§1.2 空间向量的基本定理讲义 - 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量基本定理这一核心知识点，系统梳理基底（不共面）、正交基底、单位正交基底等概念，明确向量分解唯一性原理，构建共面判定、平行垂直、长度计算、夹角求解四大应用的学习支架，形成从概念到应用的递进脉络。 资料以即学即练夯实基础，典例与跟练结合深化理解，通过基底判定辨析培养数学眼光的空间观念，借助待定系数法解题发展数学思维的推理能力，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

人教A版选择性必修第一册同步讲义 156个知识点 · 624道经典例题 ·215个题型集训 第一章　空间向量与立体几何 §1.2 空间向量的基本定理 同步讲义 学 习 目 标 树目标 · 抓落实 1. 理解空间向量基本定理，掌握基底、基向量概念，会判断向量组能否作为空间基底 重点 2. 理解正交基底、单位正交基底含义，熟记标准基底 重点 3. 会利用向量分解唯一性，使用待定系数法求解向量参数 重难点 4. 熟练运用定理解决三向量共面、四点共面、平行垂直、长度夹角相关问题 高频考点 5. 辨析易混概念，能够处理空间向量综合题型，建立几何问题向量转化思维 能力提升 笃 学 新 知 汲新知 · 赋新能 知识点 1 空间向量基本定理 💡 知识梳理 · 空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间中任意一个向量，存在唯一一组有序实数，使得： · 基本概念 · 基底：不共面的三个向量称为空间的一组基底； · 基向量：基底中的每一个向量，单独称作基向量。 · 核心判定规则 · 可作为基底：三个向量不共面； · 不可作为基底：三向量共面、存在共线向量、包含零向量； · 关键性质 空间基底不唯一，但同一组基底下，任意向量的分解结果唯一，是待定系数法解题的核心依据。 📝 即学即练 下列命题正确的是（） ①若三个向量两两不共线，则可构成空间基底； ②零向量不能作为空间基向量； ③一组不共面的向量，可唯一表示空间任意向量； ④向量组可以构成空间基底。 A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 知识点 2 正交基底与单位正交基底 💡 知识梳理 1. 正交基底：若一组空间基底的三个基向量两两互相垂直，该基底为正交基底. 2. 单位正交基底：正交基底中，三个基向量模长均为 1，称为单位正交基底，标准记为. 3. 层级关系：单位正交基底正交基底普通空间基底，特殊基底可大幅简化向量数量积、模长、夹角运算. 📝 即学即练 已知空间向量组满足，，则该向量组为（） A．单位正交基底 B．正交基底 C． 非正交普通基底 D．无法判定 知识点 3 向量唯一分解与待定系数法 💡 知识梳理 · 利用基底分解唯一性，任意空间向量的线性组合化简后，相同基向量的系数对应相等，据此列方程求解未知参数，是本节核心解题方法. · 解题步骤：拆分向量→整理基底线性式→系数对应相等→列方程组求解参数. 📝 即学即练 已知为空间基底，向量，且，求实数的值. 知识点 4 空间向量基本定理四大核心应用 💡 知识梳理 1. 应用一：共面问题判定 · 共面定理：共面存在实数，使； · 共面定理推论：空间四点共面且. 2. 应用二：空间平行、垂直判定 将空间直线方向向量用同一基底表示： · 平行：两向量线性相关，对应直线平行或重合； · 垂直：两向量数量积，对应直线互相垂直. 3. 应用三：空间线段长度计算 将线段对应向量化为基底表达式，利用模长公式： 求解向量模长，即为对应空间线段长度. 4. 应用四：空间向量夹角计算 统一基底表示两向量，代入夹角公式： 求解向量夹角，进而求解空间线线夹角. 典 例 探 究 研典例 · 悟方法 【典例1】若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【跟练1】已知，，是不共面的三个向量，则下列能构成一组基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【典例2】已知为空间的一个基底，且，，，能否以作为空间的一组基底？ 【跟练2】已知为空间的一个基底，且，． (1)判断、、、四点是否共面； (2)能否以作为空间的一个基底？若能，试以这一组基底表示；若不能，请说明理由． 【典例3】在平行六面体中，设，，，，分别是，的中点． (1)用向量，，表示，； (2)若，求在基下的坐标． 【跟练3】如图，四棱锥的底面为矩形，平面，设，，，，分别是和的中点，试用，，表示，，，，并分别指出它们在这组基下的坐标. 【典例4】如图，在平行六面体中，，，分别是，，的中点，请选择恰当的基向量证明： (1)； (2)平面平面． 【跟练4】如图.在平行六面体中. (1)如图1，已知，点是侧面的中心，试用向量表示下列向量：. (2)如图2，点分别是的中点，请选择恰当的基底向量，证明：平面平面. 【典例5】已知三棱台，面，，，D是线段中点，且. (1)证明：； (2)请选择合适的基底向量，求直线与所成角的余弦值. 【跟练5】如图，平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设，，. （1）试用，，表示向量，； （2）若，求直线与所成的角. 【典例6】如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，E是线段CD的中点，O在线段BE上，且，设，，．以为基底，用向量法解决下列问题． （1）用基底表示向量； （2）证明：平面BCD； 【跟练6】如图，在平行六面体中，，．设，，． (1)用基底表示向量，，； (2)证明：平面． 【典例7】如图，在三棱锥中，底面边长与侧棱长均为a，M，N分别是棱上的点，且，，求的长． 【跟练7】如图，在平行六面体中，，分别为棱，的中点，满足． 求的长度； 学 习 小 结 理脉络 · 通全局 一、小结 1. 空间向量基本定理是构建空间基底的理论依据，不共面的三个向量才能作为一组基底. 2. 正交基底、单位正交基底是两类特殊基底，为常用标准基底. 3. 利用分解唯一性，使用待定系数法求解向量参数是高频解题手段. 4. 熟练掌握共面判定、平行垂直、长度、夹角四类核心应用. 二、知识网络 新 学 检 测 学以用 · 知以行 1. 已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 2. 如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为O，点M在上，且，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 3. 如图，在四面体OABC中，，，，点在OA上，且，点为BC的中点，设，则______. 4. 棱长为1的正四面体ABCD中，直线AB与CD（    ） A．相交 B．平行 C．垂直 D．无法判位置关系 5. 如图，在三棱柱中，已知M，N分别是上的点，且，设.若，，则的长为____． 6. 如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为的正方形，侧棱长为，． (1)求的长； (2)证明：； (3)求直线与AC所成角的余弦值． 学 习 反 思 思得失 · 促精进 本节课是空间向量的理论基础，学生容易混淆 “两两不共线” 与 “不共面” 两个条件，对四点共面定理的系数条件理解不到位.课堂应当多结合几何体实例辨析概念，通过判断题扫清认知误区，同时控制待定系数法习题难度，为后续空间向量运算做好铺垫. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版选择性必修第一册同步讲义 156个知识点 · 624道经典例题 ·215个题型集训 第一章　空间向量与立体几何 §1.2 空间向量的基本定理 同步讲义 学 习 目 标 树目标 · 抓落实 1. 理解空间向量基本定理，掌握基底、基向量概念，会判断向量组能否作为空间基底 重点 2. 理解正交基底、单位正交基底含义，熟记标准基底 重点 3. 会利用向量分解唯一性，使用待定系数法求解向量参数 重难点 4. 熟练运用定理解决三向量共面、四点共面、平行垂直、长度夹角相关问题 高频考点 5. 辨析易混概念，能够处理空间向量综合题型，建立几何问题向量转化思维 能力提升 笃 学 新 知 汲新知 · 赋新能 知识点 1 空间向量基本定理 💡 知识梳理 · 空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间中任意一个向量，存在唯一一组有序实数，使得： · 基本概念 · 基底：不共面的三个向量称为空间的一组基底； · 基向量：基底中的每一个向量，单独称作基向量。 · 核心判定规则 · 可作为基底：三个向量不共面； · 不可作为基底：三向量共面、存在共线向量、包含零向量； · 关键性质 空间基底不唯一，但同一组基底下，任意向量的分解结果唯一，是待定系数法解题的核心依据。 📝 即学即练 下列命题正确的是（） ①若三个向量两两不共线，则可构成空间基底； ②零向量不能作为空间基向量； ③一组不共面的向量，可唯一表示空间任意向量； ④向量组可以构成空间基底。 A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】B 【详解】①错误，两两不共线可能三向量共面，无法构成基底；②正确，零向量与任意向量共面，不能做基向量；③正确，满足空间向量基本定理唯一性；④错误，可由线性表示，三向量共面，不能做基底. 知识点 2 正交基底与单位正交基底 💡 知识梳理 1. 正交基底：若一组空间基底的三个基向量两两互相垂直，该基底为正交基底. 2. 单位正交基底：正交基底中，三个基向量模长均为 1，称为单位正交基底，标准记为. 3. 层级关系：单位正交基底正交基底普通空间基底，特殊基底可大幅简化向量数量积、模长、夹角运算. 📝 即学即练 已知空间向量组满足，，则该向量组为（） A．单位正交基底 B．正交基底 C． 非正交普通基底 D．无法判定 【答案】B 【详解】三向量两两垂直，满足正交基底定义；因模长不为 1，不满足单位正交基底条件，故属于正交基底. 知识点 3 向量唯一分解与待定系数法 💡 知识梳理 · 利用基底分解唯一性，任意空间向量的线性组合化简后，相同基向量的系数对应相等，据此列方程求解未知参数，是本节核心解题方法. · 解题步骤：拆分向量→整理基底线性式→系数对应相等→列方程组求解参数. 📝 即学即练 已知为空间基底，向量，且，求实数的值. 【答案】 【详解】展开右侧：，由分解唯一性列方程组：，解得. 知识点 4 空间向量基本定理四大核心应用 💡 知识梳理 1. 应用一：共面问题判定 · 共面定理：共面存在实数，使； · 共面定理推论：空间四点共面且. 2. 应用二：空间平行、垂直判定 将空间直线方向向量用同一基底表示： · 平行：两向量线性相关，对应直线平行或重合； · 垂直：两向量数量积，对应直线互相垂直. 3. 应用三：空间线段长度计算 将线段对应向量化为基底表达式，利用模长公式： 求解向量模长，即为对应空间线段长度. 4. 应用四：空间向量夹角计算 统一基底表示两向量，代入夹角公式： 求解向量夹角，进而求解空间线线夹角. 典 例 探 究 研典例 · 悟方法 【典例1】若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由基底的定义逐一判断即可. 【详解】，故A不是； 不存在，使得，故B是； ，故C不是； ，故D不是. 【跟练1】已知，，是不共面的三个向量，则下列能构成一组基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】由不共面的三个向量能构成一组基底判断. 【详解】对于A选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底； 对于B选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底； 对于C选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底； 对于D选项，设，整理得， 由不共面，得​，解得，只有零解， 则，，三个向量不共面，所以能构成一组基底. 【典例2】已知为空间的一个基底，且，，，能否以作为空间的一组基底？ 【详解】能以作为空间的一组基底，理由如下： 假设存在不全为的实数，，使得成立， 即， 所以，此方程组无解， 即不存在不全为的实数，，使得成立， 因此假设不成立．所以不共面， 所以能以作为空间的一组基底． 【跟练2】已知为空间的一个基底，且，． (1)判断、、、四点是否共面； (2)能否以作为空间的一个基底？若能，试以这一组基底表示；若不能，请说明理由． 【答案】(1)、、、四点不共面，理由见解析； (2)为空间的一组基底， ，理由见解析. 【详解】（1）， 设，则， 因为为空间的一个基底，故，该方程无解， 故不共面，所以、、、四点不共面， （2）设，则， 因为为空间的一个基底，故，无解， 故不共面，故为空间的一组基底. 设，则： ， 因为为空间的一个基底，故， 故，故. 【典例3】在平行六面体中，设，，，，分别是，的中点． (1)用向量，，表示，； (2)若，求在基下的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据给定的平行六面体，利用空间向量的线性运算求解即得. （2）利用给定的基底表示，再利用空间向量基本定理求出坐标. 【详解】（1）在平行六面体中，连接，，，，如图，    ， ． （2） ， 因此，，， 所以在基下的坐标为． 【跟练3】如图，四棱锥的底面为矩形，平面，设，，，，分别是和的中点，试用，，表示，，，，并分别指出它们在这组基下的坐标. 【答案】 ，在基下的坐标为. ，在基下的坐标为. ，在基下的坐标为. ，在基下的坐标为. 【详解】连接，如图所示， 则， 在基下的坐标为. ， 在基下的坐标为. ， 在基下的坐标为. ， 在基下的坐标为. 【典例4】如图，在平行六面体中，，，分别是，，的中点，请选择恰当的基向量证明： (1)； (2)平面平面． 【详解】(1)证明：取基， 因为 ， ， 所以， 又，无公共点，所以． (2)证明：因为 ， ， 所以， 又，无公共点， 所以． 又平面，平面， 所以平面． 又由（1）知， 同理可得平面， 又， 平面， 所以平面平面． 【跟练4】如图.在平行六面体中. (1)如图1，已知，点是侧面的中心，试用向量表示下列向量：. (2)如图2，点分别是的中点，请选择恰当的基底向量，证明：平面平面. 【答案】(1)， (2)基底向量见解析，证明见解析 【详解】（1）因为，点是侧面的中心， 所以， . （2）以为基底， 则， ， ，， 所以，， 则，， 又平面平面平面. 同理平面，又平面， 所以平面平面. 【典例5】已知三棱台，面，，，D是线段中点，且. (1)证明：； (2)请选择合适的基底向量，求直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）证明：连接. 设，在中，由余弦定理得 ， 又，因为，所以，解得， 由于，且，所以， 所以，所以，即， 又因为，所以面，又因为面，所以.    （2）选取基底， ， ， ， ， 所以直线与所成角的余弦值为. 【跟练5】如图，平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设，，. （1）试用，，表示向量，； （2）若，求直线与所成的角. 【答案】（1）；；（2）. 【分析】（1）由向量的加减运算法则，即可求解向量，； （2）根据向量的数量积的运算公式，分别求得,结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）由向量的加减运算法则知： 在平行四边形中，， 又由. （2）由题意知，，，，， 可得 . 又由， ， 所以， 因为，所以. 所以与所成的角为. 【典例6】如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，E是线段CD的中点，O在线段BE上，且，设，，．以为基底，用向量法解决下列问题． （1）用基底表示向量； （2）证明：平面BCD； 【答案】（1）；（2）证明见解析； 【详解】（1） ．         （2）由题知，，． ，∴． ，∴． 又∵平面BCD，且，∴平面BCD．      【跟练6】如图，在平行六面体中，，．设，，． (1)用基底表示向量，，； (2)证明：平面． 【答案】(1)，，．(2)证明见解析 【详解】（1）已知，，， 得：，，． （2）设， 又， 则，且， 则， 得， 即， 同理可得， 因为，，平面，平面，且， 所以平面． 【典例7】如图，在三棱锥中，底面边长与侧棱长均为a，M，N分别是棱上的点，且，，求的长． 【答案】. 【分析】选定空间的一组基底，表示出向量，再利用空间向量数量积及运算律求解作答. 【详解】因三棱锥的底面边长与侧棱长均为a，即有三棱锥是正四面体，不共面， 而，，则 ，而， 因此， 所以的长. 【跟练7】如图，在平行六面体中，，分别为棱，的中点，满足． 求的长度； 【答案】 【详解】， ， ， ， 所以 则线段的长度. 学 习 小 结 理脉络 · 通全局 一、小结 1. 空间向量基本定理是构建空间基底的理论依据，不共面的三个向量才能作为一组基底. 2. 正交基底、单位正交基底是两类特殊基底，为常用标准基底. 3. 利用分解唯一性，使用待定系数法求解向量参数是高频解题手段. 4. 熟练掌握共面判定、平行垂直、长度、夹角四类核心应用. 二、知识网络 新 学 检 测 学以用 · 知以行 1. 已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，A错误. 设，不共面，所以不存在使其成立，故三个向量不共面，B正确. 错误. 错误. 故选:B 2. 如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为O，点M在上，且，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为平行六面体中，点M在上，且 故可得 故选：D. 3. 如图，在四面体OABC中，，，，点在OA上，且，点为BC的中点，设，则______. 【答案】1 【详解】在四面体OABC中， ，而， 所以，. 故答案为：1 4. 棱长为1的正四面体ABCD中，直线AB与CD（    ） A．相交 B．平行 C．垂直 D．无法判位置关系 【答案】C 【详解】因为， 所以 . 所以，即. 所以直线AB与CD垂直. 故选：C. 5. 如图，在三棱柱中，已知M，N分别是上的点，且，设.若，，则的长为____． 【答案】/ 【分析】根据图形利用向量的加减数乘运算可将用表示，利用向量数量积的运算律，计算即得. 【详解】由已知条件可得 又因，， 所以可得，， 所以. 6. 如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为的正方形，侧棱长为，．    (1)求的长； (2)证明：； (3)求直线与AC所成角的余弦值． 【答案】(1)； (2) 由向量的运算法则，可得，， 则 ， 所以，所以. (3)． 【分析】（1）由空间向量的运算法则，得到，结合向量的数量积的运算公式，求得，即可求解； （2）由向量的运算法则，可得，，结合向量的数量积的运算公式，求得，即可证得； （3）因为，求得，和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）解：由空间向量的运算法则，可得， 所以 ， 所以，即的长为. （2）略 （3）解：因为， 所以， ， 且 ， 所以， 所以直线与所成角的余弦值为. 学 习 反 思 思得失 · 促精进 本节课是空间向量的理论基础，学生容易混淆 “两两不共线” 与 “不共面” 两个条件，对四点共面定理的系数条件理解不到位.课堂应当多结合几何体实例辨析概念，通过判断题扫清认知误区，同时控制待定系数法习题难度，为后续空间向量运算做好铺垫. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $