第3章 圆的基本性质单元巩固测试卷2026-2027学年浙教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦圆的基本性质单元，通过基础巩固与综合应用的梯度设计，适配初中暑假复习，融合数学眼光、思维与语言核心素养，覆盖圆的概念、性质及应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|圆的确定（1）、位置关系（2）、正多边形中心角（3）|结合传统凉亭（7）考查正六边形面积，体现文化传承| |填空题|6/18|弧长公式（11）、切线性质（12）、垂径定理（13）|坐标几何（16）渗透空间观念，提升抽象能力| |解答题|8/72|扇形面积计算（17）、管道修理实际应用（18）、内接四边形综合探究（24）|综合题（24）融合等边三角形与圆的性质，培养推理能力与创新意识|

第3章 圆的基本性质 单元巩固测试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列说法正确的是（　　） A．三点确定一个圆 B．三角形的内心到三角形三个顶点距离相等 C．和半径垂直的直线是圆的切线 D．一个三角形只有一个外接圆 【答案】D 【分析】本题考查了确定圆的条件，三角形的外心和外接圆，切线的定义； 根据确定圆的条件，三角形的外心和外接圆，切线的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、不共线的三点确定一个圆，原说法错误； B、三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，原说法错误； C、和半径垂直且过半径外端点的直线为圆的切线，原说法错误； D、一个三角形只有一个外接圆，说法正确； 故选：D． 2．点O为坐标原点，若的半径为10，则点与的位置关系是（    ） A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了坐标与图形的性质．先计算点A到坐标原点O的距离，再将该距离与的半径比较，依据点与圆的位置关系判定规则得出结论 【详解】∵点的坐标为，为坐标原点， ∴， 又∵的半径， ∴， ∴点在上， 故选：B 3．一个正多边形的中心角为，这个正多边形的边数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形的性质，根据正多边形的中心角计算公式为：中心角边数，求解即可． 【详解】解：设正多边形的边数为n， 由题意可得：， 解得， 故选：C． 4．如图，点在圆弧上，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，弧长公式，连接，根据圆周角定理得到，再由弧长公式求解即可. 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 5．如图，是的半径，是的中点，连接，点在的延长线上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用邻补角定义求出，根据等腰三角形性质求出 ，再利用弧中点性质得出，最后求和即可． 【详解】解：连接， 点在的延长线上， 是的中点 ． 6．如图，在中，，，是斜边上的中线，以点为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点．若，则扇形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据斜边上的中线得到，进而得到，三角形的外角得到的度数，作图可知，等边对等角求出的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵，是斜边上的中线，， ∴， ∴， ∴， 由作图可知， ∴， ∴， ∴扇形的面积为． 7．中国传统凉亭是自然与人文交融的载体，既是游人遮阳避雨的休憩佳处，亦是园林造景的点睛之笔．如图，福州光禄吟台坐落着一座六角亭——追昔亭，该亭的基座平面可近似看作半径为的正六边形，则此正六边形的面积是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形和圆，等边三角形的性质，勾股定理，熟练把正多边形的面积转化为三角形面积的倍数计算是解题的关键．正六边形的面积由个全等的边长为的等边三角形面积组成，计算一个等边三角形的面积，乘以即可． 【详解】解：如图，过点作交于点， ∵正六边形， ∴，， ∴为等边三角形． ∴，． ∵在中，，，， ∴， ∴． ∵正六边形含有全等的个正三角形， ∴． 故选：C． 8．如图，四边形为矩形，，点P是线段上一动点，，垂足为P，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】首先得出点M在O点为圆心，以为半径的圆上，然后得到当直线过圆心O时，最短，从而利用勾股定理计算出答案． 【详解】设的中点为O，以O点为圆心，为半径画圆， ∵四边形为矩形，， ∴， ∵， ∴点M在O点为圆心，以为半径的圆上， 连接交圆O与点N， ∵点B为圆O外一点， ∴当直线过圆心O时，最短， ∵，， ∴， ∴， ∵． 故选：D． 【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质，勾股定理，直径所对　圆周角是直角等知识，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识． 9．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦与小圆有公共点，则弦的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆中的有关性质．利用垂径定理可用同心圆的两个半径和与小圆相切的大圆的弦的一半构造直角三角形，运用勾股定理解题解决本题的关键． 当与小圆相切时有一个公共点，此时可知最小；当经过同心圆的圆心时，弦最大且与小圆相交有两个公共点，此时最大，由此可以确定所以的取值范围． 【详解】解：如图，当与小圆相切时有一个公共点， ∴， ∴， 在中，，， ∴ ， ∴； 当经过同心圆的圆心时，弦最大且与小圆相交有两个公共点， 此时， 所以的取值范围是． 故选：A． 10．已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】解题需分情况讨论弦、与圆心的位置关系，避免漏解，先求出圆心到两条弦的距离，再分情况计算两弦间的距离。 【详解】解：①当弦和在圆心同侧时， 连接，，过点作于点并延长交于点．则，如图， ，， ，， ， ，， ； ②当弦和在圆心异侧时，如图， ，， ，， ， ，， ． 与之间的距离为或． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若一个扇形的半径是18cm，且它的弧长是，则此扇形的圆心角等于______． 【答案】60°/60度 【分析】根据变形为n=计算即可． 【详解】∵扇形的半径是18cm，且它的弧长是，且 ∴n===60°， 故答案为：60°． 【点睛】本题考查了弧长公式，灵活进行弧长公式的变形计算是解题的关键． 12．如图，在四边形中，，经过、、三点的与相切于点，与交于点，连接．若，则的度数为__． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质、垂径定理、圆周角定理，解决本题的关键是作辅助线构造相等的圆周角．连接并延长，交于，连接，根据切线的性质可知，根据垂径定理可知，根据圆周角定理可证． 【详解】解：如下图所示，连接并延长，交于，连接， 是的切线， ， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：． 13．如图，是的直径，是的弦．若，，则_________． 【答案】 【分析】根据直径所对的圆周角为，可知，求出，得到，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ， ∵与对应同一段弧， ， ， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角为，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，等角对等边等性质，掌握圆周角定理的推论是解题的关键． 14．已知，在中，，，以为直径的圆经过的外心，则的长为__________． 【答案】或 【分析】根据题意，分两种情况画出图形：情况1为当外心在内部时，情况2为当外心在外部时，根据圆心角与圆周角的关系易得为或，再作出边上的高，利用勾股定理解直角三角形，求出的长． 【详解】解：设是以为直径的圆，点O是的外心． 情况1，如图，当点O在内部时，根据圆心角与圆周角的关系得：， 作于点E，则是等腰直角三角形，， 由勾股定理有，即，， ， ； 情况2，如图，当点O在外部时，根据圆心角与圆周角的关系得： ， 作的延长线于点F，则是等腰直角三角形，， 由勾股定理有，即，， ， ． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心、圆周角定理、勾股定理解直角三角形、等腰直角三角形的性质等，灵活运用相关知识并画出图形分类讨论是解决问题的关键． 15．如图，的直径垂直于弦，垂足为，是圆上一点，是的中点，连接交于点，连接，若，则的长度为_______________，的长度为______________． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是掌握相关知识．连接，根据垂径定理可得，，设的半径为，则，在中，根据勾股定理求出，进而可得的长度，求出，根据圆周角定理可得，结合，得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 的直径垂直于弦， ，， 设的半径为，则， ， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ， 是的中点， ， ， ， ， 故答案为: ，． 16．如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，过点P 分别向两坐标轴作垂线段，，垂足分别为点A，B，则线段的最小值为_______． 【答案】3 【分析】连接，，过点M作轴于点C，则四边形是矩形，得，则当最小时，最小，可知当O、P、M共线时最小，即最小，此时设点P为点，求出，利用即可求解． 【详解】解：如图，连接，，过点M作轴于点C， ∵轴，轴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当最小时，最小， ∵点P是上的任意一点， ∴当O、P、M共线时最小，即最小， 此时设点P为点， ∵，轴， ∴，， ∴， ∴， 即最小为3． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．（1）已知扇形的半径为4，面积为4，则该扇形的弧长为___________． （2）若扇形的圆心角为，面积为，则它的半径为___________． （3）一个扇形的弧长是，面积是，则此扇形的圆心角的度数是___________． 【答案】 2 2 /150度 【分析】本题考查了扇形的弧长公式和面积公式，如果扇形的圆心角是，扇形的半径为r，则扇形的弧长l的计算公式为：，扇形的面积公式：． （1）据扇形面积公式求解即可； （2）根据扇形面积公式求解即可； （3）先根据求出半径，再根据求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴． ∴， ∴． 故答案为：2； （2）∵扇形的圆心角为，面积为， ∴ 解得（负值舍去）． 故答案为：2； （3）由（1）知，， ∴， ∴． ∵ ∴． 故答案为：． 18．某居民区一处圆形地下水管道破裂，修理工人准备更换一段新管道，经测量得到如图所示的数据，水面宽度，水面到管顶的距离为，那么修理工人应准备直径为多长的管道？（管道的厚度不计） 【答案】修理工人应准备直径为的管道 【分析】该题考查了勾股定理和垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键． 如图，过点O作于D，连接，则．设半径为，则，．在中，勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点O作于D，连接， 则． 设半径为，则，． 在中，， 即， 解得：， ． 故修理工人应准备直径为的管道． 19．如图，是的直径，是的弦，于点E，C是的中点，连接． (1)求证：． (2)若，求的半径． 【答案】(1) 证明：是的直径，于点， ． 是的中点， ， ， ． (2)5 【分析】本题考查了圆心角定理，垂径定理，熟练掌握圆心角定理及垂径定理是关键． （1）根据垂径定理，得到，即可证明，根据圆心角定理，即可证明结论； （2）连接OD，根据垂径定理及勾股定理，即可列方程求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接OD， 由（1）可知，， 是的直径，于点， ，             设的半径为，则， 在Rt中，， 即， 解得， 的半径为5． 20．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)画出绕点A逆时针旋转所得的，并直接写出的长； (2)直接写出在（1）的旋转过程中线段扫过区域的面积． 【答案】(1) 解：如图所示，即为所求； (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变换—旋转，两点间的距离公式，求图形扫过的面积，正确画出对应的图形是解题的关键． （1）根据旋转方式和网格的特点找到的位置，描出，再顺次连接，利用两点间的距离公式求出的长，即可求出的长； （2）由题意得，线段扫过的区域即为扇形，据此结合扇形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由旋转的性质可得； （2）解：由题意得，线段扫过的区域即为扇形， ∵， ∴， 由旋转的性质可得， ∴线段扫过区域的面积为． 21．如图，在四边形中，，过A，B，D三点的圆交边于点E．若，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理， 连接，，先证明，即可根据等腰三角形的三线合一可得是边上的中线，即，进而可得，结合三角形内角和定理问题随之得解． 【详解】解：如图所示，连接，， ∵， ∴为直径， ∴，即， 又∵， ∴为等腰三角形，为底边， ∴是边上的中线， ∴E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 22．如图，是的直径，弦交于点． (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了圆周角定理，含角的直角三角形的性质，熟练掌握同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角等于． （1）连接，根据圆周角定理可得，再根据直径所对的圆周角等于，求出，结合外角的性质得出的度数； （2）根据圆周角定理可得，再根据直径所对的圆周角等于，求出，结合含角的直角三角形的性质即可求出答案． 【详解】（1）解：连接， ， 是的直径， ， ， ， ； （2）所对的圆周角相等， ， 是的直径， ， ， ， ， 又， ． 23．如图，A，B，C是上的点，其中，过点B画于点D． (1)求证：． (2)若，，求涂色部分的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理，利用弧、弦、圆心角的关系求解，勾股定理，弧长公式，等边三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合垂径定理得，，结合，得，即可作答． （2）先整理得，把数值代入，进行计算，得，则 ，结合垂直平分，得，证明为等边三角形，再求出弧的长，即可得出涂色部分的周长． 【详解】（1）证明：延长交圆于E． ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． （2）解：连接，， 设， 由（1）得， ∵， ∴， ∵， ∴， 则 ∴， 得， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴． ∴弧的长， ∴涂色部分的周长弧的长 24．综合与探究 如图，四边形为的内接四边形，连接，，为等边三角形，，． (1)求证：． (2)①尺规作图：过点作，交的延长线于点． ②求证：． (3)求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)①作图见解析②证明见解析 (3) 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、等边三角形的性质、圆周角定理、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、尺规作图、勾股定理、垂径定理；解题的关键是利用等边三角形和圆内接四边形的性质推导角度关系，通过角度相等证明三角形全等，进而找到边的关系． （1）利用等边三角形性质得弧相等，再根据圆周角定理证明角相等； （2）①尺规作图过点作平行线，利用全等三角形对应角相等，以及内错角相等，两直线平行的原理进行作图；②先通过平行线和圆内接四边形性质推导角度，证明，从而得边相等； （3）根据（2）得出的全等，证明为等边三角形，求出长度，过点作于，利用和，以及勾股定理，求出的长度，过点作于，利用垂径定理求出半径长度，再用弧长公式计算即可． 【详解】（1）∵为等边三角形 ∴ ∴ ∴ （2）①解：尺规作图如下： 步骤一：以点为圆心，任意长为半径作圆弧，交直线于点，交线段（或射线）于点； 步骤二：以点为圆心，以相同的长为半径作圆弧，交射线于点（使得，即点在射线上且等于步骤二中的半径）； 步骤三：以点为圆心，以线段的长为半径作圆弧，交步骤三中所作的圆弧于点（取与点位于直线相反侧的交点）； 步骤四：过点和点作直线，则直线即为所求的过点且平行于的直线，交的延长线于点． 原理：由作图可知，，故，内错角相等，所以 ． ②证明：∵为等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 即 ∵四边形为的内接四边形 ∴ ∵在和中 ∴ ∴ （3）解： 由（2）得 ∴， ∵ ∴为等边三角形 ∴ 如图，过点作于，过点作于 ∵，则 ∴ ∵在中， ∴ 又∵ ∴在中， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵在中，设，则 ∴ 整理得 或（舍） ∴ ∴ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 圆的基本性质 单元巩固测试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列说法正确的是（　　） A．三点确定一个圆 B．三角形的内心到三角形三个顶点距离相等 C．和半径垂直的直线是圆的切线 D．一个三角形只有一个外接圆 2．点O为坐标原点，若的半径为10，则点与的位置关系是（    ） A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．不能确定 3．一个正多边形的中心角为，这个正多边形的边数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．如图，点在圆弧上，，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．如图，是的半径，是的中点，连接，点在的延长线上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，是斜边上的中线，以点为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点．若，则扇形的面积为（     ） A． B． C． D． 7．中国传统凉亭是自然与人文交融的载体，既是游人遮阳避雨的休憩佳处，亦是园林造景的点睛之笔．如图，福州光禄吟台坐落着一座六角亭——追昔亭，该亭的基座平面可近似看作半径为的正六边形，则此正六边形的面积是（   ）． A． B． C． D． 8．如图，四边形为矩形，，点P是线段上一动点，，垂足为P，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 9．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦与小圆有公共点，则弦的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若一个扇形的半径是18cm，且它的弧长是，则此扇形的圆心角等于______． 12．如图，在四边形中，，经过、、三点的与相切于点，与交于点，连接．若，则的度数为__． 13．如图，是的直径，是的弦．若，，则_________． 14．已知，在中，，，以为直径的圆经过的外心，则的长为__________． 15．如图，的直径垂直于弦，垂足为，是圆上一点，是的中点，连接交于点，连接，若，则的长度为_______________，的长度为______________． 16．如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，过点P 分别向两坐标轴作垂线段，，垂足分别为点A，B，则线段的最小值为_______． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．（1）已知扇形的半径为4，面积为4，则该扇形的弧长为___________． （2）若扇形的圆心角为，面积为，则它的半径为___________． （3）一个扇形的弧长是，面积是，则此扇形的圆心角的度数是___________． 18．某居民区一处圆形地下水管道破裂，修理工人准备更换一段新管道，经测量得到如图所示的数据，水面宽度，水面到管顶的距离为，那么修理工人应准备直径为多长的管道？（管道的厚度不计） 19．如图，是的直径，是的弦，于点E，C是的中点，连接． (1)求证：． (2)若，求的半径． 20．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)画出绕点A逆时针旋转所得的，并直接写出的长； (2)直接写出在（1）的旋转过程中线段扫过区域的面积． 21．如图，在四边形中，，过A，B，D三点的圆交边于点E．若，，求证：． 22．如图，是的直径，弦交于点． (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 23．如图，A，B，C是上的点，其中，过点B画于点D． (1)求证：． (2)若，，求涂色部分的周长． 24．综合与探究 如图，四边形为的内接四边形，连接，，为等边三角形，，． (1)求证：． (2)①尺规作图：过点作，交的延长线于点． ②求证：． (3)求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $