2.3.1 两条直线的交点坐标（分层作业练知识）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 分层设计清晰，从基础巩固到思维拔高再到高考衔接，知识覆盖从单一知识点到综合应用，适配新授课差异化教学需求，培养数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|直线交点坐标、位置关系判断等单一知识点|基础题+典型题，强化概念理解与运算能力| |B组|参数范围、三线共点等综合应用|综合题+变式训练，提升推理与问题解决能力| |C组|数学文化、探索性问题等思维拓展|创新题型+跨情境应用，发展创新意识与批判性思维| |拓展|高考真题对接|高考真题+考点迁移，衔接升学需求|

分层作业 2.2.1 直线的点斜式方程 参考答案 直线的交点坐标知识点01 1.B； 2．D； 3．B； 方程组解得个数判断直线的位置关系知识点02 4. B； 5.AD； 6.【答案】(1)相交，交点坐标为；(2)不相交，重合；(3)不相交， 【详解】（1）解方程组，得 因此直线和相交，交点坐标为． （2）方程组有无数个解，这表明直线和重合． （3）方程组无解，这表明直线和没有公共点，故． 由直线的交点求参数（范围）知识点03 7.D； 8．； 9．； 10．1； 11. 三条直线能否围成三角形知识点04 12. B； 13．A； 14．BCD； 15.且且； 直线交点系方程知识点05 16.； 17.； 18.【答案】 【详解】解法1：设过点的直线方程为， ，解得， 则，即． 又点不在上，直线不合题意． 故所求直线方程为． 解法2：由，得，即． 所求直线过与， 由得， 故所求直线方程为． 19.【答案】 【详解】由题意可设的方程为． 因为过点， 所以，解得， 所以的方程为， 即． 20.【答案】 【详解】法一：解方程组得 所以两条直线的交点坐标为． 又所求直线的斜率为3，故所求直线的方程为，即． 法二：设所求直线为，因为过已知两条直线的交点，所以直线的方程可设为（其中为常数），即①， 又直线的斜率为3，所以，解得，将代入①，整理得． 直线交点坐标的应用知识点06 21.【答案】 【详解】设l与的交点坐标为，l与的交点坐标为， ，由中点坐标公式得，， 即，解得 则l的方程为，即. 22．【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为边上的高所在直线方程为， 所以,解得：. 所以直线的方程为，即. 由解得：，即. （2）因为点C在直线上，所以可设，则中点为. 把代入直线：， 有，解得：，所以. 又∵，∴，即， 所以BC所在直线方程为：． 23．【答案】(1)；(2)直线的方程为； 【详解】（1）设边上的中点为点，且、， 则，即， 边上的中线为，，所以直线, 所以边上中线的方程为； （2）， 因为，所以，则， 所以直线的方程为， 直线，整理为：， 联立，得，， 则点的坐标为. 24.【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）由已知得直线AB的方程为：，即 . （2）设， 因为直线的方程为，斜率为 ， 故斜率为 7，即， 因为中点在直线上， 所以，解得 所以. （3）解方程组，解得，所以， 又因为，所以中点， 又因为高线CD的斜率为， 所以CD所在直线的方程为，即. 25.【详解】(1)由题， 可化为， 由于，令，可得， 所以，解得，即直线 恒过定点． 所以直线 恒过定点. （2）由（1）知，不妨设， 由题意可知，恰为 的中点， 所以， 因为， 分别在直线 和直线 上， 所以， 解得 ，所以， 将代入直线方程，解得． 所以 的值为 . 1． B； 2．BCD； 3．ACD； 4．BD； 5．或； 6．； 7.且； 8.【答案】(1)；(2)当时，两直线重合；当时，两直线平行；当时，两直线相交． 【详解】（1）解：当时，，， 当时，和，解得：和， 与轴的交点，与轴的交点， 联立，解得：， 与的交点， ，点到轴的垂直距离为：， ； （2）解：若两直线平行或重合，则斜率相等， 的斜率为：，的斜率为：， ，解得：或， 当时，，，两直线重合； 当时，，，两直线平行； 故当时，两直线重合；当时，两直线平行；当时，两直线相交． 9．【答案】(1)；(2) 【详解】（1）联立与的方程，得解得         即与的交点坐标为，             由题意知点在上，所以，         解得. （2）由（1）知，             当时，，所以，             当时，，所以，             当，，三条直线可以围成三角形，则且且，             故的取值范围为. 10．【答案】（1）（2） 【详解】（1）法1：联立，解得， 与直线垂直的直线斜率为， 所以经过与交点且与垂直的直线方程为：，即； 法2：经过直线交点的直线设为：， 即， 因其与直线垂直，所以，解得， 所以所求直线方程为. （2）设，则， 因直线过，所以，则，等号成立时， 所以的面积， 此时的周长为. 1.B； 2．A； 3. ABD ； 4.； 5.； 1． D； 2．【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）由，解得， 所以直线和的交点坐标为. （2）由（1）知，直线和的交点坐标为， 因为所求直线与直线垂直， 所以所求直线的斜率为. 所以所求直线方程为，即. 3.【答案】4x－y－3＝0 【详解】由x＋y－7＝0和3x－y－1＝0联立并解得：x＝2，y＝5． ∵直线过点(2，5)和(1，1) ∴所求的直线方程为，即：4x－y－3＝0． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.3.1 两条直线的交点坐标 目 录 A组 巩固过关 知识点01 直线的交点坐标 知识点02 方程组的解的个数判断直线的位置关系 知识点03 由直线的交点求参数（范围） 知识点04 三条直线能否围成三角形（常考题） 知识点05 直线交点系方程（难点） 知识点06 直线交点坐标的应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 直线的交点坐标知识点01 知识点速记： 两直线的交点 设两条直线的方程分别为，． 如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之，如果将这两条直线的方程联立，若方程组有唯一解，那么以这个解为坐标的点必是直线和直线的交点． 题型巩固练： 1．直线：与：相交，则交点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】联立，解得，即l1与l2的交点坐标为． 2．（25-26高二下·湖南长沙·期中）若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为    （  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】显然时不合题意，则直线的斜率为，直线的斜率为， 因为两条直线垂直，所以，解得， 联立可得，解得，即两条直线的交点坐标为. 3．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知直线与直线，则两条直线的交点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】由，解得， 即两条直线的交点坐标为， 所以两条直线的交点所在的象限是第二象限， 故选：B 方程组解得个数判断直线的位置关系知识点02 知识点速记： 在平面直角坐标系中，已知两条直线的方程分别为：（、不同时为零），：（、不同时为零）.联立和的方程为 若存在，使得，且，则方程组有无数解，两条直线有无数个公共点，从而和重合； 若存在，使得，但，则方程组无解，两条直线无公共点，从而和平行； 若不存在，使得，，则方程组有唯一解，两条直线有唯一公共点，从而和 相交； 若、、都不为零，则可以观察两个方程的系数是否成比例来判断与的位置关系. 题型巩固练： 4．（25-26高二上·河南郑州·阶段检测）若关于，的方程组无解，则实数为（   ） A． B．3 C．3或 D．1或 【答案】B 【详解】易知当时，方程组有解，不满足题意； 当时，方程组消去y得，， 当时，方程无解，所以原方程组无解，符合题意； 当时，方程的解集为，此时原方程组有无数多组解，不符合题意，故. 故选：B. 5．（多选）（25-26高二上·甘肃兰州·期中）下列选项中，正确的有（    ） A．直线和的交点坐标为 B．直线和的交点坐标为 C．直线和交点坐标为 D．直线和，两两相交 【答案】AD 【详解】方程组的解为，因此直线和相交，交点坐标为，A正确； 方程组有无数个解，这表明直线和重合，B错误； 方程组无解，这表明直线和没有公共点，故，C错误； 方程组的解为 方程组的解为 方程组的解也为 所以，三条直线两两相交且交于同一点，D正确. 故选：AD 6．分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点；若不相交，说明它们的位置关系． (1)和； (2)和； (3)和． 【答案】(1)相交，交点坐标为；(2)不相交，重合；(3)不相交， 【详解】（1）解方程组，得 因此直线和相交，交点坐标为． （2）方程组有无数个解，这表明直线和重合． （3）方程组无解，这表明直线和没有公共点，故． 由直线的交点求参数（范围）知识点03 知识点速记： 由直线的交点求参数（范围）的解题步骤： 1.联立方程求交点：将两条直线的方程联立成方程组，解出交点坐标，坐标轴通常含有参数； 2.代入约束条件：根据题意（如交点在特定象限、在坐标轴上、或三线共点），将交点坐标代入相应的条件中； 3.求解参数（或参数的范围）：通过届方程或不等式，得出参数的值或范围. 题型巩固练： 7．（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，解方程组，得， 因为直线与的交点在第二象限， 所以，解得， 即实数的取值范围是． 8．直线与直线相交，则m的取值范围为__________． 【答案】 【详解】因为直线与直线，即相交， 所以，解得. 所以m的取值范围为. 9．（25-26高二上·福建福州·期末）已知三条直线与相交于一点，则___________. 【答案】 【详解】先由与相交于一点， 联立方程组， 代入消元可得：，则， 所以交点坐标为，又由题意可知直线也经过点， 所以代入可得. 故答案为： 10．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）三条直线，，相交于一点，则__________． 【答案】1 把交点坐标代入，得，解得. 故答案为：. 11．（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）直线与直线的交点在第四象限，则实数k的取值范围为______． 【答案】 【详解】由题意可得，两条直线不平行，故它们的斜率不相等，即， 由，解得， 因为两直线的交点在第四象限，则有，解得， 所以实数k的取值范围为. 三条直线能否围成三角形知识点04 知识点速记： 要使三条直线能围成三角形，则三条直线任意两条直线都相交，且三条直线不能交于一点。 无法围成三角形的情况有：⑴三条直线中存在平行线；⑵三线共点. 题型巩固练： 12．（25-26高二上·福建宁德·期中）三条直线构成一个三角形，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】B 【详解】当三条直线能构成一个三角形时，直线不与这两条直线平行，且不经过两条直线的交点即可. 由，解得，所以，解得； 不与平行时，； 不与平行时，； 综上，的取值范围是且； 故选：B. 13．（2026·广东·模拟预测）已知直线，，能构成三角形，设满足条件的k值构成集合A，则的子集个数为（   ） A．8 B．16 C．2 D．1 【答案】A 【详解】因为直线，，能构成三角形， 所以不平行于且不平行于且，，不共点， 当不平行于时，可得， 当不平行于时，可得， 当，，不共点时，由，解得， 所以，解得， 所以且且，所以， 所以的子集个数为. 14．（多选）（25-26高二上·江苏南通·期中）已知三条直线和不能围成一个三角形，则实数的可能取值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】BCD 【详解】联立，可得，即两直线交点为. 当时，直线和直线平行，不能围成三角形; 当时，直线和直线平行，不能围成三角形; 当时，直线经过点，三线共点，不能围成三角形; 当时，三条直线两两相交且不共点，可以围成三角形，不符合题意. 故选：BCD 15．（25-26高二上·湖南衡阳·阶段检测）三条直线与能围成三角形，则实数的取值集合为__________. 【答案】且且 【详解】当三条直线交于一点或有两条直线平行或重合时，这三条直线不能围成三角形． 若三条直线交于一点，由，得直线，交点坐标为， 把代入到直线，得； 若直线平行，则可得， 若直线平行，可得， 所以或． 综上，且且时，直线与能围成三角形, 直线交点系方程知识点05 知识点速记： 相交直线系 若直线、直线的交点，则过的直线（除外）的方程可设为. 题型巩固练： 16．（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为_______________．（写成一般式） 【答案】 【详解】由题设，令直线的方程为，且直线过， 所以，故直线的方程为. 17．若直线l经过两直线和的交点，且斜率为，则直线l的方程为______． 【答案】 【详解】设直线l的方程为（其中为常数），即 ①． 又直线l的斜率为，则，解得． 故答案为：. 18．求经过点和两直线和的交点的直线方程． 【答案】 【详解】解法1：设过点的直线方程为， ，解得， 则，即． 又点不在上，直线不合题意． 故所求直线方程为． 解法2：由，得，即． 所求直线过与， 由得， 故所求直线方程为． 19．已知直线，直线过与的交点且过点，求的方程． 【答案】 【详解】由题意可设的方程为． 因为过点， 所以，解得， 所以的方程为， 即． 20．求过直线和的交点，且斜率为3的直线方程． 【答案】 【详解】法一：解方程组得 所以两条直线的交点坐标为． 又所求直线的斜率为3，故所求直线的方程为，即． 法二：设所求直线为，因为过已知两条直线的交点，所以直线的方程可设为（其中为常数），即①， 又直线的斜率为3，所以，解得，将代入①，整理得． 直线交点坐标的应用知识点06 题型巩固练： 21．（24-25高二上·四川自贡·期中）直线被两条直线：和：截得的线段的中点为，求直线的方程. 【答案】 【详解】设l与的交点坐标为，l与的交点坐标为， ，由中点坐标公式得，， 即，解得 则l的方程为，即. 22．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)顶点的坐标； (2)求直线的方程． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为边上的高所在直线方程为， 所以,解得：. 所以直线的方程为，即. 由解得：，即. （2）因为点C在直线上，所以可设，则中点为. 把代入直线：， 有，解得：，所以. 又∵，∴，即， 所以BC所在直线方程为：． 23．（25-26高二下·上海黄浦·期中）已知三角形的三个顶点分别为、、； (1)求边上中线的方程， (2)过点作的垂线，垂足为，求直线的方程并求出点的坐标， 【答案】(1)；(2)直线的方程为； 【详解】（1）设边上的中点为点，且、， 则，即， 边上的中线为，，所以直线, 所以边上中线的方程为； （2）， 因为，所以，则， 所以直线的方程为， 直线，整理为：， 联立，得，， 则点的坐标为. 24．（25-26高二上·山东淄博·期中）在中，，直线的斜率为2，直线的方程为. (1)求直线的方程； (2)求点A关于直线BC的对称点的坐标 (3)若，求的高所在直线的方程 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）由已知得直线AB的方程为：，即 . （2）设， 因为直线的方程为，斜率为 ， 故斜率为 7，即， 因为中点在直线上， 所以，解得 所以. （3）解方程组，解得，所以， 又因为，所以中点， 又因为高线CD的斜率为， 所以CD所在直线的方程为，即. 25．（22-23高二上·河南·阶段检测）已知直线，直线和． (1)求证：直线 恒过定点； (2)设（1）中的定点为，与，的交点分别为 ， ，若恰为 的中点，求． 【详解】(1)由题， 可化为， 由于，令，可得， 所以，解得，即直线 恒过定点． 所以直线 恒过定点. （2）由（1）知，不妨设， 由题意可知，恰为 的中点， 所以， 因为， 分别在直线 和直线 上， 所以， 解得 ，所以， 将代入直线方程，解得． 所以 的值为 . 1．（25-26高二上·安徽滁州·阶段检测）直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直，则的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线经过两条直线和的交点， 由， 可得交点为， 直线与直线垂直， 则直线的斜率为， 所以直线的方程为：， 即． 故选:B． 2．（多选）（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）已知直线：，：，：，若直线，，不能围成三角形，则实数a的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由，解得，所以，的交点坐标为，又过定点， 若直线，，不能围成三角形，只需经过点，或与平行，或与平行， 当经过点时，，解得， 当与平行时，且，解得， 当与平行时，，解得， 故a的值为，，. 故选：BCD 3．（多选）（25-26高三上·安徽阜阳·阶段检测）已知直线m的方程为，直线n的方程为，则（   ） A．m，n的交点为 B．n在y轴上的截距为 C．m的斜率为 D．m，n与x轴围成的三角形是锐角三角形 【答案】ACD 【详解】由，两式联立，解得，即m，n的交点为，故A正确； 直线n的方程可化为，所以直线n在y轴上的截距为3，B错误； 直线m的方程可化为，所以直线m的斜率为，C正确； 设直线m，n的倾斜角分别为，，则，，为锐角，为钝角. 设，直线m与x轴的交点为M，直线n与x轴的交点为N， 在中，是锐角，是锐角，， 而，所以是锐角，是锐角三角形，D正确. 故选：ACD. 4．（多选）设集合，且，则正实数的取值可以为（    ） A．4 B．1 C．2 D． 【答案】BD 【详解】∵，∴． 将点代入，得，解得(舍去)或． 又当时，可变形为， 当直线与平行时， 有，解得或(舍去) 当或时，符合题意. 故选：BD 5．（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测）过直线与直线的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为______. 【答案】或 【详解】由，解得，则两直线交点. 由题意所求直线在两坐标轴上截距相等， ①当截距为0时，则过点的直线方程为，即； ②当截距不等于0时，设直线方程为 将点坐标代入，得，解得 6．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）过直线与直线的交点，且与直线平行的直线方程为_________ 【答案】 【详解】由，得，所以交点坐标为， 设与直线平行的直线方程为， 把点的坐标代入，得，解得， 则所求直线方程为. 7．两直线与轴相交且能构成三角形，则满足的条件是__________. 【答案】且 【详解】由得：， 联立，得， 所以直线过定点， ，不在直线上， 直线与轴相交于原点， 直线的斜率为，直线的斜率为. 两直线与轴相交且能构成三角形， 直线不能经过原点，； 直线与轴不能平行，，即； 直线与直线不能平行，，即， 综上得满足的条件是：且. 8．（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知直线与． (1)当时，求直线与轴围成的三角形的面积； (2)讨论直线与的位置关系． 【答案】(1)；(2)当时，两直线重合；当时，两直线平行；当时，两直线相交． 【详解】（1）解：当时，，， 当时，和，解得：和， 与轴的交点，与轴的交点， 联立，解得：， 与的交点， ，点到轴的垂直距离为：， ； （2）解：若两直线平行或重合，则斜率相等， 的斜率为：，的斜率为：， ，解得：或， 当时，，，两直线重合； 当时，，，两直线平行； 故当时，两直线重合；当时，两直线平行；当时，两直线相交． 9．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知三条直线，，. (1)若，，交于一点，求实数的值； (2)若，，可以围成一个三角形，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）联立与的方程，得解得         即与的交点坐标为，             由题意知点在上，所以，         解得. （2）由（1）知，             当时，，所以，             当时，，所以，             当，，三条直线可以围成三角形，则且且，             故的取值范围为. 10．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）（1）已知两直线，求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知直线过点，且交坐标轴正半轴于两点，当的面积最小时，求的周长. 【答案】（1）（2） 【详解】（1）法1：联立，解得， 与直线垂直的直线斜率为， 所以经过与交点且与垂直的直线方程为：，即； 法2：经过直线交点的直线设为：， 即， 因其与直线垂直，所以，解得， 所以所求直线方程为. （2）设，则， 因直线过，所以，则，等号成立时， 所以的面积， 此时的周长为. 1．【数学文化】（23-24高二上·山东·阶段检测）瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，这条直线被称为欧拉线.已知的顶点，若直线与的欧拉线垂直，则直线与的欧拉线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由的顶点坐标，可知其重心为. 注意到，直线BC斜率不存在，则为直角三角形， 则其垂心为其直角顶点，则欧拉线方程为：. 因其与垂直，则. 则，则直线与的欧拉线的交点坐标满足，即交点为. 故选：B 2．【同构思想】（25-26高二上·江苏南京·期中）若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由条件可知，，， 且，两式相加得， 即，得， 点是直线和的交点，所以，     所以点满足直线，即直线方程为， ，与直线垂直的直线方程的斜率为， 所以中垂线方程为，整理为. 故选：A 3．【探索性问题】（多选）（25-26高二上·安徽亳州·阶段检测）已知与是直线（k为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况说法错误的是（   ） A．无论k、M、N如何，总是无交点 B．存在k、M、N使之无交点 C．无论k、M、N如何，总是唯一交点 D．存在k、M、N使之有无穷多交点 【答案】ABD 【详解】由于与是直线（k为常数）上两个不同的点， 故，， 又， 由于，因此，故直线不平行，也不重合， 故两直线相交，因此只有唯一的交点，故C正确，ABD错误， 故选：ABD 4．【开放题】（23-24高二上·福建莆田·期末）已知直线，若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值_________． 【答案】 【详解】由解得，所以的交点坐标为， 过定点， 若直线不能围成三角形，只需经过点，或与平行，或与平行， 当经过点时，，解得； 当与平行时，，解得； 当与平行时，，解得. 故的值为. 故答案为：（只需写出其中一个即可）. 5．【分类讨论】（25-26高二下·上海·阶段检测）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，点不与重合.则的最小值是___________ 【答案】 【详解】直线过定点，直线过定点， ①当时，过定点的直线方程为，过定点的直线方程为， 两直线垂直，此时，所以； ②当时，直线的斜率为，直线的斜率为， 因为，所以两直线垂直，即点可视为以为直径的圆上的点， 因为点不与点或点重合，为直角三角形，且， 所以 当且仅当时等号成立， 综上，故的最小值为. 1．（2004·湖北·高考真题）已知点和．直线与线段的交点M分有向线段的比为，则m的值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】D 【详解】设，且， 则，得，解得：, 代入直线，，得. 故选：D 2．（1977·天津·高考真题）（1）求直线和的交点坐标. （2）求通过上述交点，并同直线垂直的直线方程. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）由，解得， 所以直线和的交点坐标为. （2）由（1）知，直线和的交点坐标为， 因为所求直线与直线垂直， 所以所求直线的斜率为. 所以所求直线方程为，即. 3．（1977·北京·高考真题）求过两直线和的交点且过点的直线方程． 【答案】4x－y－3＝0 【详解】由x＋y－7＝0和3x－y－1＝0联立并解得：x＝2，y＝5． ∵直线过点(2，5)和(1，1) ∴所求的直线方程为，即：4x－y－3＝0． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.3.1 两条直线的交点坐标 目 录 A组 巩固过关 知识点01 直线的交点坐标 知识点02 方程组的解的个数判断直线的位置关系 知识点03 由直线的交点求参数（范围） 知识点04 三条直线能否围成三角形（常考题） 知识点05 直线交点系方程（难点） 知识点06 直线交点坐标的应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 直线的交点坐标知识点01 知识点速记： 两直线的交点 设两条直线的方程分别为，． 如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之，如果将这两条直线的方程联立，若方程组有唯一解，那么以这个解为坐标的点必是直线和直线的交点． 题型巩固练： 1．直线：与：相交，则交点是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·湖南长沙·期中）若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为    （  ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知直线与直线，则两条直线的交点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 方程组解得个数判断直线的位置关系知识点02 知识点速记： 在平面直角坐标系中，已知两条直线的方程分别为：（、不同时为零），：（、不同时为零）.联立和的方程为 若存在，使得，且，则方程组有无数解，两条直线有无数个公共点，从而和重合； 若存在，使得，但，则方程组无解，两条直线无公共点，从而和平行； 若不存在，使得，，则方程组有唯一解，两条直线有唯一公共点，从而和 相交； 若、、都不为零，则可以观察两个方程的系数是否成比例来判断与的位置关系. 题型巩固练： 4．（25-26高二上·河南郑州·阶段检测）若关于，的方程组无解，则实数为（   ） A． B．3 C．3或 D．1或 5．（多选）（25-26高二上·甘肃兰州·期中）下列选项中，正确的有（    ） A．直线和的交点坐标为 B．直线和的交点坐标为 C．直线和交点坐标为 D．直线和，两两相交 6．分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点；若不相交，说明它们的位置关系． (1)和； (2)和； (3)和． 由直线的交点求参数（范围）知识点03 知识点速记： 由直线的交点求参数（范围）的解题步骤： 1.联立方程求交点：将两条直线的方程联立成方程组，解出交点坐标，坐标轴通常含有参数； 2.代入约束条件：根据题意（如交点在特定象限、在坐标轴上、或三线共点），将交点坐标代入相应的条件中； 3.求解参数（或参数的范围）：通过届方程或不等式，得出参数的值或范围. 题型巩固练： 7．（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．直线与直线相交，则m的取值范围为__________． 9．（25-26高二上·福建福州·期末）已知三条直线与相交于一点，则___________. 10．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）三条直线，，相交于一点，则__________． 11．（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）直线与直线的交点在第四象限，则实数k的取值范围为______． 三条直线能否围成三角形知识点04 知识点速记： 要使三条直线能围成三角形，则三条直线任意两条直线都相交，且三条直线不能交于一点。 无法围成三角形的情况有：⑴三条直线中存在平行线；⑵三线共点. 题型巩固练： 12．（25-26高二上·福建宁德·期中）三条直线构成一个三角形，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 13．（2026·广东·模拟预测）已知直线，，能构成三角形，设满足条件的k值构成集合A，则的子集个数为（   ） A．8 B．16 C．2 D．1 14．（多选）（25-26高二上·江苏南通·期中）已知三条直线和不能围成一个三角形，则实数的可能取值为（    ） A． B．3 C． D． 15．（25-26高二上·湖南衡阳·阶段检测）三条直线与能围成三角形，则实数的取值集合为__________. 直线交点系方程知识点05 知识点速记： 相交直线系 若直线、直线的交点，则过的直线（除外）的方程可设为. 题型巩固练： 16．（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为_______________．（写成一般式） 17．若直线l经过两直线和的交点，且斜率为，则直线l的方程为______． 18．求经过点和两直线和的交点的直线方程． 19．已知直线，直线过与的交点且过点，求的方程． 20．求过直线和的交点，且斜率为3的直线方程． 直线交点坐标的应用知识点06 题型巩固练： 21．（24-25高二上·四川自贡·期中）直线被两条直线：和：截得的线段的中点为，求直线的方程. 22．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)顶点的坐标； (2)求直线的方程． 23．（25-26高二下·上海黄浦·期中）已知三角形的三个顶点分别为、、； (1)求边上中线的方程， (2)过点作的垂线，垂足为，求直线的方程并求出点的坐标， 24．（25-26高二上·山东淄博·期中）在中，，直线的斜率为2，直线的方程为. (1)求直线的方程； (2)求点A关于直线BC的对称点的坐标 (3)若，求的高所在直线的方程 25．（22-23高二上·河南·阶段检测）已知直线，直线和． (1)求证：直线 恒过定点； (2)设（1）中的定点为，与，的交点分别为 ， ，若恰为 的中点，求． 1．（25-26高二上·安徽滁州·阶段检测）直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直，则的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）已知直线：，：，：，若直线，，不能围成三角形，则实数a的值可能为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高三上·安徽阜阳·阶段检测）已知直线m的方程为，直线n的方程为，则（   ） A．m，n的交点为 B．n在y轴上的截距为 C．m的斜率为 D．m，n与x轴围成的三角形是锐角三角形 4．（多选）设集合，且，则正实数的取值可以为（    ） A．4 B．1 C．2 D． 5．（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测）过直线与直线的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为______. 6．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）过直线与直线的交点，且与直线平行的直线方程为_________ 7．两直线与轴相交且能构成三角形，则满足的条件是__________. 8．（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知直线与． (1)当时，求直线与轴围成的三角形的面积； (2)讨论直线与的位置关系． 9．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知三条直线，，. (1)若，，交于一点，求实数的值； (2)若，，可以围成一个三角形，求实数的取值范围. 10．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）（1）已知两直线，求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知直线过点，且交坐标轴正半轴于两点，当的面积最小时，求的周长. 1．【数学文化】（23-24高二上·山东·阶段检测）瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，这条直线被称为欧拉线.已知的顶点，若直线与的欧拉线垂直，则直线与的欧拉线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．【同构思想】（25-26高二上·江苏南京·期中）若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 3．【探索性问题】（多选）（25-26高二上·安徽亳州·阶段检测）已知与是直线（k为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况说法错误的是（   ） A．无论k、M、N如何，总是无交点 B．存在k、M、N使之无交点 C．无论k、M、N如何，总是唯一交点 D．存在k、M、N使之有无穷多交点 4．【开放题】（23-24高二上·福建莆田·期末）已知直线，若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值_________． 5．【分类讨论】（25-26高二下·上海·阶段检测）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，点不与重合.则的最小值是___________ 1．（2004·湖北·高考真题）已知点和．直线与线段的交点M分有向线段的比为，则m的值为（    ） A． B． C． D．4 2．（1977·天津·高考真题）（1）求直线和的交点坐标. （2）求通过上述交点，并同直线垂直的直线方程. 3．（1977·北京·高考真题）求过两直线和的交点且过点的直线方程． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $