3.1.1函数的概念课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数的概念（定义、特征、三要素）及区间表示，课堂导入通过炮弹发射的高度与时间关系问题情境，衔接初中“变量说”，引导思考定义域、值域及对应关系，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以问题情境激发数学眼光，通过函数相等条件辨析培养数学思维，用区间符号化表达数集发展数学语言。提分训练结合定义域求解等实例，帮助学生深化理解，教师可高效开展概念教学与能力训练。

3.1 函数的概念及其表示 第三章 函数的概念与性质 第一课时：函数的概念 亮亮图文旗舰店 https://liangliangtuwen.tmall.com 目录 contents 1 函数的概念 2 函数的区间 3 提分训练 课程导入 问题情境：一枚炮弹发射后，经过26秒落到地面，射高为845米。炮弹距地面的高度h(米)与时间t(秒)的关系满足：h=130t-5t² 核心思考：① 时间t的取值范围是什么？ ② 高度h的取值范围是什么？ ③ 这种变量关系能否用初中“变量说”来描述？ 新知探究 1. 函数的概念 定义：一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A. 核心要点解读 标准形式：y=f(x), x∈A 它不仅是一个表达式，更描述了两个非空数集间的确定依赖关系。这种“任意性”与“唯一性”的对应，是连接代数与几何、描述变化规律的基础。 新知探究 函数的四个特征： ①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定的关系就不一定是函数关系. 新知探究 2. 函数的三要素 函数是描述变量间依赖关系的数学模型，其完整定义由三个核心要素构成。这三个要素不仅明确了函数的构成规则，更是判断两个函数是否相同的根本依据： 定义域：自变量x的取值范围集合A，是函数存在的前提，规定了输入的有效性边界，是研究函数性质的基础； 对应关系：连接x与y的法则f，是函数的核心灵魂，确立了输入到输出的映射规则，是函数的本质特征。 值域：函数值的集合 {f(x)|x∈A}，是自变量通过对应关系得到的所有输出值的集合，由前两者唯一确定。 新知探究 函数的相等： 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数. 核心结论 定义域和对应关系是决定函数的关键，二者一旦确定，函数的值域也随之确定 ❓定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗？ ✏不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数. 小试牛刀 例1：下列说法正确的是(　　) A．函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应 B．函数的定义域和值域可以是空集 C．函数的定义域和值域一定是数集 D．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了 C 小试牛刀 【解析】 根据从集合A到集合B函数的定义可知，强调A中元素的任意性和B中对应元素的唯一性，所以A中的多个元素可以对应B中的同一个元素，从而选项A错误；同样由函数定义可知，A、B集合都是非空数集，故选项B错误；选项C正确；对于选项D，可以举例说明，如定义域、值域均为A＝{0,1}的函数，对应关系可以是x→x，x∈A，，还可以是x→x2，x∈A. 故选：C. 目录 contents 1 函数的概念 2 函数的区间 3 提分训练 新知探究 3.区间的概念： 定义：区间是表示数集的一种简便方法，是描述连续实数集合的专用符号语言，广泛应用于不等式与函数定义域表示。 本质：区间并非独立概念，而是集合的另一种直观表示形式，将集合的描述法简化为更易书写和运算的符号形式。 📝 实例对照 ①有限区间：集合 {x|1≤x≤5} 记作 [1,5] （方括号表示包含端点）； ②无限区间：集合 {x|x>3} 记作 (3,+∞) （圆括号表示不包含，无穷大始终用圆括号）。 新知探究 开区间与闭区间： 设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定： (1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； (2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)； (3)满足不等式a≤x＜b或a＜x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b].这里的实数a与b都叫做相应区间的端点. 核心点拨 1. 端点前提：a和b是区间端点，必须满足 a<b，否则区间无意义。 2. 符号法则：方括号[ ] 代表包含端点，圆括号 ( )代表不包含端点，书写时需严格对应。 3. 特殊区间：还有半开半闭区间形式：[a, b) 或 (a, b]，它们是连接开闭区间的重要过渡类型。 小试牛刀 解题思路 1. 符号对应：方括号[ ]对应≤或≥，圆括号( )对应<或>； 2. 无穷规则：-∞与+∞搭配圆括号，不可使用方括号； 3. 并集处理：多个区间用∪连接，对应集合中“或”的逻辑关系。 例2、区间与数集的互化 ①将集合 {x|-1≤x<5} 用区间的形式表示出来。 ②将区间 (-∞, 0]∪(3,+∞) 用集合的描述法表示。 小试牛刀 【解析】① 左端点判定：不等式为-1≤x，说明包含端点-1，在区间表示中，包含端点需使用方括号[ 右端点判定：不等式为x<5，说明不包含端点5，在区间表示中，不包含端点需使用圆括号) 最终书写：该集合用区间表示为[-1, 5) 例2、区间与数集的互化 ①将集合 {x|-1≤x<5} 用区间的形式表示出来。 ②将区间 (-∞, 0]∪(3,+∞) 用集合的描述法表示。 小试牛刀 【解析】② (-∞, 0] 表示所有小于或等于0的实数，即满足x≤0；(3,+∞) 表示所有大于3的实数，即满足x>3；符号“∪”代表并集，逻辑上表示“或”的关系。 集合描述法的标准形式为 {代表元素|元素满足的特征}。 本题中研究对象为实数x，因此代表元素为x。 将条件整合，可得该区间对应的集合为：{x|x≤0或x>3} 例2、区间与数集的互化 ①将集合 {x|-1≤x<5} 用区间的形式表示出来。 ②将区间 (-∞, 0]∪(3,+∞) 用集合的描述法表示。 目录 contents 1 函数的概念 2 函数的区间 3 提分训练 提分训练 题型1 对函数概念的理解 1、若函数y＝f(x)的定义域M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　) B 【解析】 解： 解析 A中定义域是{x|－2≤x≤0}，不是M＝{x|－2≤x≤2}，C中图象不表示函数关系，D中值域不是N＝{y|0≤y≤2}．． 故选：B. 提分训练 题型1 对函数概念的理解 2、下列集合A、B及其对应法则不能构成函数的是（　　） A．A＝B＝R，f（x）＝|x+1| B．A＝B＝R，f(x)= C．A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6，7}，f（x）＝x+3 D．A＝{x|x＞0}，B＝{1}，f（x）＝x0 B 【解析】 解： 对于A，C，D，集合A中的任意一个元素，按照对应法则f（x），在集合B中都有唯一个元素与之对应，符合函数的定义，所以A，C，D正确， 对于B，对于集合A中元素0在集合B中没有元素与之对应，不符合函数的定义，故B错误，故选：B． 提分训练 题型2 同一函数的判断 3、已知函数 f(x) = x²，g(x) = x²，则二者的关系是（ ） A．是同一函数 B．不是同一函数 C．定义域不同 D．对应关系不同 A 【解析】 解：判断同一函数的核心依据是：定义域与对应关系必须完全一致。 ① 定义域：f(x) = x² 的定义域为全体实数 R；g(x) = x² 的定义域也为 R； ② 对应关系：两个函数均为“对自变量取平方”，法则完全相同； 结论：二者定义域和对应关系均相同，因此是同一函数 故选：A． 提分训练 题型3 函数的定义域问题 4、已知函数f(x)的定义域为[－1,2)，则函数f(x－1)的定义域为(　　) A．[－1,2) B．[0,2) C．[0,3) D．[－2,1) C 【解析】 解：∵f(x)的定义域为[－1,2)， ∴－1≤x－1<2，得0≤x<3， ∴f(x－1)的定义域为[0,3). 故选：C． 提分训练 题型3 函数的定义域问题 5、若函数f(2x－1)的定义域为[0,1)，则函数f(1－3x)的定义域为________ （0， 【解析】 解：因为f(2x－1)的定义域为[0,1)，即0≤x<1， 所以－1≤2x－1<1.所以f(x)的定义域为[－1,1)． 所以－1≤1－3x<1，解得0<x≤. 所以f(1－3x)的定义域为（0， 追求卓越 $