第3章 圆的基本性质（暑假单元自测）新九年级数学新教材浙教版

**基本信息** 浙教版新教材《圆的基本性质》单元自测卷，90分钟120分，24题覆盖弧、弦、圆周角等核心考点，通过基础概念辨析与综合几何推理，适配暑假巩固提升，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/30|圆的概念、点与圆位置关系、外心性质|基础概念辨析，如判断等弧定义| |填空|6/18|弦心距、实际测量（纸杯直径）、弧长计算|结合生活情境，如用纸条测直径| |解答|8/72|垂径定理、内接四边形、正多边形与圆|综合几何推理，如正六边形与正方形结合证明|

第3章 圆的基本性质 单元自测卷 【新教材，浙教版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）给出下列说法：①半圆是弧；②直径是弦；③长度相等的两条弧是等弧；④在同一平面中，到定点的距离等于定长的点的集合是圆；⑤A，B是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是．其中，正确的是（ ） A．②③④⑤ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③⑤ 【答案】B 【分析】根据圆的基本概念逐一判断各说法的正确性． 本题考查了圆的基本概念，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：∵ ①半圆是圆上任意直径的两个端点之间的部分，是弧的一种，正确； ②直径是连接圆上两点且经过圆心的线段，是弦的一种，正确； ③长度相等的两条弧必须在同圆或等圆中才能称为等弧，否则不一定重合，错误； ④圆的定义是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，正确； ⑤　弦连接圆上两个不同点，，最大弦为直径， ∴，正确。 ∴ 正确的是①②④⑤， 故选：B． 2．（3分）点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查对点与圆的位置关系的判断．解题的关键：要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，若点到圆心的距离为，圆的半径，则时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，反过来与成立． 【详解】解：∵点到圆心的距离为，点在圆外， ∴，即． 故选：A． 3．（3分）对于三角形的外心，下列说法正确的是（　　） A．它到三角形三边的距离相等 B．它是三角形三条高的交点 C．它一定在该三角形的内部 D．它到三角形三个顶点的距离相等 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外心的定义．根据三角形的外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等，它是三角形三条边垂直平分线的交点，据此即可求得答案． 【详解】解：三角形的外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等，它是三角形三条边垂直平分线的交点，故A、B错误；D正确；锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外部，故C错误． 故选：D． 4．（3分）下列选项中属于旋转运动的是（ ） A．小华向西走10米再向北走10米 B．传送带传送货物 C．电梯从1楼到11楼再回到1楼 D．小亮正在荡秋千 【答案】D 【分析】本题主要考查旋转运动；旋转运动是指物体围绕一个固定点或轴做圆周运动．选项A、B、C均为平移运动，只有选项D的荡秋千是围绕固定点旋转． 【详解】解：∵ 旋转运动需围绕固定点转动， A项为平移运动，无旋转中心； B项传送带为平移运动； C项电梯为上下平移运动； D项荡秋千是围绕悬挂点做圆弧运动，属于旋转运动． 故选：D． 5．（3分）已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（ ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解题的关键是分情况讨论弦和与圆心的位置关系． 作于E，延长交于F，连接、，利用垂径定理得到弦长的一半，再结合勾股定理求出圆心到弦的距离，最后分两种情况 （两弦在圆心同侧和异侧）计算两弦之间的距离． 【详解】解：作于E，延长交于F，连接、，如图， ∵， ， ， ∵的直径为， ∴的半径为， 在中，， ， 在中，， ， 当圆心O在与之间时，， 当圆心O不在与之间时，同理可得， 即和之间的距离为或． 故选：A. 6．（3分）如图，点，，在上．若，则的大小是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是圆周角定理，解题关键是掌握圆周角定理求解圆周角． 圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半，根据圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：点，，在上，， ． 故选：． 7．（3分）已知、、、在上，、交于外点，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是圆周角定理、三角形的外角性质， 先由圆周角定理求出，再根据三角形的外角性质计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 8．（3分）如图，是直径，点C，D在半圆上，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角，掌握直径所对的圆周角为直角是解题的关键． 连接，根据直径所对的圆周角为直角，得到，再根据同弧所对的圆周角相等，得到，相加即可求解． 【详解】解：如图，连接， 是直径， ， 又， ． 故选：B． 9．（3分）如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为，点 M是第三象限内圆上一点，，则的半径为（ ） A．4 B．5 C．6 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，含角的直角三角形的性质，圆周角定理，坐标与图形，根据圆内接四边形对角互补得到，再由的圆周角所对的弦是直径得到是直径，求出，进而求出，是解题的关键． 【详解】解：∵、、、都在圆上，， ∴， ∵， ∴是的直径，， ∵， ∴， ∴， ∴的半径为4， 故选：A． 10．（3分）如图，若半径为的定滑轮边缘上一点绕中心逆时针转动（绳索与滑轮之间没有滑动），则重物上升的高度为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧长公式计算即可． 本题考查了弧长公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故选：B． 第II卷 二、填空题（共18分） 11．（3分）在中，弦，，的直径为20，则弦之间的距离为 ____________． 【答案】2或14 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用．根据题意画出图形是解题的关键． 由于弦和平行，且它们与圆心的相对位置不确定，需分同侧和异侧两种情况，分别根据垂径定理和勾股定理求解即可． 【详解】解：①当在圆心的同侧，如图（一）所示时，过O作交于F，连接， 由垂径定理可知， 在中，； 在中，， 所以； ②当在圆心的异侧，如图（二）所示时，过O作交于F，连接， 同（一）可知：， 所以． 故答案为：2或14． 12．（3分）某数学兴趣小组仅用一张矩形纸条和一把刻度尺，测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．则纸杯杯底的半径为___________． 【答案】5 【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，由垂径定理求出的长，设，由勾股定理得到，求出x的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长． 【详解】解：如图，，过圆心O，连接， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴纸杯的直径为． 故答案为：5． 13．（3分）如图，内接于，，交于点，连接．若，则的度数为______． 【答案】71度/ 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，等边对等角，三角形的内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 设，根据圆内接四边形对角互补求得，然后根据等边对等角求得，再根据平行线的性质可得，从而利用三角形内角和进行计算求解即可． 【详解】解：设， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 即． 故答案为：． 14．（3分）如图，正五边形内接于，点P在上，连结，则的度数为______． 【答案】/72度 【分析】此题考查了正多边形与圆以及圆心角、圆周角的关系，解题的关键是掌握圆内接正五边形的性质以及圆周角与圆心角的关系． 连接，，，构造圆心角，利用正五边形的性质求得圆心角的度数，从而求得的度数． 【详解】解：如图，连接，，， ∵正五边形内接于， ∴， ∴． 故答案为：． 15．（3分）如图，为半圆的直径，点，为半圆上两点，若，，则的长为______．（结果保留π） 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，已知圆内接四边形求角度，求弧长等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先利用圆内接四边形的性质求得，再证明是等边三角形，从而可得，再利用弧长公式求解． 【详解】解：如图，连接， ∵为半圆的直径， ∴四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 又， ∴， ∴的长为， 故答案为：． 16．（3分）如图，点在的直径的延长线上，点在上，连接、．若，，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了求扇形面积；作，根据含30度角的直角三角形的性质得，进而根据勾股定理求得，根据即可求解． 【详解】解：作， ∵，， ∴，则 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共72分） 17．（8分）如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，掌握垂径定理和等腰三角形的性质是解题的关键． （1）由垂径定理得到，由等腰三角形的性质得到，再根据线段的和差即可证明结论； （2）如图：连接，设的半径是r，则，由垂径定理得到，再根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图：连接， 设的半径是r，则， ∵， ∴， ∵， ∴，解得： ， ∴的半径是． 18．（8分）如图，为的直径，C、D分别为的中点，，点E、F都在上， 求证： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理以及含30度的直角三角形三边的关系， 1.连接，根据半径相等得到，则根据“”可判断，所以； 2.先说明，易得到，根据圆心角、弧、弦的关系即可得到； 3.由得，根据三角形外角性质有，则，所以，于是得到． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵为的直径，C、D分别为的中点， ∴， ∴， 而， ∴， ∴； （2）证明：在中，取的中点G，连接， ∴， ∴. ∵， ∴, ∴. ∵是的外角， ∴， ∴， 解得， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19．（8分）如图，经过原点且与两坐标轴分别交于点和点，点的坐标为，点的坐标为，解答下列各题： (1)求线段的长； (2)求的半径及圆心的坐标． 【答案】(1) (2)的半径为，圆心的坐标为 【分析】（）连接，利用勾股定理即可求得线段的长； （）过点作于点，过点作于点，由垂径定理可求得点的坐标，然后由圆周角定理可得是直径，即可求得的半径． 【详解】（1）解：连接， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∵， ∴； （2）解：过点作于点，过点作于点， ∴，， ∴圆心的坐标为； ∵， ∴是的直径， ∴的半径为． 20．（8分）如图，四边形内接于，为直径，，，E为对角线上一动点，连结并延长交于点F． (1)若，求证：； (2)求四边形的面积； 【答案】(1)见解析 (2)40 【分析】本题主要考查了圆的基本知识，等腰三角形的性质和判定，全等三角形，解直角三角形等知识； （1）先根据垂径定理可得：，再由圆周角定理可得结论； （2）如图1，过点分别作和的垂线，垂足分别为，，证明，则四边形的面积四边形的面积，可以解答． 【详解】（1）证明：为直径，， ， ； （2）解：如图1，过点分别作和的垂线，垂足分别为，， ， ， ， ， ， 四边形的面积四边形的面积， ，， ， ， 是直径， ， ，， ， ， ， ， 由勾股定理得：， 四边形的面积四边形的面积． 21．（10分）如图，六边形是的内接正六边形，四边形是正方形，连接，，． (1)求的度数； (2)取劣弧的中点，连接，在图中找出和等长的线段，并说明理由． 【答案】(1) (2)；见解析 【分析】（1）先求出，再证明是等边三角形，由等边三角形和正方形的性质得出是等腰三角形．，再由三角形内角和定理即可求出答案． （2）连接，，由垂径定理得出垂直平分，再证明，由平行线的性质得出，再证明，由全等三角形的性质即可得出． 【详解】（1）解：∵为正六边形的中心角， ∴． ∵， ∴是等边三角形，又四边形是正方形， ∴， ∴是等腰三角形． ∵，， ∴ ∴． （2）解：与是等长的线段， 理由：连接，， ∵是的中点， ∴垂直平分， 在正六边形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴ 22．（10分）在中，为直径，的平分线交于点（如图1和图3）． (1)如图1，若直径为，弦为，则的形状为______，并求的长； (2)如图2，在平面直角坐标系中，经过原点和两点，与坐标轴分别交于点、（如图2），问的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，求其变化的范围． (3)如图3，若与直径交于点E，过D作的平行线，交于点，试判断线段之间满足的等量关系，并说明理由． 【答案】(1)等腰直角三角形； (2)的值不会发生变化，其值为 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了圆的相关性质、坐标与图形、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）作，垂足为点H，先求出，进而得出是等腰直角三角形，求出，，，进而得出结论； （2）在x轴上取一点N，使，连接，先证明，得出，求出，进而求出结论； （3）过点A作并截取，连接，先证，再证，得出，根据得出结论． 【详解】（1）解：作，垂足为点H， 在中，为直径， ， 的平分线交于点， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； ∵直径为，弦为， ， ， 在中，， ， ， ， ， 在中， ， ； （2）解：的值不会发生变化，其值为8，理由如下： 在x轴上取一点N，使，连接， ， ∴点到x轴、y轴距离相等，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴的值不会发生变化，其值为8； （3）解：，理由如下： 如下图，过点A作并截取，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ． 23．（10分）在中， 为弦，为直径，于于． (1)如图1，若过圆心，求的度数； (2)如图2，若与相交于，求的半径． 【答案】(1) (2)的半径为 【分析】（1）连接，根据垂径定理可得即可解答； （2）连接，，证明，得，设的半径为，则，，利用勾股定理列方程即可解答． 【详解】（1）解：如图，连接， ，，为直径， ， ∴， ，过圆心， ， ∴ ， ， 为等边三角形， ； （2）解：如图，连接，， ，， ， ， ， ， ， ， 设的半径为，则， ， ， ， ， 根据勾股定理可得， 即， 解得（舍去），， 所以的半径为． 24．（10分）如图1，为的直径，弦于点，是上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接，其中与交于点． (1)求证：． (2)如图2，若，连接，求证：； (3)在（2）的条件下，已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识点，灵活应用相关知识是解题的关键． （1）连接，由为的直径，弦，得，再根据角的关系即可的结论；； （2）根据题意证得，再证得即可得到结论； （3）连结，由及角的关系得，设根据列方程，再根据即可求出的长． 【详解】（1）解：连接， ∵为的直径，弦， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ （2）， ， （3）连接， ， ， ， ∴，设， 解得：      2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 圆的基本性质 单元自测卷 【新教材，浙教版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）给出下列说法：①半圆是弧；②直径是弦；③长度相等的两条弧是等弧；④在同一平面中，到定点的距离等于定长的点的集合是圆；⑤A，B是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是．其中，正确的是（ ） A．②③④⑤ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③⑤ 2．（3分）点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（ ） A． B． C． D． 3．（3分）对于三角形的外心，下列说法正确的是（　　） A．它到三角形三边的距离相等 B．它是三角形三条高的交点 C．它一定在该三角形的内部 D．它到三角形三个顶点的距离相等 4．（3分）下列选项中属于旋转运动的是（ ） A．小华向西走10米再向北走10米 B．传送带传送货物 C．电梯从1楼到11楼再回到1楼 D．小亮正在荡秋千 5．（3分）已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（ ） A．或 B．或 C． D． 6．（3分）如图，点，，在上．若，则的大小是（ ） A． B． C． D． 7．（3分）已知、、、在上，、交于外点，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 8．（3分）如图，是直径，点C，D在半圆上，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 9．（3分）如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为，点 M是第三象限内圆上一点，，则的半径为（ ） A．4 B．5 C．6 D．2 10．（3分）如图，若半径为的定滑轮边缘上一点绕中心逆时针转动（绳索与滑轮之间没有滑动），则重物上升的高度为（ ） A． B． C． D． 第II卷 二、填空题（共18分） 11．（3分）在中，弦，，的直径为20，则弦之间的距离为 ____________． 12．（3分）某数学兴趣小组仅用一张矩形纸条和一把刻度尺，测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．则纸杯杯底的半径为___________． 13．（3分）如图，内接于，，交于点，连接．若，则的度数为______． 14．（3分）如图，正五边形内接于，点P在上，连结，则的度数为______． 15．（3分）如图，为半圆的直径，点，为半圆上两点，若，，则的长为______．（结果保留π） 16．（3分）如图，点在的直径的延长线上，点在上，连接、．若，，则图中阴影部分的面积是______． 三、解答题（共72分） 17．（8分）如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，求的半径． 18．（8分）如图，为的直径，C、D分别为的中点，，点E、F都在上， 求证： (1)； (2)； (3)． 19．（8分）如图，经过原点且与两坐标轴分别交于点和点，点的坐标为，点的坐标为，解答下列各题： (1)求线段的长； (2)求的半径及圆心的坐标． 20．（8分）如图，四边形内接于，为直径，，，E为对角线上一动点，连结并延长交于点F． (1)若，求证：； (2)求四边形的面积； 21．（10分）如图，六边形是的内接正六边形，四边形是正方形，连接，，． (1)求的度数； (2)取劣弧的中点，连接，在图中找出和等长的线段，并说明理由． 22．（10分）在中，为直径，的平分线交于点（如图1和图3）． (1)如图1，若直径为，弦为，则的形状为______，并求的长； (2)如图2，在平面直角坐标系中，经过原点和两点，与坐标轴分别交于点、（如图2），问的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，求其变化的范围． (3)如图3，若与直径交于点E，过D作的平行线，交于点，试判断线段之间满足的等量关系，并说明理由． 23．（10分）在中， 为弦，为直径，于于． (1)如图1，若过圆心，求的度数； (2)如图2，若与相交于，求的半径． 24．（10分）如图1，为的直径，弦于点，是上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接，其中与交于点． (1)求证：． (2)如图2，若，连接，求证：； (3)在（2）的条件下，已知，，求的长． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $