第二章 直线和圆的方程（暑假单元自测）新高二数学人教A版

**基本信息** 高中数学直线和圆的方程单元卷，考点全覆盖且重难点突出，通过基础到创新的梯度设计，适配暑假复习，培养几何直观、运算能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|倾斜角、圆的方程、充要条件|基础巩固，如直线倾斜角计算（数学眼光）| |多选|3/18|直线与圆位置关系、弦长问题|能力提升，如切线性质应用（推理能力）| |填空|3/15|两圆相交、直线与线段交点|综合应用，如参数范围求解（运算能力）| |解答|5/77|轨迹方程、对称问题、面积最值|创新探究，如中点轨迹方程推导（模型意识）|

第二章 直线和圆的方程 单元自测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 考前须知： 1．本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线的斜率， 所以直线的倾斜角为. 2．若方程表示圆，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】方程可化为，因为该方程表示圆， 故，，A正确． 3．已知直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】根据已知条件，直线的斜率为，直线的斜率为. 充分性：若，则，解得或，由不能唯一推出， 所以“”不是“”的充分条件； 必要性：若，则，所以，则有， 所以“”是“”的必要条件. 综上，“”是“”的必要不充分条件. 故选: B. 4．已知直线l1的斜率，且直线l1的倾斜角是直线l2的倾斜角的2倍，则l2的斜率为（    ） A． B． C． D．- 【答案】B 【详解】由，可知直线l1的倾斜角为60°， 依题意，可知l2的倾斜角为30°，所以l2的斜率为. 5．“”是“直线与圆相切”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】当时，圆的方程，即， 圆心为，半径，圆心到直线的距离， 此时圆与直线相切，满足充分性； 当直线与圆相切时， ，∴或，圆心为，半径， 圆心到直线的距离与半径相等，即， ∴，两边同时平方整理得，∴或（舍去）， 此时，满足必要性. ∴“”是“直线与圆相切”的充要条件. 6．在平面直角坐标系中，，直线的斜率与直线的斜率的差是2，则的最小值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】 【详解】设 ， 因为直线的斜率与直线的斜率的差是2， 所以， 化简得到点 M 的轨迹方程， ， 由，将代入得到 ， 令得到且， 所以，（且）为开口朝上的二次函数，对称轴 当时，，所以. 故选：A. 7．已知圆：与圆：（）的公共弦所在的直线与直线：平行，则两平行线间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆与圆的方程相减得，即为圆与圆的公共弦所在直线方程， 由直线与直线平行，得，解得， 当时，两直线方程均为，此时两直线重合，故舍去； 当时，公共弦所在直线方程为，即， 直线，两直线平行， 此时圆，即，即圆心，半径， 圆的圆心，半径，，符合题意， 所以的值为，此时两直线距离为. 故选：D 8．已知圆是圆上的两点，点，且，则的值为（    ） A． B．7 C． D．8 【答案】B 【详解】圆的圆心，半径，由，得点共线，    显然直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为，且， 由消去x得：，设， 则，又， 所以. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9．已知直线，，，则下列选项正确的是（    ） A．的倾斜角的取值范围是 B．过定点 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【详解】对于A，的斜率，倾斜角的取值范围是，故A正确； 对于B，易知过定点，故B正确； 对于C，若，则，解得或，故C错误； 对于D，由C可知，当时，， 所以当时，有，解得，故D正确． 故选：ABD 10．在平面直角坐标系中，圆，．直线与两个圆均有公共点．记直线被，截得的弦长分别为，．则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．若，则或 D．存在直线，使得 【答案】ABCD 【详解】圆的圆心为，圆的圆心为．直线化为． 两个圆心到直线的距离分别为，． 两圆的半径均为1，故弦长满足． 对于A，当时，，所以．故A正确； 对于B，当时，，所以．故B正确； 对于C，若，则，即，化简得． 所以或．故C正确； 对于D，若取直线，则该直线经过两个圆的圆心，此时， 故．故D正确． 11．已知圆，P为直线上一动点，，为圆C的切线，切点分别为A，B，则（   ） A．圆心C的轨迹方程为 B．圆C过定点 C．当时，的最小值为15 D．当时，四边形的面积的最小值为 【答案】BCD 【分析】 【详解】圆C的方程可化为，， 对于A选项，圆心C的坐标为，则圆心C的轨迹方程为（除去点），所以A选项不正确； 对于B选项，圆C的方程可化为，令， 解得所以圆C过定点，所以B选项正确； 对于C选项，， 当时，，圆心，半径， 圆心到直线的距离， 所以，所以C选项正确； 对于D选项，，所以D选项正确. 第二部分（选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知圆与圆相交，则的取值范围为__________. 【答案】 【详解】由题意得圆的圆心为，半径为，圆的圆心，半径为， 且， 由两圆相交，可得，解得，即的取值范围为， 故答案为：. 13．已知点，，直线．若直线与线段有公共点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为直线，所以 令，解得，故直线恒过点，直线的斜率为,    则， 依题意直线与线段有公共点，由图可知或，即 故答案为： 14．已知圆：，圆：，直线l：（k，且）与两圆与均相切，则直线l的方程为__________. 【答案】 【详解】因为的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为， 又直线与均相切， 所以①，②，由①②得到，即有， 两边平方得，即， 又，所以，即， 代入①式得到，解得， 所以方程为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）设直线的方程为． (1)求经过定点的坐标； (2)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】 【详解】（1）由整理可得， 令，解得， 所以不论为何值，直线必过一定点. （2）由题意可知：，且， 令，解得；令，解得； 因为，解得或， 当时，直线的方程为：； 当时，直线的方程为：； 综上所述：所求直线的方程为或. 16．（15分）已知圆过，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 【答案】(1)； (2)，轨迹形状为以为圆心，为半径的圆. 【分析】 【详解】（1）设圆的圆心为，半径为，其标准方程为， 因为圆心在直线上，因此，即，圆心可表示为， 因为圆经过和，则圆心到、的距离相等，由距离公式得： 解得，代入，得，即圆心为， 半径， 因此，圆的方程为； （2）设，则， 由，其中，则向量关系为：， 即， 解此方程组，用表示：， 代入圆的方程，得：， 化简得：. 所以点的轨迹方程为， 其轨迹为以为圆心，为半径的圆. 17．（15分）已知直线的方程为 ，其中 (1)当变化时，求点到直线的距离的最大值 (2)若直线分别与轴的负半轴和轴的负半轴交于点、，求为坐标原点面积的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1) (2)4，． 【分析】 【详解】（1）直线方程为即为， 由，可得，则已知直线恒过定点， 所以到直线的最大距离为. （2）设直线的斜率为，则其方程为， 可得，， 则. 由，可得，所以， 当且仅当， 即时取等号. 所以的面积的最小值是4. 此时直线的方程为 ，即． 18．（17分）已知圆的圆心与圆的圆心关于直线对称. (1)求圆的标准方程； (2)若直线交圆于两点，点，证明：当不断变化时，轴始终平分； 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】 【详解】（1）由圆，可得圆的圆心为，半径为， 又圆，可得圆心为，半径为， 因为圆心与圆心关于直线对称，得，解得， 所以圆的标准方程为； （2）证明：设，，且， 联立方程组，整理得， 则，且，， 则， 所以当不断变化时，轴始终平分. 19．（17分）已知点，点在圆上运动，点为线段的中点 (1)求点的轨迹方程； (2)若曲线与直线和分别交于四点，且该四点恰好将曲线四等分，求的值． 【答案】(1) (2). 【分析】 【详解】（1）设点，点， 因为点为线段的中点，点，所以 解方程组得 因为点 在圆 上，所以将 代入圆的方程可得 ， 化简得 ，所以， 故点的轨迹方程为 . （2）因为曲线是圆心为，半径的圆， 且曲线 与直线 和 的交点 ，，， 四点恰好将曲线 四等分， 所以四个点是圆内接正方形的四个顶点，则直线和互相平行，斜率均为， 所以圆心到两弦的距离相等，且满足， 圆心到直线（即）的距离为： 同理，到直线的距离为： 由，代入： 整理得，即， 同理可得， 则若，则， 若，则， ， 故的值. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 直线和圆的方程 单元自测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 考前须知： 1．本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．若方程表示圆，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知直线l1的斜率，且直线l1的倾斜角是直线l2的倾斜角的2倍，则l2的斜率为（    ） A． B． C． D．- 5．“”是“直线与圆相切”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．在平面直角坐标系中，，直线的斜率与直线的斜率的差是2，则的最小值为（   ） A． B． C． D．3 7．已知圆：与圆：（）的公共弦所在的直线与直线：平行，则两平行线间的距离为（   ） A． B． C． D． 8．已知圆是圆上的两点，点，且，则的值为（    ） A． B．7 C． D．8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9．已知直线，，，则下列选项正确的是（    ） A．的倾斜角的取值范围是 B．过定点 C．若，则 D．若，则 10．在平面直角坐标系中，圆，．直线与两个圆均有公共点．记直线被，截得的弦长分别为，．则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．若，则或 D．存在直线，使得 11．已知圆，P为直线上一动点，，为圆C的切线，切点分别为A，B，则（   ） A．圆心C的轨迹方程为 B．圆C过定点 C．当时，的最小值为15 D．当时，四边形的面积的最小值为 第二部分（选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知圆与圆相交，则的取值范围为__________. 13．已知点，，直线．若直线与线段有公共点，则实数的取值范围是______． 14．已知圆：，圆：，直线l：（k，且）与两圆与均相切，则直线l的方程为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）设直线的方程为． (1)求经过定点的坐标； (2)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，求直线的方程． 16．（15分）已知圆过，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 17．（15分）已知直线的方程为 ，其中 (1)当变化时，求点到直线的距离的最大值 (2)若直线分别与轴的负半轴和轴的负半轴交于点、，求为坐标原点面积的最小值及此时直线的方程． 18．（17分）已知圆的圆心与圆的圆心关于直线对称. (1)求圆的标准方程； (2)若直线交圆于两点，点，证明：当不断变化时，轴始终平分； 19．（17分）已知点，点在圆上运动，点为线段的中点 (1)求点的轨迹方程； (2)若曲线与直线和分别交于四点，且该四点恰好将曲线四等分，求的值． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $