第二章 直线和圆的方程 单元检测-2026年暑假预习新高二数学人教A版选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程 单元检测卷 考试范围：选择性必修第一册第二章 考试时间：120分钟；命题人： 第I卷（选择题） 一、单选题 1．过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 2．已知，两点到直线的距离相等，则实数的值为（    ） A． B．或3 C． D．或1 3．如下图，设直线的斜率分别为，则用“＜”号将它们的斜率连接起来后，得到的结果为（    ） A． B． C． D． 4．已知直线：过定点，则点到直线：距离的最大值是（    ） A．1 B．2 C． D． 5．若直线与圆相离，则点（   ） A．在圆O外 B．在圆O内 C．在圆O上 D．与圆O的位置关系不确定 6．若直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则实数（    ） A． B． C． D． 7．过点且与圆相切的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 8．若直线与以为端点的线段相交，则直线的倾斜角取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知直线，，下列命题中正确的有（    ） A．当时，与重合 B．若，则 C．过定点 D．一定不与坐标轴平行 10．已知直线：，则下列说法正确的是（   ） A．在轴上的截距为2 B．与直线垂直 C．与直线之间的距离为 D．与圆相离 11．以下四个命题表述正确的是（   ） A．直线恒过定点（-3，-3） B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 C．曲线：与曲线：恰有三条公切线，则 D．已知圆：，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点（1，2） 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 三、填空题 12．与直线平行且与它的距离为的直线的方程为______． 13．过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是_______． 14．已知点在圆C：（）内，过点M的直线被圆C截得的弦长最小值为8，则______． 四、解答题 15．已知直线，点.求： (1)直线关于直线的对称直线的方程； (2)直线关于点对称的直线的方程. 16．已知点A(2，1)，B(2，3)，C(1，3). (1)求过点A且与BC平行的直线方程； (2)求过点B且与BC垂直的直线方程； (3)若BC中点为D，求过点A与D的直线方程； 17．已知圆，圆. (1)当时，圆与圆有什么位置关系？ (2)是否存在实数，使得圆与圆内含？ 18．已知点，圆，过点的动直线与圆交于，两点，线段的中点为，为坐标原点． （1）求的轨迹方程； （2）当时，求的方程及的面积． 19．已知点，圆C的圆心在直线上且与y轴切于点， (1)求圆C的方程； (2)设点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点N的轨迹方程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 直线和圆的方程 单元检测卷 考试范围：选择性必修第一册第二章 考试时间：120分钟；命题人： 第I卷（选择题） 一、单选题 1．过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线与（）平行，先设出所求直线方程，代入已知点的坐标，可求待定系数. 【详解】设与直线平行的直线方程是， 代入点，得，解得， 所以所求的直线方程是． 故选:A 2．已知，两点到直线的距离相等，则实数的值为（    ） A． B．或3 C． D．或1 【答案】B 【分析】解法一：当A，B在直线l的同一侧时，直线l与直线AB平行，利用平行线的斜率相等求得a的值；当A，B在直线l的两侧时，转化为直线l经过线段AB的中点求得，利用中点公式求得线段AB的中点坐标，代入直线方程求得a的值. 解法二：直接由点到直线的距离公式列出方程求解即得. 【详解】（1），两点位于直线同一侧，即直线平行于直线，所以，即； （2），两点位于直线的两侧，所以直线过线段的中点，线段的中点坐标为，即，∴,解得. 综上实数的值为. 解法二、由点到直线的距离公式得， 即亦即,解得. 故选：B. 3．如下图，设直线的斜率分别为，则用“＜”号将它们的斜率连接起来后，得到的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先区分斜率的正负，判定倾斜角是锐角还是钝角，然后根据在倾斜角都是锐角时倾斜角越大斜率越大，在倾斜角都是钝角时倾斜角越大，斜率越大，得出结论. 【详解】直线l1、l2的斜率都是正值，倾斜角都是锐角，在倾斜角都是锐角时倾斜角越大斜率越大，故k2>k1>0； 直线l3、l4的斜率都是负值，倾斜角都是钝角，在倾斜角都是钝角时倾斜角越大，斜率越大，故k3<k4<0, 故 故选：D. 4．已知直线：过定点，则点到直线：距离的最大值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题首先求出，然后发现直线：恒过定点，由图可得点到直线：距离的最大值可转化为点与点的距离. 【详解】由题意知，直线：恒过定点， 直线：恒过定点，如图所示， 过作的垂线段，垂足为， 那么必有，当且仅当与重合时取等号， 从而的最大值为， 即点到直线：距离的最大值是. 故选：D.    5．若直线与圆相离，则点（   ） A．在圆O外 B．在圆O内 C．在圆O上 D．与圆O的位置关系不确定 【答案】B 【分析】根据已知直线与圆相离，得到圆心到直线的距离大于半径，进行计算求解. 【详解】由题意，圆的圆心为，半径.直线到圆心的距离为，根据相离条件，即，整理得，这表明点到原点的距离的平方小于4，即点在圆内部. 故选：B. 6．若直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线的斜率，设对应的倾斜角为，则，又的倾斜角为，则，使用二倍角的正切公式求解即可. 【详解】因为直线的斜率，设对应的倾斜角为，则， 由题意可得，直线的倾斜角为， 故其斜率，解得. 故选：C 7．过点且与圆相切的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】先求出圆的圆心和半径，再分别讨论切线的斜率不存在和存在两种情况求解.在斜率存在的情况下，先设切线方程为点斜式，整理成一般式，再利用圆心到直线的距离等于半径，列出斜率的等式，计算求出，从而得到切线方程. 【详解】，圆心，半径， 过点且与圆相切， 当此切线不存在斜率时，切线方程为，满足此直线与圆相切； 当此切线存在斜率时，设此切线方程为， 即， 则圆心到切线的距离，解得， 则切线方程为，即； 综上，所求的切线方程为或. 故选：D. 8．若直线与以为端点的线段相交，则直线的倾斜角取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线恒过的定点，分别求出直线的斜率，由直线与线段相交，得到直线的斜率和直线的斜率的不等关系，从而得到直线的倾斜角的取值范围. 【详解】直线，即，则直线恒过定点，且斜率为， ，， 直线与以为端点的线段相交，   或，或， 直线的倾斜角取值范围为. 故选：A. 二、多选题 9．已知直线，，下列命题中正确的有（    ） A．当时，与重合 B．若，则 C．过定点 D．一定不与坐标轴平行 【答案】AC 【分析】当时，分别求出两直线方程，可判断选项A；由两直线平行的公式计算得出，可判断选项B；将代入直线方程，可判断选项C；当时，直线与x轴平行，判断出选项D． 【详解】当时，直线，直线，即两直线重合，故A正确； 当时，有且，解得，故B错误； 因为，所以直线过定点，故C正确； 当时，直线与x轴平行，故D错误； 故选：AC． 10．已知直线：，则下列说法正确的是（   ） A．在轴上的截距为2 B．与直线垂直 C．与直线之间的距离为 D．与圆相离 【答案】BC 【分析】令，解得的值就是直线在轴上的截距为；直线的斜率为，直线的斜率为，由得到与直线垂直；易知与直线平行，利用两平行线间的距离公式求解；求出圆心到直线的距离得到与圆相交. 【详解】对于A，令，则，解得， 所以在轴上的截距为，A错误； 对于B，直线：的斜率为，直线的斜率为， 因为，所以与直线垂直，B正确； 对于C，易知与直线平行，所以它们之间的距离为，C正确； 对于D，因为圆心到直线的距离，所以与圆相交，D错误. 故选：BC. 11．以下四个命题表述正确的是（   ） A．直线恒过定点（-3，-3） B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 C．曲线：与曲线：恰有三条公切线，则 D．已知圆：，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点（1，2） 【答案】BCD 【分析】对于选项A：将直线整理为，则有，解出这个方程组的解，这个解构成的点就是直线恒过的定点 ；对于选项B：求出圆心到直线的距离，这个距离与半径比较得到所求；对于选项C：两圆有三条公切线，则有两个圆心间的距离等于两个圆的半径和，求解即可；对于选项D：设，由点为直线上一动点，将代入此直线方程整理后得到，求出以为直径的圆的方程，这个圆的方程和圆：相减得到直线的方程，将代入直线的方程得，再求出直线恒过的定点即可. 【详解】对于选项A：将直线整理为，则有，解得， 直线恒过定点，则选项A错误； 对于选项B：圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离为， 圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1. 则选项B正确； 对于选项C：曲线：的圆心为，半径， 曲线：的圆心为，半径， 曲线：与曲线：恰有三条公切线， ，，，则选项C正确； 对于选项D：设，点为直线上一动点，， 即， 以为直径的圆的方程为，即， 圆：和，这两个圆相减得直线的方程为， 代入，得，整理得， 设，解得，即直线经过定点（1，2），则选项D正确. 故选：BCD. 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 三、填空题 12．与直线平行且与它的距离为的直线的方程为______． 【答案】或 【分析】由所求直线与直线平行，设出直线方程为，利用两平行线的距离公式列方程求出，可得答案． 【详解】设所求直线方程为，则，解得或， 故答案为：或 13．过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是_______． 【答案】 【分析】先求交点，再根据垂直关系得直线方程. 【详解】直线与的交点为, 垂直于直线的直线方程可设为, 所以,即. 【点睛】本题考查两直线垂直与交点，考查基本分析求解能力，属基础题. 14．已知点在圆C：（）内，过点M的直线被圆C截得的弦长最小值为8，则______． 【答案】 【分析】根据点与圆的位置关系，可求得r的取值范围，再利用过圆内一点最短的弦，结合弦长公式可得到关于r的方程，求解即可. 【详解】由点在圆C：内，且 所以，又，解得 过圆内一点最短的弦，应垂直于该定点与圆心的连线，即圆心到直线的距离为 又， 所以，解得 故答案为： 四、解答题 15．已知直线，点.求： (1)直线关于直线的对称直线的方程； (2)直线关于点对称的直线的方程. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）先在直线上取一点，求该点关于直线的对称点坐标，再求出与的交点，即可得出所求直线方程； （2）先设为上任意一点，得到关于点的对称点为，代入直线的方程，即可求出结果. 【详解】解：（1)在直线上取一点，则关于直线的对称点必在上. 设对称点为，则解得. 设与的交点为,则由得. 又∵经过点， ∴由两点式得直线的方程为. (2)设为上任意一点，则关于点的对称点为. ∵在直线上， ∴，即. 【点睛】本题主要考查求直线关于直线对称、关于点对称的直线方程，熟记求对称直线方程的一般方法即可，属于常考题型. 16．已知点A(2，1)，B(2，3)，C(1，3). (1)求过点A且与BC平行的直线方程； (2)求过点B且与BC垂直的直线方程； (3)若BC中点为D，求过点A与D的直线方程； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用两点坐标求得直线的斜率，根据直线平行斜率相等，得到所求直线的斜率，利用点斜式写出直线方程，并化为一般形式； （2）根据（1）中所得直线的斜率，利用直线垂直的斜率的关系，得到所求直线的斜率，利用点斜式写出直线方程，并化为一般形式； （3）利用中点坐标公式求得点的坐标，进而求得直线的斜率，然后利用点斜式写出直线方程，并化为一般形式. 【详解】（1）∵B的坐标为(2，3)，C的坐标为(1，3)， ∴的斜率为， 又∵A的坐标为(2，1)， ∴过点与平行的直线方程为， 整理得. （2）由（1）得的斜率为， ∴与垂直的直线的斜率为， 又∵B的坐标为(2，3) ∴过点且与垂直的直线方程为， 整理得. （3）由题意得，又A的坐标为(2，1)， 所以， 直线的方程为，整理得. 17．已知圆，圆. (1)当时，圆与圆有什么位置关系？ (2)是否存在实数，使得圆与圆内含？ 【答案】(1)相离 (2)不存在 【分析】（1）将代入圆，求出圆、圆的圆心和半径，求出两圆的圆心距，判断圆心距与两个半径的和或差的绝对值的大小关系得解； （2）求出圆、圆的圆心和半径，若圆与圆内含，得到两圆的圆心距与两个半径差的绝对值的不等式，计算得到无解，从而得到结论. 【详解】（1）当时，圆，即， 圆心，半径， 又圆，圆心，半径， 两圆的圆心距，， ，当时，圆与圆相离. （2）圆，化为， 则圆心，半径， 若圆与圆内含，则，即， 可得，显然无解， 不存在实数，使得圆与圆内含. 18．已知点，圆，过点的动直线与圆交于，两点，线段的中点为，为坐标原点． （1）求的轨迹方程； （2）当时，求的方程及的面积． 【答案】（1）；（2）的方程为，的面积为. 【分析】（1）由圆的方程求出圆心坐标和半径，设出坐标，由与数量积等于0列式得的轨迹方程； （2）设的轨迹的圆心为，由得到．求出所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得到所在直线方程，由点到直线的距离公式求出到的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出的长度，代入三角形面积公式得答案． 【详解】解：（1）由圆，即， 圆的圆心坐标为，半径． 设，则，． 由题意可得，即． 整理得． 的轨迹方程是． （2）由（1）知的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 由于， 故在线段的垂直平分线上， 又在圆上， 从而． ， 直线的斜率为． 直线的方程为，即． 则到直线的距离为． 又到的距离为， ． ． 19．已知点，圆C的圆心在直线上且与y轴切于点， (1)求圆C的方程； (2)设点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点N的轨迹方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设圆心坐标为，代入得到，圆与轴切于点，得到，从而得到圆心的坐标，利用圆心坐标和，使用两点间距离公式求出半径，从而得到圆的标准方程； （2）设的坐标为，点的坐标为，利用中点坐标公式得到用表示的等式，用表示的等式，又是圆上的点，将代入圆的方程，得到的横纵坐标的等式就是所求. 【详解】（1）设圆心坐标为， 圆的圆心在直线上且与轴切于点， ，解得， 圆心，半径， 故圆的方程为. （2）设点的坐标为，点的坐标为， 点，又点为的中点， ，， ，即点的坐标为， 在圆上运动， ， 即， 点的轨迹方程为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $