲线有8个交点，故（3）错误； 因为为曲线上的点，由于图象的对称性，不妨设点为第一象限点， 所以，当时，，故，故（4）正确.    故答案为：（1）（2）（4） 二、选择题 13.已知圆的一条直径的端点分别是，，则该圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用中点坐标公式求出圆心，由两点间距离公式求出半径，即可得到圆的方程． 【详解】由题意可知是，的中点为是， 则圆的半径为， 故圆的方程为. 故选：D． 14．若直线在轴､轴上的截距相等，且直线将圆的周长平分，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】由已知圆，直线将圆平分，则直线经过圆心， 直线方程为，或，将点代入上式，解得 直线的方程为或. 故选：C. 15．为圆上任意一点，且点．则的最大值为（    ） A．5 B．9 C．8 D．7 【答案】D 【详解】圆变形为， 其圆心为，半径为，      则的最大值为. 故选：D 16.设圆 ： ，则下列说法错误的是( ) A.无论 如何变化，圆心 都在一条直线上 B.所有圆 均不经过点(3,0) C.经过点(2,2)的圆 有且只有一个 D.所有圆 的面积均为 答案：C 解析：易知圆心 在直线 上， 中说法正确； 令 ，化简得 ， 方程 无解， 中说法正确； 由 化简得 ， 有两个不相等的实数根， 经过点(2,2)的圆 有两个，故C中说法错误； 易知圆 的半径为2， 圆 的面积为 ， 中说法正确. 三、解答题 17.根据下列条件，求圆的标准方程． (1)圆心在，且过点； (2)以，为直径的两个端点的圆； (3)圆心在直线上，且过和点． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）（2）根据条件求圆心和半径，再求圆的标准方程； （3）利用待定系数法，设圆的标准方程，再代入条件，即可求解. 【解答过程】（1）由条件可知， 所以圆的标准方程为. （2），所以半径， 圆心为， 所以圆的标准方程为； （3）设圆的标准方程为， 所以，解得：，，， 所以圆的标准方程为. 18.已知圆C经过两点，且圆心C在直线上. (1)求线段的中垂线l的方程； (2)求圆C的标准方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）求出的中点坐标、线段的中垂线的斜率，利用直线的点斜式方程可得答案； （2）求出圆心坐标、圆的半径可得答案. 【解答过程】（1）由可知其中点. 设线段的中垂线的斜率为， 则， 易知过点，所以，即； （2）由解得，故圆心坐标为， 圆的半径为， 故圆的标准方程为. 19.已知直线与圆 (1)求点到直线的距离； (2)若三个点在圆上，求该圆的圆心和半径． 【答案】(1)； (2)圆心为，半径为. 【解题思路】（1）应用点线距离公式求距离； （2）将点坐标代入方程求出参数值，再把圆化为标准方程，即可得圆心和半径. 【解答过程】（1）由题设，点到直线的距离为； （2）由题设，可得， 所以圆的方程为，即， 所以圆心为，半径为. 20.已知圆经过点和点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)若线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：设圆的方程为， 故圆心为， 由题意得，解得， 所以圆的方程为； （2）设点的坐标是，点的坐标是． 因为点的坐标是，且是线段的中点， 所以． 故．   ① 因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程， 即．     ② 把①代入②，得， 整理，得． 21．在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆C上. （1）求圆C的方程； （2）若圆C与直线交于A，B两点，且，求a的值. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）求出曲线与坐标轴的三个交点，根据这三个交点在圆上可求出圆心坐标和半径，从而可得圆的方程； （2）设A，B，联立直线与圆的方程，根据根与系数的关系可得，，根据得，化为，进而可解得 . 【详解】（1）曲线与坐标轴的交点为(0，1)，(,0)， 由题意可设圆C的圆心坐标为(3，)， ∴，解得， ∴圆C的半径为， ∴圆C的方程为. （2）设点A、B的坐标分别为A，B，其坐标满足方程组，消去得到方程， 由已知得，判别式①， 由根与系数的关系得，②， 由得. 又∵，，∴可化为③， 将②代入③解得，经检验，满足①，即， ∴. 【点睛】本题考查了由圆上三个点的坐标求圆的方程，考查了直线与圆的位置关系、根与系数的关系，考查了运算求解能力，属于中档题. 1 学科网（北京）股份有限公司 $