上海市卢湾高级中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年上海市黄浦区卢湾高级中学高三（上）期中数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分、其中第1～6题每题满分54分，第7-12题每题满分54分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.） 1．（4分）已知集合A＝{0，2，4}，B＝（0，+∞），则A∩B＝　 　． 2．（4分）直线x+y﹣1＝0的倾斜角为　 　． 3．（4分）已知z∈C，若z•i＝1﹣2i（i为虚数单位），则|z|＝　 　． 4．（4分）（x﹣1）10的展开式中x9的系数为 　 　.（结果用数字表示） 5．（4分）已知，α是第四象限角，则tanα＝　 　． 6．（4分）已知若定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数y＝f（x）是奇函数，则实数m的值为 　 　． 7．（5分）将一个斜边长为4的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为　 　． 8．（5分）数据7，4，2，9，1，5，8，6的第50百分位数为 　 　． 9．（5分）若向量，满足（+）＝7，且||＝，||＝2，则向量与夹角为　 　． 10．（5分）新冠病毒爆发初期，全国支援武汉的活动中，需要从A医院某科室的6名男医生（含一名主任医师）、4名女医生（含一名主任医师）中分别选派3名男医生和2名女医生，要求至少有一名主任医师参加，则不同的选派方案共有　 　种．（用数字作答） 11．（5分）已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4＝20，a3＝8，记bm为{an}在区间（0，m]（m∈N*）中的项的个数，{bn}的前n项和为Sn，则＝　 　． 12．（5分）设点P（x1，y1）在椭圆上，点Q（x2，y2）在直线x+2y﹣8＝0上，则|x2﹣x1|+|y2﹣y1|的最小值为 　 　． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中第13～14题每题满分18分，第15～16题每题满分18分，每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.） 13．（4分）若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C．a2＞b2 D．a|c|＞b|c| 14．（4分）已知函数y＝f（x）在区间[a，b]内的图象为连续不断的一条曲线，则“f（a）•f（b）＜0”是“函数y＝f（x）在区间[a，b]内有零点”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 15．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的顶点都在半径为的球面上，AB＝1，BC＝，AC＝2，则三棱锥P﹣ABC体积的最大值为（　　） A． B．1 C． D． 16．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，若∀x1、x2∈[0，+∞）且x1≠x2时，恒成立，且f（2）＝8，则满足f（m2+m）≤2（m2+m）2的实数m的取值范围为（　　） A．[﹣2，1] B．[0，1] C．[0，2] D．[﹣2，2] 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。 17．（15分）在△ABC中，a＝5，b＝6． （1）若，求A和△ABC外接圆半径R的值； （2）若△ABC的面积，求c的值． 18．（15分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形． （1）求证：平面PBD⊥平面PAC； （2）设AB＝2，若四棱锥P﹣ABCD的体积为，求点A到平面PBD的距离． 19．（15分）流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病．某市去年11月份曾发生流感，据统计，11月1日该市的新感染者有30人，以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人．由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从11月k+1（9≤k≤29，k∈N*）日起每天的新感染者比前一天的新感染者减少20人． （1）若k＝9，求11月1日至11月10日新感染者总人数； （2）若到11月30日止，该市在这30天内的新感染者总人数为11940人，问11月几日，该市新感染者人数最多？并求这一天的新感染者人数． 20．（15分）已知椭圆的一个焦点为F（1，0），点在椭圆C上，过点F作一直线交椭圆于P、Q两点，且坐标原点O关于点F的对称点记为T． （1）求椭圆的方程； （2）求△PQT面积的最大值； （3）设点P′为点P关于x轴的对称点，求证：Q、P′、T三点共线． 21．（18分）定义：如果函数y＝f（x）和y＝g（x）的图像上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数y＝f（x）和y＝g（x） 具有C关系． （1）判断函数和是否具有C关系； （2）若函数和g（x）＝﹣x﹣1不具有C关系，求实数a的取值范围； （3）若定义域都为区间（0，π）的两个函数f（x）＝xex和g（x）＝msinx（m＜0）具有C关系，求实数m的取值范围． 2024-2025学年上海市黄浦区卢湾高级中学高三（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共有12题，满分54分、其中第1～6题每题满分54分，第7-12题每题满分54分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.） 1．（4分）已知集合A＝{0，2，4}，B＝（0，+∞），则A∩B＝　{2，4}　． 【分析】直接利用交集的运算法则化简求解即可． 【解答】解：集合A＝{0，2，4}，B＝（0，+∞），则A∩B＝{2，4}． 故答案为：{2，4}． 2．（4分）直线x+y﹣1＝0的倾斜角为　　． 【分析】由直线方程求得直线的斜率，利用倾斜角的正切值等于斜率得答案． 【解答】解：直线x+y﹣1＝0的斜率为﹣1， 设其倾斜角为θ（0≤θ＜π）， ∴tanθ＝﹣1， 则． 故答案为：． 3．（4分）已知z∈C，若z•i＝1﹣2i（i为虚数单位），则|z|＝　　． 【分析】求出z＝﹣2﹣i，从而求出|z|即可． 【解答】解：∵z•i＝1﹣2i（i为虚数单位）， ∴z＝＝﹣2﹣i， 故|z|＝＝， 故答案为：． 4．（4分）（x﹣1）10的展开式中x9的系数为 　﹣10　.（结果用数字表示） 【分析】求得：x﹣1）10的展开式的通项公式，可令r＝1，计算可得所求值． 【解答】解：（x﹣1）10的展开式的通项公式为Tr+1＝Cx10﹣r（﹣1）r，r＝0，1，…，10， 令r＝1，可得T2＝﹣10x9， 所以x9的系数﹣10． 故答案为：﹣10． 5．（4分）已知，α是第四象限角，则tanα＝　﹣　． 【分析】由题意利用同角三角函数基本关系式即可求解． 【解答】解：因为，α是第四象限角， 则sinα＝﹣＝﹣，可得tanα＝＝﹣． 故答案为：﹣． 6．（4分）已知若定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数y＝f（x）是奇函数，则实数m的值为 　﹣1　． 【分析】利用奇函数的性质求解即可． 【解答】解：∵f（x）＝是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数， ∴f（﹣1）+f（1）＝+m+1﹣＝0， ∴m＝﹣1． 故答案为：﹣1． 7．（5分）将一个斜边长为4的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为　　． 【分析】先求出等腰直角三角形的直角边长，进而求出旋转体圆锥的底面半径和母线，再利用圆锥的表面积公式即可求出结果． 【解答】解：∵等腰直角三角形的斜边长为4，∴直角边长为2， 由题意可知所得几何体是圆锥，其底面圆的半径r＝，母线长l＝4， 则其表面积为， 故答案为：． 8．（5分）数据7，4，2，9，1，5，8，6的第50百分位数为 　5.5　． 【分析】由百分位的计算公式求解即可． 【解答】解：数据7，4，2，9，1，5，8，6，即1，2，4，5，6，7，8，9； 由于8×50%＝4，则数据7，4，2，9，1，5，8，6的第50百分位数为＝5.5． 故答案为：5.5． 9．（5分）若向量，满足（+）＝7，且||＝，||＝2，则向量与夹角为　　． 【分析】由已知求得，然后利用数量积求夹角公式得答案． 【解答】解：∵||＝2，（+）＝7， ∴，即． 设向量与的夹角为θ， 则cosθ＝， 则向量与夹角为． 故答案为：． 10．（5分）新冠病毒爆发初期，全国支援武汉的活动中，需要从A医院某科室的6名男医生（含一名主任医师）、4名女医生（含一名主任医师）中分别选派3名男医生和2名女医生，要求至少有一名主任医师参加，则不同的选派方案共有　90　种．（用数字作答） 【分析】根据题意，先计算从A医院某科室的6名男医生和4名女医生中分别选派3名男医生和2名女医生的取法数目，再排除其中没有主任医师参加的取法，由此分析可得答案． 【解答】解：根据题意，从A医院某科室的6名男医生和4名女医生中分别选派3名男医生和2名女医生，有C63C42＝120种取法， 若其中没有主任医师参加，即从不是主任医师的5名男医生中选出3名男医生，从不是主任医师的3名女医生中选出2名女医生， 其取法有C53C32＝30种， 则至少有一名主任医师参加的取法有120﹣30＝90种， 故答案为：90． 11．（5分）已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4＝20，a3＝8，记bm为{an}在区间（0，m]（m∈N*）中的项的个数，{bn}的前n项和为Sn，则＝　（n﹣2）•2n+2+n　． 【分析】由已知结合等比数列的通项公式可求q，进而可求通项公式，然后归纳出，bm＝n，代入后结合错位相减求和可求． 【解答】解：因为a2+a4＝20，a3＝8，q＞1， 所以， 解得，q＝2，或q＝（舍）， 故a1＝2，an＝2n， 故在区间（0，1]上，b1＝0， 在（0，2]，（0，3]上b2＝b3＝1，2个1， 在（0，4]，（0，5]，（0，6]，（0，7]上b4＝b5＝b6＝b7＝2，22个2， 归纳得，2n≤m＜2n+1，bm＝n， 则＝1×2+2×22+…+（n﹣1）×2n﹣1+n， 令Tn＝1×2+2×22+…+（n﹣1）×2n﹣1， 则2Tn＝1×22+2×23+…+（n﹣2）×2n﹣1+（n﹣1）•2n， 两式相减得，﹣Tn＝2+22+…+2n﹣1﹣（n﹣1）•2n＝﹣（n﹣1）•2n＝（2﹣n）•2n﹣2， 故Tn＝（n﹣2）•2n+2， 由题意得，＝（n﹣2）•2n+2+n． 故答案为：（n﹣2）•2n+2+n． 12．（5分）设点P（x1，y1）在椭圆上，点Q（x2，y2）在直线x+2y﹣8＝0上，则|x2﹣x1|+|y2﹣y1|的最小值为 　2　． 【分析】设x1＝2cosα，y1＝sinα，α∈[0，2π），从而化简|x2﹣x1|+|y2﹣y1|＝|x2﹣2cosα|+|y2﹣sinα|，利用放缩法连续放缩化简为（2|x2﹣2cosα|+2|y2﹣sinα|）≥|x2﹣2cosα+2y2﹣2sinα|＝|8﹣4sin（α+）|，从而求最值并检验即可． 【解答】解：设x1＝2cosα，y1＝sinα，α∈[0，2π）， 则|x2﹣x1|+|y2﹣y1|＝|x2﹣2cosα|+|y2﹣sinα| ＝（2|x2﹣2cosα|+2|y2﹣sinα|） ≥（|x2﹣2cosα|+2|y2﹣sinα|） ≥|x2﹣2cosα+2y2﹣2sinα| ＝|8﹣4sin（α+）|≥2， 当且仅当sin（α+）＝1，x2﹣2cosα＝0时取最小值， 即α＝时，P（2，1），Q（2，3）； 故|x2﹣x1|+|y2﹣y1|的最小值为2， 故答案为：2． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中第13～14题每题满分18分，第15～16题每题满分18分，每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.） 13．（4分）若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C．a2＞b2 D．a|c|＞b|c| 【分析】利用不等式的性质，和通过取特殊值即可得出． 【解答】解：A．∵1＞﹣2，＜不成立， B．∵c2+1≥1，根据不等式的基本性质，∵a＞b，∴，故B正确 C．∵1＞﹣2，a2＞b2，不成立， D．c＝0时，0＝a|c|＞b|c|＝0，不成立． 故选：B． 14．（4分）已知函数y＝f（x）在区间[a，b]内的图象为连续不断的一条曲线，则“f（a）•f（b）＜0”是“函数y＝f（x）在区间[a，b]内有零点”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】充分性显然成立，由函数y＝x2，x∈[﹣1，1]说明必要性不成立． 【解答】解：由零点存在性定理，可知充分性成立； 反之．若函数y＝x2，x∈[﹣1，1]，则f（﹣1）•f（1）＞0．且有零点x＝0．故必要性不成立． 故选：A． 15．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的顶点都在半径为的球面上，AB＝1，BC＝，AC＝2，则三棱锥P﹣ABC体积的最大值为（　　） A． B．1 C． D． 【分析】利用勾股定理得到直角三角形ABC，取AC中点O′，连接OO′，结合球半径可得OO′的长，进而得P﹣ABC的最大值． 【解答】解：如图，设球心为O， 由AB＝1，BC＝，AC＝2 可得△ABC为直角三角形， 斜边AC的中点O′为球小圆的圆心， 连接OO′，OA， 则OO′⊥平面ABC， 由OA＝，O′A＝1可得OO′＝， 故三棱锥P﹣ABC的最大体积为 ＝＝， 故选：A． 16．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，若∀x1、x2∈[0，+∞）且x1≠x2时，恒成立，且f（2）＝8，则满足f（m2+m）≤2（m2+m）2的实数m的取值范围为（　　） A．[﹣2，1] B．[0，1] C．[0，2] D．[﹣2，2] 【分析】利用构造函数法，结合函数的单调性、奇偶性来求得m的取值范围． 【解答】解：设x1＞x2，则， 所以， 令g（x）＝f（x）﹣2x2，则g（x1）＞g（x2），所以函数g（x）在[0，+∞）上为增函数， 对任意的x∈R，g（﹣x）＝f（﹣x）﹣2（﹣x）2＝f（x）﹣2x2＝g（x）， 所以函数g（x）为R上的偶函数，且g（2）＝f（2）﹣2×22＝0， 由f（m2+m）≤2（m2+m）2可得f（m2+m）﹣2（m2+m）≤0，即g（m2+m）≤g（2）， 即g（|m2+m|）≤g（2），所以，|m2+m|≤2，即﹣2≤m2+m≤2，解得﹣2≤m≤1． 故选：A． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。 17．（15分）在△ABC中，a＝5，b＝6． （1）若，求A和△ABC外接圆半径R的值； （2）若△ABC的面积，求c的值． 【分析】（1）由题可得sinB，然后利用正弦定理即可求解； （2）利用三角形面积公式可得sinC，再利用同角关系及余弦定理即可求解． 【解答】解（1）∵，B∈（0，π）， ∴， 在△ABC中，由正弦定理，得，即， ∴，R＝5， ∵a＜b，又， ∴，R＝5； （2）由得sinc＝＝， 于是， 当时，由余弦定理，得，即c＝4 当时，由余弦定理，得，即c＝． ∴c＝4或． 18．（15分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形． （1）求证：平面PBD⊥平面PAC； （2）设AB＝2，若四棱锥P﹣ABCD的体积为，求点A到平面PBD的距离． 【分析】（1）由AC⊥BD，PA⊥BD，根据线面垂直的判定定理，可得BD⊥平面PAC，再利用面面垂直的判定定理，即可得证； （2）先根据棱锥的体积公式，求出PA的值，再利用等体积法，即可得解． 【解答】（1）证明：因为底面ABCD是正方形， 所以AC⊥BD， 又PA⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD， 所以PA⊥BD， 因为AC∩PA＝A，AC、PA⊂平面PAC， 所以BD⊥平面PAC， 又BD⊂平面PBD， 所以平面PBD⊥平面PAC． （2）解：因为四棱锥P﹣ABCD的体积为， 所以•PA•S正方形ABCD＝，即PA×2×2＝， 所以PA＝2， 由勾股定理知，PB＝PD＝BD＝2， 所以△PBD是等边三角形，其面积为S△PBD＝2×2×sin＝2， 设点A到平面PBD的距离为d， 因为VA﹣PBD＝VP﹣ABD， 所以•d•S△PBD＝•PA•S△ABD，即d×2＝2×， 所以点A到平面PBD的距离为． 19．（15分）流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病．某市去年11月份曾发生流感，据统计，11月1日该市的新感染者有30人，以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人．由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从11月k+1（9≤k≤29，k∈N*）日起每天的新感染者比前一天的新感染者减少20人． （1）若k＝9，求11月1日至11月10日新感染者总人数； （2）若到11月30日止，该市在这30天内的新感染者总人数为11940人，问11月几日，该市新感染者人数最多？并求这一天的新感染者人数． 【分析】（1）记11月n日新感染者人数为an（1≤n≤30），然后利用数列{an}（1≤n≤9）是等差数列，由等差数列前n项求和公式求解即可； （2）由题意，分别求出当1≤n≤k，k+1≤n≤30时的an，然后利用等差数列前n项求和公式，求出k的值，即可得到答案． 【解答】解：（1）记11月n日新感染者人数为an（1≤n≤30），则数列{an}（1≤n≤9）是等差数列， a1＝20，公差为50，又a10＝410， 则11月1日至11月10日新感染者总人数为（a1+a2+…+a9）+a10＝（9×30+）+410＝2480人； （2）记11月n日新感染者人数为an（1≤n≤30）， 11月k日新感染者人数最多，当1≤n≤k时，an＝50n﹣20， 当k+1≤n≤30时，an＝（50k﹣20）﹣20（n﹣k）＝﹣20n+70k﹣20， 因为这30天内的新感染者总人数为11940人， 所以＝11940， 解得﹣35k2+2135k﹣9900＝11940，即k2﹣61k+624＝0， 解得k＝13或k＝48（舍）， 此时a13＝50×13﹣20＝630， 所以11月13日新感染者人数最多为630人． 20．（15分）已知椭圆的一个焦点为F（1，0），点在椭圆C上，过点F作一直线交椭圆于P、Q两点，且坐标原点O关于点F的对称点记为T． （1）求椭圆的方程； （2）求△PQT面积的最大值； （3）设点P′为点P关于x轴的对称点，求证：Q、P′、T三点共线． 【分析】（1）由焦点为F（﹣1，0），点在椭圆C上，列方程组，解得a，b，即可得出答案； （2）由，得（m2+2）y2+2my﹣1＝0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），由条件可知，点T（2，0）．S△PQT＝|FT||y1﹣y2|，由此能推导出S△PQT的最大值； （3）验证与共线，设P′（x1，﹣y1），则＝（x2﹣x1，y2+y1），＝（x2﹣2，y2），由（x2﹣x1）y2﹣（x2﹣2）（y1+y2）＝0，进而可得三点共线． 【解答】解：（1）根据题意可得，解得a2＝2，b2＝1， 所以椭圆C的方程为+y2＝1； （2）由题可得原点O关于点F的对称点T的坐标为（2，0）， 设过点F的直线l的方程为x＝my+1，P（x1，y1），Q（x2，y2）， 所以，得（m2+2）y2+2my﹣1＝0， 其中Δ＝4m²+4（m²+2）＝8m2+8＞0，y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣， 则|y1﹣y2|＝＝， 所以S△PQT＝•|FT|•|y1﹣y2|＝×1×＝， 令t＝，t≥1，则m²＝t²﹣1， 所以S△PQT＝＝≤，当且仅当t＝，即t＝1，m＝0时取等号， 则直线l的方程为x﹣1＝0时，△PQT面积的最大值为； 证明：（3）设P′（x1，﹣y1），则＝（x2﹣x1，y2+y1），＝（x2﹣2，y2）， 由（x2﹣x1）y2﹣（x2﹣2）（y1+y2） ＝﹣x1y2﹣x2y1+2（y1+y2） ＝﹣（my1+1）y2﹣（my2+1）y1+2（y1+y2） ＝﹣2my1y2+（y1+y2） ＝﹣2m•+＝0， 所以，与共线，即P'，Q，T三点共线． 21．（18分）定义：如果函数y＝f（x）和y＝g（x）的图像上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数y＝f（x）和y＝g（x） 具有C关系． （1）判断函数和是否具有C关系； （2）若函数和g（x）＝﹣x﹣1不具有C关系，求实数a的取值范围； （3）若定义域都为区间（0，π）的两个函数f（x）＝xex和g（x）＝msinx（m＜0）具有C关系，求实数m的取值范围． 【分析】（1）即判断当x＞0时，f（x）＝﹣g（x）是否有解； （2）即当x≥1时，f（x）＝﹣g（x）没解，求a的范围； （3）即研究当xex＝﹣msinx在（0，π）上有解时，求m的范围，可分离参数求解． 【解答】解：（1）由已知得，化简得log2x＝﹣3， 解得，故此时函数y＝f（x）和y＝g（x）具有C关系； （2）由已知得a＝x+1在[1，+∞）上无解， x＝1显然不满足上式，故＝＝2（当且仅当x＝3时取等号）， 故时，原方程无解，即函数y＝f（x）和y＝g（x）不具有C关系， 即所求a的范围是（﹣∞，2）； （3）由已知得xex＝﹣msinx（m＜0）在（0，π）上有解， 即﹣m＝在（0，π）上有解，令h（x）＝，x∈（0，π）， h′（x）＝，x∈（0，π）， 再令φ（x）＝（x+1）sinx﹣xcosx＝x（sinx﹣cosx）+sinx， 当x时，sinx＞cosx，且sinx＞0，故此时h′（x）＞0， 当时，易知x→0时，φ（x）→0， 此时φ′（x）＝sinx+x（sinx+cosx）＞0，故φ（x）在（0，）上递增，故φ（x）＞0在（0，）上恒成立， 即h′（x）＞0在（0，π）上恒成立，故h（x）在（0，π）单调递增， 而＝＝1，且x→π时，h（x）→+∞， 故h（x）＞1，即﹣m＞1，解得m＜﹣1即为所求， 故所求m的范围是（﹣∞，﹣1）． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/12 19:42:22；用户：高中数学03；邮箱：xwxxh94@xyh.com；学号：48403799 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$