第14讲 椭圆及其标准方程（培优讲义）新高二数学人教A版

第14讲 椭圆及其标准方程（暑假培优讲义） 析知识·讲要点 2 知识点01 椭圆的定义 2 知识点02 椭圆的标准方程 3 知识点03 椭圆焦点三角形 4 剖题型・讲技巧 5 题型1 椭圆的定义 5 题型2 判断方程是否表示椭圆 7 题型3 椭圆方程的求解 9 题型4 椭圆中焦点三角形周长、面积问题 11 题型5 椭圆中焦点三角形其他问题 14 释疑惑·重难拓展 17 题型1 椭圆上点到坐标轴上点的距离问题 17 题型2 椭圆上点到焦点和定点距离的和差最值问题 20 题型3 求椭圆的轨迹方程 23 知高考·真题探源 26 练好题·提分培优 28 课标要点 1．理解椭圆定义：平面内动点到两定点距离和为定值（大于两定点间距），掌握焦点、焦距概念。 2．掌握两类椭圆标准方程，能依据分母大小判断焦点坐标轴，区分同形异位椭圆的异同。 3．认识焦点三角形，熟记周长公式，结合椭圆定义、余弦定理求解角度、面积相关问题。 知识点01 椭圆的定义 我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆． 这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距． 根据椭圆的定义,设点与焦点的距离的和等于.由椭圆的定义可知,椭圆可看作点集． 练习 1．若平面内有两个定点，一动点，则“为定值”是“点的轨迹是椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】根据椭圆的定义可知，只有为定值，且时， 点的轨迹才是椭圆， 因此，“为定值”是“点的轨迹是椭圆”的必要不充分条件. 2．若椭圆上一点到焦点的距离为6，则点到另一个焦点的距离是__________. 【答案】4 【详解】由椭圆方程，可知焦点在轴上，长半轴长为， 根据椭圆的定义知，而， 则点到另一个焦点的距离. 知识点02 椭圆的标准方程 椭圆 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 图形 焦点坐标 焦距 的关系 注意： （1）同形不同位椭圆对比 相同点：两个椭圆形状、大小完全一致；拥有相同的长半轴、短半轴、半焦距。 不同点：椭圆在坐标系中的摆放位置不一样，对应的焦点坐标互不相同。 （2）椭圆标准方程判断焦点位置 设椭圆标准方程（）：①焦点在轴上⇔对应分母数值更大； ②焦点在轴上⇔对应分母数值更大； 记忆口诀：焦点位置看大小，焦点跟着大的跑。 练习 3．已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（  ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】椭圆的一个焦点坐标为，焦点在轴上， ，，. 故选：D. 4．已知椭圆，点在椭圆上，且点到两焦点和的距离之和为．求椭圆的标准方程. 【答案】 【详解】由已知可得，，则， 所以， 则椭圆方程为. 知识点03 椭圆焦点三角形 1.定义 设为椭圆上任意一点，是椭圆两个焦点，若三点不共线，称为椭圆的焦点三角形。 2.核心常用公式 ①焦点三角形周长：； ②三角形内角关系可结合余弦定理推导边角关系式； ③设、，，可结合椭圆定义推导面积、角度相关结论。 练习 5．已知是椭圆上的一点，且以点及焦点为顶点的三角形的面积等于1，则点的纵坐标为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】， 所以，设点的纵坐标为， 因为以点及焦点为顶点的三角形的面积等于1， 所以. 故选：B 6．已知点为椭圆上纵坐标不为零的点，、分别为椭圆左右两焦点，则的周长为______. 【答案】 【详解】由椭圆方程可知，，，所以， 的周长为. 题型1 椭圆的定义 方法技巧 判定轨迹：平面内动点到两定点距离之和为定值，且定值＞两定点间距，轨迹才是椭圆；若定值等于间距，轨迹为线段；定值小于间距，无轨迹。 【例1】已知两定点，动点满足，则点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 【答案】A 【详解】因为两定点，则， 又因为动点满足， 动点满足，即， 满足椭圆的定义，所以点的轨迹是椭圆. 故选：A. 【例2】若椭圆上一点到C的两个焦点的距离之和为，则_____. 【答案】3 【详解】若，又椭圆上一点到C的两个焦点的距离之和为，则得（舍去）； 若，又椭圆上一点到C的两个焦点的距离之和为，则得． 故答案为：3. 【变式1-1】已知椭圆的左、右焦点分别是是该椭圆上一点，则________________． 【答案】 【详解】对于椭圆，则，即， 由椭圆的定义得． 故答案为：． 【变式1-2】如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 【答案】A 【详解】由点满足可知， 动点到定点的距离之和为， 即，且， 根据椭圆的定义可知动点的轨迹是椭圆， 故选：A. 【变式1-3】设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且点P到两个焦点的距离之差的绝对值为2，则是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】D 【详解】椭圆方程，得，，，，. 由椭圆定义，； 已知，即。 当时， ， 两式相加得，即， 代入得； 当时， ， 两式相加得，即， 代入得； 综上所述或，焦距. 因为，即或,故是直角三角形. 题型2 判断方程是否表示椭圆 方法技巧 先统一形式，将方程整理为平方项相加等于常数的形式。 等式右侧常数化为1，左侧两个平方项分母必须均为正数，且数值不相等。 分母相等为圆；有分母小于等于0，不表示椭圆。 补充：标准式，才是椭圆。 【例3】在平面直角坐标系中，“”是“方程表示的曲线是椭圆”的（   ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】将方程化为标准形式为. 当时，方程表示的曲线是圆，充分性不成立， 若该方程表示椭圆，则需满足分母均大于0，即且，解得且，必要性成立， 因此，“”是“方程表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件. 故选：B 【例4】方程()表示的曲线可能是（    ） A．一条直线 B．圆 C．椭圆 D．线段 【答案】BC 【详解】当，则，可得，即曲线是圆； 当，则，可得，即，曲线是两条直线； 当，则，可得， 则，曲线是椭圆； 故选：BC. 【变式2-1】已知命题，方程不能表示圆；命题，方程表示圆或椭圆．则（   ） A．和都是假命题 B．和都是假命题 C．和都是假命题 D．和都是假命题 【答案】B 【详解】对于，配方可得：， 当，即或时，表示圆， 所以当时，方程不能表示圆，故为真命题；为假命题， 对于，当时，方程不能表示圆或椭圆，故为假命题，为真命题， 故选：B 【变式2-2】已知方程，则下列说法正确的有（　　） A．当时，方程表示直线 B．当时，方程表示的曲线是圆 C．当时，方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆 D．若方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 【答案】ABD 【详解】当时，方程可化为，解得，表示直线，故A正确． 当时，方程可化为，表示以原点为圆心，半径的圆，故B正确． 当且时，方程可化为．当时，方程可化为，表示焦点在轴上的椭圆，故C错误． 若方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆， 则，解得， 即实数的取值范围是，故D正确． 故选：ABD． 【变式2-3】关于的方程，下列说法正确的是（　　） A．若，则该方程表示椭圆，其焦点在轴上 B．若，则该方程表示圆，其半径为 C．若，则该方程表示椭圆，其焦点在轴上 D．该方程不可能表示直线 【答案】AC 【详解】对于A，当时，，则， 方程，即表示椭圆，其焦点在轴上，故A正确； 对于B，当时，方程表示圆，其半径为，故B错误； 对于C，当时，，则， 方程，即表示椭圆，其焦点在轴上，故C正确； 对于D，当，，方程表示两条直线，故D错误. 故选：AC 题型3 椭圆方程的求解 方法技巧 定焦点位置：观察已知条件，判断焦点在轴或轴，设对应标准方程。 口诀判定：分母谁大，焦点就在对应坐标轴上。 待定系数法：将已知点坐标代入方程，联立方程解出；已知其中两类条件，结合计算参数。 【例5】已知直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由直线，令，可得，令，可得， 即直线与坐标轴的交点分别为， 因为直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点， 可得，则， 所以椭圆的标准方程为. 故选：D. 【例6】已知椭圆经过点、，则其标准方程为______． 【答案】 【详解】设椭圆的一般方程为， 把点、的坐标分别代入椭圆方程， 得，解得，故椭圆标准方程为. 【变式3-1】椭圆上的任意一点到两个焦点的距离和是4，椭圆的焦距是2，则椭圆的标准方程是________． 【答案】 【详解】椭圆上的任意一点到两个焦点的距离和是4，焦距是2， 则有，，即，，所以， 所以椭圆的标准方程为． 【变式3-2】若椭圆Γ上的动点到Γ的两个焦点的距离之和为10，且Γ上的动点到Γ的焦点的距离的最小值为2，则Γ的标准方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】椭圆Γ上的动点到Γ的两个焦点的距离之和为10，则，， 且Γ上的动点到Γ的焦点的距离的最小值为2，则， 即，解得， ，故选项BD正确. 【变式3-3】以，为焦点的椭圆过点，则椭圆的方程为__________. 【答案】 【详解】因为焦点为，，所以可设椭圆方程为， 因为点在椭圆上，所以，解得， 所以椭圆方程为. 题型4 椭圆中焦点三角形周长、面积问题 【例7】设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，与的另一个交点为，若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，，，（为坐标原点）， 因为，则， 所以，，所以，所以， 解得，所以，所以， 的周长, 由于，代入得： ， 根据椭圆定义，得,， 故所求的周长为. 【例8】设M是椭圆=1上的一点，为该椭圆的焦点，，则的面积为___. 【答案】 【详解】由椭圆，得，可得， 即，则， 设，则有，， ， ， 【变式4-1】已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交于，两点，若为等边三角形，则的焦距为___________ 【答案】 【详解】由为等边三角形，所以，根据对称性可知，， 又，所以， 所以，， 所以. 故答案为： 【变式4-2】过椭圆 （）的右焦点 的直线交椭圆于 两点， 是椭圆的左焦点，则 的周长为________. 【答案】20 【详解】 如图的周长为. 【变式4-3】已知椭圆的左右焦点分别为为椭圆上一点，若，则的面积为______． 【答案】 【详解】椭圆的方程为，. ，，. 又，得. 在中，由余弦定理得：，. . 故答案为： 题型5 椭圆中焦点三角形其他问题 方法技巧 定焦点位置：观察已知条件，判断焦点在轴或轴，设对应标准方程。 口诀判定：分母谁大，焦点就在对应坐标轴上。 待定系数法：将已知点坐标代入方程，联立方程解出；已知其中两类条件，结合计算参数。 【例9】设为坐标原点，，为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】椭圆方程，得，因此， 根据椭圆的定义有，， 在中，因为，所以， 由同角三角函数关系式可得， 由余弦定理，， 即，得. 又在中，是的中线，所以，如图： 所以 ， 因此，，即. 【例10】已知椭圆 的左、右焦点分别是，，点P为C上一点，若的内切圆的直径为2，则_________ 【答案】 【详解】设椭圆的半焦距为内切圆的半径为，由题可得， 所以的面积． 设，则， 在中，由余弦定理得， 得， 即． 由，解得， 所以， 所以． 故答案为： 【变式5-1】已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在上，若，则_______． 【答案】 【详解】 已知椭圆，则，， 由椭圆的定义得，， 由于，所以， 则. 【变式5-2】已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上且位于第一象限，，则（   ） A．的周长为16 B． C． D．直线的斜率为 【答案】AC 【详解】由题可知，∴，， ∴，的周长为，A选项正确； ∵，∴，∴，B选项错误； ，∴，C选项正确； ， ∴， ∴斜率，D选项错误.      【变式5-3】已知椭圆方程为，P为椭圆上一点，若，为的内切圆，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 由椭圆定义及圆切线性质知：. 故选：B 释疑惑·重难拓展 题型1 椭圆上点到坐标轴上点的距离问题 方法技巧 设点参数：设椭圆上动点坐标，标准式优先设，参数方程可设简化计算。 距离公式列式：代入两点间距离公式，转化为二次函数。 求最值：根据二次函数开口方向、自变量取值范围，结合椭圆取值限制求最大、最小值。 【例1】已知点是椭圆上的动点，点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则 ， 所以时，． 【例2】已知椭圆的焦点在轴上，是的上顶点，若上存在点使得，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设， ， 又因为，因为下顶点到上顶点的距离为， 令， 要存在点使得，则的最大值必须大于， 由于是开口向下的二次函数，其最大值若要大于等于， 其对称轴必须在的右侧， 所以，解得， 故选：A 【变式1-1】已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】设，，且， 所以 ， 又因为，所以当时取最大值， 所以， 故选：C. 【变式1-2】已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【详解】设圆的圆心为，其半径，则， 设椭圆上的点，则，即， 因此 ，当且仅当时取得最大值， 所以. 故选：D 【变式1-3】已知P是椭圆上一点，，求的最小值与最大值． 【答案】最小值为，最大值为11 【详解】因为P是椭圆上一点， 所以，且椭圆焦点在y轴上， 点P是椭圆上任意一点，设点P的坐标为， 则， 所以， ， ， 因为， 当时，， 所以 当时， . 题型2 椭圆上点到焦点和定点距离的和差最值问题 方法技巧 和的最值：利用椭圆定义把到一个焦点的距离转化为减去到另一焦点距离，转化为两点之间线段最短求解。 差的最值：结合三角形三边关系，两点连线与椭圆交点处取得最大/最小差值。 作图辅助：画出两焦点、定点，直观判断取最值时动点位置，区分同侧、异侧两种情况。 【例3】设为椭圆上一动点，、分别为圆和圆上的动点，则不可能为（   ） A．9 B．11 C．13 D．16 【答案】D 【详解】如图，椭圆的两个焦点坐标为，为两个圆的圆心坐标，圆的半径为，圆的半径为，由椭圆的定义可得. 因为满足： ，即 ，即 所以两式相加得：， 代入，可得，即不可能为16. 【例4】已知椭圆：，左、右焦点分别是、，点是椭圆上任意一点，点，则的最大值为____________． 【答案】/ 【详解】椭圆中，，，故，焦点，. 由椭圆的定义得，即， 因此. 在中，由三角不等式得， 当且仅当三点共线且位于之间时取等号. 计算得，故. 经检验，直线与椭圆存在满足取等条件的交点，等号可取. 【变式2-1】已知P为椭圆上的一个动点，Q为圆上的一个动点，点，则（   ） A．的最小值为6 B．的最小值为7 C．的最大值为8 D．的最大值为9 【答案】BD 【详解】圆的圆心为，则，为C的两个焦点， 由椭圆的定义知，，如图， 由Q为圆M上的动点，得，即， 则， 即，故的最小值为7，最大值为9. 【变式2-2】椭圆C：的左右焦点分别为，，点，P为C上一动点，则的最小值为______． 【答案】/ 【详解】依题意可得，， 将点代入椭圆C，有，则点在椭圆C内， 由椭圆的定义可知，即， 所以， 所以的最小值为． 【变式2-3】已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，是上的动点，是圆上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于椭圆，，，则，故、， 圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示： 由椭圆定义可得， 所以 ， 当且仅当点、分别为线段与椭圆、圆的交点时，上述两个等号同时成立， 故的最小值为. 故选：A. 题型3 求椭圆的轨迹方程 方法技巧 定义法：题目出现动点到两定点距离和为定值，直接依据椭圆定义确定，写出标准方程。 直译法：设动点，根据题干距离、长度等量关系列式，化简整理得到方程，最后标注取值范围。 相关点代入法：若动点随另一已知轨迹上的点运动，设已知点坐标，建立两点坐标关系，代回已知曲线方程化简。 注意检验：剔除不满足椭圆条件的特殊点，保证。 【例5】已知，点，以为直径的圆与相切，则动点的轨迹是（   ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】B 【详解】如图：设M为的中点，则圆M与圆O只能内切，且圆O的半径为3， 所以，即，设，则， 故. 所以Q点在以为焦点，以长轴为6的椭圆上，故Q点的轨迹是一个椭圆. 故选：B 【例6】若动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意得，圆，圆心，半径为； 圆，化为标准方程为，圆心，半径为； 设，动圆的半径为，因为动圆与圆外切，与圆内切， 因此，， 由此可得； 因此圆心的轨迹是以为焦点，长轴长，焦距的椭圆； 所以，椭圆的短半轴长， 因此动圆圆心的轨迹方程为. 故选：A. 【变式3-1】已知周长为，，则顶点的轨迹方程为__________. 【答案】 【详解】由，，得. 周长为，故. ，所以点轨迹为焦点在轴上的椭圆，除去与共线两点. 设椭圆方程. 椭圆焦点在轴，，， ，所以得椭圆方程：. 不在直线上，故. 顶点的轨迹方程为. 【变式3-2】已知△ABC的顶点A，B的坐标分别为，，C为动点，且满足，则点C的轨迹方程为________． 【答案】 【详解】因为由正弦定理可得， 即，满足椭圆定义， 则，，可得， 所以点C的轨迹方程为． 【变式3-3】已知点是圆上的动点，作轴于点，则线段的中点的轨迹方程为_______. 【答案】 【详解】如图所示： 不妨设， 则满足； 易知， 又线段的中点为，可得； 即， 代入方程 可得，整理得. 故答案为：. 1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】A 【详解】设点，则， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A 2．（2023·全国甲卷·高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】 【详解】方法一：因为，所以， 从而，所以． 故选：B. 方法二： 因为，所以，由椭圆方程可知，， 所以，又，平方得： ，所以． 故选：B. 3．（2023·全国甲卷·高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】方法一：设，所以， 由，解得：， 由椭圆方程可知，， 所以，，解得：， 即，因此． 故选：B． 方法二：因为①，， 即②，联立①②， 解得：， 而，所以， 即． 故选：B． 方法三：因为①，， 即②，联立①②，解得：， 由中线定理可知，，易知，解得：． 故选：B． 【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难度不是很大． 4．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 【答案】C 【详解】由题，，则， 所以（当且仅当时，等号成立）． 故选：C． 【点睛】 一、单选题 1．已知，则“”是“曲线表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若方程表示椭圆，则，解得且， 所以“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件. 2．已知椭圆的焦点分别为，，点为上任意一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知椭圆的焦点分别为，，点为上任意一点，所以， 则根据椭圆的定义可知， 由基本不等式得，当且仅当时取等号，此时点在椭圆的短轴的端点处，符合题意， 因此的最大值是. 3．已知椭圆的右顶点为，右焦点为，则点到直线的距离之积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由已知，右顶点为，右焦点为的坐标分别为， 点到直线的距离分别为 ， 所以. 4．已知为椭圆上任意一点，是它的两个焦点，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由椭圆方程为， 得，. 所以，故. 由椭圆定义，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为， 即， 又因为两焦点间距离为， 因此，的周长为. 5．已知椭圆：，是右焦点．设为椭圆上任意一点，以为直径的圆记为，则恒与下列哪个圆相切（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，显然，右焦点，记左焦点为， 则， 则圆的圆心 ，半径， 此时 ， 即，因此圆与以原点为圆心、半径为 的圆内切， 因此恒与圆相切(内切). 6．已知点P在椭圆：上，C的左焦点为F，若线段的中点在以原点O为圆心，为半径的圆上，则的值为(     ) A．1 B．2 C． D．4 【答案】D 【详解】由椭圆，得，， ，故左焦点，右焦点，. 设的中点为，由题设，在以原点为圆心、为半径的圆上，故. 在中，为的中点，为的中点， 故为的中位线，得. 由椭圆的定义，， 因此，. 故选：D 7．已知为椭圆的上焦点，为椭圆上一点，为圆上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示，由圆，可得圆心，半径为， 又由椭圆，设上焦点为，下焦点为，且， 根据椭圆的定义，可得，则， 所以， 要使得最大，则最小. 因为，当且仅当为线段与圆的交点时，等号成立， 所以， 当且仅当为线段与椭圆的交点时，等号成立， 所以，即的最大值为. 故选：D.    二、多选题 8．已知椭圆的焦距大于，则的取值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】当椭圆的焦点在轴上时，焦距为，由题意得，解得， 当椭圆的焦点在轴上时，焦距为，由题意得，解得， 所以，实数的取值范围是. 故选：ACD. 9．已知椭圆：的两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，则（   ） A．的面积最大值为8 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 【答案】BD 【详解】由，所以，，，令，， 对于A：点在上、下顶点时，的面积最大，最大值为，故A错误； 对于B：的周长为，故B正确； 对于C：的最小值为，故C错误； 对于D：，即，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 10．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆与轴的一个交点到两焦点的距离分别为和，则椭圆的标准方程为____. 【答案】 【详解】由题意可得，解得，又， 所以椭圆方程为. 11．已知圆，点，若点是圆上一动点，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹方程为______________. 【答案】 【详解】如图，连接,因是线段的中垂线，则, 由可得,因, 可得点的轨迹为以为两焦点的椭圆，设椭圆方程为， 易得，则，故点的轨迹方程为. 12．在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，线段的中点为，设，，当点在圆上运动时，的最小值为________. 【答案】1 【详解】设点，点，则， 因为，所以，化简得， 故动点的轨迹为椭圆. 又因为点，为椭圆的焦点， 所以， 故 （当且仅当时“”成立），故的最小值为1. 故答案为：1. 四、解答题 13．求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)，，焦点在y轴上； (2)，． (3)经过点，两点； 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】 【详解】（1）因为，，所以， 因为椭圆焦点在y轴上，所以其标准方程为：； （2）因为，，所以， 因为椭圆焦点位置不确定，所以其标准方程为：或； （3）由题意得P、Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点， 因为，所以椭圆的焦点在x轴上，所以， 所以椭圆的标准方程为． 14．在平面直角坐标系xOy中，已知P，Q两点分别在x轴，y轴上运动，，点M满足，记M的轨迹为求E的方程. 【答案】 【详解】设，，因为，所以， 设动点，则，， 因为，所以， 所以，，所以， 整理得， 所以动点M的轨迹E的方程为. 15．椭圆的中心为原点，左顶点为，左、右焦点分别为，，短轴长为6，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点在椭圆上，，求的面积． 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）设椭圆的半焦距为c，依题意，，而， 解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）设，由（1）及椭圆的定义，得， 由余弦定理得， 因此， 所以的面积. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 椭圆及其标准方程（暑假培优讲义） 析知识·讲要点 2 知识点01 椭圆的定义 2 知识点02 椭圆的标准方程 3 知识点03 椭圆焦点三角形 4 剖题型・讲技巧 5 题型1 椭圆的定义 5 题型2 判断方程是否表示椭圆 7 题型3 椭圆方程的求解 9 题型4 椭圆中焦点三角形周长、面积问题 11 题型5 椭圆中焦点三角形其他问题 14 释疑惑·重难拓展 17 题型1 椭圆上点到坐标轴上点的距离问题 17 题型2 椭圆上点到焦点和定点距离的和差最值问题 20 题型3 求椭圆的轨迹方程 23 知高考·真题探源 26 练好题·提分培优 28 课标要点 1．理解椭圆定义：平面内动点到两定点距离和为定值（大于两定点间距），掌握焦点、焦距概念。 2．掌握两类椭圆标准方程，能依据分母大小判断焦点坐标轴，区分同形异位椭圆的异同。 3．认识焦点三角形，熟记周长公式，结合椭圆定义、余弦定理求解角度、面积相关问题。 知识点01 椭圆的定义 我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆． 这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距． 根据椭圆的定义,设点与焦点的距离的和等于.由椭圆的定义可知,椭圆可看作点集． 练习 1．若平面内有两个定点，一动点，则“为定值”是“点的轨迹是椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．若椭圆上一点到焦点的距离为6，则点到另一个焦点的距离是__________. 知识点02 椭圆的标准方程 椭圆 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 图形 焦点坐标 焦距 的关系 注意： （1）同形不同位椭圆对比 相同点：两个椭圆形状、大小完全一致；拥有相同的长半轴、短半轴、半焦距。 不同点：椭圆在坐标系中的摆放位置不一样，对应的焦点坐标互不相同。 （2）椭圆标准方程判断焦点位置 设椭圆标准方程（）：①焦点在轴上⇔对应分母数值更大； ②焦点在轴上⇔对应分母数值更大； 记忆口诀：焦点位置看大小，焦点跟着大的跑。 练习 3．已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（  ） A． B．3 C．4 D．5 4．已知椭圆，点在椭圆上，且点到两焦点和的距离之和为．求椭圆的标准方程. 知识点03 椭圆焦点三角形 1.定义 设为椭圆上任意一点，是椭圆两个焦点，若三点不共线，称为椭圆的焦点三角形。 2.核心常用公式 ①焦点三角形周长：； ②三角形内角关系可结合余弦定理推导边角关系式； ③设、，，可结合椭圆定义推导面积、角度相关结论。 练习 5．已知是椭圆上的一点，且以点及焦点为顶点的三角形的面积等于1，则点的纵坐标为（    ） A．1 B． C． D． 6．已知点为椭圆上纵坐标不为零的点，、分别为椭圆左右两焦点，则的周长为______. 题型1 椭圆的定义 方法技巧 判定轨迹：平面内动点到两定点距离之和为定值，且定值＞两定点间距，轨迹才是椭圆；若定值等于间距，轨迹为线段；定值小于间距，无轨迹。 【例1】已知两定点，动点满足，则点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 【例2】若椭圆上一点到C的两个焦点的距离之和为，则_____. 【变式1-1】已知椭圆的左、右焦点分别是是该椭圆上一点，则________________． 【变式1-2】如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 【变式1-3】设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且点P到两个焦点的距离之差的绝对值为2，则是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 题型2 判断方程是否表示椭圆 方法技巧 先统一形式，将方程整理为平方项相加等于常数的形式。 等式右侧常数化为1，左侧两个平方项分母必须均为正数，且数值不相等。 分母相等为圆；有分母小于等于0，不表示椭圆。 补充：标准式，才是椭圆。 【例3】在平面直角坐标系中，“”是“方程表示的曲线是椭圆”的（   ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例4】方程()表示的曲线可能是（    ） A．一条直线 B．圆 C．椭圆 D．线段 【变式2-1】已知命题，方程不能表示圆；命题，方程表示圆或椭圆．则（   ） A．和都是假命题 B．和都是假命题 C．和都是假命题 D．和都是假命题 【变式2-2】已知方程，则下列说法正确的有（　　） A．当时，方程表示直线 B．当时，方程表示的曲线是圆 C．当时，方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆 D．若方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 【变式2-3】关于的方程，下列说法正确的是（　　） A．若，则该方程表示椭圆，其焦点在轴上 B．若，则该方程表示圆，其半径为 C．若，则该方程表示椭圆，其焦点在轴上 D．该方程不可能表示直线 题型3 椭圆方程的求解 方法技巧 定焦点位置：观察已知条件，判断焦点在轴或轴，设对应标准方程。 口诀判定：分母谁大，焦点就在对应坐标轴上。 待定系数法：将已知点坐标代入方程，联立方程解出；已知其中两类条件，结合计算参数。 【例5】已知直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【例6】已知椭圆经过点、，则其标准方程为______． 【变式3-1】椭圆上的任意一点到两个焦点的距离和是4，椭圆的焦距是2，则椭圆的标准方程是________． 【变式3-2】若椭圆Γ上的动点到Γ的两个焦点的距离之和为10，且Γ上的动点到Γ的焦点的距离的最小值为2，则Γ的标准方程可能是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】以，为焦点的椭圆过点，则椭圆的方程为__________. 题型4 椭圆中焦点三角形周长、面积问题 【例7】设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，与的另一个交点为，若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【例8】设M是椭圆=1上的一点，为该椭圆的焦点，，则的面积为___. 【变式4-1】已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交于，两点，若为等边三角形，则的焦距为___________ 【变式4-2】过椭圆 （）的右焦点 的直线交椭圆于 两点， 是椭圆的左焦点，则 的周长为________. 【变式4-3】已知椭圆的左右焦点分别为为椭圆上一点，若，则的面积为______． 题型5 椭圆中焦点三角形其他问题 方法技巧 定焦点位置：观察已知条件，判断焦点在轴或轴，设对应标准方程。 口诀判定：分母谁大，焦点就在对应坐标轴上。 待定系数法：将已知点坐标代入方程，联立方程解出；已知其中两类条件，结合计算参数。 【例9】设为坐标原点，，为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，，则（    ） A． B． C． D． 【例10】已知椭圆 的左、右焦点分别是，，点P为C上一点，若的内切圆的直径为2，则_________ 【变式5-1】已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在上，若，则_______． 【变式5-2】已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上且位于第一象限，，则（   ） A．的周长为16 B． C． D．直线的斜率为 【变式5-3】已知椭圆方程为，P为椭圆上一点，若，为的内切圆，则（    ） A． B． C． D． 释疑惑·重难拓展 题型1 椭圆上点到坐标轴上点的距离问题 方法技巧 设点参数：设椭圆上动点坐标，标准式优先设，参数方程可设简化计算。 距离公式列式：代入两点间距离公式，转化为二次函数。 求最值：根据二次函数开口方向、自变量取值范围，结合椭圆取值限制求最大、最小值。 【例1】已知点是椭圆上的动点，点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【例2】已知椭圆的焦点在轴上，是的上顶点，若上存在点使得，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【变式1-2】已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D． 【变式1-3】已知P是椭圆上一点，，求的最小值与最大值． 题型2 椭圆上点到焦点和定点距离的和差最值问题 方法技巧 和的最值：利用椭圆定义把到一个焦点的距离转化为减去到另一焦点距离，转化为两点之间线段最短求解。 差的最值：结合三角形三边关系，两点连线与椭圆交点处取得最大/最小差值。 作图辅助：画出两焦点、定点，直观判断取最值时动点位置，区分同侧、异侧两种情况。 【例3】设为椭圆上一动点，、分别为圆和圆上的动点，则不可能为（   ） A．9 B．11 C．13 D．16 【例4】已知椭圆：，左、右焦点分别是、，点是椭圆上任意一点，点，则的最大值为____________． 【变式2-1】已知P为椭圆上的一个动点，Q为圆上的一个动点，点，则（   ） A．的最小值为6 B．的最小值为7 C．的最大值为8 D．的最大值为9 【变式2-2】椭圆C：的左右焦点分别为，，点，P为C上一动点，则的最小值为______． 【变式2-3】已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，是上的动点，是圆上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型3 求椭圆的轨迹方程 方法技巧 定义法：题目出现动点到两定点距离和为定值，直接依据椭圆定义确定，写出标准方程。 直译法：设动点，根据题干距离、长度等量关系列式，化简整理得到方程，最后标注取值范围。 相关点代入法：若动点随另一已知轨迹上的点运动，设已知点坐标，建立两点坐标关系，代回已知曲线方程化简。 注意检验：剔除不满足椭圆条件的特殊点，保证。 【例5】已知，点，以为直径的圆与相切，则动点的轨迹是（   ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【例6】若动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知周长为，，则顶点的轨迹方程为__________. 【变式3-2】已知△ABC的顶点A，B的坐标分别为，，C为动点，且满足，则点C的轨迹方程为________． 【变式3-3】已知点是圆上的动点，作轴于点，则线段的中点的轨迹方程为_______. 1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 2．（2023·全国甲卷·高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 3．（2023·全国甲卷·高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 一、单选题 1．已知，则“”是“曲线表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知椭圆的焦点分别为，，点为上任意一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．已知椭圆的右顶点为，右焦点为，则点到直线的距离之积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知为椭圆上任意一点，是它的两个焦点，则的周长是（   ） A． B． C． D． 5．已知椭圆：，是右焦点．设为椭圆上任意一点，以为直径的圆记为，则恒与下列哪个圆相切（    ） A． B． C． D． 6．已知点P在椭圆：上，C的左焦点为F，若线段的中点在以原点O为圆心，为半径的圆上，则的值为(     ) A．1 B．2 C． D．4 7．已知为椭圆的上焦点，为椭圆上一点，为圆上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．已知椭圆的焦距大于，则的取值可以为（   ） A． B． C． D． 9．已知椭圆：的两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，则（   ） A．的面积最大值为8 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 三、填空题 10．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆与轴的一个交点到两焦点的距离分别为和，则椭圆的标准方程为____. 11．已知圆，点，若点是圆上一动点，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹方程为______________. 12．在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，线段的中点为，设，，当点在圆上运动时，的最小值为________. 四、解答题 13．求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)，，焦点在y轴上； (2)，． (3)经过点，两点； 14．在平面直角坐标系xOy中，已知P，Q两点分别在x轴，y轴上运动，，点M满足，记M的轨迹为求E的方程. 15．椭圆的中心为原点，左顶点为，左、右焦点分别为，，短轴长为6，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点在椭圆上，，求的面积． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $